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1、浙江大学2007-2008学年春季学期 微积分n课程期末考试试卷-、填空题(每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)1点 M(1,-1,2)到平面 x-2y +2z 1 =0的距离 d=.2.已知。卜2,忖=3,=3,则,+耳=.3.设 /(4)可微，z =/(丁,),则 dz=.4.设/)在0,1上连续，且/(x)0,。与h 为常数.O =(x,y)|0Kxl,0Ky l ,则f(afM +bf(y)da=.2 f W +f(y)、一r 2 广.v2-2x5.设/(x,y)为连续函数，交换二次积分 次 序 d x f(x,y)dy=.J 0 J()二、选择题(每小题5分，共20分，在每小
2、题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，把所选字母填入题后的括号内)6.直线防三 =匕*=2与直线/2：(“=6的夹角为1 -2 1 12y +z =3(A).(B).(C).(D).2 3 4 67.设/(x,y)为连续函数，极坐标系中的二次积分r 广 cos 0/(r c o s 6 s i n e”可以写成直角坐标中的二次积分为(A)(C)f(x,y)d xI f Vl-X2|dx j f(x,y)d y(B)f(x,y)d x(D)f Jx f V f(x,y)d yJU J u 8.设/(x)=0 x -2S(x)为/(x)的以2为周期的余弦级数，则(A)22 2x,Zx W 1
3、(B)-2(C)1(D)34 I?；,(x,y)工(0,0)9.设 f(x,y)=J/+则“x,月 在点 o(o,0)处o,(x,y)=(0,0),(A)偏导数存在，函数不连续(B)偏导数不存在，函数连续(C)偏导数存在，函数连续(D)偏导数不存在，函数不连续三、解答题I10.(本题满分10分)求曲线L：2X2+3寸 72=9:,在其上点MQ,1,2)处的切线方程Z2=3X2+/与法平面方程.11.(本题满分10分 设 尸可微,z 是 由F(x-y,y-z,z-x)=0 确定的可微函数，并设F；丰、d z d z-1-d x d y12.(本题满分10分)设。是由曲线y =/与直线y =x围成
4、的两块有界闭区域的并集，求 J/le，+s i n(x+y)dc r.Dx2-f-9v2-2 z2=013.(本题满分10分)求空间曲线L：上的点到x O y 平面的距离最大值与x +3 y+3z =5最小值.14.(本 题 满 分 1 0 分)设 平 面 区 域D=(x,y)|0 x l,0 y 0 时(x,y)可微，且已知,y xd u(x,y)=(+盯 2)d x+(？+x2y +2y)d y .求 u(x,y).浙 江 大 学2007-2008学年春季学期 微积分n课程期末考试试卷答案一、填 空 题（每小题5分，共25分）1.1+2+4-1d=-=2.32.|a+&|=yl(a+b)-
5、(a+b)=|a|+|+2a-b=V4+9+6=y/.3.dz=(/-yxT+f yx In ylx+(/：.x，Inx+丛 产)dy4.Ireaf(x)+bf(y)_ 阿(),)+“(x)/()+/W21-J|(a+b)da-a+b,I-(a+h).D 25-J。；、(x,y)d)，=J:句:=/(x,y”xq=-f,dy 榄“x，y)dx*=-dy 工 工 a)必二、选 择 题（每小题5分，共20分）6.选（B）./的 方 向 向 量 1-2,1 ,6的 方 向 向 量-1-1,2）,cos 6=1,-2,1-1,-1,2_ 3 _ 1 0 =1V6V6 6 2 T7.选（D）.积分区域。
6、=（x,y*+/化成直角坐标后故知选（D）.8.选(C).s(-：)=s(-3=s(w(/d _ o)+/(2+o)m)=32 2 2 2 2 2 2 2 4n_n9.选(A)./；(0,0)=lim=0,人(0,0)=0,偏导数存在.取 y=依，lim f(x,kx)-lim-r =.=-川1 +k T iT F随 上而异，所以不连续.三、解 答 题（10 14每 题10分，15题5分，共55分）1 0.由3视x为自变量，有0,0.Jz区以后zz226区。区yy62+XX46以(居，8 =(1,1,2)代 入 并 解 出 包,丝，得a x a xd y _ 5 dz _ 7d x 4?d x
