《2021年全国高考乙卷数学(理)试题(解析版)(吉林).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年全国高考乙卷数学(理)试题(解析版)(吉林).pdf（33页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设 2（z+z）+3（z z）=4+6,，则 z=（）A.1-2/B.l+2z C.1 +z D.1-/【答案】C【解析】【分析】设2=。+，利用共物
2、复数的定义以及复数的加减法可得出关于。、匕的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数Z.【详解】设2=。+初,则 I =a初，则 2（z+z）+3（z-z）=4a+6友=4+6,，4。=4所以，,1 ,解得a=b=l,因此，z=l+i.6 b-6故选：C.2.已知集合5=卜 卜=2 +l,eZ,T=r=4 +l,”e Z ,则 S?T （）A.0 B.S C.T D.Z【答案】C【解析】【分析】分析可得T q S，由此可得出结论.【详解】任取f w T,则f=4+l=2（2）+l,其中所以，t&S,故T=S,因此，s n r=r.故选：c.3 .已知命题：H x e R,s i n x l,则
3、下列命题中为真命题的是()A.，八q B.-PM C.”f D.-i(pv q)【答案】A【解析】【分析】由正弦函数的有界性确定命题P的真假性，由指数函数的知识确定命题夕的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于s i n O=O,所以命题。为真命题；由于y =e，在R上为增函数，凶2 0,所以*i N e =l，所以命题夕为真命题；所以/7Aq为真命题，.P Af、-i(pv q)为假命题.故选：A.4 .设函数/(幻=上 三，则下列函数中为奇函数的是()1 +XA.f(x 1 1 B.1)+1 C./(x+1)-1 D./(元+1)+1【答案】B【解析】【分析】分别求出选项的函数解析式，再利
4、用奇函数的定义即可.1 -r?【详解】由题意可得/。)=丁一 二 一1 +，1 +X 1 +X2对于A,f(x 1)1 =2不是奇函数；x2对 于B,7(工-1)+1 =一是奇函数；X2对于C,/(x +l)-l=-2,定义域不关于原点对称，不是奇函数；x +22对于D,/(x +l)+l =-定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B【点 睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.5.在 正 方 体ABC。-中，p为 的 中 点，则 直 线 与A 所 成 的 角 为（）71 71 兀 兀A.-B.-C.-D.一2 3 4 6【答 案】D【解 析】【分 析】平 移 直 线
5、A。至3 G，将 直 线 依 与 所 成 的 角 转 化 为PB与 所 成 的 角，解三角形即可.【详 解】如图，连接因为所 以/B B C或 其补 角 为 直 线PB与所成 角，因为 8 4 _L 平面 4 用 G2,所以 B g L P G，又 P C J B R,8 4 c B i，=4，所 以PG _L平 面PB B 1,所 以P G，P 3,设 正 方 体 棱 长 为2,则BC,=2 0,P G=；D B=O ,sinZPfiC,=所 以N P 8 G=g.oC,2 6故选：D6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰 球 和 冰 壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配 到
6、1个项目，每 个 项 目 至 少 分 配1名志愿者，则 不 同 的 分 配 方 案 共 有（）A.60 种 B,120 种 C.240 种 D.480 种【答 案】C【解 析】【分 析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其 余 各 项 目 中 分 配1名志愿者，然后利用组合，排 列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有 种 选 法：然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!种，根据乘法原理，完成这件事，共有C；x4!=240种不同的
