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1、北师大版八下1.1等腰三角形(共18题)一、选择题(共10题)1. 用反证法证明“在 ABC 中,如果 ABAC,那么 BC”时,应假设 A AB=AC B B=C C ABAC D BC 2. 用反证法证明“在 ABC 中,如果 BC,那么 ABAC”时,应假设 A AB=AC B B=C, C ABAC D BC 3. 关于等腰三角形,以下说法正确的是 A有一个角为 40 的等腰三角形一定是锐角三角形B等腰三角形两边上的中线一定相等C两个等腰三角形中,若一腰以及该腰上的高对应相等,则这两个等腰三角形全等D等腰三角形两底角的平分线的交点到三边距离相等4. 一个三角形的三边长度比例关系是 1:
2、3:2,则这个三角形是 A顶角是 30 的等腰三角形B等边三角形C有一个锐角为 45 的直角三角形D有一个锐角为 30 的直角三角形5. 如图,ABC 中,AD 是 BAC 的平分线,DEAB 交 AC 于点 E,若 DE=7,CE=5,则 AC= A 11 B 12 C 13 D 14 6. 在 ABC 中,ACB=90,CD 是斜边 AB 上的高,A=30,以下说法错误的是 A AD=2CD B AC=2CD C AD=3BD D AB=2BC 7. 如图,ABC 中,以 B 为圆心,BC 长为半径画弧,分别交 AC,AB 于 D,E 两点,并连接 BD,DE,若 A=30,AB=AC,则
3、 BDE 的度数为 A 45 B 52.5 C 67.5 D 75 8. 将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠,AE,EF 为折痕,BAE=30,BE=1,折叠后,点 C 落在 AD 边上的 C1 处,并且点 B 落在 EC1 边上的 B1 处则 EC 的长为 A 3 B 2 C 3 D 23 9. 等腰三角形的周长为 12,则腰长 a 的取值范围是 A 3a3 C 4a7 D a0,3x,2x x3x2x,且 x2+3x2=4x2=2x2, 这个三角形是直角三角形,且斜边长为 2x,斜边长是其中一条直角边长的 2 倍,即这个三角形是有一个锐角为 30 的直角三角形5. 【答案】B【解析
4、】因为 ABC 中,AD 是 BAC 的平分线,所以 BAD=CAD,因为 DEAB,DE=7,CE=5,所以 CAD=ADE,所以 AE=DE=7,所以 AC=AE+CE=7+5=126. 【答案】A【解析】 CD 是斜边 AB 上的高, ADC=90, A=30, AC=2CD,B正确,不符合题意;A错误符合题意; ACB=90,A=30, AB=2BC,D正确,不符合题意; ACB=90,CD 是斜边 AB 上的高,A=30, BCD=30, BC=2BD, AB=4AD, AD=3BD,C正确,不符合题意7. 【答案】C【解析】 AB=AC, ABC=ACB, A=30, ABC=AC
5、B=1218030=75, 以 B 为圆心,BC 长为半径画弧, BE=BD=BC, BDC=ACB=75, CBD=1807575=30, DBE=7530=45, BED=BDE=1218045=67.58. 【答案】B【解析】 矩形纸片 ABCD,BAE=30, AE=2BE=21=2,AEB=90BAE=9030=60, AB 沿 AE 翻折点 B 落在 EC1 边上的 B1 处, AEB1=AEB=60, 矩形对边 ADBC, EAC1=AEB1=60, AEC1 是等边三角形, EC1=AE=2, EC 沿 BF 翻折点 C 落在 AD 边上的 C1 处, EC=EC1=29. 【
6、答案】A【解析】设等腰三角形的腰长为 a,则其底边长为:122a, 122aaa122a+a, 3a6,故答案为:3a610. 【答案】C【解析】如图所示,满足条件的点 P 有 8 个二、填空题(共4题)11. 【答案】 36 【解析】顶角是 x 度,则底角就是 2x 度,根据三角形内角和定理可得:2x+2x+x=180, 5x=180, x=3612. 【答案】 20 【解析】延长 AB 到 F 使 BF=AD,连接 CF,如图 CAD=60,AED=60, ADE 为等边三角形, AD=DE=AE,ADE=60, BDE=180ADE=120, CDB=2CDE, 3CDE=120,解得
7、CDE=40, CDB=2CDE=80, BF=AD, BF=DE, DE+BD=CE, BF+BD=CE,即 DF=CE, AF=AD+DF,AC=AE+CE, AF=AC,而 BAC=60, AFC 为等边三角形, CF=AC,F=60,在 ACD 和 FCB 中, AD=FB,A=F,AC=FC, ACDFCBSAS, CB=CD, CBD=CDB=80, DCB=180CBD+CDB=2013. 【答案】 20 【解析】如图示:延长 BD 交 CE 于 G 点,作 AKGD 交 CE 于 K,交 GD 于 O设 ABF=,则 ACE=2 ACB=90,AC=BC, ABC=45 CBG
