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1、2023年 中 考 数 学 几 何 辅 助 线 作 法 及 常 考 题 型 解 析 第 一 局 部 常 见 辅 助 线 做 法 等 腰 三 角 形 1.作 底 边 上 的 高，构 成 两 个 全 等 的 直 角 三 角 形，这 是 用 得 最 多 的 一 种 方 法；2.作 一 腰 上 的 高；3.过 底 边 的 一 个 端 点 作 底 边 的 垂 线，与 另 一 腰 的 延 长 线 相 交，构 成 直 角 三 角 形。梯 形 1.垂 直 于 平 行 边 2.垂 直 于 下 底，延 长 上 底 作 一 腰 的 平 行 线 3.平 行 于 两 条 斜 边 4.作 两 条 垂 直 于 下 底 的
2、垂 线 5.延 长 两 条 斜 边 做 成 一 个 三 角 形 菱 形 1.连 接 两 对 角 2.做 高 平 行 四 边 形 1.垂 直 于 平 行 边 2.作 对 角 线 一 一 把 一 个 平 行 四 边 形 分 成 两 个 三 角 形 3.做 高 形 内 形 外 都 要 注 意 矩 形 1.对 角 线 2.作 垂 线 很 简 单。无 论 什 么 题 目，第 一 位 应 该 考 虑 到 题 目 要 求，比 方 AB=AC+BD.这 类 的 就 是 想 方 法 作 出 另 一 条 A B等 长 的 线 段，再 证 全 等 说 明 AC+BD=另 一 条 AB,就 好 了。还 有 一 些 关
3、 于 平 方 的 考 虑 勾 股，A 字 形 等。三 角 形 图 中 有 角 平 分 线，可 向 两 边 作 垂 线 垂 线 段 相 等）。也 可 将 图 对 折 看，对 称 以 后 关 系 现。角 平 分 线 平 行 线，等 腰 三 角 形 来 添。角 平 分 线 加 垂 线，三 线 合 一 试 试 看。线 段 垂 直 平 分 线，常 向 两 端 把 线 连。要 证 线 段 倍 与 半，延 长 缩 短 可 试 验。三 角 形 中 两 中 点，连 接 那 么 成 中 位 线。三 角 形 中 有 中 线，延 长 中 线 等 中 线。解 几 何 题 时 如 何 画 辅 助 线？见 中 点 引 中
4、位 线，见 中 线 延 长 一 倍 在 几 何 题 中，如 果 给 出 中 点 或 中 线，可 以 考 虑 过 中 点 作 中 位 线 或 把 中 线 延 长 一 倍 来 解 决 相 关 问 题。在 比 例 线 段 证 明 中，常 作 平 行 线。作 平 行 线 时 往 往 是 保 存 结 论 中 的 一 个 比，然 后 通 过 一 个 中 间 比 与 结 论 中 的 另 一 个 比 联 系 起 来。对 于 梯 形 问 题，常 用 的 添 加 辅 助 线 的 方 法 有 1、过 上 底 的 两 端 点 向 下 底 作 垂 线 2、过 上 底 的 一 个 端 点 作 一 腰 的 平 行 线 3、
5、过 上 底 的 一 个 端 点 作 一 对 角 线 的 平 行 线 4、过 一 腰 的 中 点 作 另 一 腰 的 平 行 线 5、过 上 底 一 端 点 和 一 腰 中 点 的 直 线 与 下 底 的 延 长 线 相 交 6、作 梯 形 的 中 位 线 7、延 长 两 腰 使 之 相 交 四 边 形 平 行 四 边 形 出 现,梯 形 里 面 作 高 线,平 行 移 动 对 角 线,证 相 似，比 线 段,等 积 式 子 比 例 换,直 接 证 明 有 困 难,斜 边 上 面 作 高 线 对 称 中 心 等 分 点。平 移 一 腰 试 试 看。补 成 三 角 形 常 见。添 线 平 行 成
6、习 惯。寻 找 线 段 很 关 键。等 量 代 换 少 麻 烦。初 中 数 学 辅 助 线 的 添 加 浅 谈 人 们 从 来 就 是 用 自 己 的 聪 明 才 智 创 造 条 件 解 决 问 题 的,当 问 题 的 条 件 不 够 时,添 加 辅 助 线 构 成 新 图 形,形 成 新 关 系,使 分 散 的 条 件 集 中,建 立 与 未 知 的 桥 梁,把 问 题 转 化 为 自 己 能 解 决 的 问 题,这 是 解 决 问 题 常 用 的 策 略。一.添 辅 助 线 有 二 种 情 况:1按 定 义 添 辅 助 线：如 证 明 二 直 线 垂 直 可 延 长 使 它 们，相 交 后