7、分配方案，故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.7.把函数y=/(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的3倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移工个单位长度，得到函数 =5抽(龙一 的图像，则./(%)=()【答案】B C 7 1D.sin 2x H-I 12【解析】【分析】解法一：从函数y=/(x)的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到y=/即得了=再利用换元思想求得 =/(x)的解析表达式;解法二：从函数y=sin|x (出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到y=/(x)的解析表达式.【详解】解法一：函
8、数y=/(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不变，得到y=/(2x)的图象，再把所得曲线向右平移？个单位长度，应当得到)，=/的图象，根据己知得到了函数y=sin X-?的图象，所 以/2 x-1=心4I 4；所以f(t)=s i呜+总，所以f(x)=s i n+:解法：:由已知的函数 =s i n第一步：向左平移3个单位长度，得到y =s i n x+?-?j =s i n(x+2 j的图象，(x 71 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y =s i n ,+五 的图象,即为 =/(x)的图象,所以/(x)=s i n-X-1-7-t-2 1 2故选
9、：B.78.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于一的概率为()47A.-92 3B.3 2D-IC【答案】B【解析】【分 析】设 从 区 间(0,1),。,2)中 随 机 取 出 的 数 分 别 为,则 实 验 的 所 有 结 果 构 成 区 域 为0=(x,y)|0 x l,l y 2 ,设 事 件A表 示 两 数 之 和 大 于:，则 构 成 的 区 域 为A =(x,y)|0 尤 1,1 y2,x+分别求出Q A对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出.【详解】如图所示:X设从区间(0,1),(1,2)中随机取出的数分别为x,y,则实验的所有结果构成区域为
10、O=(x,y)|0 x l,l y 2 ,其面积为$=1 x 1 =1 .设事件A表示两数之和大于(,则构成的区域为A=x,y)|0 x 1,1 y2,x +8,即图中的阴影1 3 2 3 S 2 3部分，其面积为SA=1 _ X：X：=,所以2 4 4 3 2%3 2故选：B.【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件。,4对应的区域面积，即可顺利解出.9.魏晋时刘徽撰写的 海岛算经是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高.如图，点E,H,G在水平线A C上，OE和F G是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，E G称为“表距“，GC
11、和 即 都 称为“表目距”，GC与七”的差称为 表目距的差”则海岛的高A B=()A.表高x表距表目距的差+表高B.表高x表距表目距的差一表回表高X表距表目距的差+表距D.表高x表距表目距的差【答案】A【解析】【分析】利用平面相似有关知识以及合分比性质即可解出.【详解】如图所示：EHDE EH FG CG由平面相似可知，一=,一=,而DE=FG,所以AB AH AB ACDE EH CG CG-EH CG-EH 工=-=-，而 CH=CE-EH=CG-EH+EG,AB AH AC AC-AHCH加 xo CG-EH+EG“EGxDE”即 AB=-xDE=-+DE=CG-EHCG-EH表高x表
12、距，主与表 目 距 的 差 表 2故选：A.【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出.1 0.设a/0,若x 为函数/(x)=a(x a)2(x。)的极大值点，则()A.ab C.ab a2【答案】D【解析】【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对，进行分类讨论，画出/(K)图象，即 可 得 到 所 满 足 的 关 系，由此确定正确选项.【详解】若。=匕，则/(x)=a(x 4)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故 b./(X)有 x=。和x=b 两个不同零点，且在x=a 左右附近是不变号，在 x=6 左右附近是变号的
