概率论与数理统计1-8课后习题答案.pdf

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1、Zcer第 一 早 思 考 题 1.事 件 的 和 或 者 差 的 运 算 的 等 式 两 端 能“移 项”吗？为 什 么？2.医 生 在 检 查 完 病 人 的 时 候 摇 摇 头“你 的 病 很 重，在 十 个 得 这 种 病 的 人 中 只 有 一 个 能 救 活.”当 病 人 被 这 个 消 息 吓 得 够 呛 时，医 生 继 续 说“但 你 是 幸 运 的.因 为 你 找 到 了 我，我 已 经 看 过 九 个 病 人 了，他 们 都 死 于 此 病，所 以 你 不 会 死”，医 生 的 说 法 对 吗？为 什 么？3.圆 周 率 万=3.1415926是 一 个 无 限 不 循 环

2、 小 数，我 国 数 学 家 祖 冲 之 第 一 次 把 它 计 算 到 小 数 点 后 七 位，这 个 记 录 保 持 了 1000多 年！以 后 有 人 不 断 把 它 算 得 更 精 确.1873年，英 国 学 者 沈 克 士 公 布 了 一 个 万 的 数 值，它 的 数 目 在 小 数 点 后 一 共 有 707位 之 多！但 几 十 年 后，曼 彻 斯 特 的 费 林 生 对 它 产 生 了 怀 疑.他 统 计 了 1 的 608位 小 数，得 到 了 下 表：数 字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9出 现 次 数 60 62 67 68 64 56 62 44 58 67你

3、 能 说 出 他 产 生 怀 疑 的 理 由 吗？答：因 为 乃 是 一 个 无 限 不 循 环 小 数，所 以，理 论 上 每 个 数 字 出 现 的 次 数 应 近 似 相 等,或 它 们 出 现 的 频 率 应 都 接 近 于 0.1,但 7 出 现 的 频 率 过 小.这 就 是 费 林 产 生 怀 疑 的 理 由.4.你 能 用 概 率 证 明“三 个 臭 皮 匠 胜 过 一 个 诸 葛 亮”吗？5.两 事 件 A、B 相 互 独 立 与 A、B 互 不 相 容 这 两 个 概 念 有 何 关 系？对 立 事 件 与 互 不 相 容 事 件 又 有 何 区 别 和 联 系？6.条 件

4、 概 率 是 否 是 概 率？为 什 么？习 题 1.写 出 下 列 试 验 下 的 样 本 空 间：(1)将 一 枚 硬 币 抛 掷 两 次 答:样 本 空 间 由 如 下 4 个 样 本 点 组 成。=(正 正,)征 反,)反 正,)反 反)(2)将 两 枚 骰 子 抛 掷 一 次 答：样 本 空 间 由 如 下 3 6 个 样 本 点 组 成 C=123,4,5,6(3)调 查 城 市 居 民(以 户 为 单 位)烟、酒 的 年 支 出 答：结 果 可 以 用(x,y)表 示，x,y 分 别 是 烟、酒 年 支 出 的 元 数.这 时，样 本 空 间 由 坐 标 平 面 第 一 象 限

5、内 一 切 点 构 成.C=(x,y)|x 0,y 0)2.甲，乙，丙 三 人 各 射 一 次 靶，记 A-“甲 中 靶”8-“乙 中 靶”C-“丙 中 靶”则 可 用 上 述 三 个 事 件 的 运 算 来 分 别 表 示 下 列 各 事 件：“甲 未 中 靶”：(2)“甲 中 靶 而 乙 未 中 靶，：(3)“三 人 中 只 有 丙 未 中 靶”：(4)“三 人 中 恰 好 有 一 人 中 靶”:(5)“三 人 中 至 少 有 一 人 中 靶”：A;ABABCAfiCUABCUABC;AUBUC;（6）“三 人 中 至 少 有 一 人 未 中 靶”：“三 人 中 恰 有 两 人 中 靶”：

6、（8）“三 人 中 至 少 两 人 中 靶”：“三 人 均 未 中 靶”：（10）“三 人 中 至 多 一 人 中 靶”：（11）“三 人 中 至 多 两 人 中 靶”：彳 或 ABC;ABCABCABC-,ABU 力 CUBC;ABC-,A B C U A B C U A B C U A B C;获 H；或 彳 U 后 U i；3.设 A,B是 两 随 机 事 件，化 简 事 件(1)0 UB)(A U8)(2)(彳 U 万)(AU万)解:(1)(彳 UB)(4 U8)=l8 IMS U8=B,（2）（l U 万）（A U 万）=A B JA B JB=（AJA 0。）万=万.4.某 城 市

