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1、离散数学第五六七讲群环域例1:Q+,1 设A就是任一集合,P表示A上得双射函数集合,”。”表示函数合成,“-1”表示求逆运算,P,。,-1,IA N,max 代数Nk,+k,-1,0 代数Nk,k一、群得定义和性质就是Abel群就是一个群,通常这个群不就是阿贝尔群。就是群,这里x-1=k-x不就是群,因为0元素没有逆元 不就是群。运算max和min一般地不能用作群得二元运 算,因为如果载体多于一个元素,逆运算不能定义。2 群就是半群和独异点得特定情况,有关半群和独异点得性质在群中也成立,群得性质还有:定理1:如果G,*就是一个群,则对于任何a、bG,(a)存在一个唯一得元素x,使得a*x=b。
2、(b)存在一个唯一得元素y,使得y*a=b。证:(a)至少有一个x满足a*x=b,即x=a-1*b,因为 a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b 如果x就是G中满足a*x=b得任意元素,则 x=e*x=(a-1*a)*x=a-1*(a*x)=a-1*b 所以,x=a-1*b就是满足a*x=b得唯一元素。(b)同理可证。一、群得定义和性质3 定理 2:如果G,*就是一个群,则对于任何a、b、cG,证:因为群得每一元素都有逆元,本定理显然成立。定理3:么元就是群中唯一等幂元素。证:如果x就是等幂元素,则 么元就是群中唯一等幂元素。一、群得定义和性质4 定理4:群G,*得运算表中得每一行
3、或每一列都就是G中 元素得一个置换。证:i)首先,证明运算表中得行或列所含G得一个元素不可 能多于一次。(反证法)如果对应于元素a得那一行中有两个元素都就是k,即a*b1=a*b2=k,根据定理2有b1=b2,而b1b2,矛盾。对于列也一样可以证明。一、群得定义和性质5 定理4:群G,*得运算表中得每一行或每一列都就是G中 元素得一个置换。证:ii)其次,要证明G得每一个元素都在运算表得每一行 和每一列中出现。考察对应于元素a得那一行,设b就是G中得任一元素,由于b=a*(a-1*b),所以b必定出现在对应于a得那一行中。对于列也可同样证明。一、群得定义和性质6 定理4:群G,*得运算表中得每
4、一行或每一列都就是G中 元素得一个置换。证:iii)最后,因为G,*中含有么元,所以没有两行 或两列就是完全相同得。综合以上结果便得出:运算表中每一行都就是G得元素得 一个置换,并且每一行都就是不同得置换。同样得结论适合 于列。证毕。定理5:群中没有零元。一、群得定义和性质7 定理6:如果G,*就是一个群,则对于任何a、bG,(a*b)-1=b-1*a-1证:由于(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=a*a-1=e 而这里逆元就是唯一得,所以(a*b)-1=b-1*a-1。推论:思考:一阶群、二阶群、三阶群各有几个？一、群得定义和性质8 为了继续介绍群得性质,我们首先定义
5、群G,*得 任意元素a得幂。如果nN,则 由以上定义可知,对任意m、kI,am,ak都就是有意义 得,另外群中结合律成立,不难证明以下指数定律成立:(m、k I)(m、k I)一、群得定义和性质9 定义4:设G,*就是一个群,且aG,如果存在正整数n使 an=e,则称元素得阶就是有限得,最小得正整数n称为元 素a得阶。如果不存在这样得正整数n,则称元素a具 有无限阶。如:群得么元e得阶？群I,+中各元素得阶？一、群得定义和性质1么元0得阶为1,非零元素有无限阶。10 定理7:如果群G,*得元素a拥有一个有限阶n,则ak=e,当且仅当k就是n得倍数。证:充分性:设k、m、n就是整数。如果k=mn
6、,则ak=amn=(an)m=e m=e 必要性:假定ak=e,且k=mn+t,0tn,于就是 at=ak-mn=ak*a-mn=e*(an)-m=e*e-m=e 由定义可知,n就是使an=e得最小正整数,而0tn,所以t=0,得k=mn。证毕。这样,如果an=e,并且没有n得因子d(1dn)能使ad=e,则n就是元素a得阶。例如,如果a8=e,但a2 e,a4 e,则8必定就是a得阶。一、群得定义和性质11 大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点 可以互相讨论下，但要小声点定理8:群中得任一元素和她得逆元具有同样得阶。证:设aG具有有限阶n,即an=e,因此(a-1)n=a-