13、.依题意,x=a 为函数=的极大值点，.在 左 右 附 近 都 是 小 于 零 的.当 0时，由x 6,/(x)0,画出/(x)的图象如下图所示:由图可知b a,a()时，由xb时，/(x)0,画出x)的图象如下图所示:由图可知b a,a 0,故出?4.综上所述，。人 /成立.故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.211.设B是椭圆C:j +a=1(。人 0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足IPS区2匕，则C的离心率的取值范围是()【答案】C【解析】【分析】设尸（知 儿），由3（0力），根据两点间的距离公式表示出|尸身，分类讨论求出|PB
14、|的最大值，再构建齐次不等式，解出即可.2 2【详解】设夕（七,九），由3（0,0）,因 为4 +4 =1-a2=b2+c2,所以a b、（v2 0，3 2,4P B=x l+（y0-b y =a2 1-2-/y0+a2+b2,D J D c J c因为一3为4。，当一二4。，即 b2 c2，P Bf=4 ,即=2 b,符合题意，由。22c，2C?I I max I max可得a222c2,即0 一匕，即。2c，2 时，P Bf=+a2+b2,即 与+/+4，化简得，（02-。2）240,C21 lmax c2 c2 显然该不等式不成立.故选：C.【点睛】本题解题关键是如何求出归却的最大值，利
15、用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值.12.设。=21nl.01,人=lnl.02,c=O 4-l.则（）A.a h cB.h c aC.h a cD.c a lnl.02=/?,所以/?；下面比较c与的大小关系.记 x)=21n(l+x)-Jl+4x+l,则/(0)=0,/(力=2 2 2(Jl+4 x-l-x1 +%Jl+4x(l+x)Vl+4%由于 l+4x(l+x)2x x2=x(2 x)所以当 0a0,即 Jl+4x(l+x),/(x)0,所以在 0,2上单调递增,所以/(0.01)/(0)=0,即 21nl.01 即 C;/、/、/、2 2 2(J
16、l+4x-1 -2x)令g(6=m”)一际i 则g(。”。,，(上意一血:；心)疝 由于 1 +4X-(1+2X)2=-4X2,在 0时,1+4X(1+2X0,所以 g(x)0,即函数 g(x)在 0,+oo)上单调递减，所以 g(0.01)g(0)=0,即 In 1.02 VL04 一 1,即 b c,综上，b c a,故选：B.【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数,利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13 .已知双曲线C:三-丁 二 联
17、 机o）的一条渐近线为Gx+2 y =0,则C的焦距为.m【答案】4【解析】【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出。力的关系，再结合双曲线中合1 2对应关系，联立求解“？，再由关系式求得。，即可求解.【详解】由渐近线方程J i x +m y =（）化简得），=-且 工，即 色=且，同时平方得*=三，又双曲线中m a m a nr/,=加,、=1,故二3 二上1，解得机=3,m=0 （舍去），/=2+从=3 +1 =4 =。=2,故焦距2 c =4.m m故答案为：4.【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.14 .已知向量a =（1,3）,5=（
18、3,4）,若（a 萩）则2=.3【答案】-【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出.【详解】因为2-萩=（1,3）-/1（3,4）=（1-3/1,3-4/1）,所以由可得，3（1-3/1）+4（3-4/1）=0,解得4=彳.3故答案为：.【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设1=（%,必）花=（工2，%），a-Lb a-h=0ox x2+yxy2=0,注意与平面向量平行的坐标表示区分.1 5 .记A B C的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,面积为百，B=6 0 ,a2+c2=3 ac 则力=.【答案】2夜【解析】【分析】由三角形面积
