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1、2023 考研必备：超经典的考研数学考点与题型归类分析总结1 高数局部1.1 高数第一章函数、极限、连续求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小；2.利用洛必达法则，对于0 型和 型的题目直接用洛必达法则，对于0 、 0 、1 型0的题目则是先转化为0型或型，再使用洛比达法则；3.利用重要极0限，包括limx 0xsin x= 1 、lim (1 + x ) x = e1x 0、lim(1 + 1 ) xxx = e ；4.夹逼定理。1.2 高数其次章导数与微分、第三章不定积分、第四章定积分其次章导数与微分与前面的第一章函数、极限、连续、后面的第三章不定积分、第四章定积分都是根底性学问，一
2、方面有单独出题的状况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限； 更重要的是在其它题目中需要做大量的敏捷运用，故格外有必要打牢根底。对于第三章不定积分，陈文灯复习指南分类争论的格外全面， 范围远大于考试可能涉及的范围。在此只提示一点：不定积分1 f ( x )dx = F ( x ) + C 中的积分常数C 简洁被无视，而考试时假设在答案中少写这个C 会失一分。所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分 f ( x )dx 的结果可以写为F(x)+1，1 指的就是那一分， 把它折弯后就是 f ( x )dx = F ( x ) + C 中的那个C,漏掉了C 也就漏掉了这 1 分。第四章定积
3、分及广义积分可以看作是对第三章中解不定积分 方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要留意定积分 与不定积分的差异出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于 af ( x )dx 型定积分，假设 f(x) 是奇函数则有- a af ( x )dx =0；假设 f(x)为偶函数则有 a- a- apf ( x )dx =2 a0pf ( x )dx ；对于 2 f ( x )dx0型积分，f(x)一般含三角函数，此时用t =- x 的代换是常2用方法。所以解这一局部题的思路应当是先看是否能从积分上下限中 入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u 和利用性质a
4、 奇函数 = 0、a 偶函数 = 2 a 偶函数 。在处理完积分上下- a- a0限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于 证明定积分等式的题目也同样有效。21.3 高数第五章中值定理的证明技巧由本章中值定理的证明技巧争论一下证明题的应对方法。用以下这组规律公式来作模型：假设有规律推导公式A E、(A I B) C、(C D E) F,由这样一组规律关系可以构造出假设干难易程度不等的I I 证明题，其中一个可以是这样的：条件给出A、B、D，求证F 成立。为了证明F 成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件入手证明称之为正方向，把从结论入手证明称之为反方向。正方向入手时
5、可能遇到的问题有以下几类：1.的规律推导公式太多，难以从中找出有用的一个。如对于证明F 成立必备规律公式中的A E 就可能有A H、A (II K)、(A I B) M 等等公式同时存在，有的规律公式看起来最有可能用到，如(AI B) M，由于其中涉及了题目所给的 3 个条件中的 2 个，但这恰恰走不通； 2.对于解题必需的关键规律推导关系不清楚，在该用到的时候想不起来或者弄错。如对于模型中的(AI B) C，假设不知道或弄错则肯定无法得出结论。从反方向入手证明时也会遇到同样的问题。通过对这个模型的分析可以看出，对可用学问点把握的不结实、 不娴熟和无法有效地从众多解题思路中找出答案是我们解决不