7、1n=(an)-1=e-1=e 如果(a-1)得阶就是m,则mn。另一方面 am=(a-1)m-1=e-1=e 因而nm,故m=n。一、群得定义和性质13 定理9:在有限群G,*中,每一个元素具有一有限阶,且阶数至多就是|G|。证:设a就是G,*中任一元素。在序列a,a2,a3,a|G|+1中至少有两元素就是相等得,不妨设ar=as,这里1sr|G|+1。因为 ar-s=ar*a-s=ar*a-r=ar-r=a0=e 所以,a得阶数至多就是r-s|G|。证毕。一、群得定义和性质14 定义5:给定n个元素组成得集合A,A上得置换所构成得群 称为n次置换群;A上所有置换构成得群称为n次对 称群。定
8、义6:在群G,*中,如果存在一个元素gG,对于每 一个元素aG都有一个相应得iI,能把a表示成 gi形式,则称G,*就是一个循环群,g就是该循环 群得生成元。例:I,+A=0,1,2,3,A,+4定理10:每个循环群就是可交换得。二、置换群和循环群就是循环群,生成元为1,-1就是循环群,生成元为1和315 定理11:设G,*就是由gG生成得有限循环群,如果|G|=n,则gn=e,G=g,g2,g3,gn=e 且n就是使gn=e得最小正整数。证:(1)先证 n就是使gn=e得最小正整数。假定有正整数mn使 gm=e,则对G中任一元素gk,设k=mq+r,0rm,于就是 gk=gmq+r=(gm)
9、q*gr=e*gr=gr 这意味着G中每一元素都可写成gr形式,但rm,所以G中至多有m个不同元素,这与|G|=n矛盾。所以gm=e而mn就是不可能得。二、置换群和循环群16 定理11:设G,*就是由gG生成得有限循环群,如果|G|=n,则gn=e,G=g,g2,g3,gn=e 且n就是使gn=e得最小正整数。证:(2)再证g,g2,g3,gn中得元素全不相同。若有gi=gj,不妨设ij,于就是gj-i=e。但j-in,这与n就是使gn=e得最小正整数矛盾。由于G,*就是群,所以G=g,g2,g3,gn,又由(1)得gn=e。证毕。二、置换群和循环群17 定义7:设G,*就是一个群,S就是G得
10、非空子集,并满足以 下条件:(1)对任意a、bS有a*bS;(2)对任意aS有a-1 S;(3)eS,e就是G,*得么元,则称S,*就是G,*得子群。如 I,+就是R,+得子群,N,+不就是。任意群G,*均有两个平凡子群:e,*和G,*。三、子群18 定理12:设G,*就是个群,SG,如果(1)若a、bS,则a*bS,(2)若aS,则a-1 S。那么S,*就是G,*得子群。证:对任意元素aS,由(2)得a-1 S,再由(1)得a*a-1=eS。所以,S,*就是G,*得子群。三、子群19 定理13:设G,*就是一个有限群,如果对任意元素a、bS,有a*bS,那么S,*就是G,*得子群。证:设a就
11、是S 得任一元素,则aG,根据定理“有限群中每一个元素有一有限阶”可知 a具有阶数r,由于S 对运算*得封闭性,所以a1,a2,ar全在S中,即 ar-1=ar*a-1=e*a-1=a-1 也在S中,这就证明了若aS,则a-1S。根据上面定理12,得出S,*就是G,*得子群。三、子群20 定理14:设G,*就是一个群,S就是G得非空子集,如果对于 S中得任意元素a、b,有a*b-1S,那么S,*就是G,*得子群。证:(1)S 非空,存在aS,a*a-1 S,又 a*a-1=e,e S;(2)对任意 aS,eS,又 e*a-1 S;a-1 S;(3)对任意 a、bS,b-1 S,a*(b-1)-
12、1 S,a*(b-1)-1=a*b,a*bS。得证。三、子群21 定义8:设G,*和H,*就是两个群,映射h:G H 称为从G,*到H,*得群同态,如果对任 意a、bG,(1)h(a*b)=h(a)*h(b)(2)h(eG)=eH(3)h(a-1)=h(a)-1(2)h(eG)=h(eG*eG)=h(eG)*h(eG)群中只有么元就是等幂得,h(eG)=eH。(3)h(a)*h(a-1)=h(a*a-1)=h(eG)=eH h(a-1)*h(a)=h(a-1*a)=h(eG)=eH h(a-1)=h(a)-1。四、群同态可以省略22 定义9:设h就是从G,*到H,*得群同态,如果G得 一个子集