19、公式可得a c =4,再结合余弦定理即可得解.1 向【详解】由题意，S A/iC=acsin B=ac=6，A”2 4所以。c =4,c厂 +c?=1 2 ,所以。2 =+。2 -2accos5=12-2x4x=8,解得6=2及 （负值舍去）.故答案为：2 0.1 6.以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选 侧 视 图 和 俯 视 图 的 编 号 依 次 为 （写出符合要求的一组答案即可）.H2 H图图图【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.【详解】选择侧视图为，俯视图为,如图所示，长方体ABC。4 4 G
20、 2中，A8=8C=2,8瓦=1,分别为棱B ,B C的中点，则正视图，侧视图，俯视图对应的几何体为三棱锥E-A Z犷.故答案为：.【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系.三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分.1 7.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果9无22、三 士 至，则认为V
21、 1 0新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.【答案】7 =1 0 j =1 0.3,s；=0.0 36,s；=0.0 4；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.【解析】【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.（2）根据题目所给判断依据，结 合（1）的结论进行判断.、-9.8 +1 0.3+1 0 +1 0.2 +9.9+9.8+1 0+1 0.1 +1 0.2 +9.7 详解(1)x =-=1 0,1 0-10.1 +1 0.4+1 0.1 +1 0 +1 0.1 +1 0.3+1 0.6 +1 0.5 +1 0.4
22、+1 0.5y-=1 0.3,2 0.22+0.32+0 +0.22+0.12+0.22+0 +0.12+0.22+0.32,、.=-=0.0 36，1 00.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0 +0.32+0.22+0.12+0.22 八八，-=0.0 4.1 0(2)依题意，y-X =0.3=2 x 0.1 5 =2A/O.152=2 5/0.0 2 2 5 2 J0-030-0 4=2 /0.0 0 7 6 ,-,所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.，V 1 01 8.如图，四棱锥P ABCD的底面是矩形，底面A B C。，PD =D C=1,为的中点，且
23、（2）求二面角A-PM-B的正弦值.r V 70【答案】（1）V 2 ;（2）1 4【解析】【分析】（1）以点。为坐标原点，D A.D C、。尸所在直线分别为x、z轴建立空间直角坐标系，设B C =2 a,由 已 知 条 件 得 出 丽.磁 =0,求出。的值，即可得出8 C的长；（2）求出平面Q 4M、的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】（1）方法一:空间坐标系+空间向量法.P D _ L平面A 8 C。，四边形A B C。为矩形，不妨以点。为坐标原点，D4、D C、。户所在直线分别为x、y z轴建立如下图所示的空间直角坐标系。-孙z,设5 C =2 a,则0
24、（0,0,0）、P（0,0,l）、B（2 a,l,0）、M（a,l,0）、A（2 a,0,0）,则 丽=（2 a,l,-l）,A M （-a,1,0）,-.-PB AM，则 P 反而=一2/+1 =0，解得 q =也，故 B C =2a=血;2 方法二【最优解】：几何法+相似三角形法如图，连结8 0.因为P ）_ L底面ABCQ,且A u底面ABCO,所以F D _ L A W.又因为P B P D P,所以 A M _ L 平面又 B D u 平面P B D，所以A M _ L 8 D.p从而 ZADB+ZDAM=90.因为NM45+ND4M=9 0,所以NM4B=NADB.十 口 AD B