7、 的 电 话 号 码 由 5 个 数 字 组 成，每 个 数 字 可 能 是 从 0-9这 十 个 数 字 中 的 任 一 个，求 电 话 号 码 由 五 个 不 同 数 字 组 成 的 概 率.P5解：p=T=03024.1055.张 奖 券 中 含 有,张 有 奖 的，k个 人 购 买，每 人 一 张，求 其 中 至 少 有 一 人 中 奖 的 概 率。解 法 一：试 验 可 模 拟 为，”个 红 球，-机 个 白 球，编 上 号，从 中 任 取 4 个 构 成 一 组，则 rk总 数 为 c 3 而 全 为 白 球 的 取 法 有 c,L种，故 所 求 概 率 为 i-胃。解 法 二：令

8、 4 一 第 i 人 中 奖，i=1,2,Z B 一 无 一 人 中 奖，则 B=4 4 用，注 意 到 At,彳 2,4 不 独 立 也 不 互 斥：由 乘 法 公 式 尸=p（a）p（%）p（%灰）尸（%工）=5 楸 一 1+1）同 除 欠!%，故 所 求 概 率 为 n n-1 n-2 n-k+i=Cf C*6.从 5 双 不 同 的 鞋 子 中 任 取 4 只，这 4 只 鞋 子 中“至 少 有 两 只 配 成 一 双（事 件 A）的 概 率 是 多 少？解:尸(A)/：”；Jo7.在-1,1 上 任 取 一 点 X,求 该 点 到 原 点 的 距 离 不 超 过 1 的 概 率.解：

9、此 为 几 何 概 率 问 题：C=所 求 事 件 2.1 一 占 有 区 间 从 而 所 求 概 率 为 P=L.5 5 2 58.在 长 度 为 a 的 线 段 内 任 取 两 点，将 其 分 成 三 段 三 角 形 的 概 率。解：设 一 段 长 为 x,另 一 段 长 为 y,样 本 空 间。:0 xa0 x 2所 求 事 件 满 足：Q y(a-x-y)1-5O1-5,求 它 们 可 以 构 成 一 个 q 1从 而 所 求 概 率=上.S OAB 49.从 区 间(0,1)内 任 取 两 个 数，求 这 两 个 数 的 乘 积 小 于 工 的 概 率。4解：设 所 取 两 数 为

10、x,y,样 本 空 间 占 有 区 域 两 数 之 积 小 于 L xy L 故 所 求 概 率 4 4尸 二 S(C)S(。)J S(O)S(Q)1 i 1 i而 5(。)=f(1)dx=l-(l+ln4),故 所 求 概 率 为 k 4 X 4；(l+ln4)。1 0.设 A、8 为 两 个 事 件，尸(A)=0.9,P(AB)=a,0ya,0 x+ya,，求 P(AB).解：P(AB)=P(A)-P(AB)=0.9-0.36=054;1 1.设 月、8 为 两 个 事 件，P(B)=0.7,P(AB)=0 3,求 P(彳 U 万).解：P(彳 U 万)=P(而)=l-P(AB)=l-P(

11、8)-P(lB)=l-0.7-0.3=0.6.1 2.假 设 P(4)=0.4,P(A UB)=0.7,若 A、8 互 不 相 容，求 P(8)；若 A、B相 互 独 立，求 P(B)。解：若 4、8 互 不 相 容，P(B)=P(A U fi)-P(A)=0.7-0.4=0.3；若 A、B相 互 独 立，则 由 2(4+8)=2(4)+/(8)-/5(4)2(8)可 得 2(8)=0 513.飞 机 投 弹 炸 敌 方 三 个 弹 药 仓 库，已 知 投 一 弹 命 中 1,2,3 号 仓 库 的 概 率 分 别 为 0.01,0.02,0.03,求 飞 机 投 一 弹 没 有 命 中 仓

12、库 的 概 率.解：设 4=命 中 仓 库,则 彳=没 有 命 中 仓 库,又 设 A,=命 中 第 i 仓 库(i=1,2,3)则 P(A)=0.01,P(A2)=0.02,P(4)=0.03,根 据 题 意 4=4 U A 2 U A 3(其 中 A，A2A3两 两 互 不 相 容)故 P(A)=P(A)+P(A2)+P(A3)=0.01+0.02+0.03=0.06所 以 P(彳)=1-P(A)=1-0.06=0.94即 飞 机 投 一 弹 没 有 命 中 仓 库 的 概 率 为 0.9414.某 市 有 50%住 户 订 日 报，有 65%的 住 户 订 晚 报，有 85%的 住 户