8、=CBAABF=45,BCG=ACB+ACE=90+2 CGB=180BCGCBG=18090+245=45. CBG=CGB CG=CB=CA在 RtADO 和 RtBDC 中, ADO=BDC,AOD=BCD=90, DAO=DBC,则有 CAK=CGD在 CAK 和 CGD 中, CAK=CGD,CA=CG,ACK=GCD, CAKCGDASA CK=CD,CKA=CDG=DCB+CBD=90+45=135 EKA=180CKA=180135=45+又 EAK=EACCAK=9045=45+,即有 EK=EA, EA=EK=CECK=CECD=138=5 SCDE=12CDEA=1285
9、=2014. 【答案】 112.5 【解析】以 AC 为直角边作等腰直角 ACE,CE=AC,ECA=90,连接 BE,如图 2 所示: BCD=90, ECA+ACB=BCD+ACB,即 ECB=ACD,在 ECB 和 ACD 中, CE=AC,ECB=ACD,BC=CD, ECBACDSAS, BE=AD, 当 AD 取得最大值时,BE 也取得最大值, BEAE+AB, 当且仅当 E,A,B 三点共线时,BE=AE+AB, 当 AD 取得最大值时,E,A,B 三点共线, ACE 是等腰直角三角形, CAE=45, CAB=180CAE=18045=135, AB=AC, ACB=ABC=1
10、2180CAB=12180135=22.5, ACD=ACB+BCD=22.5+90=112.5三、解答题(共4题)15. 【答案】(1) 线段 AB 的垂直平分线如图所示(2) DE 是 AB 的垂直平分线, AE=BE, BAE=B=40, BEA=180BBAE=1804040=100. 答:BEA 的度数为 10016. 【答案】(1) B=90, BAD+BDA=90, ADE=90,点 D 在线段 BC 上, BAD+EDC=90, BAD=EDC证法 1:如图 1,在 AB 上取点 F,使得 BF=BD,连接 DF, BF=BD,B=90, BFD=45, AFD=135, BA
11、=BC, AF=CD,在 ADF 和 DEC 中, AF=CD,BAD=CDE,AD=DE, ADFDEC,SAS, DCE=AFD=135(2) DCE=45,理由:如图 4,过 E 作 EFDC 于 F, ABD=90, EDF=DAB=90ADB,在 ABD 和 DFE 中, DAB=EDF,ABD=DFE,AD=AE, ABDDFEAAS, DB=EF,AB=DF=BC, BCBF=DFBF,即 FC=DB, FC=EF, DCE=45【解析】(1) 证法 2:如图 2,以 D 为圆心,DC 为半径作弧交 AC 于点 F,连接 DF, DC=DF,DFC=DCF, B=90,AB=BC
12、, ACB=45,DFC=45, DFC=90,AFD=135, ADE=FDC=90, ADF=EDC,在 ADFCDE 中, AD=DE,ADF=EDC,DF=DC, ADFCDESAS, AFD=DCE=135证法 3:如图 3,过点 E 作 EFBC 交 BC 的延长线于点 F, EFD=90, B=90, EFD=B,在 ABD 和 DFE 中, BAD=CDE=90ADB,B=EFD,AD=DE, ABDDFEAAS, AB=DF,BD=EF, AB=BC, BC=DF,BCDC=DFDC,即 BD=CF, EF=CF, EFC=90, ECF=45,DCE=13517. 【答案】
13、(1) 30 (2) (1)中结论成立理由如下: ABC 和 CDE 均为等边三角形, AC=BC,CD=CE,ACB=DCE=60, ACD+DCB=DCB+BCE=60, ACD=BCE在 ACD 与 BCE 中, AC=BC,ACD=BCE,CD=CE, ACDBCESAS, CAD=CBE, 在等边 ABC 中,M 是 BC 中点 CAD=12BAC=30, CBE=30(3) 如图,过点 C 作 CNBQ 于点 N, CP=CQ, PQ=2PN, ABC 是等边三角形,AM 是中线, CMAD,CM=12BC=126=3, CN=CM=3(全等三角形对应边上的高相等), CP=CQ=
14、4, PN=CP2CN2=4232=7, PQ=2PN=27【解析】(1) 在等边 ABC 中,M 为 BC 边上的中点,D 与 M 重合, BD=CD, CDE 是等边三角形, CDE=60,CD=DE, BD=DE, BED=DBE,又 BED+DBE=CDE=60, DBE=30,即 CBE=3018. 【答案】(1) 如图所示(2) ACB=90,ABC=30, CAB=60,由画图知 AO 平分 BAC, CAO=12BAC=30, OC=12OA,由勾股定理知,OC2+AC2=OA2,且 AC=3, OC2+9=4CO2, OC=3, 圆 O 的面积 =OC2=3【解析】(1) 以 A 为圆心,以任意长为半径(小于 AC),作弧与 AB,AC 分别交于点 D,E;分别以 D,E 为圆心,以相同长度为半径作弧,两弧长交与点 M;连接 AM 与 BC 交于点 O;以点 O 为圆心,以 OC 为半径作圆学科网(北京)股份有限公司