7、 8所以切线方程为x-1 y+1 z 278541法平面方程为5 7(x 1)+=(y+l)+(z 2)=0,即8x +10y+7 z-12=0.4 8讥一 F：_ F；-F；&_ F；_ F；+F；&d x F；-F；+F；d y F；-星+F；d x d y F；-F；12.。在第一象限中的一块记为i，。在第三象限中的一块记为。2，J|(e v+s i n(x +y)/(r =/卜-17 +JJed 。=J。e d u u el ld u =e-l-(u eu el if()l：x3-xA川j j s i n(x+y*b+|j s i n(x +y)r f c r =J()d x Js i
8、 n(x +y)d y+J/x J s i n(x +y)d yD2COS (X +X)-COS(X +%3)d r j c o s(x +x 3)一 c o s(x +x)d=-j(c o s(x +x)-c o s(x +J)W*f c o s(x +x3)-c o s(x +x)d 玄00所以，原式=e 2.13.L上的点到平面x o y的距离为|z|，它的最大值点，最小值点与I?的一致，用拉格朗日乘数法，设尸(苍乂乙4,)=z2+2。+9y2-2z?)+(x +3y+3z-5),求偏导数，并令其为零有:苏一小齐一及苏=2/lx+=0,=184y+3=0,dx=2z-4/lz+3=0,空
9、=f+9y2_2z=0,dx=x+3y+3z-5=0.解之得两组解(”z)(x,y,z)2=(5,1,5).所以当 x=l,=；时;忖=1最小；当x=-5,y=-g时，忖=5最大.14.将分成如图的两块，工的圆记为。另一块记为。24jj|x2+y2-l|7cr=jj(l-x2-y2lj+jj(x2+y2-)d(yD D|D2=jj(l-x2-y2)da+jj(x2+y2-l)ja-jj(x2+y2-1)7CFD)D D,=2(l-x2 _y2”b+jj(x2+y2-ijrfcr。1D=2 0-产)历+二到：(*+丁-1片5 由阳 QX+xdx+JF+O+Zy)仅有小七 十 从而知(兀y)=ar
10、ctan2+，12)：2+夕(),)，又由曳=J_-+x2y+2y,推知y 2 dy x+yxy 2/x 2c-+x y+(p(y)=-_r+x y+2y,l+(-)2 X+)y(y)=2y,=（X,y）I 1 X W 1,尤3 y ,则 口（12+x y/r/）&d y=D2 25.已知曲面x yz=l与椭球面工2+1-+/=1在第一卦限内相切，则切点坐标为,公共切平面方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _x2,6.设函数/(%)=00,S(x)=+c o s n x ,其中 X 1 2 n
11、=lan=2 f(x)c os n 7rx d x,n=0,1,2,-,则 5g)=x y+2z 10二、（满分10分）求 直 线 绕x轴旋转一周所得的旋转曲面方程.2 x+y+z 2 =0三、（满分i。分）计算四、(满分1 5分)已知z=z(x,y)由方程)3 +%/+1 =0确定，试求 一dxA=0y=J五、(满分1 5分)设平面万：冗+y =l,d(x,y,z)为曲线x2+y2+=14 上的点x+y+Z =0(x,y,z)到平面4的距离，求d(x,y,z)的最大，最小值.六、（满 分15分）如图是块密度 为 夕（常数）的薄板的平面图形（在 个 半 径 为R的半圆直一个矩形，矩形的另一边为
12、），已知平面图形的形心位于原点（0,0）.试求:薄板绕x轴旋转的转动惯量.径上拼上1.长 度h；2.七、（满 分5分）求证:当f 2 1,s 2 0时，成 立 不 等 式t s t n t-t +e5.参考解答:3 x-4 y+z=02 x+y-2 z-5 =02.&e,0,I；3.2北暇+2%(3讨-*+磔)2)+2力 (3娱 +%)；2 /34.一；5.-=,1,y/3 ,y/3 x+V H=Z 3 =0；6.1.3 I V 3 J V 3 8二.直线：x =t,y =l-t,z =i-t曲面上点P(x,y,z)t直线上点(x0,%,Z o),%=1 一玉)，()=1%x =x0,y2+z