13、至 少 订 这 两 种 报 纸 中 的 一 种，求 同 时 订 这 两 种 报 纸 的 住 户 的 百 分 比 解：设 4=用 户 订 有 日 报,B=用 户 订 有 晚 报，则 A U B=用 户 至 少 订 有 日 报 和 晚 报 一 种,A 8=用 户 既 订 日 报 又 订 晚 报,已 知 P(A)=0.5,P(B)=0.65,P(A U B)=0.85,所 以 P(4B)=P(A)+P(B)-P(A U B)=0.5+0.65-0.85=0.3即 同 时 订 这 两 种 报 纸 的 住 户 的 百 分 比 为 30%15.一 批 零 件 共 100个，次 品 率 为 10%,接 连

14、两 次 从 这 批 零 件 中 任 取 一 个 零 件，第 一 次 取 出 的 零 件 不 再 放 回，求 第 二 次 才 取 得 正 品 的 概 率。解：设 4=第 一 次 取 得 次 品,B=第 二 次 取 得 正 品,则 A8=第 二 次 才 取 得 正 品,又 因 为 P(A)=9,P(B|A)=,则 100 1 99P(A B)=P(A)P(%)=小 筹 0.090916.设 随 机 变 量 4、B、C两 两 独 立，4 与 8 互 不 相 容.已 知 P(B)=2P(C)0且 P(8 U C)=2,求 P(A U B).8解：依 题 意 P(AB)=O且 P(4B)=P(A)P(B

15、),因 此 有 P(A)=O.又 因 P(B+C)=P(B)+P(C)-P(B)P(C)=3P(C)-2P(C)2 解 方 程 82P(C)2-3P(C)+-=08P(C)=1,P(C)=!舍 去 nP(B)=1，P(4 UB)=P(4)+尸(B)-P(AB)=P(B)=0.5.4 4 217.设 A 是 小 概 率 事 件，即 尸(A)=是 给 定 的 无 论 怎 么 小 的 正 数.试 证 明：当 试 验 不 断 地 独 立 重 复 进 行 下 去，事 件 4 迟 早 总 会 发 生(以 概 率 1 发 生).解：设 事 件 A,一 第 i 次 试 验 中 A 出 现(/=1,2,-,),

16、/P(A,)=,P(4)=l-,(，=1,2-,)，二 次 试 验 中，至 少 出 现 A 一 次 的 概 率 为 P(AIU A2U-U A)=I-P(X J J A T I P T M；)=1 尸(%工 工)=1-P(Q-P(五)P(An)(独 立 性)=l-(l-f)n limP(A1 U&U U A,)=1,证 毕.n 818.三 个 人 独 立 地 破 译 一 密 码，他 们 能 单 独 译 出 的 概 率 分 别 是！，5 3 4求 此 密 码 被 译 出 的 概 率。解:设 A,B,C 分 别 表 示 第 一、二、三 人 译 出 密 码,D 表 示 密 码 被 译 出,则 P(。

17、)=P(A U 8 uC)=1-P(A U 8 U C)-4 2 3 3=1-P(ABC)=1-P(A)P(8)P(C)=1-.-.-=-.5 3 4 51 9.求 下 列 系 统(如 图 所 示)的 可 靠 度，假 设 元 件，的 可 靠 度 为 化，各 元 件 正 常 工 作 或 失 效 相 互 独 立(2)解：(1)系 统 由 三 个 子 系 统 并 联 而 成，每 个 子 系 统 可 靠 度 为 PlP2P3，从 而 所 求 概 率 为 l-(l-p,p2/?3)3；(2)同 理 得 20.三 台 机 器 相 互 独 立 运 转，设 第 一，第 二，第 三 台 机 器 不 发 生 故

18、障 的 概 率 依 次 为 0.9,0.8,0.7,则 这 三 台 机 器 中 至 少 有 一 台 发 生 故 障 的 概 率.解：设&一 第 一 第 三 台 机 器 发 生 故 障，A2一 第 一 第 三 台 机 器 发 生 故 障，&一 第 一 第 三 台 机 器 发 生 故 障，。一 三 台 机 器 中 至 少 有 一 台 发 生 故 障，则/(AI)=0.1,P(A2)=0.2,P(A3)=0.3,故 尸(。)=尸(A U B U C)=1 P(AU-UC)=1-P(A B C)=1-P(A)P(F)P(C)=1-0.9 X0,8X0,7=0.49621.设 A、3 为 两 事 件，P

