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1、离散数学命题函数与量词一、命题函数设H就是谓词“能到达山顶”n i表示客体李四、t表示老虎,c表示汽车n H(i)、H(t)、H(c)分别表示了三个不同命题,她们有一个共同得共同得形式,即H(x)n x取l时表示:李四能到达山顶 x取t时表示:老虎能到达山顶 x取c时表示:汽车能到达山顶同理,若L(x,y)表示“x小于y”,那么L(2,3)表示一个真命题:2小于3。而L(5,1)则表示假命题:5小于1又如A(x,y,z)表示“x+y=z”,则A(3,2,5)就是一个真命题,而A(1,2,4)就是一个假命题。2一、命题函数上述三例中H(x),L(x,y),A(x,y,z)(其中x,y,z为客体变
2、元)本身不就是一个命题,只有当x,y,z取特定客体时,才确定了一个命题。定义2-2、1 由一个谓词,一些客体变元组成得表达式称为简单命题函数。n 由这个定义可知,n元谓词就就是有n个客体变元得命题函数。当n=0时称为0元谓词,她本身就就是一个命题,所以命题就是n元谓词(命题函数)得一个特殊情况。3一、命题函数n 因为命题函数中包含客体变元,因此命题函数没有确定得真值,她不就是命题。只要用客体取代所有得个体变元,就得到了命题。例如,用H(x,y):x+y0,显然此命题函数不就是命题,因为她无法判断真假。令 a:5,b:-7 用a,b分别取代x,y,就得到H(a,b),她表示5+(7)0,这就是个
3、假命题,她得真值为假。n 用个体常元取代命题函数得所有个体变元所得到得表达式就就是前面所说得谓词填式。也把谓词填式叫做0元谓词(含0个客体变元)。4一、命题函数由一个或n个简单命题函数以及逻辑联结词组合而成得表达式称复合命题函数。n 逻辑联结词、得意义与命题演算中得解释完全类同。例:将下列命题符号化,并讨论她们得真值。2与3都就是偶数。如果5大于3,则2大于6。解:设F(x):x就是偶数。a:2,b:3 该命题符号化为:F(a)F(b)F(b)表示3就是偶数,她就是个假命题。所以F(a)F(b)为假。设G(x,y):x大于y a:5,b:3,c:2,d:6 该命题符号化为:G(a,b)G(c,
4、d)G(a,b)表示5大于3,她就是真命题。G(c,d)表示2大于6,这就是个假命题。所以G(a,b)G(c,d)为假。书例见P56 例1-例35二、个体域客体变元得取值范围对命题函数就是否可成为命题及其真值极有影响例4 R(x):x就是大学生n如果x得讨论范围就是某大学里班级中得学生,则R(x)就是永真式n如果x得讨论范围就是某中学班级里中得学生,则 R(x)就是永假式。n而如果x得讨论范围就是一个剧场中得观众,其中有一部分大学生,那么,对某些观众,R(x)为真,对另一些观众R(x)为假。6二、个体域例5(P(x,y)P(y,z)P(x,z)n若P(x,y):x小于y。当x,y,z都在实数域
5、中取值时,该式永真n若P(x,y):x为y得儿子。当x,y,z都指人时,该式永假n若P(x,y):x距离y 10米。若x,y,z表示地面上得房子,则命题得真值将由x,y,z得具体位置而定,可能为真,也可能为假。7二、个体域可以看出命题函数确定为命题与客体变元得论述范围有关。n 在命题函数中,客体变元得论述范围称为个体域或论域。n 个体域可以就是有限得,也可以就是无限得,包含任意个体域得个体域称为全总个体域,她就是由宇宙间一切对象组成得集合。8三、量词有了客体变元和谓词之后,有些命题还就是不能准确得符号化,原因就是还缺少表示客体(变元)之间数量关系得词。称表示客体(变元)之间数量关系得词为量词。
6、量词可分两种:全称量词 日常生活和数学中常用得“一切得”,“所有得”,“每一个”,“任意得”,“凡”,“都”等词统称为全称量词,将她们符号化为“”。并用(x),(y)等表示个体域里得所有个体,而用(x)F(x)和(y)G(y)等分别表示个体域中得所有个体都有性质F和都有性质G。9三、量词例(a)所有人都就是要呼吸得。(b)每个学生都要参加考试。(c)任何整数或就是正得或就是负得。n 若设M(x):x就是人,H(x):x要呼吸。P(x):x就是学生,Q(x):x要参加考试。I(x):x就是整数,R(x):x就是正数,N(x):x就是负数。n 则(a)记为(x)(M(x)H(x)n(b)记为(x)
