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1、大招21椭圆与双曲线焦点问题大招总结椭圆与双曲线共焦点，则 有 上 等+答=2,其中，e】为椭圆的离心率，e2为双曲线el e2的离心率，e为焦点三角形中NF1PF2.已知：椭 圆+1,双 曲 线/一 =1 共焦点证 法 1：v PF】+PF2=2aPF1 PF2=2mPF工+P修-4c2cos 0=-2PF1PF2 2PF1PF2cosd=(PF1+PF2y -4C2-2PF1PF2 2PFPF(1+cos 6)=4a2 4c2又 2PF1PF2cos 0=(PR+PF2)2-4C2+2PF1PF22PF1PF2(COS0-1)=4m2 4c2(1)1+cos 9 a2-c2 ej(2)co
2、s 0-1 m2-c2 _ 12-11+cos 6 cos 0 1-2-1 COS 0=-2-COS 0+1e2el1 cos 6 1+cos 0证 法 2:借助焦点三角形面积公式运用面积公式，设椭圆的短半轴长为瓦，双曲线的虚半轴 长 为b2贝 IJ SAP&B=瓦tan?,SAP&F2=答,n tan-所以=-,bl=a2-c2,=c2-m2z tan2-,o 0 o 0,r r、o Q ,r r、e g S1M=COSZ-(a2-c2)tan2-=(c2-W),整理得：一+r1=12 e】6 2典型例题例1.设%,於分 别 为 具 有 公 共 焦 点 居 与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为
3、两曲线的一个公共点，且 满 足 丽丽=0,则 宏 名 的 值 为()e2 JA.1 B.1 C.2 D,不确定解 方 法1：设椭圆和双曲线的方程为:三+g=1(m n 0)和 二一g=l(a 0,b 0).m n y a b .|PF/+PF2=2/fP F1-P F2=2返，|PFi|=Vm+a,P F2 y/m a,满足 丽湿 =0,：,PF E 是直角三角形，A P F12+|PF2I2=4c2.即 m+a=2c2m u e?+e2 1,1 m a m+a则 不 于 一/+用 一7+了 一 年 一 2故 选C.方 法2:如 果 理 解 并 记 住 了 结 论,谭 竺+匕 翳 =2,.*+
4、看=2例2.已知椭圆和双曲线有共同的焦点F.F2.P是它们的一个交点，且 PF2=y,记椭圆和双曲线的离心率分别为e i 0.则+看=()A.4 B.2V3 C.2D.3解 方 法1：设椭圆的长半轴长为由,双曲线的半实轴长为a2 lP在双曲线的右支上，根据椭 圆 及 双 曲 线 的 定 义 可 得IPF/+IPF2I=2%,|P&|-|PF2|=2。2,可 得|PFi|=%+a2,P F2=a i-a2,设 旧 闻=2c/F】PF2 在 PF 中由余弦定理得，4c2=(i+a2)2+-a2y -2(%+a2)(a1-a2)c o sy,化简得 3aj+aj=4c2,该式可变成誓 +暮=4,结合
5、 e1=,e2=y,.-+=4c c U v 6 ），=后 二 百 看 一 看=1,C=J 蕾+好.设 P i=m P =n.m n.贝 lj m +n=2 a,m n=2 altm =a+altn=a-ar.n m2+n2-C2 c2 1c o s -=-=3 2 mn 2化为：(Q+。1)2 +(Q-t t i)2-4c2=(Q+at)(a-%).a2+3al 4c 2 =0,4+看=%-4 2 肾|化为：自备 当 且 仅 当工罟时取等号.故 选 A.例 4.（2 02 1.浙江宁波市高二期末）已 知FlfF2是 椭 圆 G和双曲线C2的公共焦点，P是它们的一个公共交点，且 PF2=Y，若
6、 椭 圆 G离心率记为e 双 曲 线c2离心率记为 e2,则 2 7登+登的最小值为A.2 5B.100C.9D.36解 方 法1：记P Fr =mfP F2 =n,则m+n =2 a （椭圆长轴长），|/n-川 二2优（双曲线的实轴长），又由余弦定理得 m2+n2+m n=4c2,所以（m+n）2+（m -n）2=4c2,即 3a2+a，2=4c2,变形为 尹 卷=4,所 以2 7转+度=信+看）（2 7钻+或）=；（8 2+等+詈）2 5,当 且 仅 当 管=管，即e2=3e i时等号成立.故 选A.2it 2n方 法2:直 接 用 结 论 二 数 +一1 =2今 看+专=4,由柯西不等式