13、2=y 1+ZQ,=y2+z2=(1-x)2+(1-x)2则旋转曲面方程：/+3=2(i _幻2,Mo或2Vd =J：&=e-2,J”4 y2)由，=2e2y l y=x,z =-2 x3X2=1X=y =%.干 黄 7 6最小距离：d（卡，卡，-专）=飞-7 B最大距离：d（一 卡 卡 翁=w+3六.形心：y=0,x=x d x d y =。D x d x d y=0D即d r J&x d y 4-|,r c o s -r d r =02 7?-(-1/?2)+2-1/?3=0 =h =，里4 =y d x d y =J：d x y dy+J j d Rr2s i n20-r d r =(/
14、?+/?)7?33 8D七.设/?Q,s)=f l n，一f +e S/s,F(l,0)=0Q,s)=e ，=0 =,s =In t.且对固定的，1,当 0 s l n f,F：(t,s)l n f,F：Q,s)0,所以，s =n t取得最小值且为o,则 F（r,5）0,即ts ti n t t +ef(x+y,-)=x2-y2 f(._1、已 知 X ，则”x,y)一2、已 知，则1p+o o-x 2exd xJof eA d x =J-0 03、函数八x,y）=Y+盯+/一 +1 在-点取得极值.4、已知/（x，y）=X +（X +a r c t a n y）a r c t a n y,则
15、=5、以）=（G+C 2 X）/（G，G为任意常数）为通解的微分方程是,+8 .ce d x6知 J。与 xl n x 均收敛，则常数P的取值范围是（c）.(A)P 1(B)”1 (C)1 P 27数 I ，f+y 2=在原点间断，是因为该函数（b ）.（A）在原点无定义（B）在原点二重极限不存在无定义（D）在原点二重极限存在，但不等于函数值8、若JJ d x d y I2=j1 y -x2-y2d x d yx2+y2I x2+y22（C）在原点有二重极限，但3=Jj 祖 _ x?_d x d y2Mx?+y24则下列关系式成立的是（a）.(A)1 1 【2 3(B),2 A，3(C)4 2
16、，3(D)2 /|，39、方程 （）。且 x=4 时，y=8 。于 是（3 分）V=（4?-dy=6zr（8 -0）-ydy 3|8 73 -3 -=1 2 8 -K-y1=1 2 8 乃-1小（8 3-0）5 1 2（6分）-7 2 2l i m /，一1 2、求二重极限 3Mx 2+丁+1-1.（x2+y2）（7x2+y2+l+l）=hm-7 -X TO r2 4-V+1-1解：原 式 T y（3 分）=l i m Q i +y2 +1 +1）=2遇（6分）会1 3、z=z（x,y）由 z+e：=x y 确定，求小丹.解：设 F（x，z）=z+e：-盯，则F.=-y F=X F =1 +废
17、A 9 ，汲 _ Fx _-y _ y&_ Fy _ _ v _%dx Fz 1+e。1+e”，dy F:+ez 1 +/（3 分）d2z _ r ydxdy dyl+ez1 z z 及1 +e-y-e .dy _ 1 exy（1 +废/l +产（l +e y（6分）1 4、用拉格朗日乘数法求Z =/+丁+1在条件x +y =1下的极值.解.z =X?+（1 -x）+1 =2 广2,x+211X X=-令 z =4x-2 =0,得 2,Z=40,2为极小值点.（3 分）2（11）2故 z=x-+V+l在 y =l-x 下的极小值点为2 2，极小值为2 俗分）15、计 算 3 ,-Q i 1I=
18、td y,eyd x =e 解：g J r 8 2 (6 分)f f(x2+y2)d x d y 2 26、计算二重积 分。,其中。是由 轴及圆周x +旷=1所围成的在第一象限内的区域.+y2)d x d y 3“”.g解：。=%)=8 (6 分)17、解微分方程y =y+x.解：令=乂 =/八方程化为P=P +L于是p=e 卜 (J 把 dx +G)=e*(x exd x+C,)=e-(x+1-+=-(x +1)+Cte(3 分)y -J pdx =j-(x +1)+C,e d x=-(x +l)2+Ctex+C2(6 分)18、判别级数，曰 的敛散性.J/+1 -J/-1 -/-/解：J/
19、+1+J/-1 (3 分)J/+1 -1 n y/nl i m-=l im-y -1 _ L J/+J“3 _因为 n y fn19、将函数3-x 展开成x的塞级数，并求展开式成立的区间.1 _ 1 1解：由于 3,已知 l-x ,=0 ,-1 X 1(3 分):=羔(守 4/r x q 1那么 J X 3 =。3 =。3 ，-3 V x 3.(6 分20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料，销售收入R（万元）与电台广告费用为（万元）的及报纸广告费用（万元）之间的关系有如下的经验公式：R=15+14X+32X2-8占 -1 Ox；求最优广告策略 解：公司利润为L=R
