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1、湖北师范学院数学与统计学院2014届学士学位论文编号 研究类型理论研究 分类号 O17 学士学位论文（设计）Bachelors Thesis论文题目傅里叶分析及其应用目 录1前言12傅里叶级的计算52.1 三角函数系52.2 傅里叶级数的计算103傅里叶级数收敛定理193.1傅里叶级数收敛定理193.2傅里叶级数收敛定理的应用204傅里叶级数展开式的计算284.1傅里叶级数展开式的一般计算29 4.2傅里叶级数展开式的简便算法 4.3傅里叶展开式的一些别的方法 5.Fourier级数的应用 6.复数型的Fourier级数 傅里叶分析及其应用摘要: 生物质的快速热解是一种新型生物能源转化技术。其
2、主要产物生物油可以取代传统矿物能源作为燃料,也可作为原料合成具有特殊用途的化工产品。本文主要介绍了快速热解的基本原理与技术特征,介绍了不同类型反应器的结构特征,总结了反应工艺要求,综述了生物油的潜在应用领域。以实际废弃木材的快速热解说明了该技术在污染生物质处理中的潜在应用。关键词: 傅里叶分析；傅里叶级数；傅里叶展开式Review on Fast Pyrolysis of Biomass Forbiooll Abstract : Fast pyrolysis of biomass for biooil is a kind of new technology of energy conversi
3、on which attracts grow ing research rapidly. Bio-oilcan replacetraditional mineralfuelsor beusedasraw materialtoproducespecialchemi cals such as slow releasing fertilizers. In the present article, the principle, characteristics, reactors, and special require ments for the fast pyrolysis of biomass w
4、ere reviewed. The potential application fields of bio-oil were summarized. A practical study show edthe application of this technology on waste wood and indicated the potential application of this approach to control contaminations. Keywords : fast pyrolysis; biomass; bio-oil 傅里叶分析及其应用1前言傅里叶分析是分析学中的
5、一个重要分支，在数学史上，虽然早在18世纪初期，有关三角级数的论述已在D.Bernoulli,DAlembert,L.Euler等人的工作中出现，但真正重要的一步是由法国数学家J.Fourier迈出的。Fourier分析在概念和方法上对其他数学分支的发展给予了深刻的影响，数学中很多重要的思想和理论都与Fourier分析的发展密切相关.1807年，傅里叶断言“任意函数”都能被表示为正弦函数和余弦函数的线性组合，这使他同时代的某些人大吃一惊。这些现在称之为傅里叶级数的线性组合在对物理学和工科学中研究的一些中期现象（如摆动，以及行星及波的运动）的分析中，已经变成了必不可少的工具.2傅里叶级数 因为对
6、给定函数，总可以把它延拓成为实轴上周期为的函数，而且使得它在每个长为的区间上可积，所以今后常讨论周期可积函数，我们记 ，用表示在T上可积，并且以为周期的函数全体。又用表示在实轴上连续且以为周期的函数全体. 2.1三角函数系 1我们称级数+ （1.1）为实型三角级数，其中，()是实数列，又称级数 （1.2）为复型三角级数，其中（）是复数列，与（） 称为相应的三角级数的系数.函数系 （1.3） 称为三角函数系，因为，所以也称函数系（）为三角函数系(复的形式).三角函数系具有以下特性：（1）周期性 三角函数系中的函数都以为周期.（2）正交性 它们在长度为的任意区间上组成正交函数系，即有 （） （3）
7、完全性 若有，它在T上与三角函数系（1.3）中的每个函数正交，则，a.e.于T（其证明见2.2节）.2.2傅里叶级数若给定函数，三角级数（1.1）的系数由以下公式给定 （1.5） (1.6)则称该三角级数为的（实型）Fourier级数，记为.(1.7) 其系数及分别称为的傅里叶余弦系数及傅里叶正弦系数，或统称为三角型傅里叶系数.傅里叶级数的n阶部分和为 傅里叶级数（1.7） 化为正弦级数 .先介绍Fourier系数的一些性质（1）设，且为的傅里叶系数，为的导函数的傅里叶系数，则（2） 设,且是T上的偶函数，那么， （3） 设,且是T上的奇函数，那么， 重要结论：若以为周期,或只在上有定义,则上