7、得（2 7.+唠 信+_ _ 2七）（12 7钎*+J e看）=1 0 0即2 7 e 名 2 5,当且仅当 等=詈，即e2=3ex时等号成立，故 选A例5.（2 02 1.全国高三专题练习）设F L 分别为椭圆1 4 瓦 0）与双曲线C2:g-g =l（a2 b2 0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M,NF】M F2 =90。,若椭圆的离心率ex 6 E，誓 则双曲线C2的离心率e2的取值范围为解 方 法1：由椭圆及双曲线定义得M Fi +M F2 =2%,M&-M F2 =2 a 2 =M Fi =a i +a2,M F2 a2因为 Z-F1M F2=90。,所 以（%+a2）2+a2
8、）2=4c 2 =城+a =2 c2=2 +2=2因 为e闫泮，所 以 广2 一/图一呼，当因 为a 2 b2l所 以1 e 2 b2l所 以1 y.故 选 D例 9.（2021.陕西渭南市高二期末（理）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称 为 一 对“相关曲线”，已 知 鼠、F2是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当乙 F PF 2=60。时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是()A.V32B.V2解 方 法 1：设椭圆的长半轴长为的,椭圆的离心率为e i，则 e1=,a1=.双曲线的实半轴长为a,双曲线的离心率为e,e=(,a =*设 IP&I=X,PF2=
9、y(x y 0),贝 lj 4c2=x2+y2-2 x y c o s 60 =x2+y2 xy,当 点 P被看作是椭圆上的点时，有 4c 2 =(x +y)2 -3xy=4a f -3xy,当 点P被看作是双曲线上的点时，有 4c2=(x -y)2+xy=4a2+xy,两式联立消去xy得 4c 2 =al+3a 2,即 4c2=Q+3 g),所 以(守+3(丁 =4,又;e,所 以 e 2 =4,整 理 得 e4-4e2+3=0,解 得 e 2 =3 或 e 2 =1(舍去)，所 以e=V3,即双曲线的离心率为V3,故 选 A.1-COS-1+CO S-方法 2 :直接用结论一L +L =2
10、=4-+-T=2=e2=V 3,故选 A.el e2 或 e2自我检测1.(2 014-湖 北 卷)已 知&,尸 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且4&P F2 =*则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()1.解1 cos 9 1+cos 0 -2-+-2-=2ei e21 1 1-1-17+子=2el c21 3 一+4 kei e2 31 V3 V312I二 号答案:A2.已知椭圆W+=l(a b 0),与双曲线 -=l(m 0,n 0)具有相同焦点瓦、F2,且 在 第 一 象 限 交 于 点P,椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2,若 4FPF2=7则el+e
11、l 的最小值是B.2+V31+2622.利用结论知己+看=4钎+嫌=（钎+e1）-+X）-el e2/14=（1 +3+1+f）-ZL 1）（4+2A/3）,1+丁2+V3-2答案.A代 入 得 为=,3.若 O(x3,y3)在抛物线上，则 xj=2 py3=2 x0 x3,因此=0 或 与=2 x().即 0(0,0)或 0(2 出,誓)(1)当 沏=0 时，则xr+x2=2 x0=0,此时，点 M(0,-2 p)适合题意.2 2 W+遥 2 2 当 xo*O,对于 0(0,0),此时 C Q xo,喑),3=千=磬,又 kA B=,A B l z p /ZXQ q p%o pCD,所 以
12、研.3=箕鬻=富=-1即%i +%2 =-4p 2,矛盾.对 于D(2X0,),因 为 C(2 x 0,誓)，此时直线C D平 行 于 y轴,又k A B=蒋 手0,所以直线A B与 直 线C D不垂直，与题设矛盾，所 以 与 力0 时，不存在符合题意的M点.综上所述，仅存在一点M(0,-2 p)适合题意.例 3.如图，在平面直角坐标系x O y中，过 y 轴正方向上一点C(0,c)任作一直线，与抛物 线 y =/相 交 于A B两点，一条垂直于%轴的直线，分别与线段A B和 直 线l-.y=-c交 于PQ 若 褊丽=2,求 c的值；若P为线段A B的中点，求证：Q A 为此抛物线的切线；(3