7、 证 交 角 为 90；证 线 段 倍 半 关 系 可 倍 线 段 取 中 点 或 半 线 段 加 倍；证 角 的 倍 半 关 系 也 可 类 似 添 辅 助 线。2按 根 本 图 形 添 辅 助 线：每 个 几 何 定 理 都 有 与 它 相 对 应 的 几 何 图 形，我 们 把 它 叫 做 根 本 图 形，添 辅 助 线 往 往 是 具 有 根 本 图 形 的 性 质 而 根 本 图 形 不 完 整 时 补 完 整 根 本 图 形，因 此“添 线 应 该 叫 做“补 图！这 样 可 防 止 乱 添 线，添 辅 助 线 也 有 规 律 可 循。举 例 如 下：(1)平 行 线 是 个 根
8、本 图 形：当 几 何 中 出 现 平 行 线 时 添 辅 助 线 的 关 键 是 添 与 二 条 平 行 线 都 相 交 的 等 第 三 条 直 线(2)等 腰 三 角 形 是 个 简 单 的 根 本 图 形：当 几 何 问 题 中 出 现 一 点 发 出 的 二 条 相 等 线 段 时 往 往 要 补 完 整 等 腰 三 角 形。出 现 角 平 分 线 与 平 行 线 组 合 时 可 延 长 平 行 线 与 角 的 二 边 相 交 得 等 腰 三 角 形。(3)等 腰 三 角 形 中 的 重 要 线 段 是 个 重 要 的 根 本 图 形：出 现 等 腰 三 角 形 底 边 上 的 中 点
9、 添 底 边 上 的 中 线；出 现 角 平 分 线 与 垂 线 组 合 时 可 延 长 垂 线 与 角 的 二 边 相 交 得 等 腰 三 角 形 中 的 重 要 线 段 的 根 本 图 形。(4)直 角 三 角 形 斜 边 上 中 线 根 本 图 形 出 现 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 点 往 往 添 斜 边 上 的 中 线。出 现 线 段 倍 半 关 系 且 倍 线 段 是 直 角 三 角 形 的 斜 边 那 么 要 添 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 得 直 角 三 角 形 斜 边 上 中 线 根 本 图 形。(5)三 角 形 中 位 线 根 本 图 形 几 何
10、 问 题 中 出 现 多 个 中 点 时 往 往 添 加 三 角 形 中 位 线 根 本 图 形 进 行 证 明 当 有 中 点 没 有 中 位 线 时 那 么 添 中 位 线，当 有 中 位 线 三 角 形 不 完 整 时 那 么 需补 完 整 三 角 形；当 出 现 线 段 倍 半 关 系 且 与 倍 线 段 有 公 共 端 点 的 线 段 带 一 个 中 点 那 么 可 过 这 中 点 添 倍 线 段 的 平 行 线 得 三 角 形 中 位 线 根 本 图 形；当 出 现 线 段 倍 半 关 系 且 与 半 线 段 的 端 点 是 某 线 段 的 中 点，那 么 可 过 带 中 点 线
11、段 的 端 点 添 半 线 段 的 平 行 线 得 三 角 形 中 位 线 根 本 图 形。(6)全 等 三 角 形：全 等 三 角 形 有 轴 对 称 形，中 心 对 称 形，旋 转 形 与 平 移 形 等；如 果 出 现 两 条 相 等 线 段 或 两 个 档 相 等 角 关 于 某 一 直 线 成 轴 对 称 就 可 以 添 加 轴 对 称 形 全 等 三 角 形：或 添 对 称 轴，或 将 三 角 形 沿 对 称 轴 翻 转。当 几 何 问 题 中 出 现 一 组 或 两 组 相 等 线 段 位 于 一 组 对 顶 角 两 边 且 成 一 直 线 时 可 添 加 中 心 对 称 形 全
12、 等 三 角 形 加 以 证 明，添 加 方 法 是 将 四 个 端 点 两 两 连 结 或 过 二 端 点 添 平 行 线(7)相 似 三 角 形：相 似 三 角 形 有 平 行 线 型(带 平 行 线 的 相 似 三 角 形)，相 交 线 型，旋 转 型；当 出 现 相 比 线 段 重 叠 在 一 直 线 上 时(中 点 可 看 成 比 为 1)可 添 加 平 行 线 得 平 行 线 型 相 似 三 角 形。假 设 平 行 线 过 端 点 添 那 么 可 以 分 点 或 另 一 端 点 的 线 段 为 平 行 方 向，这 类 题 目 中 往 往 有 多 种 浅 线 方 法。(8)特 殊 角