19、(A)=0.7,P(8)=0.6,P(%)=0.4,求 尸(AU8).解：由 P(%)=0.4得=0.4,P(AB)=0.12,:.P(AB)=P(B)-P(A B)=0.48,P(A)P(A U8)=P(A)+P(8)P(A8)=0.82.22.设 某 种 动 物 由 出 生 算 起 活 到 20年 以 上 的 概 率 为 0.8,活 到 25年 以 上 的 概 率 为 0.4.问 现 年 20岁 的 这 种 动 物，它 能 活 到 25岁 以 上 的 概 率 是 多 少？解：设 A 某 种 动 物 由 出 生 算 起 活 到 20年 以 上，P(A)=0.8,8 某 种 动 物 由 出 生

20、 算 起 活 到 25年 以 上，P(B)=0.4,则 所 求 的 概 率 为尸()=尸%=常=瑞 嗡=。52 3.某 地 区 历 史 上 从 某 年 后 3 0 年 内 发 生 特 大 洪 水 的 概 率 为 80%,4 0 年 内 发 生 特 大 洪 水 的 概 率 为 85%,求 已 过 去 了 3 0 年 的 地 区 在 未 来 10年 内 发 生 特 大 洪 水 的 概 率。解：设 4 某 地 区 后 3 0 年 内 发 生 特 大 洪 灾，P(A)=0.8,B 某 地 区 后 40年 内 发 生 特 大 洪 灾，P(8)=0.85,则 所 求 的 概 率 为 0=1 一 皿 P(A

21、)尸(A)*2 524.设 甲、乙 两 袋，甲 袋 中 有 2 只 白 球，4 只 红 球；乙 袋 中 有 3 只 白 球，2 只 红 球.今 从 甲 袋 中 任 意 取 一 球 放 入 乙 袋 中，再 从 乙 袋 中 任 意 取 一 球。1)问 取 到 白 球 的 概 率 是 多 少？2)假 设 取 到 白 球，问 该 球 来 自 甲 袋 的 概 率 是 多 少？解：设 A：取 到 白 球，B：从 甲 球 袋 取 白 球 _ _ 7 4 4 31)P(A)=P(A/B)P(8)+P(A/8)P(B)+-二=5/96 6 6 62 R P C 爪 笔*嗡=2/525、一 批 产 品 共 有 1

22、0个 正 品 和 2 个 次 品，任 取 两 次，每 次 取 一 个，抽 出 后 不 再 放 回，求 第 二 次 抽 出 的 是 次 品 的 概 率.解：设 用 表 示 第 i次 抽 出 次 品,(i=1,2),由 全 概 率 公 式 26.一 批 晶 体 管 元 件，其 中 一 等 品 占 95%,二 等 品 占 4%,三 等 品 占 1%,它 们 能 工 作 500/1的 概 率 分 别 为 90%,80%,70%,求 任 取 一 个 元 件 能 工 作 500万 以 上 的 概 率.解：设 8,=取 到 元 件 为 i等 品(i=l,2,3),A=取 到 元 件 能 工 作 500小 时

23、 以 上 则 P(B,)=95%,P(B2)=4%,P(B3)=1%2%)=9 0%,P%)=8 0%,P%)=70%所 以 P(A)=P(8 1)P(/J+P(82)P(,)+P(B3)P(%3)=95%-90%+4%-80%+1%70%=0.89427.某 药 厂 用 从 甲、乙、丙 三 地 收 购 而 来 的 药 材 加 工 生 产 出 一 种 中 成 药，三 地 的 供货 量 分 别 占 40%,35%和 25%,且 用 这 三 地 的 药 材 能 生 产 出 优 等 品 的 概 率 分 别 为 0.65,0.70和 0.85,求 从 该 厂 产 品 中 任 意 取 出 一 件 成 品

24、 是 优 等 品 的 概 率.如 果 一 件 产 品 是 优 质 品，求 它 的 材 料 来 自 甲 地 的 概 率 解：以 鼻 分 别 表 示 抽 到 的 产 品 的 原 材 来 自 甲、乙、丙 三 地，A=抽 到 优 等 品,则 有:P(6,)=0.4,尸(为)=0.35,P(4)=0.25,尸%)=0.65,/)=0.7,P(%J=0.85所 求 概 率 为 P(A).由 全 概 率 公 式 得:=0.65 x 0.4+0.7 x 0.35+0.85 x 0.25=0.7175.P(g|A)_ P(Bl)P(A lg,)_ 0.26P(A)P(A)-0.7175=0.362428.用 某

25、 种 检 验 方 法 检 查 癌 症，根 据 临 床 纪 录，患 者 施 行 此 项 检 查，结 果 是 阳 性 的 概 率 为 0.95；无 癌 症 者 施 行 此 项 检 查，结 果 是 阴 性 的 概 率 为 0.90.如 果 根 据 以 往 的 统 计,某 地 区 癌 症 的 发 病 率 为 0.0005.试 求 用 此 法 检 查 结 果 为 阳 性 者 而 实 患 癌 症 的 概 率.解：设 A=检 查 结 果 为 阳 性,B=癌 症 患 者.据 题 意 有 尸(%)=095,P(%)=090,P(B)=0.0005,所 求 概 率 为 P(%).P(%)=0.10,尸(万)=0.