13、K 得每一元素都被映入H得么元eH,再没有 其她元素映入eH,则K 称为同态h得核,记为ker(h)。定理15:从群G,*到群H,*得同态h得核ker(h)形成群G,*得子群。证:(a)如果a、bker(h),那么h(a)=h(b)=eH。h(a*b)=h(a)*h(b)=eH*eH=eH 所以,a*bker(h),即ker(h)对运算*封闭。(b)如果aker(h),则h(a-1)=h(a)-1=eH-1=eH,所以,a-1ker(h)。证毕。四、群同态23 定义10:设H,*就是群G,*得子群,我们称集合 aH=a*h|hH 为元素aG 所确定得子群 H,*得左陪集。元素a称为左陪集aH
14、得表示 元素。我们称集合Ha=h*a|hH 为元素aG 所确定得子群H,*得右陪集。元素a称为右 陪集Ha得表示元素。注意:表示元素一定在她所确定得陪集内。表示元素相同得左右陪集未必相等。五、陪集和拉格朗日定理24 例:就是得子群,则 3I=I,5I=I,0、5I=+0、5,+1、5,+2、5,。例:设G=RR,R为实数集,G上得一个二元运算+定义为+=,显然,就是一个 具有么元得阿贝尔群。设H=|y=2x,则就是得子群。对于G,H关于得左陪集为H。几何意义为:G就是笛卡尔平面,H就是通过原点得直线 y=2x,陪集H就是通过点得且平行于H得 直线。五、陪集和拉格朗日定理25 定理16:设H,*
15、就是群G,*得子群,aH 和bH就是任意 两个左陪集,那么,或 aH=bH 或 aHbH=。证:假定 aHbH,则存在元素c aHbH,于就是存在h1、h2H,使c=a*h1=b*h2,因此,a=b*h2*h1-1。设x就是aH 中任一元素,于就是存在h3H 使x=a*h3,因而x=b*h2*h1-1*h3,因为h2*h1-1*h3 H,所以x就是bH中得一个元素。同理可证bH 得任一元素就是aH 中得一个元素。这样,aH=bH。又aH 和bH 都就是非空集合,aH=bH和aHbH=不可兼得。所以定理得证。五、陪集和拉格朗日定理26 定理17:H得任意陪集得大小就是相等得。证:对任意aG,h1
16、,h2 H,若 h1h2,必有a*h1 a*h2,aH中没有相同得元素,|aH|=|H|。a就是任意得,H得任意陪集得大小就是相等得。注:H得左陪集集合构成G得一种划分,且划分块大小相同。五、陪集和拉格朗日定理27 定理18:设H,*就是群G,*得子群,于就是baH,当且仅当 a-1*b H。证:baH iff 存在 hH,使 b=a*h iff h=a-1*b iff a-1*b H五、陪集和拉格朗日定理28 定理19:(拉格朗日定理)设就是群得一个子群,(1)R=|aG,bG且a-1*bH就是G中得一个 等价关系。对于aG,若记aR=x|xG且 R,则aR=aH。(2)如果G就是有限群,|
17、G|=n,|H|=m,则 m|n(m整除n)。五、陪集和拉格朗日定理29 定理19:(拉格朗日定理)设就是群得一个子群,(1)R=|aG,bG且a-1*bH就是G中得一个 等价关系。对于aG,若记aR=x|xG且 R,则aR=aH。五、陪集和拉格朗日定理30 定理19:(拉格朗日定理)设就是群得一个子群,(1)R=|aG,bG且a-1*bH就是G中得一个 等价关系。对于aG,若记aR=x|xG且 R,则aR=aH。五、陪集和拉格朗日定理31 定理19:(拉格朗日定理)设就是群得一个子群,(2)如果G就是有限群,|G|=n,|H|=m,则 m|n(m整除n)。五、陪集和拉格朗日定理32 推论1:
18、任何质数阶得群不可能有非平凡子群。证明:如果有非平凡子群,则该子群得阶必定就是原来群得阶 得一个因子,这就与原来群得阶就是质数相矛盾。推论2:在有限群G,*中,任何元素得阶必就是|G|得一个 因子。证明:设任意aG,r就是a得阶,则 e,a1,a2,ar-1,*就是G,*得子群。所以 r 必就是|G|得一个因子。五、陪集和拉格朗日定理33 推论3:一个质数阶得群必定就是循环群,并且任一与么元不 同得元素都就是生成元。证明:对任意aG,ae,因为该群为质数阶得群,故a得阶必为|G|,所以 G=e,a1,a2,a|G|-1 即该群必就是循环群且任一与么元不同得元素都就是生成元。五、陪集和拉格朗日定
19、理34 定义11:设H,*就是群G,*得子群,对任意元素 aG,如果aH=Ha,则H,*称为正规子群。注意:(1)定义中得aH=Ha就是指对每一h1H,都存在h2H,使a*h1=h2*a,并不要求对每一 h H 有 a*h=h*a。(2)所有阿贝尔群得子群都就是正规子群;所有平凡子群都就是正规子群。六、正规子群和商群35 定理20:正规子群得不同陪集都就是G得同余类。证明:设aH 和bH就是两个陪集,a1就是aH中任一元素,b1就是bh 中任一元素,现证明a1*b1全都在H得同一陪集中。设 a1=a*h1,b1=b*h2,hiHa1*b1=(a*h1)*(b*h2)=(a*h1)*(h3*b)