13、 直 角 三 角 形 当 出 现 30,45,60,135,150度 特 殊 角 时 可 添 加 特 殊 角 直 角 三 角 形，利 用 4 5角 直 角 三 角 形 三 边 比 为 1：1：V 2；3 0度 角 直 角 三 角 形 三 边 比 为 1：2：J 3 进 行 证 明(9)半 圆 上 的 圆 周 角 出 现 直 径 与 半 圆 上 的 点，添 9 0度 的 圆 周 角；出 现 9 0度 的 圆 周 角 那 么 添 它 所 对 弦 一 直 径；平 面 几 何 中 总 共 只 有 二 十 多 个 根 本 图 形 就 像 房 子 不 外 有 一 砧，瓦，水 泥，石 灰，木 等 组 成 一
14、 样。二.根 本 图 形 的 辅 助 线 的 画 法1.三 角 形 问 题 添 加 辅 助 线 方 法 方 法 1:有 关 三 角 形 中 线 的 题 目，常 将 中 线 加 倍。含 有 中 点 的 题 目，常 常 利 用 三 角 形 的 中 位 线，通 过 这 种 方 法，把 要 证 的 结 论 恰 当 的 转 移，很 容 易 地 解 决 了 问 题。方 法 2：含 有 平 分 线 的 题 目，常 以 角 平 分 线 为 对 称 轴，利 用 角 平 分 线 的 性 质 和 题 中 的 条 件，构 造 出 全 等 三 角 形，从 而 利 用 全 等 三 角 形 的 知 识 解 决 问 题。方
15、法 3：结 论 是 两 线 段 相 等 的 题 目 常 画 辅 助 线 构 成 全 等 三 角 形，或 利 用 关 于 平 分 线 段 的 一 些 定 理。方 法 4：结 论 是 一 条 线 段 与 另 一 条 线 段 之 和 等 于 第 三 条 线 段 这 类 题 目，常 采 用 截 长 法 或 补 短 法，所 谓 截 长 法 就 是 把 第 三 条 线 段 分 成 两 局 部，证 其 中 的 一 局 部 等 于 第 一 条 线 段，而 另 一 局 部 等 于 第 二 条 线 段。2.平 行 四 边 形 中 常 用 辅 助 线 的 添 法 平 行 四 边 形 包 括 矩 形、正 方 形、菱
16、形）的 两 组 对 边、对 角 和 对 角 线 都 具 有 某 些 相 同 性 质，所 以 在 添 辅 助 线 方 法 上 也 有 共 同 之 处，目 的 都 是 造 就 线 段 的 平 行、垂 直，构 成 三 角 形 的 全 等、相 似，把 平 行 四 边 形 问 题 转 化 成 常 见 的 三 角 形、正 方 形 等 问 题 处 理，其 常 用 方 法 有 以 下 几 种，举 例 简 解 如 下：1 连 对 角 线 或 平 移 对 角 线：2 过 顶 点 作 对 边 的 垂 线 构 造 直 角 三 角 形 3 连 接 对 角 线 交 点 与 一 边 中 点，或 过 对 角 线 交 点 作
17、一 边 的 平 行 线，构 造 线 段 平 行 或 中 位 线 4 连 接 顶 点 与 对 边 上 一 点 的 线 段 或 延 长 这 条 线 段，构 造 三 角 形 相 似 或 等 积 三 角 形。5 过 顶 点 作 对 角 线 的 垂 线，构 成 线 段 平 行 或 三 角 形 全 等.3.梯 形 中 常 用 辅 助 线 的 添 法梯 形 是 一 种 特 殊 的 四 边 形。它 是 平 行 四 边 形、三 角 形 知 识 的 综 合，通 过 添 加 适 当 的 辅 助 线 将 梯 形 问 题 化 归 为 平 行 四 边 形 问 题 或 三 角 形 问 题 来 解 决。辅 助 线 的 添 加
18、 成 为 问 题 解 决 的 桥 梁，梯 形 中 常 用 到 的 辅 助 线 有：1 在 梯 形 内 部 平 移 一 腰。2 梯 形 外 平 移 一 腰 3 梯 形 内 平 移 两 腰 4 延 长 两 腰 5 过 梯 形 上 底 的 两 端 点 向 下 底 作 高 6 平 移 对 角 线 7 连 接 梯 形 一 顶 点 及 一 腰 的 中 点。8 过 一 腰 的 中 点 作 另 一 腰 的 平 行 线。9 作 中 位 线 当 然 在 梯 形 的 有 关 证 明 和 计 算 中，添 加 的 辅 助 线 并 不 一 定 是 固 定 不 变 的、单 一 的。通 过 辅 助 线 这 座 桥 梁，将 梯
19、 形 问 题 化 归 为 平 行 四 边 形 问 题 或 三 角 形 问 题 来 解 决，这 是 解 决 问 题 的 关 键。4.圆 中 常 用 辅 助 线 的 添 法 在 平 面 几 何 中，解 决 与 圆 有 关 的 问 题 时，常 常 需 要 添 加 适 当 的 辅 助 线，架 起 题 设 和 结 论 间 的 桥 梁，从 而 使 问 题 化 难 为 易，顺 其 自 然 地 得 到 解 决，因 此，灵 活 掌 握 作 辅 助 线 的 一 般 规 律 和 常 见 方 法，对 提 高 学 生 分 析 问 题 和 解 决 问 题 的 能 力 是 大 有 帮 助 的。(1)见 弦 作 弦 心 距