25、A所以于是=.AB BM所 以;BC2 =I.所以BC=J5.方法三:几何法+三角形面积法如图，联结BD交4 0于点N.由 方法二 知AN DA?在矩形ABC。中，有ADANS ABMN,所以=2,即AN=-AM.MN BM 3令 3 c=2 t 0),因为 M 为 BC 的中点，则 BM=f,=1，AM=yF+l-由=得/=；+1 ,解得一=g,所以 B C =2t=6.(2)方法一【最优解】：空间坐标系+空间向量法_ 2【解析】2 1 c 。22 3【分 析】（1）由 已 知+r =2得=有，且，取”=1,得 伉=：,由 题 意 得s b“2bn-1 22b,24 2h.2b2 h,（、不
26、吉 瓦二才；=”，消积得到项的递推关系2b：=才，进而证明数列也“是等差数列；3 ,n-l2（2）由（1）可得d的表达式，由此得到S”的表达式,然后利用和与项的关系求得为=.【详解】（1）方法一:2 1c 2句 1由已知不+7 =2得5“=可 广，且2 N O,b产 入3 .2 次 一1 2取 =1,由 E=4 得 4=,由于勿为数列 s.的前项积，2b,-1 2b2-l2 如 一 1 b“,由于2M工02 1 1所以毛 二！=，即 2 =5淇中e N*O1所以数列%是以=:为 首项，以4=彳为公差等差数列;方法二【最优解】：由已知条件知力=，S2-5 3 于是 2I=S52-S3 一S N2
27、).由得3=S”.2 1三又 不+丁=2,S“bn由得力“一%=；3令”=1,由 S 1 =4,得4=5.3 1所以数列 2 是以弓为首项，.为公差的等差数列.22 方法三:2 1 s由 不+丁=2,得b“=”,且S,尸0,。尸0,S,尸 1.o n On Zo-n Ztb 1又因为4 =S.5,1S,=S-bn_x,所以%=?=而 二5,所以c 1 c _ 1 1bn-bn t=-=-=-(n 2)1 2S-2 25-2 2(S-l)22 1 c 3在-+丁 =2 中，当=1 时，t,=S,=.S”bn 231故数列 4 是以彳为首项，g为公差的等差数列.2 2 方法四:数学归纳法21c c
28、 2”3 5,、3 1由已知不+彳=2,得5”=分，=|,仇=2,b.=-,猜想数列也 是以亍为首项，5为公差的等差数列，且2=g+L下面用数学归纳法证明.当”=1时显然成立.1 左+2假设当=%时成立，即4=%+l,S*=；.2 k+1那么当=攵+1 时，4+1=+=+=(女+i)+i.(2)2+2 2 2综上，猜想对任意的力11都成立.3 1即数列 2 是以不为首项，g为公差的等差数列.（2）Q1由（1）可得，数列 2 是以4=1为首项，以d =为公差的等差数列,S _ 2b _ 2 +2b-1 +3当 n=时，a,=S=-f22+n 1+n 1当时，4,=S_ S“_ =-=一一-百，显
29、然对于=1不成立，+n n+3 ,n=2i-1（+1）2 1c c 2d ,、【整体点评】（1）方法一从+=2得然后利用 的定义，得到数列 年 的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；b e 2 1c 1方法二先从久的定义，替换相除得到广=S“，再结合丁+7 =2得到 1=,从而证得结论，为*3 2 2最优解；2 1 S h 1方法三 由 不+7 =2,得以二彳7，由久的定义得也1=寸=;7,进而作差证得结论；方法四1%八 一，八 一 2利用归纳猜想得到数列2 =g +l，然后利用数学归纳法证得结论.（2）由（1）的结论得到勿=；+1,求得S“的表达式,然后利用和与项的关
30、系求得&的通项公式；20.设函数x）=ln（a-x）,已知x =O是函数y =V（x）的极值点.(1 )求 4；3 /尤+/(尤)(2)设函数 g(x)=，、.【答案】(1)。=1;(2)证明见详解【解析】【分析】(1)由题意求出y ,由极值点处导数为o 即可求解出参数。；(2)由(1)得 g(x)=%+ln(lx)x ln(l-x)x l 且xo O,分类讨论x e(O,l)和XW(YO,0),可等价转化为要证 g(x)x ln(l-x)在x e(O,l)和x e(oo,0)上恒成立，结合导数和换元法即可求解1 V-【详解】(1)由 x)=ln(a-x)=/,(x)=-,y =4(x)n V
31、=ln(a-x)+-，x-a x-a又=0是函数y =4(x)的极值点，所以y (O)=ln a =O,解得a =l；(2)方法一:转化为有分母的函数由(I )知，g(x)x +ln(l-x)x ln(l-x)品 +j其定义域为(一 8,。川(。,1).,、，1 1 ,1 ,1 X-要证g 1印 证 而 匚 +1即 证 氤 二(i )当x e(0,l)时，-1-0,0,0,即证l n(l x)，由(i )分析知尸(X)在区间I n(l-x)x x-l(-。,0)内为减函数，所以E(x)R(0)=0.综 合(i )(i i )有 g(x)1.方法二【最优解】：转化为无分母函数,、，、x+f(x)