13、)试 问(2)的逆命题是否成立？说明理由.解 设 过C点的直线为y=kx+c,所 以%2=f c x +c(c 0),即x2-kx-c=0,设 A(.x1,y1)lB(X2，y2),OA=(x i),而=(x2,y2).因为a OB=2,所以 xrx2+yiy2=2,即 xrx2+c)(/cx2+c)=2,x1x2+k2xrx2-k e g +x2)+c2=2所以c-k2c+kc-k+c2=2,即 c2-c-2=0,所以c=2（舍去c=-1）设 过 A 的切线为y-yi=fcxCx-x-,y=2 x,所 以/cx=2x1：即丫=2工 6 一2就+y-L =2xiX-x l，它与y=-c 的交点
14、为又 p（岩，中H泻+c）.所 以 Q&-c）,因为Xtx2=-c,所以一.=4，X1所以M管+第一c）=&-c）,所以点M 和点Q 重合，也就是QA为此抛物线的切线.的逆命题是成立，由 可 知 Q（g-c）,因为PQ i x 轴，所以（gyp）因 为 空=*所以P 为 4 B 的中点.自我检测1.如图，设抛物线C-.y=x2的焦点为F,动 点 P 在直线l-.x-y-2 =0 上运动，过 P作抛物线C 的两条切线24、PB,且与抛物线C 分别相切于4、B 两点.（1）求 A A PB 的 重 心G的轨迹方程.证明-P FA=Z.P FB.1.解：设 切 点 4、B坐标分别为（%0-0）和 0
15、1，后）、Q i力而），切 线A P的斜率为2 x0,用点斜式求得它的方程为：2 xox-y-x =O；同理求得切线B P的方程为：2/x 丫 一 好=0.解 得P点的坐标为：孙=言,y p =x（）x i.所 以4 A PB的 重 心G的坐标为,北=呼=业产1=二=等 名 所 以yp=-3yG+4好,由点P 在直线I上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：-（3丫 +4%2）-2 =0,即 y =1（4x2-x+2）.（2）方 法 1：因 为 瓦？=10,诏一3）,而=（殛 沪,Xo i 方=&，*一3由 于P点在抛物线外，则|而|4 0.；.c o s 乙4 F P=苗 嵩=女。+卜。凶-9（
16、好 三）网 旧 有 了网同理有cos Z-BFP丽丽 _ （若D _ 工0不+；两 丽=曲 面+（小 了 =下 丁 Z.AFP =Z-P FB.方 法 2:（1）当%1%0=0 时，由 于xi。M，不 妨 设 o =。，则yo=0，所 以P点坐标为（1,0）,贝 I J P点 到 直 线A F的距离为：刈=等.而 直 线B F的方程：y-；=x,即（比-=所 以P点 到 直 线B F的 距 离 为：d2（，田舟+芋J（*一 丁 +（%1）2(：#=粤 所以 di=d2,即得 AAFP =乙P FB.2 当 X1XO*o 时，直线 AF 的方程：y-i =（x-0）,即（诏一-X o y+3 0
17、 =0,2 1直 线B F的方程：y-：=M（x-0），即（好 3 一 1丫 +1 =0,所 以P点到直线A F的距离为：册=1（6折 婚）T沁I 1（写%呢）|历时i 代氏一|2同理可得到P点到直线B F的 距 离 d 2=安4因 此 由 d i =d 2,可 得 到AFP =/.P FB.2.已知抛物线x2=4 y的焦点为F,A.B是抛物线上的两动点，且AF=XFBX 0）.过4、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(I)证 明 前.荏 为 定 值；(II)设 4 B M的面积为S,写 出S=/(A)的表达式，并 求S的最小值.2解(1)设 i 4(Xi，y-i),B(x2,y2),M
18、(x0,y0),焦点尸(0,1),准线方程为 y=-1,显 然A B斜率存在且过“0,1)设其直线方程为y =k x +1,联 立4y=x2消 去y得/一 4kx-4 =0,判 别 式 =16(/+1)0.+%2 =4k,x1x2=4于 是 曲 线4y=x2上 任 意 一 点 斜 率 为y =M则 易 得 切 线A M.B M方 程 分 别 为y =+y i，y=()X2(X-X2)+y2,其中 4yx=x f,4y2=xj,联立方程易解得交点M坐 标 =晋=2 k,%=竽=-1,即M(空,1)从 而,前=(红笋,一2),布一.,%一外万丽荏=+%2)(%2 -1)-2(%-为)=(X2 -)
