《2023年高二数学 同步复习： 数学归纳法.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年高二数学 同步复习： 数学归纳法.pdf（7页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、高二数学 同步复习：数学归纳法(-)数学归纳法卫知识梳 理1、归纳法：由特殊到一般的推理方法，叫做归纳法；2:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _徭 苏 归纳法可以帮瓦我们从一些具体事例中发现一般旃，这种归纳得到的结论需要证而2、数学归纳法：一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归
2、纳奠基)证明当取第一个值4(%为正整数)时,命题成立；(2)(归纳递推)假设=左(左为正整数)时命题成立，证明当=k+1 时命题也成立.那么，命题对于从 开始的所有正整数都成立，这种证明方法叫做数学归纳法.备注：注意命题中取满足题意中最小的第一个值，不一定是1.应用数学归纳法要运用“归纳假设”，没有运用“归纳假设”的证明不是数学归纳法.由k到k+1的证明，实际问题中由k到 A+1 的变化规律是数学归纳法的难点，突破难点的关键是掌握由k到k+的推论方法，在运用归纳假设时，应分析P(与 P(A+1)的差异与联系。利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发；或从 生 组)从分离出P(k),再进行
3、局部调整；也可考虑寻求二者的“结合点”，以便顺利过渡._ _ _ _ _ _ _ _ _【例 1】用数学归纳法证明l +g +g +H-n2n (EAT,九 1)时，第一步应验证不等式()B.1 +-+-22 3A.1 H 22C.1 +-3 D.1 +-+3+3 +1 这一不等式时，应注意必须为()A.n e N*B.n e N n 2 C.n e N*，n 3 D.n N，n 4【例 3】用数学归纳法证明：1X+2X(”-1)+3X(2)+x l =，(+l)(+2),当 =%时，左式为 k),当6=4+1 时,左 式 为 f 化+1),则/仅+1)/(%)应 该 是()A.l x(A:+
4、l)B.1 +2+3+-+(4 +】)C.1 +2 +3+k D.k邓一2)-1 -【例4 用数学归纳法证明不等式：+1 +2 In 2 4时，需要证明的不等式是（）(n 1,GN),在证明 =k +l这一步1一兼1然1/1一兼132413+111+殊+1 3 一2 41 3 一2 41 1 3H-2 k+2 2 4【例 5】用数学归纳法证明+3、5 2+（2-1）2=耳 （4 2-1）.【例 6】证明：不等式1 H 1 1-1 H-（n E N），恒成立.2 3 4 2 T 2 7巩 固 训 林1、用数学归纳法证明”乌 一 对任意2火，（,Ae N）的自然数都成立，则出的最小值为（）3 +1
5、 3 +1A.1 B.2 C.3 D.42、用数学归纳法证明：”两两相交且不共点的 条直线把平面分为贝 ）部分，则 0,()，且/(“+%)=)/(%),/=4,则.f(n)=.【例9】已知数列 4 中，4=3,前项和S,满足条件3=6-2%”，计算生，生，然后猜想出。“的表达式,并用数学归纳法证明你的结论，某学生的解答如下：当“2 2 时，a=Sn-Sn_=6-2a-(6-2a)=2a,-2an+,即4 H =g”“，.1 3 I 3 1 3 4=3,.a2=-a1=-f a3=a2，a4=2 3=g ,3由此猜想。=矛7 7 (n G N*).3当=1 时，即4=寸1 =3.结论成立.假设
6、当=4(A r3 1)时结论成立，即 为=击 成 立，则当=&+1 时，1 4 1/+1=彳4，；二=5，又4=3.Z.、火+1-1 Q，4 是首项为3,公比为*的等比数列.由此得4 M =3x 卜 =品，这表明，当=&+1时结论也成立.由可知，猜想对任意 eN*都成立.请判断学生的解答是否正确？【例 10】已知S“=-+，+-(n e N*).n+n+2 n+nx/(1)求,S2,S 3 的值.(2)用数学归纳法证明S,；工.-3-【例11是否存在常数a,b,c,使等式122+202+“(+l)2=lD(a2+Z w+c)对eN+都成立，并证明你的结论.【例12设“eN*.(1)比较2和，尸
7、的大小，直接写出结论，不必证明；当_ _ _ _ _ _时，2 /；(2)比较e和2的大小，其中e 是自然对数的底数，并说明理由.【例13己知数列 为 是非零数列.(1)若 a；-a,+i=L a 0,a4=6 3,求 q；(2)若*-a“a“+2 =1，=。，%=。+1，证明：,是等差数列;-4-、/巩国训栋1、观察下列等式1=1 第一个式子2+3+4=9 第二个式子3+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49第三个式子第四个式子照此规律下去（I）写出第5个等式；（II）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想.2、已知+，g（）=无、J/+2）+（1）写出 g（2）,
8、g（3）,g（4）的值；（2）归纳g（）的值，并用数学归纳法加以证明.3、设正项数列 q 满足4=3,且,辅=片-2 q+2,求%,4，%的值，并猜想数列 外 的通项公式;用数学归纳法证明你的猜想.4、已知数列 4 中，S“是 4 的前项和且S“是2a与-2。”的等差中项，其中。是不为0的常数.（1 ）求 4,%,。3 （2）猜想见的表达式，并用数学归纳法进行证明.-5-实战演练一、填空题1、用数学归纳法证明3厢 3（第一步可以取到的自然数%=.2,从 1 =1,1-4=一(1 +2),1-4+9=1 +2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),，概括出第个式子为3、设 S|=，S2=l
9、2+22+l2,S3=l2+22+32+22+l2,S=l2+22+n2+2?+F,希望证明邑=X,3在应用数学归纳法求证上式时，第二步从女到2+1应 添 的 项 是.4、已知8 7,169,3 2 1 1,，则 概 括 出 第 个 式 子 为.5、已知 1+2 x3+3x32+4X33+5X34+X3T=3（a b）+c 对一切正整数都成立，则 a+6+c 的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _6、用数学归纳法证明/（）=l+；+g+J 的过程中，从=%到=%+1时，/（2川）比/（2）共增加了一项.二、选择题7、用数学归纳法证明至二1 3对任意2 3 （，e N）的自然数都成立，则的
10、最小值为（）3+1 3+1A.1 B.2 C.3 D.48,用数学归纳法证明下列等式：-1+3-5+7+(-1)(2-1)+(-1)+(2W+1)+(-1)/2(2”+3)=(-1)*2(+2).要验证当 =1时等式成立，其左边的式子应为（）A.1 B.1 +3 C.1+3 5 D.-1+3 5+79、用数学归纳法证明：(+。(+2)(w+)=2 i 3-(2 n-l)(n e N*),从到八 1,若设 Z)=(k+l)(Z+2)(%+%),则/仅+1)等 于()A.，+2(2无+1)B.”k)2(2Z+l)c./+弊D.f因.碧/c 1 /c+110、用数学归纳法证明：1+J 7+T 二+5-=卫 7 时，由“=上到=+1等号左边需要添加的1+2 1+2+3 1+2+3+1项 是（）22A，+K）+2）C.（Z+I）（Z+2）D（%+1）（攵 +2）-6-三、解答题1 1、用数学归纳法证明：l2-22+32-42+L+（2 n-l）2-（2 n）2=-（2 +1 乂”eN*）.1 2、设数列 4“满足 4 =3,a+l=3 a-4 n.（1）计算的，如，猜想 对 的通项公式并加以证明；,1 1 1 1 1（2）令 b“=a；,w N ，证明：7+/+7+丁 丁%03Un -7-