32、x+l n(l x)由 得 小)=ln(I),由、)=刀=_d n(ly)，1 且，当 x e(O,l)时，要证g(x)=x：/l?0,l n(l-x)0,.,.x l n(l-x)x l n(l-x),化简得x +(1 _ 同 0 ；/、x+l n(l-x)/、z同理，当X(fo,0)时，要证g(x)=T;-凸 1，v x 0 ,.x l n(l-x)x l n(l-x),化简得x +(l-x)l n(l-x)。；令 (x)=x +(l-x)l n(l-R),再令lx,贝 x=-t,令 9 )=1 T +/I n/,r(r)=-1 +I nr 4-1 =I nr,当fe(O,l)时，0 (。
33、(1)=0；当时，(r)0,0。)单增，故(。0(1)=0；综上所述,g(x)=x+l n(l-x)x l n(l-x)1 在 X F,O)U(O,1)恒成立.方法三:利用导数不等式中的常见结论证明1 1 x令。(%)=1!1%(一1),因为“(*)=一一1 =-,所以9(X)在区间(0,1)内是增函数，在区间(L+R)内X X是减函数，所以。(x)K。=0,即I n x W x -1(当且仅当x =l 时取等号).故当x 01-X1 11 Y Y且 7 1,I n-1 ,即l n(l x)l n(l-x),所以1丁=1-7 即 +-1 所以g(x)-0,同理可证得g(x)v l.x-lx +
34、l n(l -x),、.综 合(i )(i i)得，当x v l 且xwO 时，7 昔 ，当x e(8,0)时，转化为证明l n(l x)，然后构造函数，利用导数研究单调性,X 1X 1进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当尤(0,1)时，x +(l-x)l n(l-A-)0成立和当X(F,0)时，x +(l-x)l n(l-x)0 成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数(x)=l nx-(x-1),利用导数分析单调性，证得常见常X用结论I nx W x 1 (当且仅当x =l时取等号).然后换元得到I n(l-
35、x)，分类讨论，利用不等式的X 基本性质证得要证得不等式，有一定的巧合性.2 1.已知抛物线C：f =2py(p ()的焦点为F，且尸与圆M:V+(y +4)2=l上点的距离的最小值为4.(1)求P；(2)若点P在M上，P A,是C的两条切线，A,B是切点，求 尸A B面积的最大值.【答案】(1)=2；(2)205【解析】【分析】(1)根据圆的几何性质可得出关于P的等式，即可解出P的值；(2)设点A(玉,y)、B(x2M、尸(五，九)，利用导数求出直线2 4、PB,进 一 步 可 求 得 直 线 的 方程，将直线A 8的方程与抛物线的方程联立，求出|A B|以及点P到直线A B的距离，利用三角
36、形的面积公式 结 合 二 次 函 数 的 基 本 性 质 可 求 得 面 积 的 最 大 值.详解】(1)方法一：利用二次函数性质求最小值由题意知，F l (),1,设圆M上的点(%,%),则%+(y 0 +4)2=l.所 以 片=l (y+4(5 W%W-3).因为一5 4为4一 3,所以当先=-3时，|F N|m i n又 0,解之得P=2,因此P=2.方法二【最优解】：利用圆的几何意义求最小值抛物线C的焦点为恒M|=+4,2 J 2所以，F与 圆 ：/+（丁 +4尸=1上点的距离的最小值为掾+4-1 =4,解得，=2；（2）方法一:切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法r2抛物线。的方
37、程为W=4 y,即丁=今，对该函数求导得；/=2，设点，（才0，人），直线B4的方程为y 匕=（x x j,即丁 二苦 一 切，即为工一2%一 2y=0,22同理可知，直 线 的 方 程 为 2%一2以一2）=0，由于点P为这两条直线的公共点,%尤。一2乂一2%=_2%-2%=0，所以，点A、8的坐标满足方程飞尤一2y 2%=0,所以，直线A8的方程为小了一2丁一2%=0,x0 x-2 y-2 yn=0联立，x2,可得 1 一2x（）x+4yo=0,I 4由韦达定理可得X|+工2 =2%0，占 工2 =4%,所以，|=J +仁）-J（X|+%）2 -4%|=5（玉：+4乂4-4%），xo-4y
38、o点P到直线AB的距离为d=,.，&+4所以，S&PAB=；|43卜 =；（片+4）（考一4,0）；,M=一4%）2,22yX0+4 2*-4%=1-（%+4）2-4%=-4-12%-15=-（为+6）2+21，1 3由已知可得一5 4%一3,所以，当 为=-5时，PAS的面积取最大值上x2（）2 =20石.2 方法二【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值同方法一得到内+=2X0,X,X2=4yo.过P作y轴的平行线交A 8于Q，则QIXO，-%Q&P A B=PQ-xt-x2=g(gx：-2%)也焉一 16yo=1(x-4yo尸.X)P点在圆M上，则1%=cos a,=-4+s