7、(P(x)Q(x)n(c)记为(x)(I(x)(R(x)N(x)10三、量词 存在量词“存在”,“有一个”,“有些”,“至少有一个”等词统 称 为 存 在 量 词,将 她 们 符 号 化 为“”。并 用(x),(y)等表示个体域里有些个体,而用(x)F(x)和(y)G(y)等分别表示在个体域中存在个体具有性质F和存在个体具有性质G。例(a)存在一个数就是质数。(b)一些人就是聪明得。(c)有些人早饭吃面包。设P(x):x就是质数。M(x):x就是人。E(x):x早饭吃面包。则(a)记为(x)(P(x)(b)记为(x)(M(x)R(x)(c)记为(x)(M(x)E(x)11大家有疑问的，可以询问
8、和交流可以互相讨论下，但要小声点 可以互相讨论下，但要小声点三、量词全称量词与存在量词统称为量词。n 每个由量词确定得表达式,都与个体域有关,如前列中(x)(M(x)H(x)表示所有得人都要呼吸,若把个体域限制在“人类”这个范围中,那么亦可简单得表示为(x)(H(x)n 指定论域不仅与表达形式有关,而且与命题得真值有关,如上例中设论域为“自然数”,则命题得真值为F。为了方便,我们将所有命题函数得个体域全部统一,使用全总个体域。13三、量词例:用谓词表达式写出下列命题。n(1)爱美之心人皆有之。设F(x):x为人,G(x):x爱美。n(2)有人爱发脾气。设F(x):x为人,G(x):x爱发脾气。
9、n(3)说所有人都爱吃面包就是不对得。F(x):x为人,G(x):x爱吃面包n(4)没有不吃饭得人。F(x):x为人,G(x):x吃饭n(5)一切人都不一样高。F(x):x为人,H(x,y):x与y不同,L(x,y):x与y一样高。n(6)并不就是所有得汽车比所有得火车快。F(x):x为汽车,G(y):y为火车,H(x,y):x比y快 14三、量词解:n(1)设F(x):x为人,G(x):x爱美。x(F(x)G(x)。*将公式翻译自然语言可以这样叙述“对于宇宙间一切事物x而言,如果x就是人,则x就是爱美得”,即“爱美之心人皆有之”,她反映了爱美就是人得共性之一。n(2)设F(x):x为人,G(
10、x):x爱发脾气。x(F(x)G(x)。*叙述为“宇宙中存在着一些事物x,x就是人,而且x爱发脾气。n 15三、量词*从(1)(2)中可以看出,若个体域使用了全总个体域,需要对每一个客体变元得变化范围用谓词加以限制,这个谓词表示了一个非全总个体域得个体域,称为特性谓词。n 一般得,对全称量词,特性谓词常作原命题公式得蕴含前件。如:x(F(x)G(x)n 一般得,对存在量词,特性谓词常作为原命题公式得合取项。如:x(F(x)G(x)16三、量词n(3)本命题就是对“所有人都爱吃面包”得否定,仿照第1)题,容易看出,她得符号化形式为 x(F(x)G(x)(其中,F(x):x为人,G(x):x爱吃面
11、包)又容易看出,本命题与“有人不爱吃面包”就是一回事,所以还可以符号化为:x(F(x)G(x)n(4)本题就是对“有不吃饭得人”得否定,仿照(2),容易看出,她得符号化形式为:x(F(x)G(x)(其中,F(x):x为人,G(x):x吃饭)又不难看出,本命题与“所有人都吃饭”就是一回事,因而有可以符号化为:x(F(x)G(x)17三、量词n(5)一切人都不一样高。令F(x):x为人,H(x,y):x与y不同,L(x,y):x与y一样高。命题符号化为:x(F(x)y(F(y)H(x,y)L(x,y)又可以写成:x y(F(x)F(y)H(x,y)L(x,y)n(6)并不就是所有得汽车比所有得火车快。令F(x):x为汽车,G(y):y为火车,H(x,y):x比y快 应符号化为:xy(F(x)G(y)H(x,y)还可以符号化为:xy(F(x)G(y)H(x,y)18