20、-X|-=15+13玉+3直2-8 3 2-2玉2-10名,4 =13-胱-你=0,例+陷=13,令=31 一8为 一 20X2=0,即 f8网 +20X2=31,3 5（xx2）=（-,-）=（0.75,1.25）得驻点-4 4，而A=L=-40 B=L=-8 C=t=-20A iA i.V|A9 A,0所以最优广告策略为：电台广告费用875（万元），报纸广告费用L25（万元）.（3分）（6分）四、证明题（每小题5分，共10分）1 dz dz 1-x-F y =-21、设z=ln（x+y）,证明：dx dy 3dz _算力 dz _证：炉+3 3 +产000000%:（“”+匕J?22、若
21、T 与 T 都收敛，则 T 收敛.证:由于+匕 =u+v+2unv 42（“；+守）（3分）e 2 6 8并由题设知=i与”=i”都收敛,则2?（收敛,8从而弓iI 收如（6分）-y,）=x2-y2”、1、设 x ，贝IJ （X，、）=1&)=定)2、已 2 知，贝IJ 2 =_.3、设函数x，y)=2尤2+0X +孙2+2 y在点(I T)取得极值,则常数a =_ _ _ _ _ _ _4、已知/(%y)=x +y(x +7 4+a rc ta n y)，则 (1,0)=5、以=6+。2*(66为任意常数)为通解的微分方程是f+o o fe d xr -6、已知J。与 小X in。*均收敛,
22、则常数P的取值范围是().(A)P (B)P (C)”1 (D)P)=/_匚 点(o,o)().(A)不是驻点(B)是驻点而非极值点(C)是极大值点(D)是极小值人=JJ(x+y)2 db8、已知 DI2=JJ(x +y)3 dbD其中 o 为(x 2)+(y i)41,则().(A)L =1 2 (B)L Z2(C)/1 2的极值。z d z d z&_ zd x .S x,有&e-x y x(z-l)方程两边对y求导得：（3分）z&d z d z x z ze、=x z +x y =-=-必 小，有 ez-x y y(z-l)（6分）解：f(x,y)xi-4x2+2x y-y 贝fx(x,
23、y)=3 x2-Sx +2y fv(x,y)=2x-2y，Ar(x，y)=6 x-8,A，(x,y)=2,/,(x,y)=-2,3 x2 一8 x +2y =0,求驻点，解方程组得(0,0)和(2,2)对(0,0)有 几(0，0)=8 0 匕(0,0)=2,匕(0,0)=2,（2分）于 是 于 _4。=_ 1 2 0,（2,2）不是函数的极值点。6、计算积分D x ，其中是 由 直 线 =%丁 =2”及x =l,x =2所围成的闭区域;解小小3 f ,9=-1 xdx=2-47,已知连续函数/（X）满 足 一 2解：关系式两端关于工求导得：（4分）（6分）0 X）+X,且1）=0,求 叽/W
24、=2/（%）+2 矿（x）+1 即/3 +五=一这是关 于/（X）的一阶线性微分方程，其通解为：/（x）=e/白人+0（_ +c）=-j=-1_ 7 X X/（%）=又/=,即c l=0,故c=l,所以 7n 2 f2y+,y8、求解微分方程 i-y=o。，口号 P华解：令=p，则 ，于是原方程可化为：办 包+二-P=O -居”即6i-y ，其通解为P=，e=。（y一,虫=c（y-l）2 ,=cdxdx 2）即（fy=i故原方程通解为：。环+。2t（X 2）9、求级数=7fl 的收敛区间。8 tn aRf=lim =lir解：令=一2,基级数变形 为 占 无，fy+1 J12x.（2分）（5分
25、）口x（6分）+p2=oi-y （3分）“（5分）（6分）n 77=18 星/7.（3分）,力（-1）“丁当=T时,级数为，=。.收敛；V8 1当f=1时,级数为=1派 发散.故 自 痂 的 收 敛 区 间 是/,=7）,（5分）.（x-2）那么，I 乐 的收敛区间为4=必3）（6分）sin（2-x）10、判定级数=i n 是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛。sin(2,x)1-0 解：因为加 18 l.im.-(+-1-)!=0n1 8 1由比值判别法知，1加收敛(：加),（2分）（4分）00从而由比较判别法知Isin(2 x)n收敛,00Z所以级数=sin(2-x)n绝