6、了证明题的两大缘由。针对以上分析，解证明题时其一要敏捷，在一条思路走不通时必须快速转换思路，而不应当再从头开头反复地想自己的这条思路是不 是哪里出了问题；另外更重要的一点是如何从题目中尽可能多地猎取3信息。当我们解证明题遇到困难时，最常见的状况是拿到题莫名其妙， 感觉条件与欲证结论简直是风马牛不相及的东西，长时间无法入手； 好不简洁找到一个大致方向，在做假设干步以后却再也无法与结论拉近距离了。从出题人的角度来看，这是由于没能够有效地从条件中猎取信息。“尽可能多地从条件中猎取信息”是最明显的一条解题思路， 同时出题教师也正是这样安排的，但从题目的“欲证结论”中猎取信 息有时也格外有效。如在上面提
7、到的模型中，假设做题时一开头就想到了公式(C D E)F 再倒推想到 (A B)C、 A E 就可以证明III了。假设把主要靠分析条件入手的证明题叫做“条件启发型”的证明题，那么主要靠“倒推结论”入手的“结论启发型”证明题在中值定 理证明问题中有很典型的表现。其中的规律性很明显，甚至可以以表格的形式表示出来。下表列出了中值定理证明问题的几种类型：条件欲证结论可用定理A 关于闭区间 存在一个 介值定理结论局部为：存在一个e 使上的连续函 e 满足某 得 f( e ) = k 数，常常是 个式子只有连续性零值定理结论局部为：存在一个e 使得 f( e ) = 0 B 条件包括函 存在一个 费尔马定
8、理结论局部为： f( x 0)= 0 数在闭区间e满 足 洛尔定理结论局部为：存在一个e 使4上连续、在开区间上可导f ( n )( e)= 0得 f( e )= 0 C 条件包括函 存在一个 拉格朗日中值定理结论局部为：存在数在闭区间e满 足 一个e 使得 f=(e )f ( b ) - f ( a ) b - a上连续、在nf( )( e)= k柯西中值定理结论局部为：存在一个e开区间上可f 使得 ( e )=f ( b ) - f ( a ) 导g ( e )g ( b ) - g ( a )另外还常利用构造关心函数法，转化为可用费尔马或洛尔定理的形式来证明从上表中可以觉察，有关中值定理
9、证明的证明题条件一般比较薄弱，如表格中B、C 的条件是一样的，同时A 也只多了一条“可导性” 而已；所以在面对这一局部的题目时，假设把与证结论与可能用到的几个定理的的结论作一比较，会比从题目条件上挖掘信息更简洁找到入手处。故对于本局部的定理如介值、最值、零值、洛尔和拉格朗日中值定理的把握重点应当放在熟记定理的结论局部上；假设能够做到想到介值定理时就能同时想起结论“存在一个e 使得 f( e ) = k ”、看到题目欲证结论中消灭类似“存在一个e 使得 f( e )= k ”的形式时也能马上想到介值定理；想到洛尔定理时就能想到式子f( e )= 0 ；而见f 到式子( e )g( e )=f (
10、 b ) - f ( a )g ( b ) - g ( a )也如同见到拉格朗日中值定理一样，那么在处理本局部的题目时就会轻松的多，时常还会收到“豁然开朗”的效果。5所以说，“牢记定理的结论局部”对作证明题的好处在中值定理的证明问题上表达的最为明显。综上所述，针对包括中值定理证明在内的证明题的大策略应当是“尽一切可能挖掘题目的信息，不仅仅要从条件上充分考虑，也要重视题目欲证结论的提示作用，正推和倒推相结合；同时保持糊涂理智， 降低出错的可能”。期望这些想法对你能有一点启发。不过仅仅弄明白这些离实战要求还差得很远，由于在实战中证明题难就难在答案中用到的变形转换技巧、性质甚至定理我们当时想不到；很
11、多结论、性 质和定理自己感觉确实是弄懂了、也差不多记住了，但是在做题时那种没有提示、或者提示很少的条件下还是无法做到敏捷运用；这也就是自身感觉与实战要求之间的差异。这就像在记英语单词时，看到英语能想到汉语与看到汉语能想到英语的把握程度是不同的一样，对于考研数学大纲中“理解”和“掌 握”这两个词的生疏其实是在做题的过程中才渐渐清楚的。我们需要做的就是靠足量、高效的练习来透彻把握定理性质及娴熟运用各种变形转换技巧，从而到达大纲的相应要求，提高实战条件下解题的胜算。 依我看，最大的技巧就是不依靠技巧，做题的问题必需要靠做题来解决。61.4 高数第六章常微分方程本章常微分方程局部的构造简洁，陈文灯复习
12、指南对一阶微分方程、可降阶的高阶方程、高阶方程都列出了方程类型与解法对应的表格。历年真题中对于一阶微分方程和可降阶方程至少是以小题消灭的，也常常以大题的形式消灭，一般是通过函数在某点处的切线、法 线、积分方程等问题来引出；从历年考察状况和大纲要求来看，高阶局部不太可能考大题，而且考察到的类型一般都不是很简单。对于本章的题目，第一步应当是辨明类型，实践证明这是必需放在第一位的；分清类型以后依据对应的求解方法按部就班求解即可。 这是由于其实并非全部的微分方程都是可解的，在大学高等数学中只争论了有限的可解类型，所以出题的敏捷度有限，很难将不同的学问点严密结合或是敏捷转换。这样的学问点特点就打算了我们