26、9995.由 Bayes 公 式 得 产(%)=P P(%)0.0005x0.950.0005x0.95+0.9995x0.10=0.0047=0.47%29.3 个 射 手 向 一 敌 机 射 击，射 中 的 概 率 分 别 是 0.4,0.6和 0.7.如 果 一 人 射 中，敌 机 被 击 落 的 概 率 为 0.2；二 人 射 中，被 击 落 的 概 率 为 0.6；三 人 射 中 则 必 被 击 落.(1)求 敌 机 被 击 落 的 概 率；(2)已 知 敌 机 被 击 落，求 该 机 是 三 人 击 中 的 概 率.解:设 A=敌 机 被 击 落,B；=i个 射 手 击 中,i=l

27、,2,3.则 BI，BD，BQ 互 不 相 容.由 题 1 I 4 J意 知：P(%)=0.2,P(%)=0.6,P(%3)=%由 于 3 个 射 手 射 击 是 互 相 独 立 的，所 以 P(BJ=0.4 x 0.4 x 0.3+0.6 xO.6xO.3+O.6x 0.4 x 0.7=0.324P(B2)=0.4X 0.6 x 0.3+0.4x0.7x 0.4+0.6 x 0.7 x 0.6=0.436P(B3)=0.4X0.6X0.7=0.168因 为 事 件 A 能 且 只 能 与 互 不 相 容 事 件 B1,B9,Bq之 一 同 时 发 生,于 是(1)由 全 概 率 公 式 得

28、3P(A)=P(B,)P(A I 与)=0.324X0.2+0.436x0.6+0.168x 1=0.4944i=l(2)由 Bayes公 式 得 p回=P区)P 与.P(幻 P(AI 瓦)i=l0.1680.4944=0.34.30.某 厂 产 品 有 70%不 需 要 调 试 即 可 出 厂，另 30%需 经 过 调 试，调 试 后 有 80%能 出 F,求(1)该 厂 产 品 能 出 厂 的 概 率；(2)任 取 一 出 厂 产 品 未 经 调 试 的 概 率.解：4 需 经 调 试 A 不 需 调 试 B 出 J则 P(A)=30%,P(A)=70%,PB I A)=80%,PB I

29、A)=1(1)由 全 概 率 公 式：P(3)=P(A)-P(%)+P(彳)(%)=30%x 80%+70%x 1=94%.(2)由 贝 叶 斯 公 式：.(%)=.(彳 8)二 尸(彳)尸()/B P(B)94%9431.进 行 一 系 列 独 立 试 验，假 设 每 次 试 验 的 成 功 率 都 是 p,求 在 试 验 成 功 2 次 之 前 已 经 失 败 了 3 次 的 概 率.解：所 求 的 概 率 为 4P2(1-p)3.32.1 0 个 球 中 有 一 个 红 球，有 放 回 地 抽 取，每 次 取 一 球，求 直 到 第 次 才 取 次(4)红 球 的 概 率。解：所 求 的

30、 概 率 为 33.灯 泡 使 用 寿 命 在 1000h以 上 的 概 率 为 0.2,求 3 个 灯 泡 在 使 用 1000h后，最 多 只 有 一 个 坏 了 的 概 率。解：由 二 项 概 率 公 式 所 求 概 率 为6(0)+6(1)=0.23+C；(0.2)2.0.8=0.10434.(B a n a c h 问 题)某 人 有 两 盒 火 柴，每 盒 各 有 根，吸 烟 时 任 取 一 盒，并 从 中 任 取 一 根，当 他 发 现 有 一 盒 已 经 用 完 时，试 求：另 一 盒 还 有 r根 的 概 率。解：设 试 验 E一 从 二 盒 火 柴 中 任 取 一 盒，A

31、一 取 到 先 用 完 的 哪 盒，P(A)=-,2则 所 求 概 率 为 将 E 重 复 独 立 作 次 A 发 生 次 的 概 率，故 所 求 的 概 率 为 心,一()=4D T-i t第 一 早 思 考 题 1.随 机 变 量 的 引 入 的 意 义 是 什 么？答：随 机 变 量 的 引 入，使 得 随 机 试 验 中 的 各 种 事 件 可 通 过 随 机 变 量 的 关 系 式 表 达 出 来,其 目 的 是 将 事 件 数 量 化，从 而 随 机 事 件 这 个 概 念 实 际 上 是 包 容 在 随 机 变 量 这 个 更 广 的 概 念 内.引 入 随 机 变 量 后,对