26、对收敛.（6分）四、证明题（每小题5分，共10分）8 00 _Ew “冈用1、设正项级数a 收敛，证明级数I 也收敛。J”“+i 4（%+i）证：2,（+i）y ru 7l-而由已知 2 收敛，故由比较原则，乙v%+i也收敛。y1 a 1 s z zz-2、设/（/一/），其中/（）为可导函数，证明y dy y2.dz _ 2xyfr证明：因 为&f2,（3分）（5分）（2分）d z _ f +2y2f办 f（4分）i d z i d z 2y、/+21 z所以 x d x y 8 f2 yf2 yf y （5 分）一、填空题（每小题3分，共15分）1、设1=*+丫+/3-x）,且当x =0时
27、，7 =/，贝匹=。（x2-2xy+2x+y2）dx2、计算广义积分,/二。（1）3、设 Z =ln（l +x 2+y 2）,贝|dz|g）=o（3 X 3 y）4、微分方程）-6）/+9），=5（了 +1）*具有 形式的特解.（*、/）一）y -十 1 5、级数=1 9 的和为。（8）二、选择题（每小题3分，共15分）.3 s i n（x2+y2）li mz 2-x f o 厂+y1、T 的值为（B）A、0 B、3 C、2 D、不存在2、/（羽 ）和 （阳 ）在（%,%）存在且连续是函数/（北丁）在点（/，打）可 微 的（B）A.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；
28、D.即非充分又非必要的条件。l.o 2 9 23、由曲面Z =4 一 厂 一 厂 和Z =0及柱面厂+y =4所 围 的 体 积 是（B）4 p d 厂，4一白 d rB Jo Jo4 Pd6-/d rn Jo Jo4、设二阶常系数非齐次微分方程y +p y +q y=/（x）有 三 个 特 解M=v,%=,3=6 2、则 其 通 解 为 ）A G （e*-，）+C2（e，-厂）.B CYJC+Ccx+Ccxc、x2+Cte+C2e2D x+C|(e e-)+C,(x e )尸5、无穷级数，i ”（为任意实数）（A）A、无法判断 B、绝对收敛 C、收敛 D、发散三、计算题（每小题6分，共60分
29、）.2-y/xy+4lim-XTO XV1、求下列极限：J。2 -Jx y +4 4-(x y +4)hm -=lim-、；，孙；太 孙(2 +5孙+4)=lim-1=-/2 +4 y+4 2 +24（3分）（6分）0,-_.X=2、求由在 区 间2上，曲线丁 =sin x与直线 2y二0所围图形绕刀轴旋转的旋转体的体积。匕=万 P sin2 x d x解：*J。（4分）4（6分）&3、求由e 一 x y z =x y所确定的隐函数z =z（x,y）的偏导数&为。解：()令尸(x,y,z)=e-x y z x y则-涿=-yy zz -yy,-dy-XZ X利用公式，得dFfe=dx-y z-
30、y=y z +ydx SF e2-xy e:-xydzdFdz _ dy _-x z-x _ xz+xdy dF e -xy e:-xydz（3分）（6分）(3 分)（6分）（二）在方程两边同时对X求导，得小女 Sze-yz-vy=ydx dx解出yz+ydx ez-xy&_ xz+x同理解出为 e；一个4、求函数/（苍丁）=炉-12孙+8V的极值。解：/（匹丁）=/一12砂+8 V,则（“，）=3厂 一12丁，f、.（x,y）=2 4/-i2x9九（X，N）=6X,/x,y）=-12,/vv（x,j）=48y,3 厂 12y=0,ty（2,1）=48于 是 -AC=44 12x 48*0 ,
31、所犷 I以、I 7函%数八在（2 1点）一取得极小值,f （2,1）=2,-12 x 2 x 1 +8 x F=一8（6分）（5分）&斗笆一毋的八 JJ（2x+y）db y=x,y=i、计 算 一重 积 分。，其中。是由 x及 丁 =2所围成的闭区域；（2分）（4分）Jj(2x+y)da=j dy (2x+y)dx解：D y（4分）（6分）_ F2.1 .,19=I(2y 1 T-)dy=Jy-67、已知连续函数/（x）满足 J ）力+2/（x）+x=。，求/。解：关系式两端关于X求导得:7W +2/(x)+1 =0 艮/”2 fM=2（2分）这是关于一（X）的一阶线性微分方程，其通解为:/(
