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1、工程数学作业（一）答案（满 分10 0分）第2章 矩 阵（一）单项选择题（每小题2分，共2 0分）1 设A.4ab.2,则%2a-3bqB.4a22。)3bz。2%2a3-3b3(D).C.D.-6%4G22ab336012.若000002a0001,则 a=(A).1001A.-2B.-1C.D.13.乘积矩阵A.1-1-1 0 中元素C23=（C).B.7C.1 0D.821245 234,设A,3均为阶可逆矩阵，则下列运算关系对的的是(B).A.|A+B|-1=|A|-+|B|-1 B.=C.(A +B)-=A-+B D.ABY=5.设A,B均为阶方阵,%0且 。1,则下列等式对的的是（
2、D）.A.|A+B|=|A|+|B|B.|AB|=n|A|B|C.|M|=kA D.-kA（-k）nA6.下列结论对的的是（A）.A.若A是正交矩阵，则Ai也是正交矩阵B.若4,8均为阶对称矩阵，则A B也是对称矩阵C.若A,B均为阶非零矩阵，则A B也是非零矩阵D.若4,B均为阶非零矩阵，则|A B 01 37.矩阵 的随着矩阵为(C).2 51 -31 1 3-B.-2 5 J|_2 -5-5 -31 F-5 3-二.D._-2 1 J L2-1_8.方阵4可逆的充足必要条件是(B).A.AHO B.|A|NO C.A*WO D.|A*|09.设A,B,C均为阶可逆矩阵，则(ACB)T=(
3、D).A.(BYA-C B.BCAC.D.10.设A,B,C均为n阶可逆矩阵,则下列等式成立的是(A).A.(A+B)2=A2+2 A B+B1 B.(A+B)B=BA+B2C.(,2ABC)-=2C-B-A-1 D.(2ABC)=2CBA(二)填空题(每小题2分，共2 0分)2-1 01.1 -4 0 .0 0-1-1 1 12 .1 -1 x是关于x的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是.1 1 -13.若A为3 x 4矩阵，8为2 x 5矩阵，切乘积AC 3故意义，则C为 5 X 4 矩阵.5 _4.二阶矩阵 A=1 5.0 1J o 1J 1 2 r r r 1 2 0 0 6 3
4、5.设 A=4 0,3=，则(A+3)=3-1 4 5-1 8-3 46.设A,B 均为3 阶矩阵，且|4|=|用=-3,则-2AB=727.设4,B 均为3 阶矩阵，且|A|=-1，忸|=_3,则卜3（4 团）2 卜 _8.若 A =10a为正交矩阵，则02-129.矩阵 400-323的秩为.210.设A，A2 是两个可逆矩阵，则4oo为OO A；1（三）解答题（每小题8分，共 4 8 分）1.设 A 1 2-3 5,B=413,C534-1，求(DA+B；(2)4+C；(3)2 A+3 C；(4)A+5B；(5)AB;(6)(AB)C.答案：A+8 =0 31 8A+C =60642 A
5、+3C=17 163 7A+5B=2.设A解:2 6122 20AB72 3712(AB)C=5 615 12 18 0-1 20 -112120 31-1,C-1301-20412,求 A C+3 C.3.已知A412解:3A-2X =B6-2-4 102 10求满足方程3 A 2X=3 中的X.X=-(3 A-B)=-2 28-273 -25 211 5-11524.写出4阶行列式1 0 2 0-1 4 3 60 2-5 33 1 1 0中元素%1，。4 2的代数余子式，并求其值0 2 0答案：a41=(-1)4+14 3 6=02-5 31 4 2=(-1)4+2-102 03 6=45
6、-5 35.用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵:1 2 2(1)2 1 -22-2 11 2 3 42 3 1 21 11-11 0-2-61 0 0 01 1 1 1解oO12-31-21一3-2229O3O2-92-91-92-91-92-91-92-92-90-01O1O1oOoO1-92一31-32一91-32-32-9O1O1oO2-9291-92-91-92-91-92-92-9一A（过程略）-22-6 -26 17-17 5 20-13(2)A-1=-1 0 2-1_ 4-1-5 31011011 0 0 0-110 03)A-1=0-1100 0-1 116.求矩阵1101100的