32、随 机 现 象 统 计 规 律 的 研 究，就 由 对 事 件 及 事 件 概 率 的 研 究 转 化 为 随 机 变 量 及 其 取 值 规 律 的 研 究，使 人 们 可 利 用 数 学 分 析 的 方 法 对 随 机 试 验 的 结 果 进 行 广 泛 而 深 入 的 研 究.随 机 变 量 概 念 的 产 生 是 概 率 论 发 展 史 上 的 重 大 事 件，随 机 事 件 是 从 静 态 的 观 点 来 研 究 随 机 现 象，而 随 机 变 量 的 引 入 则 变 为 可 以 用 动 态 的 观 点 来 研 究.2.随 机 变 量 与 分 布 函 数 的 区 别 是 什 么？为

33、什 么 要 引 入 分 布 函 数？答：随 机 变 量 与 分 布 函 数 取 值 都 是 实 数，但 随 机 变 量 的 自 变 量 是 样 本 点，不 是 普 通 实 数，故 随 机 变 量 不 是 普 通 函 数，不 能 用 高 等 数 学 的 方 法 进 行 研 究，而 分 布 函 数 一 方 面 是 高 等 数 学 中 的 普 通 函 数，另 一 方 面 它 决 定 概 率 分 布，故 它 是 沟 通 概 率 论 和 高 等 数 学 的 桥 梁，利 用 它 可 以 将 高 度 数 学 的 方 法 得 以 引 入.3.除 离 散 型 随 机 变 量 和 连 续 型 随 机 变 量，还

34、有 第 三 种 随 机 变 量 吗？答：有，称 为 混 合 型.例：设 随 机 变 量 X U0,2,令 则 随 机 变 量 y=g(x)既 非 离 散 型 又 非 连 续 型.事 实 上，由 y=g(X)的 定 义 可 知 y 只 在 0,1上 取 值，于 是 当 y 0 时，Fr(y)=0；时，FY(y)=1；当 0 W y l 时，4(y)=P(g(X)y)=P(X)=3于 是0,y0;Fr(y)=,Oy 0,若 用 X 表 示 灯 泡 的 寿 命(小 时)，则 X 是 定 义 在 样 本 空 间 Q=rlf 20上 的 函 数，即 X=X(r)=r是 随 机 变 量.2.一 报 童 卖

35、 报，每 份 0.15元，其 成 本 为 0.10元.报 馆 每 天 给 报 童 1000份 报，并 规 定 他 不 得 把 卖 不 出 的 报 纸 退 回.设 X 为 报 童 每 天 卖 出 的 报 纸 份 数，试 将 报 童 赔 钱 这 一 事 件 用 随 机 变 量 的 表 达 式 表 示.解：报 童 赔 钱=卖 出 的 报 纸 钱 不 够 成 本,而 当 0.15 X 1000X 0.1时，报 童 赔 钱，故 报 童 赔 钱=X 6663.PX X)=1-a 其 中 再 右 2,求 PX1 4 X(马 解：Pxx X x2=PX x2-PX%)=PX x2-PX 2xJ|=l-a-尸.

36、0,x 04.设 随 机 变 量 X 的 分 布 函 数 为 尸(X)=(X2,0 4 X 1试 求(1)P X 4；(2)p|-l X|(3)P g解：P X W245.5 个 乒 乓 球 中 有 2 个 新 的，3 个 旧 的，如 果 从 中 任 取 3 个，其 中 新 的 乒 乓 球 的 个 数 是 一 个 随 机 变 量，求 这 个 随 机 变 量 的 概 率 分 布 律 和 分 布 函 数，并 画 出 分 布 函 数 的 图 形.解：设 X 表 示 任 取 的 3 个 乒 乓 球 中 新 的 乒 乓 球 的 个 数，由 题 目 条 件 可 知，X 的 所 有 可 能 取 值 为 0,

37、1.2,：PX=0=与=，,尸 X=1=色，PX=2=-=10 C/10 C/10.随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 律 如 下 表 所 示：由 尸(x)=Z l 可 求 得 F(x)如 下:4 0X 0 1 2P 0.1 0.6 0.30F(x)=PX=0PX=0+PX=1PX=0+尸 X=1+PX=2,0 xl 外,lx 20,x0o0.1,0 x 10.7,l x 2形 如 图 所 示.6.某 射 手 有 5 发 子 弹，射 击 一 次 命 中 率 为 0.9,如 果 他 命 中 目 标 就 停 止 射 击，命 不 中 就一 直 射 击 到 用 完 5 发 子 弹，求 所 用 子