39、in a,qAPABi3 i 3 i 3=5(*一4%=(cos2 c)f-4sinez+16p=,-(sin a+2)?+21，.故当sina=-l时PAB的面积最大，最大值为20君.方法三:直接设直线AB方程法(2 (2 设切点A,8的坐标分别为4 xyr B X2,_T_I 4 7 k 4 7设L：y=Ax+b,联立航和抛物线C的方程得2 ,整理得/一以x 4人=0.x=4)，判别式=16攵2+1680，即公+b0，且玉+%=4左,2电=-4/7.Y Y抛物线C的方程为 2=4 y,即y=,有y=.可得点尸的坐标为P(七 生 ，牛J,即P(2%,-b).2 2 2则/pA：y ,=5(x
40、 x J 整理得y=5-x 菅，同理可得B：y=3尤 一，2与 为y=-x联立方程(2 4:y=-x7 x一 一X；2 4将点尸的坐标代入圆M的方程，得(2幻2+(-匕+4)2=1,整理得公J-.4由弦长公式得|AB|=Jl+K|xj-x2=Jl+公,J(F+)2 -4%/2=Jl+公 dlSk2+16 .2k2+2b点P到直线AB的距离为d=L /.VF7T所以S.PAB=g I AB I=；J16攵2 +16。+2司=4,(r =4 J，l-(Z7-4)2+。4.I f-Z?2+1 2 -1 5?卜其 中%=-b e -5,-3,即b w 3,5 .当。=5时，（5.8）2=206【整体点
41、评】（1）方法一利用两点间距离公式求得|FN|关于圆M上的点N（拓,）的坐标的表达式，进一步转化为关于%的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得，的值；方法二，利用圆的性质，b与圆M:Y+（y +4）2 =l上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解；（2）方法一设点4（%,%）、3（工2，%）、尸（不，凡），利用导数求得两切线方程，由切点弦方程思想得到直线A B的坐标满足方程xox-2 y-2 yo=O,然手与抛物线方程联立，由韦达定理可得芯+/=2%,xtx2=4ya,利用弦长公式求得|A3|的长，进而得到面积关于尸（毛，匕）坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于九 的二次函数最值问题
42、；方法二，同方法一得到玉+/=2%,玉 =4%,过户作y轴的平行线交A B于。，贝UQ玉），寸 凡.由司 求得面积关于（/，九）坐标的表达式，并利用三角函数换元求得面积最大值，方法灵活，计算简洁，为最优解；方法三直接设直线/八B：y =Ax +b,联立直线A B和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到+匕0,且 不+=4幺 芯/=一4/7.利用点P在圆”上，求得女功的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得P的坐标P（2 A,-力，进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于力的函数表达式，然后利用二次函数的性质求得最大值；（-）选考题，共 10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如
43、果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）2 2.在直角坐标系x O y中，OC的圆心为C（2），半径为1.（1）写出OC的一个参数方程；（2）过点尸（4,1）作OC的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.【答案】（1）x=2+co s ay =1 +s i n a,（a为参数）;正T(5广(2)psin +=2-和 psin +=2+【解析】【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程;（2）先求得过（4,1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.【详解】（1）由题意，O C的普通方程为（x-2