7、秩.10121012113201解10 1 1 0 1 1-1 1 0 1 1 0 01 0 1 2 1 0 12 1 1 3 2 0 1F+为_2(+q、-1 0 1 1 0 1 1 -()1-1 0 1-1 -10 0 0 1 1 -1 00 1-1 1 2-2 -1-1 0 1 1 0 1 1 0 1-1 0 1-1-10 0 0 1 1 -1 00 0 0 1 1 -1 0_R(A)=31 011 011-r3 +r4、01-101-1-10 001 1-10_0 000000（四）证 明 题（每小题4分，共1 2分）7.对任意方阵A,试证A+A 是对称矩阵.证明:(A+A y=A+(
8、A)=A+A=A+AA+4是对称矩阵8.若A是”阶方阵，且4 4 =/,试证|A|=1或-1.证明:A是阶方阵，且4 4 =/“训=网4=所川=1|川=1或 同=-19.若A是正交矩阵，试证A 也是正交矩阵.证明:A是正交矩阵A-=A(A y1=(A-，T=A=(&y即A 是正交矩阵工程数学作业（第二次）（满 分1。分）第3章 线性方程组（一）单项选择题（每小题2分，共1 6分）X +2X2-4X3=11.用消元法得J x2+与=0的解.*3=2王无2为(C).A.1,0,-2B.-7,2,-2?C.-11,2,-2(D.-1 1,-2,-2(X +2X2+3X3=22.线性方程组-x3=63
9、X2+3X3=4(B).C.无解的秩为（A）.C.4D.只有零解D.54.设向量组为a）是极大无关组.A.ay,a2 B.ax,a2,a,C.ax,a2,a4 D.a.5.A与不分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D）.A.秩（4）=秩（不）B.秩（A）秩（不）C.秩（A）秩（而 D.秩（4）=秩（不）16.若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A）.A.也许无解 B.有唯一解 C.有无穷多解 D.无解7.以下结论对的的是（D）.A.方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B,方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C.方程个数大于
10、未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D.齐次线性方程组一定有解8 .若向量组。一。2,，线性相关，则向量组内（A）可被该向量组内其余向量线性表出.A.至少有一个向量 B.没有一个向量C.至多有一个向量 D.任何一个向量9 .设 A,B为 阶矩阵，4 既是A 又是B 的特性值，x既是A 又是B 的属于;I的特性向量,则结论（）成立.A.2 是 A B 的特性值 B.4 是 A+B的特性值C.2是 A-B 的特性值 D.x 是 A+B的属于%的特性向量10 .设A,B,P 为阶矩阵，若 等 式（C）成立，则称A 和 B 相似.A.AB=BA C.PAP-=B D.PAP=B（二）填空题（每小题2分
11、，共 1 6 分）1 .当4=1 时，齐次线性方程组 -八有非零解.Z X +x2-02 .向量组 =0,0,0,a?=1，L1线性 相关.3.向量组1,2,3,1,2,0,1,0,0,0,0,0 的秩是 3.4.设齐次线性方程组/玉+。2 2 +。3无 3=。的 系 数 行 列 式 2。3|=，则这个方程组有 无穷多 解,且系数列向量电,a2,a,是 线 性 相关 的.5 .向量组臼=1,0,0 2 =0，1，0 3 的极大线性无关组是外,%6.向量组?，%，巴 的秩与矩阵叫，a2，a J 的秩 相同.7 .设线性方程组A X =0中 有 5个未知量，且秩（A）=3,则其基础解系中线性无关的