8、面系数公式里，应取区间此时若为偶（奇）函数,则若为偶（奇）函数且在上,有则若为偶（奇）函数且在上,有则以下定理说明了三角函数系的完全性.定理1.1设,若的一切Fourier系数为0,即,则证：我们只讨论为实值函数的情况.先证,为实值函数，并且对一切k,有 由此推论.如若不然，即,则必存在点，使得不妨设因为连续，则存在使得 ，.现考虑三角多项式它在I内严格大于1，取则存在,使得,而对一切x,.按假定的Fourier系数全为0，因此对任意三角多项式，必有.从而对一切 （1.7）容易得到 而当时 联合上述两个不等式，可得到 这与式（1.7）矛盾. .（2）设，对一切k，有作函数=则有易知F(x)绝对
9、连续，以为周期，记,令,则G(x)也是绝对连续函数,以为周期，并且有 =0.又有=f(x).即有.由前面(1)部分已证的结果，便知从而推论：若，有则于T.3Fourier级数的收敛性定理2 若级数收敛，则级数（1.7）在整个实轴上绝对收敛且一致收敛.在讨论傅里叶级数的收敛性之前, 我们先介绍抽样函数及其性质定义 所谓抽象函数是指与t之比所构成的函数,以符号表示，即= 性质（1）： 为了研究傅里叶级数的收敛性问题, 我们必须把傅里叶级数的部分和表示为含参变量的广义积分狄立克莱积分.设其中 傅里叶级数的部分和为= = 有三角公式= .当,有公式,当,则把右边理解为时的极限值,这一等式也成立,把它应
10、用到.经过验证知道,被积函数是的周期为T的函数,可以把积分区间换为,因此作代换,得 .在上述周期函数展开成傅里叶级数收敛性讨论中,只需要存在,对没有作其他限制，而存在只需要周期函数在区间可积且绝对可积即能满足存在.证明：如果周期函数在区间可积且绝对可积,则 , .所以有界,故存在.由上述分析可得, 周期函数 能展开成傅里叶级数且收敛的充分条件是: 周期函数 在一个周期区间可积和绝对可积.定理3 若以2为周期的函数在上按段光滑，则在每一点, 的傅里叶级数（1.7）收敛于在点x的左右极限的算术平均值,即= ,其中为的傅里叶系数.预备定理1 （贝塞尔不等式）若函数在上可积，则其中为的傅里叶系数.推论
11、1 若可积，则推论2 若为可积函数,则 设, .将右端的级数记成.它的部分和为= = = =2 其中 （13） 定理4 （）函数的傅里叶级数在一点处的收敛性质只与在任意小的邻域内的函数值有关. （）级数在点收敛于s的充分必要条件是对任一确定的有. 证：（）=2又,且为偶函数. (14)由此可知, 收敛于s的充分必要条件是上式右端的积分趋向于零. 由三角函数的公式得 对于,(14)式可改写成= + + =因在上有正上界，故在上可积，又在上可积，于是当时，都趋向于零, 即有. (15)由此可见,是否存在s使得收敛于s,取决于在上的值.（）与前面类似可推得 ,从而（）的结论成立.推论 设且,则,对一
12、切.定理5 若有S,对某个,使得下述积分为有限 ,式中由（13）给定,则级数在点收敛于S,即 .证明：令不难验证在上连续,从而有界.有预备定理1推论1,得(15)式可以改写成 （16）若定理条件成立,则再由预备定理1推论得,定理6 设在点的某个领域上是有界变差的,则Fourier级数在处收敛于,如果是的连续点,则级数收敛于.证明：因为在上是有界变差的,所以显然存在.令，则函数是上的有界变差函数，它可以表成两个增函数的差. 当时，我们记为，因为=0，所以总能取到增函数使得，从而在上非负.于是，任给，可取到，使得当时， 不妨设，对以上的可取到充分大的,使得当时,（16）式中的小于，把的表示式代入（
13、16）式，可得 对右端前两项用积分第二中值定理，有 （1）下证结论，存在常数，使得对于任意常数a,b,有 因为为偶函数，所以只需对于证明结论.首先，设，用积分第二中值定理，存在，使得 ，于是有其次，设有 其余情形这时有 故对（1）式，有 其中是结论中的常数.综上所述,得 ,即定理的结论成立.如果在点连续,那么上述4. 求傅里叶展开式4.1求傅里叶展开式的基本方法将上可积函数展为Fourier级数，最基本的方法是：（i）按系数公式计算系数. 其中（ii）将计算出的系数代入级数 （iii）根据收敛定理，判定可改为等号的范围.若在上分段光滑,有收敛定理知道当为上的连续点时，级数的和函数当为上的间断点
14、时，级数的和函数当时,级数的和函数对于其他情形，呈周期.例1 求在上的Fourier展开式.解：将改写成又为偶函数,且在上满足因此,其中 例2 设 (1) 将展开为正弦级数. (2) 写出和函数的表达式.解：（1）将作奇延拓到上,求开拓后的函数在上的Fourier级.此时 , 因开拓后的函数分段光滑,据收敛定理, .(2)级数和函数 当在外，由级数的和函数的周期性可得.4.2 Fourier展开式的一些别的方法例3 已知在上的Fourier展开式为 （1）试求函数在上的Fourier展开式.解：利用三角公式,由（1）得因所得级数当时一致收敛,故为Fourier展开式.又因所以展开式在时成立.例4 设有如下的Fourier级数：试证：将级数逐项乘以之后,可得的Fourier级数证：逐次乘以之后,利用三角公式可得= （记）此级数实为在上的Fourier级数.因为若用表示的Fourier系数，则=同理 .