32、x)=j b(J(g)e b+c)X X X=-e 3(+c)=-l+c e 2（5分）X又/（0）=,即o=_i+c,故c =l,所以/（x）=e 2-l8、求微分方程盯=0的通解。0 (6分)解 这是一个不明显含有未知函数的方程 =p a=立 （l +d）农 2 p x =0作 变 换 令 d x,则d x,于是原方程降阶为 d x（3分）%=x分离变量p i+x,积分得ln|p|=ln(l+x 2)+in|G|即 p =C,（l +x2）,从而再积分一次得原方程的通解X3G（X+）+。2V =3半=(1 +/)d x（5分）（6分）夫（D乙 一 L9、求级数77rl的收敛区间。解：令f
33、=x 3,褰级数变形为（3分）0c1当时，级 数 为 自 ）,正 收 敛;当f =1时,级数为故的收敛区间是/,=-!,1)（5分）d）那么占 G 的收敛区间为4=2 4）（6分）之 cos（-X）10、判定级数，I 加 是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛:cos(n-x)8 1由比值判别法知=|加收敛（：！）,（4分）cos（n-x）从而由比较判别法知 T ！收敛,cos（n x）所以级数 T 加 绝对收敛.（6分）四、证明题（每小题5分，共10分）Ex1、设级数 T 收敛，证 明=1 也收敛。证,由 于I：*，/）（3分）而百Z点 都 收 敛，故 封片+少 收 敛，由
34、比 较 原 则 知 党 收 敛（5分）z=2 cos(x )2 H-=02、设 2，证明：dr dxdt。证明：因为=-2-2cos(x-)sin(x-)(-)-sin(2x-1)dt 2 2 2d2z g 52z d2z c”c 52z-=一 cos(2x-t)-=-=2 cos(2x 一。二 -2-dt2，dxdt dtdx dt2，2 4 +=0所以 dt dxdt-（2分）（4分）（5分）中 南 民 族 大 学06、07微积分（下）试 卷及 参 考 答 案06年A卷I评 I阅 卷 II分 I 臼/（x+y,）-x2-,2/x1、已知 x ，则八乐）一.2、已知，则 1 e dx-.C
35、e-2d x =J-0 03、函数f（x,y）=J+盯+）/_ +1 在-点取得极值.4、已知/（x，y）=X +（X +a r c t a n y）a r c t a n y ,则=5、以丁 二（G+Gx）*（G，G 为任意常数）为通解的微分方程是二、选择题（每小题3分，共1 5 分）评分阅卷人7 知r+8，一、尸 d x e P”d x I.,p-iJ o 与 J i x l n/X均收敛,则常数P的取值范围是().(A)1 (B)(C)1 P 24 xf(x,y)=x2+y28 数是因为该函数(x2+y2 0,+/=在 原 点 间 断,).(A)在原点无定义(B)在原点二重极限不存在(C
36、)在原点有二重极限，但无定义(D)在原点二重极限存在，但不等于函数值4 =j j yjl-x2-y2dxdy I2=J J -y2dxdy8、若 x2+y2 x2+y2 2 ，则下列关系式成立的是().(A)A 4 4(C)4 1 2 4 ，3(D),2 =所围图形绕y轴旋转的旋转体的体积.一评分.评阅人12、求二重极限limA-0yrOx2+y2yjx2+y2+1-1评分评阅人1 3、z =z(x,y)由z +/=x y确定，求为办评分评阅人1 4、用拉格朗日乘数法求z =一+)2 +1在条件+丫 =1下的极值.评分评阅人15、计算J：d y J；e x2 一评分一评阅人f(2+y2)dxd
37、y 2 2,16、计算二重积分。，其 中。是由 轴 及 圆 周 尸+尸=1所围成的在第一象限内的区域.评分评阅人1 7、解微分方程y =y+x评分评阅人y(V n3+l-7 n3-l)1 8、判别级数，i 的敛散性.一评分一评阅人11 9、将函数3-x展开成x的幕级数，并求展开式成立的区间.评分评阅人2 0、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料、销售收入R （万元）与电台广告费用用（万元）的及报纸广告费用（万元）之间的关系有如下的经验公式：/?=15+14%|+32%2 -2X|-10 x；求最优广告策略.四、证明题（每小题5分，共10分）一评分一J 121、设 Z=
38、ln(/+y3),证明:x 2+y包dx dy 3oo力；=都收敛,则00E(+v(1)2H=1收敛.答案一、填空题（每小题3分，共15分）（D I 21、1 +.2、6.3、33.4、1.5、二、选择题（每小题3分，共15分）6），+），=06、(C).7、(B).8、(A).9、(D).10、(D).三、计算题（每小题6分，共60分）311、求由=/=4,）=所围图形绕了轴旋转的旋转体的体积.2 2解：y=.的反函数为x=v，y。月.=4时-，丁=8。于是（3分）(6分)24V3-1287一 7i-y17J o8 73 2=128 4 0会13、z =z(x,y)由z +/=x y确定，求