12、解向量有 2 个.8.设线性方程组AX=人有解,X。是它的一个特解，且 AX=0 的基础解系为X,X2,则公=的 通 解 为*0+占*|+k2X2.9.若/是 A 的特性值，则 4 是方程|-月|=0 的根.10.若矩阵A满足A i=A，则称A 为正交矩阵.(三)解答题(第1 小题9 分，其余每小题1 1 分)1.用消元法解线性方程组x,-3X2-2X3-x4=6V3X|-8X2+%+=0 2项+x2 4%3 +匕 12X+4%2 彳3 3 九4 2解A=13-2-1-3 814-21-4-1-151 -360-122 _ 3代22小r+r4、100_0-31-51F10 1923-4811
13、0%+小4 1 7818 千3、0 100 3-3120 000 56130 01 0 0 42-1241F1 0 0 0 2-伊+40 1 0 15-4 60100-1()0 1-1 4()0 1 0 10 0 0 1 -3 Jo 0 0 1 -3X=2.方程组解为%=-1-2-161 01923-4878 185r2+口F+q、0178 18-8-1000273 9-90-3-48 _00-10-12261923-4 8 10 042-1247818一7乙+弓-5为+01 015-4 61-1400 1-1456-1300 011-3 32.设有线性方程组4。为什么值时，方程组有唯一解?或
14、有无穷多解？1 2A 2211 11 1 2 A21 2 1 AAl l i“+5_劭+、1 1 2 A20 2-1 1-2 2-A20 1-2 1-Z2 1-23A 1 1 A 4(1 A)0(2+A)(l-2)(1+2)(1-A)2当;Iw 1且 4 w 2 时，R(A)=R(A)=3，方程组有唯一解当；1 =1时，R(A)=R(X)=1,方程组有无穷多解3.判断向量/能否由向量组%,。2,出 线性表出，若能，写出一种表出方式.其中解：向量月能否由向量组囚,。2。3 线性表出，当且仅当方程组。/+%工2+。3%3 =/有解-2 3 -5 -8这里 A=%,%,。3,尸 =0 3 73 -2
15、 1 -10103701-3410010-117000571R(A)工 R(A)，。方程组无解解:外,%,%，%=13-1 1-1-7-3 9280 639-3 341 3-3 61 3-110 1 120 0 0 1 80 0 000 0 00 该向量组线性相关5.求齐次线性方程组X-3尤2+-2%4=0 5 xj +2xj +=0X)1 1 2+2%3 5工4=03%j +5X2+4X4=0的一个基础解系.解：4=1-31-2-51-23-1-1 12-5350410-3-1 413-2-73-r-y+n14-1-r2+r3-r2+rA0-1 43-701 4-3 1 000511 420
16、-1 43-70000000311-21-23O5-143一140OO1oO1ooO一方程组的一般解为1-21-21O5-143一140OO1oO1ooO一5-1-4 工333%=可3x4=0I令 巧=1，得基础解系4=5U31405U1 40100 00010 0 0 06.求下列线性方程组的所有解.x-5X2+2X3 3%-1 13 X +x2 4工3 +2X4=-5一 冗19冗2 4元4=1 75尤1+6x3 Z =-1解5-14(-0-2二-1-52-3 1T3rl卜乃)-52-311-31-42-5H 5+,0-142-728-1-90-4170-142-728536-1-1028-
17、414-56二方程组一般解为11 0-17 20 1 -27 20 0 0 0 00 0 0 0 071X=9X3+2X4looo+11 1 X2=yX3-X4-2线性表达，且表达方式唯一,写出这种表达方式.V()00%一%=1a4-a3=001O149-72oO12-7OO12800=aia+a2(a2 _%)+%(%)+%(%一%)二 (-a2)a+(%生)%+(%。4)%+。4 a 48.试证:线性方程组有解时，它有唯一解的充足必要条件是:相应的齐次线性方程组只有零解.证明:设AX=8 为含”个未知量的线性方程组该方程组有解，即R（A）=R（A）=n从而AX=B 有唯一解当且仅当R（4）