38、弹 数 X 的 概 率 分 布 解：X 1 2 3 4 5p 0.9 0.09 0.009 0.0009 0.00017.一 批 零 件 中 有 9 个 合 格 品 与 3 个 废 品，安 装 机 器 时，从 这 批 零 件 中 任 取 一 个，如 果 每 次 取 出 的 废 品 不 再 放 回，求 在 取 出 合 格 品 之 前 已 取 出 的 废 品 数 的 分 布 律.解：设 兄=笫 次 取 得 废 品,4=第 次 取 得 合 格 品,由 题 意 知，废 品 数 X 的 可 能 值 为 0,1,2,3,事 件 X=0 即 为 第 一 次 取 得 合 格 品，事 件 X=l 即 为 第 一

39、 次 取 出 的 零 件 为 废 品，而 第 二 次 取 出 的 零 件 为 合 格 品，于 是 有 9P X=0=P(A,)=0.7 5，2 X=1=P(AXA2)=尸 132尸 X=2=尸(%工 43)=?(区 2_12 TT9T o9=-b 0.0409220尸 X=3=尸(A 1 A 2 A3A4)=P(以 3122T T1 9 _ 1To 9-220 0.0045所 以 X 的 分 布 律 见 下 表 X 0 1 2 3p 0.75 0.2045 0.0409 0.00458.从 1-10中 任 取 一 个 数 字，若 取 到 数 字 i(i=l10)的 概 率 与 i成 正 比，即

40、 P(X 0ki i=l,2,-JO，求 一.10解：由 条 件-i=1,2,10,由 分 布 律 的 性 质 Z P,=1,应 有=!10=1 4=9.已 知 随 机 变 量 X 服 从 参 数 2=1的 泊 松 分 布，试 满 足 条 件 P X N=0.01的 自 然 数 N.解：因 为 X P,px y=0.01 所 以 px 4N=1-Px N=0.99从 而Npx 7V=0.99k=o k!查 附 表 得 N=410.某 公 路 一 天 内 发 生 交 通 事 故 的 次 数 X 服 从 泊 松 分 布，且 一 天 内 发 生 一 次 交 通 事 故 的 概 率 与 发 生 两 次

41、 交 通 事 故 的 概 率 相 等，求 一 周 内 没 有 交 通 事 故 发 生 的 概 率.e t e K,解：设 X P(，由 题 意：P(X=1)=P(X=2),4=分，解 得 4=2,所 求 的 概 率 即 为 2尸(X=0)=2=e-2.0!11.一 台 仪 器 在 10000个 工 作 时 内 平 均 发 生 10次 故 障，试 求 在 100个 工 作 时 内 故 障 不 多 于 两 次 的 概 率.解：设 X 表 示 该 仪 器 在 100个 工 作 时 内 故 障 发 生 的 次 数，X-B(100,),所 求 1000的 概 率 即 为 P(X=0),P(X=1),尸(

42、X=2)三 者 之 和.而 100个 工 作 时 内 故 障 平 均 次 数 为=lOOx 一=0.1,根 据 Poisson分 布 的 概 率 分 布 近 似 计 算 如 下：10000 1 2P(X+-e-f,+e=0.90484+0.09048+0.00452=0.999840!1!2!故 该 仪 器 在 100个 工 作 时 内 故 障 不 多 于 两 次 的 概 率 为 0.99984.12.设 X U2,5,W X 进 行 三 次 独 立 观 察，试 求 至 少 有 两 次 观 察 值 大 于 3的 概 率.J.?r 3),则 p=P，令 丫 表 示 三 次 重 复 独 0，其 余

43、 3立 观 察 中 A 出 现 次 数，则 丫 8(3彳)，故 所 求 概 率 为 眇 啕 噜 13.设 某 种 传 染 病 进 入 一 羊 群，已 知 此 种 传 染 病 的 发 病 率 为 2/3,求 在 50头 已 感 染 的羊 群 中 发 病 头 数 的 概 率 分 布 律.解：把 观 察 一 头 羊 是 否 发 病 作 为 一 次 试 验，发 病 率 p=2/3,不 发 病 率 q=1/3,由 于 对 5 0头 感 染 羊 来 说 是 否 发 病，可 以 近 似 看 作 相 互 独 立，所 以 将 它 作 为 5 0次 重 复 独 立 试 验，设 50头 羊 群 中 发 病 的 头