20、有 关 弦 的 问 题，常 作 其 弦 心 距 有 时 还 须 作 出 相 应 的 半 径)，通 过 垂 径 平 分 定 理，来 沟 通 题 设 与 结 论 间 的 联 系。(2)见 直 径 作 圆 周 角在 题 目 中 假 设 圆 的 直 径，一 般 是 作 直 径 所 对 的 圆 周 角，利 用 直 径 所 对 的 圆 周 角 是 直 角 这 一 特 征 来 证 明 问 题。(3)见 切 线 作 半 径 命 题 的 条 件 中 含 有 圆 的 切 线，往 往 是 连 结 过 切 点 的 半 径，利 用 切 线 与 半 径 垂 直”这 一 性 质 来 证 明 问 题。(4)两 圆 相 切 作
21、 公 切 线 对 两 圆 相 切 的 问 题，一 般 是 经 过 切 点 作 两 圆 的 公 切 线 或 作 它 们 的 连 心 线，通 过 公 切 线 可 以 找 到 与 圆 有 关 的 角 的 关 系。(5)两 圆 相 交 作 公 共 弦 对 两 圆 相 交 的 问 题，通 常 是 作 出 公 共 弦，通 过 公 共 弦 既 可 把 两 圆 的 弦 联 系 起 来，又 可 以 把 两 圆 中 的 圆 周 角 或 圆 心 角 联 系 起 来。作 辅 助 线 的 方 法 一：中 点、中 位 线，延 线，平 行 线。如 遇 条 件 中 有 中 点，中 线、中 位 线 等，那 么 过 中 点，延
22、长 中 线 或 中 位 线 作 辅 助 线，使 延 长 的 某 一 段 等 于 中 线 或 中 位 线；另 一 种 辅 助 线 是 过 中 点 作 边 或 线 段 的 平 行 线，以 到 达 应 用 某 个 定 理 或 造 成 全 等 的 目 的。二：垂 线、分 角 线，翻 转 全 等 连。如 遇 条 件 中，有 垂 线 或 角 的 平 分 线，可 以 把 图 形 按 轴 对 称 的 方 法，并 借 助 其 他 条 件，而 旋 转 180度，得 到 全 等 形，这 时 辅 助 线 的 做 法 就 会 应 运 而 生。其 对 称 轴 往 往 是 垂 线 或 角 的 平 分 线。三：边 边 假 设
23、 相 等，旋 转 做 实 验。如 遇 条 件 中 有 多 边 形 的 两 边 相 等 或 两 角 相 等，有 时 边 角 互 相 配 合，然 后 把 图 形 旋 转 一 定 的 角 度，就 可 以 得 到 全 等 形，这 时 辅 助 线 的 做 法 仍 会 应 运 而 生。其 对 称 中 心，因 题 而 异，有 时 没 有 中 心。故 可 分“有 心 和 无 心”旋 转 两 种。四:造.角、平、相 似,和、差、积、商 见。如 遇 条 件 中 有 多 边 形 的 两 边 相 等 或 两 角 相 等，欲 证 线 段 或 角 的 和 差 积 商，往 往 与 相 似 形 有 关。在 制 造 两 个 三
24、 角 形 相 似 时，一 般 地，有 两 种 方 法：第 一，造 一 个 辅 助 角 等 于 角；第 二，是 把 三 角 形 中 的 某 一 线 段 进 行 平 移。故 作 歌 诀：“造 角、平、相 似，和 差 积 商 见。”托 列 米 定 理 和 梅 叶 劳 定 理 的 证 明 辅 助 线 分 别 是 造 角 和 平 移 的 代 表）五：两 圆 假 设 相 交，连 心 公 共 弦。如 果 条 件 中 出 现 两 圆 相 交，那 么 辅 助 线 往 往 是 连 心 线 或 公 共 弦。六：两 圆 相 切、离，连 心，公 切 线。如 条 件 中 出 现 两 圆 相 切（外 切，内 切），或 相
25、离（内 含、外 离），那 么，辅 助 线 往 往 是 连 心 线 或 内 外 公 切 线。七：切 线 连 直 往，直 角 与 半 圆。如 果 条 件 中 出 现 圆 的 切 线，那 么 辅 助 线 是 过 切 点 的 直 径 或 半 径 使 出 现 直 角；相 反，条 件 中 是 圆 的 直 径，半 径，那 么 辅 助 线 是 过 直 径（或 半 径 端 点 的 切 线。即 切 线 与 直 径 互 为 辅 助 线。如 果 条 件 中 有 直 角 三 角 形，那 么 作 辅 助 线 往 往 是 斜 边 为 直 径 作 辅 助 圆，或 半 圆；相 反，条 件 中 有 半 圆，那 么 在 直 径 上