18、=”而相应齐次线性方程组AX=0 只有零解的充足必要条件是R（A）=nAX=B 有唯一解的充足必要条件是:相应的齐次线性方程组AX=O只有零解9.设%是可逆矩阵A 的特性值，且试证：!是矩阵A-1的特性值.证明:X是可逆矩阵A 的特性值存 在 向 量 使 44=斯Y=（A-A）=A-1（A J）=A-（乃）=AA-=g2即l是矩阵A T的特性值21 0.用配方法将二次型/=%12+年+工：+2%1%2-2X2X4-2X2X3+2x3x4 化为标准型.解：f =（X+）2+W+X：2%2%4-+2X3X4=（再 +超）2+W+2A3（尤2+刈）+/2A2 8（X+工2）+（%3 工2+1 4）X
19、2=x）+x2,y2=x3-x2+x4,=x2,x4=y4M 二必 -X即 932 二为+%一 工4=4则将二次型化为标准型/=才+式一 y工程数学作业（第三次）（满 分 10 0 分）第 4 章 随机事件与概率（-）单项选择题LA,8 为两个事件，贝 U (B)成立.A.(A +B)-B =A B.(A+B)-B AC.(A-B)+B A D.(A-B)+8 u A2.假如(C)成立，则事件A 与 8 互为对立事件.A.AB=0 B.AB=UC.A 5=0 且 A 8=U D.A 与后互为对立事件3.1 0 张奖券中具有3张中奖的奖券，每人购买1 张，则前3个购买者中恰有1 人中奖的概率为(
20、D).A.Cf0 X0.72 X0.3 B.0.3 C.0.72 X0.3 D.3 x0.72 x0.34.对于事件A,8,命 题(C)是对的的.A.假如A,8 互不相容，则不，豆互不相容B.假如A u 8,则 A u 8C.假如A,B 对立，则 不，豆对立D.假 如 相 容，则不，豆相容5.某随机实验的成功率为p(0 p (X)=0.9 6,则参数与p 分别是(A).A.6,0.8 B.8,0.6 C.1 2,0.4 D,14,0.27.设/(x)为连续型随机变量x 的密度函数，则对任意的a,b (a。)，E(X)=(A).,+8A.xf(x)d xJ 00C.f/(x)dxJ afbB.x
21、f(x)d xJ a,p+8D.f./(x)dxJ 008.在下列函数中可以作为分布密度函数的是(B).A.B.x)=sin x,0 x 20,其它C.f(x)=.37ts i n x,0 x -20,其它D ./(X)=s i n 尤，0c x乃0,其它9.设连续型随机变量X的密度函数为/（元）,分布函数为F（x）,则对任意的区间（。，份，则P(a X b)=(D).A.F(a)F(h)C./(a)-/(Z?)r AB.F(x)dxJ aD.f f(x)dxJ a1 0 .设乂为随机变量,七（*）=，。（乂）=，当（c 州 寸，有 E（y）=o,（y）=i.A.Y-oX+xz X-Nc.y
22、=-(y(二)填空题B.Y=GX-D.y =a2X N1 .从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有反复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为22.已 知P(A)=0.3,P(B)=0.5 ,则 当 事 件A,8互 不 相 容 时，P(A+8)=。8,P(AB)=0,33.A,B为两个事件，且8 u A,则 P(A +B)=P(A).4 .已知尸(A 8)=尸(不豆)，P(A)=p,则尸(8)=1 P.5 .若事件 4,8 互相独立，且 P(A)=p,P(8)=q,则 P(A+8)=p +4-p q.6 .已 知P(A)=0.3,P(3)=0 5，则 当 事 件A,B互 相 独 立 时，
23、P(A+3)=巫5,P(A|B)0.3.0 x 07.设随机变量X U(0,1),则X的分布函数F(x)=、x 0 x l8.若 X 8(20,0.3),则 E(X)=.9.若 X N(，92),则 P(|X-“4 3b)=20(3).i o.E (x-E(x)(y-E(y)称为二维随机变量(x,r)的(三)解答题1.设A,8,C为三个事件，试用A,民C的运算分别表达下列事件：(1)A,8,C中至少有一个发生；(2)A,aC中只有一个发生；(3)A,8,C中至多有一个发生；(4)A,8,C中至少有两个发生；(5)A,8,C中不多于两个发生；(6)A,aC中只有。发生.解：(l)A+3 +C(2
