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1、灰色预测理论 灰色预测的理论基础 灰色预测模型 GM（1，1）的检验 灰色预测的应用实例主要内容2灰色预测的理论基础 灰色系统是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”,“贫信息”的不确定性系统。信息不完全包含：1、系统因素不完全明确；2、因素关系不完全清楚；3、系统结构不完全知道；4、系统作用原理不完全明了。白色系统、灰色系统、黑色系统 白色系统 一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全 充分的。如：存取款系统，存款金额明确，利息固定则最终取款金额就已知。灰色系统 一个系统的内部特征是不完全已知的系统。人体是一个系统，人的身高、体温、血压等都是已知的，可是，人体内部在结构及部位
2、功能上还有许多问题尚未可知。黑色系统 一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究。如：观测到的星体。3灰色系统分析法、数理统计法及模糊法对比4 灰色预测 通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。灰色预测的类型 时间序列预测。用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或者达到某特征量的时间。畸变预测（灾
3、变预测）。通过模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。波形预测，或称为拓扑预测，它是通过灰色模型预测事物未来变动的轨迹。系统预测，是对系统行为特征指标建立一族相互关联的灰色预测理论模型，在预测系统整体变化的同时，预测系统各个环节的变化。5灰色预测模型 关联度分析 灰色生成 GM(1,1)建模机理6关联度分析 关联度分析 根据因素之间发展态势的相似或相异程度来衡量因素间关联的程度，其揭示了事物动态关联的特征与程度。关联分析是灰色系统分析和预测的基础。ACDBxt将曲线A与B、C、D的关联程度分别记为rAB，rAC，rAD，则它们之间有如下排序关系：rAB，rAC，rAD，相
4、应的序列rAB，rAC，rAD称为关联序。由此可见，关联分析实质上是一种曲线间几何形状的分析比较，即几何形状越接近，则发展变化趋势越接近，关联程度越大；反之亦然。7 关联度分析步骤：设原始数列为 X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),x(0)(n)比较数列为 X(i)=(x(i)(1),x(i)(2),x(i)(n)关联系数的定义 其中P称为分辨率，0P1，一般采用P=0.5。对单位不一，初值不同的序列，在计算关联系数之前应首先进行初值化，即将该序列的所有数据分别除以第一数据，将变量化为无单位的相对数值。关联度的计算公式：关联系数只表示了各个时刻参考序列和比较序列之间的关联程度，为了从总
5、体上了解序列之间的关联程度，必须求出它们的时间平均值，即关联度。8大家学习辛苦了，还是要坚持继续保持安静 继续保持安静9例：某地区1977-1983年总收入与养猪、养兔收入资料见表问题：对该地区总收入影响较直接的是养猪还是养兔？10可见，养猪所得收入与总收入的关联程度更大11灰色生成 数的生成 通过对数列中的数据进行处理，产生新的数列，以此来挖掘和寻找数的规律性的方法。对灰色数的处理是利用数据处理的办法去寻找数据间的规律。数的生成方式主要有累加生成、累减生成、均值生成。累加生成 通过数列间时刻各数据的依个累加以得到新的数据与数列，累加所得的新数列叫做累加生成数列。具体地，记原始数列为 X(0)
6、=(x(0)(1),x(0)(2),x(1)(n)累加生成序列 X(i)=(x(i)(1),x(i)(2),x(i)(n)一次累加生成关系 累加生成的作用 通过累加生成可以看出灰量积累过程的发展态势,使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律加以显化。12 累减生成 对数列求相邻两数值的差，是累加生成的逆运算。记原始序列为 X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),),x(1)(n)一次累减生成序列为 X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),x(0)(n)其中，x(0)(k)=x(1)(k)x(1)(k-1)累减生成的作用 累减生成可将累加生成还原为非生成数列,在建模方 程用来获得增量信息。