26、 找 圆 周 角 一 一 直 角 为 辅 助 线。即 直 角 与 半 圆 互 为 辅 助 线。八：弧、弦、弦 心 距；平 行、等 距、弦。如 遇 弧，那 么 弧 上 的 弦 是 辅 助 线；如 遇 弦，那 么 弦 心 距 为 辅 助 线。如 遇 平 行 线，那 么 平 行 线 间 的 距 离 相 等，距 离 为 辅 助 线；反 之，亦 成 立。如 遇 平 行 弦，那 么 平 行 线 间 的 距 离 相 等，所 夹 的 弦 亦 相 等，距 离 和 所 夹 的 弦 都 可 视 为 辅 助 线，反 之，亦 成 立。有 时，圆 周 角，弦 切 角，圆 心 角，圆 内 角 和 圆 外 角 也 存 在 因
27、 果 关 系 互 相 联 想 作 辅 助 线。九：面 着 找 底 高，多 边 变 三 边。如 遇 求 面 积，（在 条 件 和 结 论 中 出 现 线 段 的 平 方、乘 积，仍 可 视 为 求 面 积），往 往 作 底 或 高 为 辅 助 线，而 两 三 角 形 的 等 底 或 等 高 是 思 考 的 关 键。如 遇 多 边 形，想 法 割 补 成 三 角 形；反 之，亦 成 立。另 外，我 国 明 清 数 学 家 用 面 积 证 明 勾 股 定 理，其 辅 助 线 的 做 法，即“割 补”有 二 百 多 种，大 多 数 为“面 积 找 底 高，多 边 变 三 边。第 二 局 部 常 考 题
28、 型 解 析 三 角 形 中 作 辅 助 线 的 常 用 方 法 举 例 一、在 利 用 三 角 形 三 边 关 系 证 明 线 段 不 等 关 系 时，假 设 直 接 证 不 出 来，可 连 接 两 点 或 延 长 某 边 构 成 三 角 形，使 结 论 中 出 现 的 线 段 在 一 个 或 几 个 三 角 形 中，再 运 用三 帝 形 三 边 的 不 等 关 系 证 明，如：例 1：如 图 1-1：D、E 为 aABC 内 两 点，求 证:AB+AOBD+DE+CE.证 明：(法 一 将 DE两 边 延 长 分 别 交 AB、AC 于 M、N,在 aAMN 中，AM+AN MD+DE+N
29、E;(1)在 BDM 中，MB+MDBD；(2)在 aCEN 中，CN+NECE；(3)由(1)+(2)+(3)得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CEAAB+AOBD+DE+EC 法 二：)如 图 1-2,延 长 BD交 AC于 F,延 长 CE交 BF于 G,在 aABF和 AGFC和 aGDE中 有：AB+AF BD+DG+GF(三 角 形 两 边 之 和 大 于 第 三 边)(1)GF+FOGE+CE(同 上).DG+GEDE 1 同 上).(3)由(1)+(2)+(3)得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DEAAB+AOBD+
30、DE+ECo二、在 利 用 三 角 形 的 外 角 大 于 任 何 和 它 不 相 邻 的 内 角 时 如 直 接 证 不 出 来 时，可 连 接 两 点 或 延 长 某 边，构 造 三 角 形，使 求 证 的 大 角 在 某 个 三 角 形 的 外 角 的 位 置 上，小 角 处 于 这 个 三 角 形 的 内 角 位 置 上，再 利 用 外 角 定 理：例 如：如 图 2-1：D 为 A A B C 内 的 任 一 点,求 证:N B D O N B A C。吩 圜：因 为 N BDC与 NBAC不 在 同 一 个 三 角 形 中，没 有 直 接 的 联 系，可 适 当 添 加 辅 助 线
31、 构 造 新 的 三 角 形，使 NBDC处 于 在 外 角 的 位 置，NBAC处 于 在 内 角 的 位 置；证 法 一：延 长 BD交 AC于 点 E,这 时 NBDC是 aEDC的 外 角，.,.ZBDOZDEC,同 理/DEO/BAC,/.ZBDOZBAC证 法 二：连 接 AD,并 延 长 交 BC于 F图 2-1；NBDF是 AABD的 外 角.ZBDFZBAD,同 理，ZCDFZCADZBDF+ZCDF ZBAD+ZCAD即：ZBDCZBACO注 意：利 用 三 南 形 外 角 定 理 证 明 不 等 关 系 时，通 常 将 大 角 放 在 某 三 途 形 的 外 角 位 置