13、可以实行相对机械的“辨明类型套用对应方法求解”的套路 ，而且各种类型的求解方法正好也都是格式化的，便于以这样的方式使用。先争论一下一阶方程局部。这一局部构造清楚，对于各种方程的 通式必需牢记，还要能够对易混淆的题目做出准确推断。各种类型都 有自己对应的格式化解题方法，这些方法死记硬背并不简洁，但有规 律可循这些方法最终的目的都是统一的，就是把以各种形式消灭 的方程都化为f(x)dx=f(y)dy 这样的形式，再积分得到答案。对于可分别变量型方程 f1( x ) g1( y )dx + f2( x ) g2( y )dy = 0 ， 就是变形为7f ( x )1dx =- g( y ) dy，再
14、积分求解；对于齐次方程 y = f (y ) 则做变量2xf( x )2g ( y )1替换 u =y ，则 y 化为u + x duxdx，原方程就可化为关于u 和 x 的可分离变量方程，变形积分即可解；对于一阶线性方程y + p ( x ) y = q ( x )第一步先求 y + p ( x ) y = 0 的通解，然后将变形得到的dyy= - p ( x )dx积分，其次步将通解中的C 变为C(x)代入原方程y + p ( x ) y = q ( x ) 解出 C(x)后代入即可得解；对于贝努利方程y + p ( x ) y = q ( x )y n ，先做变量代换z = y 1- n
15、 代入可得到关于z、x 的一阶线性方程，求解以后将z 复原即可；全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy 比较特别，由于其有条 件 M y= N x， 而 且 解 题 时 直 接 套 用 通 解 公 式 x M ( x , y0x0)dx + yy0N ( x , y)dy = C .所以，对于一阶方程的解法有规律可循，不用死记硬背步骤和最 后结果公式。对于求解可降阶的高阶方程也有类似的规律。对于y ( n ) = f ( x ) 型方程，就是先把y ( n -1) 当作未知函数Z，则 y ( n ) = 原方程就化为 dz = f ( x )dx 的一阶方程形式，积分即得；再对y ( n
16、 - 2 ) 、 y ( n - 3) 依次做上述处理即可求解；y = f ( x, y ) 叫不显含 y 的二阶方程，解法是通过变量替换 y = p 、 y = p (p 为 x 的函数 ) 将原方程化为一 阶方程 ； y = f ( y , y ) 叫不显含x 的二阶方程，变量替换也是令y = p 但此中的 p 为 y 的函数，则 y =阶形式。dpdy dydx= p dp dy= pp ，也可化为一所以就像在前面解一阶方程局部记“求解齐次方程就用变量替换8y= u ”，“求解贝努利方程就用变量替换z = y 1- n ”一样，在这里也x要记住“求解不显含y 的二阶方程就用变量替换y =
17、 p 、y = p ”、“求解不显含x 的二阶方程就用变量替换y = p 、 y = pp ”。大纲对于高阶方程局部的要求不高，只需记住相应的公式即可。 其中二阶线性微分方程解的构造定理与线性代数中线性方程组解的构造定理格外相像，可以比照记忆：假设 y( x )、 y( x )是 齐 次 方 程 假设齐次方程组 Ax=0 的根底解系有12y + p ( x ) y + q ( x ) y = 0 的两个线性无 (n-r)个线性无关的解向量，则齐次方关的特解 ，则该齐 次方程 的通解 为 程组的通解为j ( x ) = c y ( x ) + cy( x )1122x = ky+ ky+ + k
18、y1122n - rn - r非齐次方程 非齐次方程组 Ax=b 的一个通解等于y + p ( x ) y + q ( x ) y =f ( x ) 的通解为 Ax=b 的一个特解与其导出组齐次方程y = c1y( x ) + c12y( x ) + y * ( x )， 其 中 Ax=0 的通解之和21y * ( x ) 是非齐次方程的一个特解，1cy( x ) + c112y( x )是 对 应 齐 次 方 程2y + p ( x ) y + q ( x ) y = 0 的通解假设非齐次方程有两个特解y1( x ) y( x ) ， 假设 r21、r是方程组Ax=b 的两个特解，2则 对
