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1、关于一道不等式证明问题的感想不等式的证明对高中学生来讲是难点，因为不等量关系比等量关系难以理解更不好利用，再加上不等量变形的技巧妙趣无穷，下面这道不等式的证明将给你一种全新的感觉。 例题：设aR，函数f(x)=ax2+xa(1x1)，若|a|1，证明：|f(x)|5/4。 一、 构造意识为主线，合理放缩是关键。分析：最大值是5/4，构造二次函数达到目标是比较理想的结果，只是条件；|x|1，a1不好利用，只有巧妙的放缩才能完成二次函数的构造。 证明一：|x|1，|a|1.|f(x)|=|a(x21)+x|a(x21)|+|x|=|a|x21|+|x|x21|+|x|=|1 x2|+|x|=1(|
2、x|)2+|x|=(|x|1/2)2+5/45/4 二、 标准模型为目标，合理换元是高招。分析：要证|f(x)|5/4 ，只需证 5/4f(x)5/4。这是常规的思路，寻此思路再附以恰当的换元不难找到证明方法。 证明二：|a|1，|x|1， 可设 x= sin， a=cos ，R 则f(x)= cossin2+ sincos=cos(sin21)+ sin 1 cos1， 1sin210 sin2+sin1f(x)sin2+sin+1，即( sin+1/2)2-5/4f(x)(sin1/2)2+5/4 5/4f(x)5/4 |f(x)|5/4。 三、 一次函数雾里现，比较大小看增减。分析：f(
3、x)的解析式中把a当成自变量就是一次函数，并且斜率为负数或0，由函数的单调性f(x)的取值范围（不等关系）容易找到。 证明三：f(x)= a（x21）+x看作是a的一次函数g(a)， 由|x|1得（斜率）x210 （1） 当x210 时，关于a的一次函数g(a) =f(x)是减函数， g(1)f(x)g(1) x21+xf(x)（x21）+x ， (x+1/2)25/4f(x)(x1/2)2+5/4 5/4f(x)5/4 |f(x)|5/4。 （2）当x21=0时， g(a) =f(x)= x f(x)=|x|1，显然|f(x)|5/4。综上可知|f(x)|5/4。 四、变量转换出新意，纲举目
4、张非奇迹。 分析：把变量a当成主线，变量a的范围可以牵出f(x)的范围，它体现出变量转换的神奇，当然这并不影响变量之间的内在联系，却为不等式的构造开辟了新的途径。 证明四：（1）当x210 时，f(x)=ax2+xa变形为：a= (f(x)x)/ (x21)， |a|1，|(f(x)x)/ (x21)|1 1 (f(x)x)/ (x21)1 ， 去分母得：x21+xf(x)（x21）+x (x+1/2)25/4f(x)(x1/2)2+5/4 5/4f(x)5/4 （2）当x21=0时，f(x)=x|f(x)|=|x|1，显然|f(x)|5/4。 综上可知|f(x)|5/4。 五、 常规思路也见
5、效，分类讨论须知道。 分析：这本来就是二次函数f(x)在闭区间（x1，1）内极值的问题，只要就对称轴 (x=1/2a)的不同位置分别讨论就可得到结论，当a=0时f(x)为一次函数也不要忘记。 证明五：函数f(x)=ax2+xa(1x1)， （1） 当a=0时， f(x)=x|f(x)|=|x|1，结论显然成立。 （2）当a0时，二次函数f(x)=ax2+xa(1x1)的对称轴是x=1/2a，由于|a|1 ，x=1/2a（，1/21/2，）当|1/2a|1时，无论二次函数f(x)=ax2+xa(1x1)图象开口如何，x1，1都是单调区间，必然有|f(x)|f(1)|或|f(x)|f(1)|，而|f(1)|=1，|f(x)|5/4显然成立。当|1/2a|1时，二次函数f(x)=ax2+xa=a(x+1/2a)2(4a2+1)/4a(1x1)（端点处已无须考虑），在顶点处|f(x)|=|(4a2+1)/4a|=|a+1/4a|5/4，a=1时“=”成立。综上可知|f(x)|5/4。 不等式的证明本来就没有一定的模式，是发挥学生想象力的领域，上面五种方法充分做到了这些。