32、上，小 角 放 在.这 个.二 角 一 畋 的 内 圆 隹 萋 上”再 利 用 丕 餐 式 性 质 延 明 2、三、有 角 平 分 线 时，通 常 在 角 的 两 边 截 取 相 等 的 线 段，构 造 全 等 三 角 形，如：螂：如 图 3T:加 为 aABC 的 中 线，且 N1=N2,N3=N4,求 证：BE+CFEF。分 析：要 证 BE+CFEF,可 利 用 三 角 形 三 边 关 系 定 理 证 明，须 把 BE,CF,EF移 到 同 一 个 三 角 形 中，而 由 N1=N 2,N3=N 4,可 在 南 的 两 边 截 取 相 等 的 线 段,利 用 三 角 形 全 等 对 应
33、边 相 等，把 EN,FN,EF移 到 同 一 个 三 角 形 中。证 明：在 DA上 截 取 DN=DB,连 接 NE,NF,那 么 DN=DC,在 aDBE和 aDNE中:DN=03（辅 助 线 的 作 法）EF（三 角 形 两 边 之 和 大 于 第 三 边）；.BE+CFEF。注 意:当 延 您 有 角 上 殳 线 时,一 常 可 专 虑 在 角 的 两 边 被 忍 相 等 的 线 毯“狗 造 全 等 三 角 及，.然 后 用 全 等 三 角 元 的 性 质 得 到 对 应 元 素 相 等。四、有 以 线 段 中 点 为 端 点 的 线 段 时，常 延 长 加 倍 此 线 段，构 造
34、全 等 三 角 形。例 如：如 图 4-1：AD为 ABC的 中 线,且 N1=N2,N 3=N 4,求 证：BE+CFEF证 明：延 长 ED至 M,使 DM=DE,连 接 CM,MF 在 ZkBDE 和 4CDM 中,B D=C D（中 点 的 定 义）-Zl=N C O M（对 顶 角 相 等）=辅 助 线 的 作 法）A_ABDEACDM（SAS）又,Nl=/2,N3=N4（）Nl+/2+/3+N4=180（平 角 的 定 义），/3+N2=90,即；ZEDF=90A ZFDM=ZEDF=90在 EDF和 MDF中 O=辅 助 线 的 作 汤；，/屈 DF=/F O M（已 证）DF=
35、DF（公 共 边）.,.EDFAMDF（SAS）.*.EF=MF（全 等 三 角 形 对 应 边 相 等）在 CMF中，CF+CMMF（三 角 形 两 边 之 和 大 于 第 三 边）.,BE+CFEF注：上 题 也 可 加 倍 FD,证 法 同 上。注 意：当 涉 及 到 有 以 线 段 中 点 为 端 点 的 线 段 时，可 通 过 延 长 加 倍 此 线 段，构 造 全 等 三 角 形，使 题 中 分 散 的 条 件 集 中。五、有 三 角 形 中 线 时，常 延 长 加 倍 中 线，构 造 全 等 三 角 形。例 如：如 图 5-1：AD为 ZkABC的 中 线，求 证：AB+AO2A
36、D.,分 析：要 证 A B+A O 2 A D,由 图 想 到：AB+BDAAD,AC+CDAAD,所 以 有 AB+AC+BD+CDAD+AD=2AQ_左 边 比 要 还 结 说 多 BD+C匕 故 丕 熊 直 展 延 出，此 羁，.而 由 2AD卷 到 果 构 造？曲.即 加 倍 中 线，把 所 要 证 的 线 段 转 移 到 同 一 个 三 角 形 中 去。证 明：延 长 AD至 E,使 DE=AD,连 接 BE,那 么 AE=2AD：AD为 AABC的 中 线 0，BD=CD(中 线 定 义)在 AACD DAEBD 中.,.ACDAEBD(SAS)ABE=CA（全 等 三 角 形
37、对 应 边 相 等）,在 AABE中 有：AB+BEAE（三 角 形 两 边 之 和 大 于 第 三 边）.AB+AO2AD。（常 延 长 中 线 加 倍，构 造 全 等 三 角 形）练 习：ABC,AD是 BC边 上 的 中 线，分 别 以 AB边、AC边 为 直 角 边 各 向 形 外 作 等 腰 直 角 三 角 形，如 图 5-2,求 证 EF=2AD。六、截 长 补 短 法 作 辅 助 线。例 如：如 图 6-1：在 ABC中，ABAC,N1=N2,P 为 A D 上 任 一 点。求 证：A B-AOPB一 PC。分 析：要 证：AB-ACPB-PC,想 到 利 用 三 角 形 三 边