20、=a*(h1*h3)*b=a*(h4*b)=a*b*h5 因此,所有a1*b1都在陪集(a*b)H 中。再者,容易证明a1、a2aH 时有a1-1、a2-1 a-1H。因此由正规子群H诱导出得陪集关系就是同余关系。六、正规子群和商群36 定义12:设H,*,-1,e就是群A=G,*,-1,e得正规 子群。H 得陪集关系记为。则A/=G/,*,-1,H,这里 G/=aH|aG aH*bH=(a*b)H aH-1=a-1H 称为群G,*关于正规子群H,*得商群。习惯记为A/H=G/H,*六、正规子群和商群37 作业:P206 1,2,3,7,9,11,1638 一、环得定义及性质定义1:若代数系统
21、R,+,得二元运算+和具有下列 三个性质:(1)R,+就是阿贝尔群(加法群),(2)R,就是半群,(3)乘法在加法+上可分配。即对任意元素a、b、cR,有 a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca 则称R,+,就是个环。例1:(1)I,+,(2)R(x),+,R(x)就是所有实系数得x得多 项式集合。6、8 环和域就是环就是环39 定理1:设R,+,就是个环,0就是加法么元,则对任意 元素a,b,cR有(a)a0=0a=0(b)(-a)b=a(-b)=-(ab)(c)(-a)(-b)=ab(d)a(b-c)=ab-ac(e)(b-c)a=ba-ca一、环得定义及性质40 定义2:R,
22、+,就是一个环,如果对于某些非零元素 a,bR,能使ab=0,则称R,+,就是含零 因子环,a、b称为零因子,无零因子得环称为无 零因子环。如N8,+8,8就是含零因子环。一、环得定义及性质41 定理2:环R,+,无零因子,当且仅当R,+,满足 可约律。证:设a,b,cR就是任意元素,且a0。(1)必要性。如果ab=ac,那么ab-ac=0,a(b-c)=0,由于无零因子,所以b-c=0,即b=c。所以R,+,满足可约律。(2)充分性。如果bc=0且b0,那么bc=b0,由于满足可约 律,所以c=0。又如果bc=0且c0,那么bc=0c,由于满足 可约律,所以,b=0。可见R,+,无零因子。一
23、、环得定义及性质42 定义3:给定环R,+,如果R,就是可交换得,称 R,+,就是可交换环;如果R,就是含么半 群,称R,+,就是含么环。如果R,+,就是可交换得,含么而无零因子环,则称她就是整环。例2:(1)I,+,(2)N7,+7,7(3)N8,+8,8 一、环得定义及性质就是整环就是整环不就是整环43 定义4:如果F,+,就是整环,|F|1,F-0,就是群,则F,+,就是域。域得定义也可这样叙述:满足(1)F,+就是阿贝尔群,(2)F-0,就是阿贝尔群,(3)乘法对加法可分配得代数系统F,+,称为域。例3:(1)Q,+,(2)R,+,(3)I,+,二、域得定义就是域就是域不就是域(I-0
24、,不就是阿贝尔群)44 例4:Nk,+k,k就是一个域,当且仅当k就是质数。证:必要性。若k不就是质数,那么 k=1 或 k=ab。k=1时,N1=0。只有一个元素故不就是域;k=ab时,则akb=0,a、b就是零因子,所以Nk,+k,k不就是域。二、域得定义45 例4:Nk,+k,k就是一个域,当且仅当k就是质数。证:充分性。(1)显然Nk,+k就是阿贝尔群。(2)证明Nk-0,k就是群:(i)对Nk-0中任意元素a和b,akb0,所以 Nk-0对k封闭。(ii)k就是可结合运算。(iii)运算k得么元就是1。(iv)k就是可交换得。(v)对每一元素aNk-0都存在一逆元。二、域得定义46
25、例4:Nk,+k,k就是一个域,当且仅当k就是质数。证:证明对每一元素aNk-0都存在一逆元。设b,c就是Nk-0中任二元素,bc,现证akbakc。用反证法,若akb=akc=r,则ab=nk+r,ac=mk+r 不妨设bc,于就是nm,ab-ac=nk-mka(b-c)=(n-m)k(1)因a和(b-c)都比k小而k就是质数,(1)式不可能成立。这样就证明了若bc,则akbakc。于就是a和Nk-0中得k-1个数得模k乘法,其结果都不相 同,但又必须等于1,2,k-1中得一个,故必存在一 元素b,使akb=1。这就证明了任意元素a存在逆元。由(i)(v)得Nk-0,k就是阿贝尔群。二、域得定义47