39、小力(3分)(6分)解：设 R x,y,z)=z +/-盯，则工=一九 Fy=-x,尼=1 +炉d z _ _ -y _ y d z _ _ Fy _ _ -x _ xd x Fz 1 +e。1 +e ,d y F:1 +屋 l-h ez(3分)d2z _ (y d y _ 1 ezx yd x d y d y l +ez)(1+/i +/(+/(6分)14、用拉格朗日乘数法求z =/+丁+1在条件x+y=1下的极值.解.z =+（1 -+1 =2r2x +21 1X X 令 z，=4 x-2=0,得 2,z =40,2 为极小值点.。分）22 3故 z=x +y-+i 在 y=i-x 下的极
40、小值点为2 2，极小值为2（6分）15、计/卜）解:-3 1 1/=6 办 工/为=/彳25 N(6分)f f（+y2）d x d y 2 2.16、计算二重积分。，其 中。是 由 轴 及 圆 周 厂+尸=1所围成的在第一象限内的区域.x2+y2)d x d y 向小 3 公 解：。=J)=8(6分)17、解微分方程y=y+x.解：令口=了,)=，方程化为“=P+x,于是p=eK l)r f(卜e +C 1)=ex(j x exd x+G)=e*-(x +1)*+G =-(x +1)+C (3分)y=Jpd x -j -(x +l)+C1e i/x =-(x +1)2+Ctex+C-,n 2(
41、6 分)（+1 J.3 _ ）18、判别级数的敛散性.y/n3+1-y j n3-1=/.2/=解：Vn3+1+V 3-1（3 分）.J/+1 /-1.n y/n ,l i m-=l i m /-/=1 1+J 3 _ 因为 占（6分）119、将 函 数 三 展 开 成 x的幕级数，并求展开式成立的区间.1 _ 1 13 7 3 -=小解：由于 3,已知 1 一 x ,=。,-1 X 1（3分）那 么 X 3=0 3 =。3,-3X3,（6分）20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入 R （万元）与电台广告费用为（万元）的及报纸广告费用（万元）之间的关系有
42、如下的经验公式：/?=15+14%1+32x,-8%1%2 2x；-10 x；求最优广告策略.解.公司利润为乙=*=15+13X1+31X2 8Xj X2 10A=13-8X2-4X,=0,J 4X1+8”13,令1 4 =31-8-20 x 2=0,即（8川+20 乙=31,3 5（x1,x2）=（-,-）=（0.75,1.25）得驻点-4 4，而（3分）A=L=-4 0所以最优广告策略为：电台广告费用0-75（万元），报纸广告费用1.25（万元）.（6分）四、21、证明题（每小题5分，共10 分）1 1 Sz dz _1设Z =l n（x 3-+y-3）,证明：x +y=一d x-d y
43、3&_%证:dz _彳产y x3+V（3分）dz dzX-F V =X-dx dy打一%户+ly-%卢+1 _3（、X%+X%-T 7-I +刊3（6 分）op82 2、若=与 自 都收敛，则S（M+匕 J 柿 收敛.证：由于+匕尸=+匕；+2 “匕,2 f(x 一1、设 x，则/(X，y).()=62、已2 知，则3、设函数7 4)=2/+办+砂2+2 在点(1,7)取得极值,则常数a=_4、已知于(%y)=x+y(x+J4+arctan y)则(1,0)=5、以)=G +G e(G，C2为任意常数)为通解的微分方程是评二、选择题(每小题3分，共15分)分(.Z )v dx6、已知J。与x
44、lM x均收敛，则常数P的取值范围是().(A)P (B)(C)”1 (D)P 为(了_2)2+(_ 1)2 1,则).(A)L =12(B)h 12(C)&0 V12、求二重极限，评分评阅人x+y d2z1 -xy,求 获.z=arctan13、设一评分一评阅人14、用拉格朗日乘数法求f a，丹=孙在满足条件“+y=1下的极值.xexydy评分W人J R/+2 216、计算二重积分。，其中。是由轴及圆周厂+(一1厂=1所围成的在第一象限内的区域.一评分一评阅人17、解微分方程孙+了=.评阅人1 8、判别级数的敛散性.一评分一评阅人/（X）=z1 9、将函数 不展开成（九-3）的黑级数.评阅人