19、应 齐 次 方 程 的 一 个 解 为 则( r1- r)是其对应齐次方程组Ax=02y ( x ) = y1( x ) - y2( x )的解由以上的争论可以看到，本章并不应当成为高数局部中比较难办的章节，由于这一章假设有难点的话也仅在于“如何准确无误地记忆各种方程类型及对应解法”，也可以说本章难就难9在记忆量大上。1.5 高数第七章一元微积分的应用本章包括导数应用与定积分应用两局部，其中导数应用在大题中 消灭较少，而且一般不是题目的考察重点；而定积分的应用在历年真 题的大题中常常消灭，常与常微分方程结合。典型的构题方式是利用 变区间上的面积、体积或弧长引出积分方程，一般需要把积分方程中的变
20、上限积分 xaf (t )dt 单独分别到方程的一端形成“ xaf (t )dt ”的形式，在两边求导得到微分方程后套用相关方程的对应解法求 解。对于导数应用，有以下一些小学问点：1. 利用导数推断函数的单调性和争论极、最值。其中推断函数增减 性可用定义法或求导推断，判定极、最值时则须留意以下两点：A.极值的定义是：对于 x的邻域内异于 x的任一点都有 f ( x ) 00f ( x) 或 f ( x ) f ( x) ,留意是或 而不是或； B. 极00值 点 包 括 图1 、 图2两 种 可 能 ，所 以 只 有 在f ( x ) 在 x处可导且在x处取极值时才有 f ( x ) = 0
21、。以上两点都00是实际做题中常常忘掉的地方，故有必要加深一下印象。102. 争论方程根的状况。这一局部常用定理有零值定理结论局部为 f ( e )= 0 、洛尔定理结论局部为f( e )= 0 ；常用到构造关心函数法；在作题时，画关心图会起到很好的作用，尤其是对于讨 论方程根个数的题目，结合函数图象会比较简洁推断。3. 理解区分函数图形的凸凹性和极大微小值的不同判定条件：A.假设函数 f ( x ) 在 区间I 上的 f ( x ) 0 ，则 f ( x ) 在 I 上是凹的；B.假设 f ( x ) 在点 x 处有 f0( x )= 0 且 f ( x0) 0 ，则当 f ( x0) 0 时
22、 f ( x) 为微小值。00其中，A 是推断函数凸凹性的充要条件，依据导数定义，f ( x )是 f ( x ) 的变化率， f ( x ) 是 f ( x ) 的变化率。 f( x ) 0 可以说明函数是增函数，典型图像是； f ( x ) 0 也只有两种对应图像：c. 此时 f ( x ) 为正，随着x 变大而变大；d. 此时 f ( x ) 为负，随x 变大而变大。所以，当 f ( x ) 0 时，对应图像，是凹的。或的函数相比之下，推断函数极大微小值的充分条件比推断函数凸凹性的充要条件多了“ f( x )= 0 且 f ( x0) 0 ”，这从图像上也很简洁理解：满足 f ( x )
23、 0，推断级数(1) n的敛散性。+nna1x 0n关键步骤是：由 1 1 1 得到(1) n ( 1) n ，再利用比较判an+1a +1a1a 1n+敛法的一般形式即得。对于使用比较判敛法极限形式的题目一般也不 会超出“知一判一”和“知性质判敛”这两种形式。幂级数求和函数与函数的幂级数开放问题是重点内容，也是每年都有的必考题。通过做历年真题，我觉察像一元函数微积分应用中的微元法、无穷级数中的求和与开放这样倍受出题人青睐的学问点都有一个相像之处，就是这些学问点从外表上看比较简单、难于把握，实际上也必需通过认真思考和足量练习才能到达应有的深度，但在领悟到解决方法的精华思想以后这些学问点又会“突
24、然”变的格外简洁。也就是说，把握这样的学问点门槛较高，但只要跨过缓慢的起步阶段，后面的路就是一马平川了；同时，具有这种特点的学问点也可 以供给应出题人更大的出题敏捷性，而通过“找到更多便于敏捷出题的学问点来跳出题型套路”正是近几年考研真题出题专家致力到达的目标，这一趋势不仅表达在了近年来的考卷上，也必定是今后的出题方向。所以我们在复习过程中对于具有“浅看简单、深究简洁、思路巧妙、出法敏捷”的学问点要倍加留意，对于无穷级数这样必出大题的章节中间的“求和、开放”这样必出大题的学问点，更是要紧抓不放。 由于这种学问点对“复习时间投入量”的要求接近于一个定值，认认真真搞明白以后，只要接着做适量的题目稳