24、)A B C +A B C +A B C(3)A B C +A B C +A B C +A B C(4)A B +A C+B C(5)A +B +C (6)ABC2.袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球,求下列事件的概率：2球恰好同色；2球中至少有1红球.解：设 斗=2球恰好同色，3=2球中至少有1红球”C53+1 2W56 +3 9i o -l on n、C3C9+C；P(B)=二-3.加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%,假如第一道工序出次品则此零件为次品;假如第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%,求加工出来的零件是正品的概率.解:设A,=
25、第i道工序出正品(i=l,2)P(At A2)=P(A )P(A2 14)=(1 一 0.0 2)(l -0.0 3)=0.95 0 64 .市场供应的热水瓶中，甲厂产品占5 0%,乙厂产品占30%,丙厂产品占2 0%,甲、乙、丙厂产品的合格率分别为9 0%,8 5%,8 0%,求买到一个热水瓶是合格品的概率.解：设A 1=产 品 由 甲 厂 生 产 人2=产品由乙厂生产A 3=产品由丙厂生产8=产品合格P(B)=P(4 )P(B IA)+P(4)尸(B14)+P(A3)P(B 1 4)=0.5 x 0.9+0.3 x 0.85 +0.2 x 0.80 =0.86 55 .某射手连续向一目的射
26、击，直到命中为止.已知他每发命中的概率是p,求所需设计次数X的概率分布.解：p(x =l)=PP(X=2)=(P)PP(X=3)=(1-P)2Pp(X=k)=(l P)i P故X的概率分布是-1 2 3.k_P(1-P)P(1-P)2 P(1-p)”6.设随机变量X的概率分布为0 1 2 3 4 5 60.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.0 3试求 P(X W4),P(2 X 5),尸(Xw 3).解：P(X 44)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0.1+0.15+0.2+0.3+0.12=0.87P(2W X45)=P(X=2)+P
27、(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=0.2+0.3+0.12+0.1=0.72p(X 3)=1-P(X =3)=1-0 3 =0.77.设随机变量X具有概率密度2 x,0 x 1/(x)=0,其它试求 P(X 1),P(；X 2).J 1解:P(X )=J5 fxdx=g2xdx=x21-4=I-2o8.设 X /(X)=2x,0 x 10,其它,求 E(X),O(X).解:E(X)=j xf(x)dx=-2xdx=%31 o=E(X2)=J x2/(x)t/x=J x1-2XJX=-X4|Q=gD(X)=(X2)-E(X)2=1-(|)29.设 X 7V(l,0.62)，计算尸(0.2
28、X 0).P(0.2 X 1.8)=P(-l.3 3 1.3 3)=0(1.3 3)-0)=P(-（为临界值）发生的概率.(三懈答题1.设对总体X得到一个容量为1 0 的样本值4 .5,2.0 ,1.0,1.5,3.5,4.5,6.5,5.0 ,3.5,4.0试分别计算样本均值%和 样 本 方 差.1 10 解：x=V x,.=x3 6 =3.6i o t r 1 i o1 10 _ 1=-尤=-x 2 5.9 =2.8 7 81 0-1 占 92 .设 总 体 X的概率密度函数为f(x;0)=(6+)x0,0 x 1.96，所以拒绝“05.某零件长度服从正态分布，过去的均值为2 0.0,现换了新材料，从产品中随机抽取8个样品，测得的长度为（单位:c m）：2 0.0,2 0.2,2 0.1,2 0.0,2 0.2,2 0.3,1 9.8,1 9.5问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（a=0.0 5）.解:由已知条件可求得：1=2 0.0 1 2 5$2=0.0671|7|=产()1 2 5 1()s/4n 0.259/80.0350.259=0.1365%=r(一 1,0.05)=t(9,0.05)=2.62|T|2.62接受H0