38、 关 系 定 理 证 之，因 为 欲 证 的 是 线 段 之 差，故 用 两 边 之 差 小 于 第 三 边，从 而 想 到 构 造 第 三 边 AB-AC,故 可 在 AB上 截 取 AN等 于 AC,得 AB-AC=BN,再 连 接 PN,那 么 PC=PN,又 在 PNB 中，PB-PNVBN,即：AB-ACPB-PC_证 明：（截 长 法）在 AB上 截 取 AN=AC连 接 PN,在 4APN和 4APC中 AN=A C（辅 助 线 的 作 法）Zl=N2（已 知）AP=AP（公 共 边）/.APNAAPC（SAS）.PC=PN（全 等 三 角 形 对 应 边 相 等）.在 ARPN
39、中，有 PBPNVBN（三 角 形 两 边 之 差 小 于 第 三 边）.,.BP-PCPMPC（三 角 形 两 边 之 差 小 于 第 三 边）AAB-AOPB-PCo七、延 长 边 构 造 三 角 形：例 如：加 图 7 T：AC=BD,AD1.AC 于 A,BC_LBD 于 B,求 证：AD=BC分 析：欲 证 AD=BC,先 证 分 别 含 有 AD,B C 的 三 角 形 全 等，有 几 种 方 案：A D C 与 aBCD,AOD A BOC,AABD A B A C,但 根 据 观 条 件，抱 为 法 证 全 等，差 角 的 相 等，因 此 可 设 法 作 出 新 的 角，且 让
40、 此 角 作 为 两 个 三 角 形 的 公 兴 角。证 明：分 别 延 长 DA,CB,它 们 的 延 长 交 于 E 点，D图 7 1CVADAC BCBD 0/.ZCAE=ZDBE=90 垂 直 的 定 义）在 aDBE与 ACAE中/E=N E（公 共 角）/Q 8 E=N C 4 及 已 证）8 0=A C（已 知）/.DBEACAE（AAS）/.ED=EC EB=EA（全 等 三 角 形 对 应 边 相 等）.ED-EA=EC-EB即：AD=BC 当 条 件 然 之 时,可 通 过 添 如 频 助 线 得 出 断 的 条 件，为 延 题 创 造 条 件 g】八、连 接 四 边 形
41、的 对 角 线，把 四 边 形 的 问 题 转 化 成 为 三 角 形 来 解 决。例 如：如 图 8-1：AB CD,AD BC 求 证：AB=CD。分 析：图 为 四 边 形，我 们 只 学 了 三 角 形 的 有 关 知 识，必 须 把 它 转 化 为 三 角 形 来 解 决。证 明：连 接 AC（或 BD）VAB/CD AD/BC 0.-.Z1=Z2,Z 3=Z 4（两 直 线 平 行，内 错 角 相 等）在 ABC与 4CDA中 21=/2（已 证）A C=C4（公 共 边）Z3=N4（已 证）/.ABCACDA（ASA）/.AB=CD（全 等 三 角 形 对 应 边 相 等）九、有
42、 和 角 平 分 线 垂 直 的 线 段 时，通 常 把 这 条 线 段 延 长。例 如：如 图 9-1：在 RtZkABC 中，AB=AC,ZBAC=90,Z1=Z2,CE_LBD 的 延 长 于 E.求 证：BD=2CE分 析：要 证 BD=2CE,想 到 要 构 造 线 段 2CE,同 时 CE与 NABC的 平 分 线 垂 直，想 到 要 将 其 延 长。证 明：分 别 延 长 BA,CE交 于 点 F。VBE1CF（）2B C四 一 1A ZBEF=ZBEC=90（垂 直 的 定 义）在 ABEF与 ABEC中，Zl=N2（已 知）BE=8 想 公 共 边）ZBF=ZBEC（BilE
43、）/.BEFABEC（ASA）.CE=FE-CF（全 等 三 角 形 对 应 边 相 等）2V ZBAC=90 BECF 0，NBAC=NCAF=90 Zl+ZBDA=900 Zl+ZBFC=90，/BDA=NBFC在 AABD与 AACF中.,.ABDAACF（AAS），BD=CF（全 等 三 角 形 对 应 边 相 等）；.BD=2CE十、连 接 点，构 造 全 等 三 角 形。例 如:如 图 10-1；展、BD相 交 于 0 点,且 Ag=D C,AC=BD,求 证：NA=ND。分 析：要 证 N A=N D,可 证 它 们 所 在 的 三 角 形 ABO和 口（?（）全 等，而 只 有
44、 AB=DC和 对 顶 角 两 个 条 件，差 一 个 条 件,难 以 证 其 全 等，只 有 另 寻 其 它 的 三 角 形 全 等，由 AB=DC,AC=BD,假 设 连 接 BC,那 么 a ABC和 4DCB全 等，所 以，证 得/A=ND。证 明：连 接 BC,在 aABC和 4DCB中 A8=OC（已 知）二 AC=0 8（已 知）BC=CB（公 共 边）.,.ABCADCB（SSS）；.N A=/D（全 等 三 角 形 对 应 边 相 等）d-一、取 线 段 中 点 构 造 全 等 三 有 形。图 10-1例 如：如 图 U T：AB=DC,N A=N D 求 证：NABC=ND