44、数 为 X,则 X X 6(5 0,2/3),X 的 分 布 律 为 px(A=0,1,2,50)2x 0Vx，用 y 表 示 对 x 的 0,其 它 3 次 独 立 重 复 观 察 中 事 件 X 4；出 现 的 次 数，求 Py=2.I1 2 1解：Y B(3,p),p=PX 015.已 知 X 的 概 率 密 度 为/(幻=；,试 求：(1)、未 知 系 数 4；(2)、X 的 分 布 函 数 尸(x)；(3)、X 在 区 间(0)内 取 2值 的 概 率.,+00)2解(1)由(ax2eZxdx=1,解 得=.Jo 2(2)F(x)=P(X 0 时,尸(x)=ax2 e-Axdx=1-

45、(22%2+2Ax+2),Jo 2 F(x)=(3)P(0 X)=F()-F(0)=l-16.设 X 在(1,6)内 服 从 均 匀 分 布，求 方 程/+X x+l=0有 实 根 的 概 率.4解：“方 程 x2+Xx+l=0 有 实 根”即 X 2,故 所 求 的 概 率 为 PX 2)=-.17.知 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N(a,a2),且 V=+服 从 标 准 正 态 分 布 N(0,1),求 a,b.解：由 题 意 1+6=0a-a=解 得：a,b 18.已 知 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 2 的 指 数 分 布，且 X 落 入 区 间(1,2)内

46、的 概 率 达 到 最 大，求 人 令 解：P(1 X 1)-尸(X 2)=e-e-2，=g(4)，令 g(2)=0,即-2 e=0,即 1-2=0,A=ln2.19.设 随 机 变 量 X N(1,4),求 尸(0 V X 1.6),P(X 1).()-1 6-1解：P(0 X 1.6)-P(-X)2 21 6-1 0-1=(-)-0()=0.30942 21-1P(X 1)=0()=D(0)=0.5.220.设 电 源 电 压 X N(220,252),在 X 4 200,200 2 4 0电 压 三 种 情 形 下，电 子 元 件 损 坏 的 概 率 分 别 为 0 1,0.0 0 1,

47、0.2,求：(1)该 电 子 元 件 损 坏 的 概 率 a；(2)该 电 子 元 件 损 坏 时，电 压 在 200 240伏 的 概 率 夕.解：设-=(X 4200),&=(200 240),。一 电 子 元 件 损 坏，则(1).4 4,4 完 备,由 全 概 率 公 式 今 尸(A)=200-22025=0)(-0.8)=1-0(0.8)=0.212,同 理 尸(4)=(0.8)-(-0.8)=2(0.8)-1=0.576,P(A,)=1-0.212-0.576=0.212,从 而 a=P(O)=0.062.（2）由 贝 叶 斯 公 式 P(C)21.随 机 变 量 X 的 分 布

48、律 为 X-2-1 0 1 3p15 6 51151130求 y=x 2 的 分 布 律 X20 1 4 9p57305113022.变 量 X 服 从 参 数 为 0.7的 0 1 分 布，求 X,及 X?-2 X 的 概 率 分 布.解.X 的 分 布 为 X 0 1P 0.3 0.7易 见，X?的 可 能 值 为 0 和 1；而 X?-2 X 的 可 能 值 为-1和 0,由 于 PX2=u=PX=u（M=o,l）,可 见 X?的 概 率 分 布 为:X20 1p 0.3 0.7由 于 PX2-2X=-l=PX=1=Q7,PX2-2X=0=PX=0=0.3,可 得 X?-2X 的 概 率

49、 分 布 为 X2-2X-1 0p 0.7 0.323.X 概 率 密 度 函 数 为 二-，求 y=2 X 的 概 率 密 度 函 数 九（y）.7T（1+X）解：y=2 x 的 反 函 数 为 x=上，代 入 公 式 得 万（y）=/x（工）（工）=-J-2 2 2 7r（4+y）24.设 随 机 变 量 X U0,2,求 随 机 变 量 y=X2在（0,4）内 概 率 密 度 九（y）.解 法 一（分 布 函 数 法）当 y 4 时 5（y）=l,当 0 y 4 4 时,入(y)=P(x W=Fx(从 而 fy(y)=-良 余 解 法 二（公 式 法）y=/在（0,2）单 增，由 于 反

50、 函 数 x=J 7 在（，4）可 导，入.=；2jy从 而 由 公 式 得/,（）.）=卜 木=木 岭 0，其 余 25.八 0=求 丫=、的 密 度.0,x l,当 y l 时，4 3=P（X In y）=Fx（In y）,fx 0ny)(=,力(y)=1y y，y si解 法 二（公 式 法）y=e、的 值 域（l,+oo）,反 函 数 x=Iny,故 4（y）J 0）眄）力=+/10,y 126.设 随 机 变 量 X 服 从（0,1）上 的 均 匀 分 布，分 别 求 随 机 变 量 丫=6乂 和Z=|lnX|的 概 率 密 度。(y)和/z(z).解：X 的 密 度 为/(x)=1