25、固就行了，有点“一次投 入，终生受益”的意思，花时间来把握很划算。18式，将出错概率降到最小。公式如下：1.11- u= 1 + u + u 2 + + u n + = u nn = 0-1，12.11+ u= 1 - u + u 2 - u 3 + + ( - 1) n u n + = ( - 1) n u nn = 0-1，13.ln( 1 + u ) = u -1 u 22+1 u 33- + ( - 1) nu n + 1n + 1+ = ( - 1) nu n + 1n + 1n = 0( - ,+ )另外，“求和与开放”的简洁之处还在于：到达娴熟做题程度以后会觉察其大有规律可循。这
26、种规律是建立在对6 个关键的函数开放式“熟之又熟”的把握上的。对此 6 个开放式的把握必需像把握重要定理一样，对条件、等式的左端和右端都要牢牢记住，不但要一见到 三者中的任意一个就能马上写出其他两局部，而且要能够区分相像公4.2 nune= 1 + u +( - ,+ )1 u+ +2!1 u+ =n !un !n = 0195.sin u = u -( - ,+ )1 u 2 + + ( - 1) n3!1( 2 n +1)!u 2 n +1+ =n = 0( - 1) n u 2 n + 1( 2 n +1)!6.24+ ( - 1) nu 2 n + = 12!4!( 2 n )!n =
27、 0( - ,+ )cos u = 1 -1 u+1 u- ( - 1) nu 2 n( 2 n )!这六个公式可以分为两个局部，前 3 个相互关联，后 3 个相互关联。1 式是第一局部式子的根底。1 + u + u 2+ + u n+ 不就是一个无穷等比数列吗，在| u | 1 时的求和公式s =11- u正是函数开放式的左端。所以这个式子最好记，以此为动身点看式子2：1 式左端是 1 1 - u，2 式左端是11+ u；1 式右端是u n n = 0，2 式右端也仅仅是变成了穿插级数n = 0( - 1) n u n,故可以通过这种比较来记忆式子2；对于 3式来说， 公式 左端 的 ln(
28、 1 + u ) 与 2 式左端 的11+ u存在着 关系“ln( 1 + u ) =11+ u”，故由11+ u的开放式可以推导出ln( 1 + u ) 的开放式为n = 0( - 1) n u n + 1n +1。这三个式子中的u ( - 1,1) ，相互之间存在着上述的清楚联系。后 3 个式子的u ( - ,+ ) ，相互之间的联系主要在于公式右20e u= 端开放式形式上的相像性。这一局部的根本式是公式4：n = 0 u nn !与之相比， sin u 的开放式是n = 0( - 1) n u 2 n + 1( 2 n +1)!， cos u 的开放式是u 2 n( - 1) n( 2
29、 n )!n = 0。一个可看成是将e u开放式中的奇数项变成穿插级数得到的，一个可看成是将e u开放式中的偶数项变成穿插级数而得到。像这样从“形似”上把握不费脑子，但要冒记混淆的危急，但此处恰 好都是比较顺的搭配：sin u 、cos u 习惯上说“正余弦”，先正后余；而sin u 的开放式对应的是奇数项，cos u 的开放式对应的是偶数项， 习惯上也是说“奇偶性”，先奇后偶。记好 6 个关键式是解决幂级数求和与函数的幂级数开放问题的根底，不仅在记忆上具有规律性，在解题时也大有规律可循。在幂级数求和函数时，最正确途径是依据各个公式右端的形式来选定公式：第一局部(前 3 式)的开放式都不带阶乘
30、，其中只有1的1- u开放式不是穿插级数；其次局部后3 式的开放式都带阶乘，其中只有 e u的开放式不是穿插级数。由题目给出的幂级数的形式就可以看个八九不离十了，比方给出的幂级数带阶乘而不是穿插级数，则应该用公式 4，由于幂级数的变形变不掉阶乘和( - 1) n；假设题目给出的幂级数不带阶乘而且是穿插级数，则必从2、3 两式中选择公式，其它状况也类似。对于函数的幂级数开放题目，则是从条件与各公式左端的相21似性上入手，相对来说更为简洁。在推断出所用公式以后一般要使用 以下变形方法使得题目条件的形式与公式相符：变量替换用于函数的幂级数开放、四则运算用于开放、求和、逐项微积分用 于开放、求和。对于数项级数求和的题目，主要方法是构造幂级数法，即利用变换ann = 0= limx 1n = 0ax n n求得幂级数n = 0ax n n的和函数 s ( x ) 以后代入极限式即可。其中的关键步骤是选择适当的x n，一般状况下假设n 、( 2 n - 1) 这样的项在分子中，则应领先用逐项积分再