44、y+（y-l）2=l,所以O C的参数方程为x=2+cosa,(。为参数)y=1 +sin a（2）方法一:直角坐标系方法当直线的斜率不存在时，直线方程为x=4,此时圆心到直线的距离为2 r，故舍去.当切线斜率存在时，设其方程为丁=以 -4）+1,即 日 y 4左+1 =0.故=】即12止皿型+解得苧所以切线方程为y=(x-4)+1或y=-(x-4)+1.两条切线的极坐标方程分别为psinO=-pcosO+1和 夕sin 6二 夕cos夕+1 -0|.G 价 （c,1 0 6即 0 sin 6+=2-和夕 sin 0-=2+.k 6 J 2 k 6J 2 方法二【最优解】：定义求斜率法如图所示
45、，过点尸作0 c的两条切线，切点分别为A,B.在 b 中，tan NAFC=AF,又C尸x轴，所 以 两 条 切 线 的 斜 率 分 别 走 和-且.3 3 3故切线的方程为y=（x-4）+1，y=-程.（x_ 4）+1，这两条切线的极坐标方程为夕 s i n 8=pcos3-s/3 +1 和psinO -y-p co s +/3+1即 Q s i n（8+&=2 和夕 s i n j e+三=2+3.I 6 J 2 k 6；2【整体点评】（2）方法一：直角坐标系中直线与圆相切的条件求得切线方程，再转化为极坐标方程，方法二：直接根据倾斜角求得切线的斜率，得到切线的直角坐标方程，然后转化为极坐标
46、方程，在本题中巧妙的利用已知圆和点的特殊性求解，计算尤其简洁，为最优解.选修4-5：不等式选讲（10分）23.已知函数/（x）=|x-a|+|x+3.（1）当。=1时，求不等式/（同2 6的解集；（2）若/（尤）一 匹 求4的取值范围.【答案】（1）（,，川中收）.（2）1|，+）【解析】【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简/（x）-a,由此求得。的取值范围.【详解】（1）方法一:绝对值的几何意义法当a =l时，/（x）=|x-l|+|x+3,|x-l|+|x+3|表示数轴上的点到1和一3的距离之和，则/（x）6表示数轴上的点到1和-3的距离之和不小于
47、6,当x=-4或x=2时所对应的数轴上的点到1,-3所对应的点距离之和等于6,.数轴上到1,-3所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是x KT或2,所以/（x）6 的解集为（口,-4 U 2,-H X）.方法二【最优解】：零点分段求解法当。=1 时，/(x)=|x-l|+|x+3|.当x W 3时，(l-x)+(-x-3)6,解得x T；当一3 x 6,无解；当x N l时，(x-l)+(x+3)N 6,解得了22.综上，I x-1 1+1 x+3 2 6 的解集为(-0 0,-4 U 2,+o o).(2)方法一:绝对值不等式的性质法求最小值依题意a,即 卜-a|+|x+3
48、 a恒成立，卜-a|+|x+3|=|a-3 12 1a+31，当且仅当(a-x)(x+3)2 0时取等号，/O“=k+3|，故|a +3 一。,所以。+3 一。或 a +3v a,3解得。.2所以a的取值范围是1一1,+).方法二【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值由 是 数 轴 上 数x表示的点到数a表示的点的距离，得/(x)=|x-a|+|x+3闫a +3|,故|。+3|-4,下同解法一.方法三:分类讨论十 分段函数法当。一3时，-2x+-3,x 。，/(x)=-a-3,a x 3,则=一。-3 ,此时一a 3 a,无解.当。一3时，2 x +。3,x -3,/(x)=a +3,-3 x
49、 得，。一/.3综上，a的取值范围为。.2 方法四:函数图象法解不等式由方法一求得(力1 n h i=k+3|后，构造两个函数y=|+3|和y =-a,即y =c i 3,t z -3,a +3,a 2 3和 y =_ a a,则a .2【整体点评】(1)解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法.方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；(2)方法一，利用绝对值不等式 性质求得了(x)“而=|a +3 ,利用不等式恒成立的意义得到关于。的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得/(%)的最小值，最有简洁快速，为最优解法方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求/(x)最小值，要注意函数“X)中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；方法四与方法一的不同在于得到函数/(x)的最小值后，构造关于。的函数，利用数形结合思想求解关于。的不等式.