7、均值生成 设原始序列为X(0）=x(0)(1),x(0)(2),x(0)(n)，x(0)(k-1)与x(0)(k)为数列X(0)的一对（紧）邻值，则称x(0)(k-1)为前值，x(0)(k)称为 后值。对于常数(0,1)则称z(0)(k)=x(0)(k)+(1-)x(0)(k 1)为由数列x(0)的邻值在生成系数（权）下的邻值生成数。特别地，当生成系数为0.5时，则称z(0)(k)=0.5x(0)(k)+0.5x(0)(k 1)为（紧）邻均值生成数，即等权邻值生成数。13 模型符号含义GM(1，1)Grey Model(1阶方程，1个变量)GM(1，1)建模过程 令X（0）为GM(1，1)为原
8、始建模序列：X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),x(0)(n)X（1）为X（0）累加生成序列X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),x(1)(n)x(1)(k)=k=1,2,n 令Z（1）为X（1）的紧邻均值生成序列Z（1）=（z(1)(1),z(1)(2),z(1)(k)）z(1)(k)=o.5 x(1)(k)+0.5 x(1)(k-1)GM(1，1)的灰微分方程模型为x(0)(k+1)+a z(1)(k)=b 式中称为a发展系数，b为灰色作用量。GM（1,1）模型14准备知识一阶微分方程模型 dx/dt+ax=b导数的定义 当t很小并取很小的单位1时x(t+1)-x(t)=x/
9、t则离散形式可写为x/t=x(1)(k+1)-x(1)(k)=x(0)(k+1)由dx/dtx/tx(1)(k+1)-x(1)(k)，在x(1)(k)，x(1)(k+1)范围内，由于很短时间内背景值（即x值）不会发生突变，则取均值 z(1)(k+1)=o.5 x(1)(k)+0.5 x(1)(k+1)作为x的值。则得到灰微分方程为x(0)(k+1)+a z(1)(k)=b则可得矩阵方程x(0)(k+1)=-a z(1)(k)+bYn=B&15 设&为待估参数向量，即&=（a,b）T，则灰微分方程的最小二乘估计参数列满足&=(BTB)TBTYn 其中，B=Y n=称 为灰色微分方程x(0)(k)
10、+az(1)(k)=b的白化方程，也叫影子方程。将上面所求参数代入白化方程，求得其离散解为 还原到原始数据 16GM（1,1）模型检验 GM(1,1)模型的检验分为三个方面：残差检验；关联度检验；后验差检验。残差检验 即对模型值和实际值的残差进行逐点检验。首先按模型计算，将 累减生成，最后计 算原始序列 与 的绝对残差序列 及相对误差序列 并计算平均相对残差 给定，当 且 成立时，称模型为残差合格模型。关联度检验 即通过考察模型值曲线和建模序列曲线的相似程度进行检验。按前面所述的关联度计算方法，计算出 与原始序列 的关联系数，然后算出关联度，根据经验，关联度大于0.6便是满意的。17 后验差检
11、验 即对残差分布的统计特性进行检验。计算出原始序列的平均值：计算原始序列的均方差：计算残差的均值：计算残差的均方差：计算方差比C：计算小残差概率：令S0=0.6745S1,即P=PeiS0。18 下表为后验差检验判别参照表.指标C和P是后验差检验的两个重要指标，C越小越好，C越小表示S1大而S2小。S1大表示原始数据方差大即原始数据离散程度大，S2小表示残方差小即离散程度小，C小则表示尽管原始数据很离散，而模型所得计算值与实际值之差并不太离散。P指标越大越好，P值越大，表明残差与残差平均值之差小于定值0.6745的点较多，即拟合值分布比较均匀，按C、P两个指标，可综合评定预测模型的精度。19灰
12、色预测应用实例以下为某地区平均降水量的原始数据，规定x390的为旱灾年，预测下一个旱灾年的时间。解：首先作灾变映射。按照x(t)390(毫米)为异常值,则有 X=x(q(1)，x(q(2)x(q(6)=x(1),x(9),x(15),x(16),x(18),x(23)得灾变日期序列为Q(0)Q(0)=q(1),q(2),q(6)=1,9,15,16,18,2520据此对Q(0)建立灾变日期序列的GM(1,1)模型。对作一次累加生成，得 求得参数向量 记Q(1)的紧邻生成序列为Z(1)，于是,得灾变GM(1,1)为,灾变日期序列的GM(1,1)序号响应式为 从而 由此可得Q(0)的模拟序列 由 得绝对残差序列 及相对残差序列21 平均相对残差 小于0.10，故可用 进行预测。即从最近一次旱灾发生的时间算起，五年之后可能发生旱灾。22