45、2 0、某工厂生产甲、乙两种产品，单位售价分别为4 0元和6 0元,若生产工单位甲产品，生产丁单位乙产品的总费用为2 0*+3 0 +（2/-2.+3），2）+1 00,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润.四、证 明 题（每小题5分，共1 0分）评分2 1、设 In G+y +L证明d2u d2u d2u _ _ _ _ _ 1d x2*d y2+&2 =x2+y2+z200 00 0022、若 孕 与 学 都 收 敛,则 也 收敛.07年A卷一、填空题（每小题3分，共15分）一评分一阅卷人1、设 2=%+/+/。一 且 当 =。时，z=i,贝|Jz=.dx2、计 算 广 义
46、积 分 3=.3、设 z=*,则弱的=.4、微分方程了-5y+6y=xe21具有 形式的特解.、力，=4 之 已 卜5、设 T ,则”=i 12 2）_二、选择题（每小题3分，共15分）评分阅卷人6、limX TOy-03 s in(x2+y2)2 2x +y的值为（).(A)3 (B)0(C)2 (D)不存在7、人a。，。）和/存 在 是 函 数/a，y）在点（与，汽）可微的（）.（A）必要非充分的条件（B）充分非必要的条件（C）充分且必要的条件（D）即非充分又非必要的条件8、由曲面z =也 一-合 和z =O及柱面/+）=1所围的体积是（).f2Td(9f7 7 4-r2 dr(A)J o
47、 J o4de f V 4-r2dr(B)J o J od。【尸”4d。7 7 4-r2 dr(D)J o J o9、设二阶常系数非齐次线性方程y+p y +o=/（x）有 三 个 特 解=x,%二，,3=”,则其通解为（）.(A)x +G/+(B)C|X+C2 +C-c (C)x +C (e、-e-)+C,(x -e*)(口)C,(ex)+C2(x)（-1 尸10、无穷级数T n（为任意实数）（).（A）收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）无法判断三、计算题（每小题6分，共60分）评分评阅人lim.11、求极限？J孙+1 T.一评分评阅人%、求由=与直线x=i=4、y=o所围图形绕轴旋转的旋转
48、体的体积.评分评阅人dz dz13、求 由 所 确 定 的 隐 函 数 z =z(x,y)的偏导数&办.评分评阅人14、求函数/(x，y)=/-4/+2盯一2的极值.评分评阅人15、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料，销售收入R （万元）与电台广告费用为（万元）的及报纸广告费用4（万元）之间的关系有如下的经验公式：R=15+14%|+32%2 8%1%2 2再 -10石若提供的广告费用为L 5万元，求相应的最优广告策略.一评分一评阅人 da16、计算积分为X，其 中。是由直线y =x，y =2x 及 x =l,x =2 所围成的闭区域.一评分.评阅人17、已知连续函
49、数/(X)满 足J。力一 2 m幻+x,且/=0,求/(x).评分评阅人 2,2y y18、求解微分方程 1一 =0.评分评阅人(x-2)19、求级数，i的收敛区间.评分评阅人fsin(2.x)20、判 定 级 数 加 是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛.四、证明题(每小题5分，共10分)一评分一X 历二21、设 正 项 级 数 T 收敛，证明级数=|也收敛.z =-22、设 -一 ),其 中/()为 可 导 函 数,证 明1 d z 1-1 d z _ zx d x y d y y207(A)卷参考答案(可能会有错误大家一定要自己核对)一、填空题(每小题3分，共15分)1
50、、设z =x+y +/(x y),且当y=。时，z=l,贝叱=。(X2-2x y +2y +y2)广d x 12、计算广义积分/=。(2)3、设 z=*,则 固.=。(e(公+d y)4、微 分 方 程)”_5了+6 y=泥2,具有 形 式 的 特 解，(5/+法)/)二、选择题(每小题3分，共1 5分)limX TO1、53sin(x2+y2)2 2x+yA.3的值为B.0(A )C.2D.不存在2、力（/，0）和 力（X。，0）存在是函数f（x,y）在点（X。，打）可微的A.必耍非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。(A )o3、_ !.2