45、CB.分 析：由 AB=DC,N A=N D,想 到 如 取 AD的 中 点 N 连 接 NB,NC,再 由 SAS公 理 有 4ABN经 ADCN,拉“BN=CN,ZABN=NDCN。下 面 另 需 还/NBC=NNCB,再:里 一 BC_的 史 息 M,连 接 MN,那 么 由 SSS公 理 有 NBMg ZiNCM,所 以 NNBC=NNCB。问 题 得 证。证 明：取 AD,BC 的 中 点 N、M,连 接 NB,NM,NC 那 么 AN=DN,BM=CM,在 ZABN 和 ADCNAN=ON（辅 助 线 的 作 汾 中 4 4=/。（已 知）A 3=O C（已 知）图 II 一 IA
46、AABNADCN（SAS）.ZABN=ZDCN NB=NC（全 等 三 角 形 对 应 边、角 相 等）在 NBM与 ANCM中，N B=N C（已 证）,*（辅 助 线 的 作 法）M W=M 0（公 共 边）.,.NMBANCM,(SSS)ZNBC=ZNCB(全 等 三 角 形 对 应 角 相 等).ZNBC+ZABN=NNCB+ZDCN 即 NABC=NDCB。巧 求 三 角 形 中 线 段 的 比 值 A例 1.如 图 卜 在 ABC 中,BD：DC=1：3,AE：ED=2：3,求 解：过 点 D 作 DG AC,交 BF于 点 G H D C所 以 DG：FC=BD：BC因 为 BD
47、：DC=1：3 所 以 BD：BC=1：4BP DG：FC=1：4,FC=4DG因 为 DG：AF=DE：AE 又 因 为 AE：ED=2：3所 以 DG：AF=3：22 2A F=-D G-D G即 3 所 以 AF：FC=3：4DG=1：6例 2.如 图 2,BC=CD,AF=FC,求 EF：FD解：过 点 C 作 CG DE交 AB于 点 G,那 么 有 EF：GC=AF：AC因 为 AF=FC 所 以 AF：AC=1：2E F=-G C即 EF：GC=1：2,2因 为 CG：DE=BC：BD 又 因 为 BC=CD所 以 BC：BD=1：2 CG：DE=1：2 即 DE=2GC1 3
48、1 32 G C-G C=-G C-G C：-C?C=1：3因 为 FD=EDEF=2 2 所 以 EF：FD=2 2小 结：以 上 两 例 中，辅 助 线 都 作 在 了“条 件 中 出 现 的 两 条 线 段 的 交 点 处，且 所 在 盔*藏 线 与 婚 仑 中 由 现 的 线 段 生 红。J J 存 着 两 例，让 覆 们 感 受 与 中 诬 微 妙!例 3.如 图 3,BD：DC=1：3,AE：EB=2：3,求 AF：FD。解：过 点 B 作 BG AD,交 CE延 长 线 于 点 G。所 以 DF：BG=CD：CB因 为 BD：DC=1：3 所 以 CD：CB=3：43DF=-B
49、G即 DF：BG=3：4,4因 为 AF：BG=AE：EB 又 因 为 AE：EB=2：32AF=-B G所 以 AF：BG=2：3 即 32 3-B G：-5 G=8：9所 以 AF：DF=3 4例 4.如 图 4,BD：DC=1：3,AF=FD,求 EF：FC。解：过 点 D 作 DG CE,交 AB于 点 G所 以 EF：DG=AF：AD因 为 AF=FD 所 以 AF：AD=1：2 图 4EF=-D G即 EF：DG=1：2 2因 为 DG：CE=BD：BC,又 因 为 BD：CD=1：3,所 以 BD：BC=1：4即 DG：CE=1：4,CE=4DG1 74D G-D G=-D G因
50、 为 FC=CEEF=2 21 7-D G：-D G所 以 EF：FC=2 2=1；7练 习:L 如 图 5,BD=DC,AE：ED=1：5,求 AF：FB。2.如 图 6,AD；DB=1；3,AE：EC=3：1,求 BF：FC答 案：1、1：10；2.9：1初 中 几 何 辅 助 线 初 中 几 何 常 见 辅 助 线 口 诀 人 说 几 何 很 困 难，难 点 就 在 辅 助 线。辅 助 线，如 何 添？把 握 定 理 和 概 念。还 要 刻 苦 加 钻 研，找 出 规 律 凭 经 验。三 角 形 图 中 有 角 平 分 线，可 向 两 边 作 垂 线。也 可 将 图 对 折 看，对 称