19、-2 (%2 一 *)=0,(定值)命题得证这就说明AB 1 FM.(I I )由(I)知在A A B M中，F M 1 A B,因而S=A8|FM|.v AF=AFB(A 0),.(一x】，1 y i)=A(x2,y2-1),即卜(先-1)，而 4y l =xl，4y2=必,则 x2 xi=4A,田 阳=J(空 丫 +(-2)2 =鸿+鸿+2 2 +4=小+；+2=迎+五因 为AF.BF分别等于2、B到抛物线准线y=-1的距离，所以AB=AF+BF=y i+y2+2 =+2 =A+2 =+.于 是 S=；|4B|FM|=/0+粉 由 +盍 2知 S 4,且 当，=1 时，S 取得最小 值 4
20、.3.已知抛物线x2=4 y的 焦 点 为 凡 准 线 为I,经 过I上任意一点P作 抛 物 线x2=4y的两条切线，切 点 分 别 为 人B.(1)求证：以A B为直径的圆经过点P;比 较 布丽 与 两 2的大小3.解:(1)证明：根据已知得I的方程为y =-1.设 P(a,l),4(Xi，y i),B(2，y 2),且 为=；*，丫 2 =蟾.由 丁 =：/得 y=|,从而 5=kP A=i y i +i i 2尹 1=7 ，%=4 洋4 人 i u.4t化 简 得 好-2 a x i -4 =0,同理可得%2 -2Q%2-4 =0.：xltx2 为方程 x2-2 ax-4 =0 的根.+
21、x2=2 a,xxx2=-4.丽丽=(xx-afy1+1)-(x2-a,y2+1)=(%-a)(x2 一 Q)+(y i +l)(y2+D=xrx2 a(%i +x2)+a 2 +”a +&+&+1=_ 4 _ 2Q2+a2+1+-4a2+8+1=0,16 4 4 4 P A 1.P B,即 P A 1 P B,.以A B为直径的圆经过点P.根 据 已 知 得 F(0,l).-FB=(-x1(1-y i)(x2,y2-1)=-Xi X2-y，2 +W i +丫 2)-1(与 2)2 ,Qi +x2)2-2 ,-F-+-4-1又 由 知：+外=2 afx1x2=-4t:.AF-VB=4+Q2,P
22、 p2=Q2+4福厢=P F2.大招2 0焦点三角形角度与离心率大招总结结 论 在 椭 圆 中 e=在双曲线中e=|黑黑.证 明：运 用 正 弦 定 理 即 可 证 明.e=-=-=a 2a PF1-PF2snz.F1PF2 _ sin(a+/?)sin z_PFi 七+sin z_PEFi sin a+sin p典型例题例1.椭圆两焦点为FLF2,以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个焦点为P,且NP&F2=5NPF2&,则椭圆的离心率为（）A.TB.TCTD考解 方 法】P 是 以 F/2 为直径的圆与椭圆的一个交点，.Z.F1PF2=90 Z.PF1F2=54P&F1，乙PF1F2=75,
23、PF2F1=15,|PFJ=F1F2smPF2F1=2csinl5JPF2l=|Fi|sin Z P F =2c-sin 752a=PF/+PF2=2c sin 15。+2c-sin 75。=4csin450cos30=V6cV6A a=cc V6？=a 3所 以 B 选项是正确的.方法 2 _ sin(a+/?)_ sin 90 _ 1 _ V6刀/去 .e-sina+sin0.sin 150+sin 75-瓜一历1屈+辰 34 4例2.已 知 居,尸 2 是 椭 圆 2 +3=l(a b 0)的左右两个焦点，若椭圆上存 在 点 P 使得P F 1 1 P 4，则该椭圆的离心率的取值范 围
24、是()A悟 )B.惨1)C(鸣 D(。刍解 方 法 1：&F2是 椭 圆 5 +=l(a b 0)的左右两个焦点，离心率 0 V e 1,FI(-C,0),F2(C,0),C2 =M 一 设点 P(%,y),由 P F1 上 P F2,W(X-c,y)(x +c,y)=0,化简得 x2+y2=c2,x2+y2=c2 2联 立 方 程 组/2 ，整理，得/=(2。2 一小).3 0-k =1 C 乙l a 2 T b 2 x解 得 e米 又 0 V e 0,6 0)左、右焦点分别为FI(-C,0),F2(C,0),若双曲线右支上存在点P使 得；琮”=石 点T，则离心率的取值范围为0bin Z.r
25、 r*1 /*2 bin Z.rA.(0,V 2-l)B.(V2-1,1)C,(1,V2+1)D.(V2+l,+oo)解：由题意，点P不是双曲线的顶点，否则 7 7 7-=-7 T T无意义;smz.PF1F 2 sin PF2r1在 PFXF2中，由正弦定理得IPF1I _|P 引.snz.PF2F1 sin Z-P/Fi,asinz.PF1F2又c.PFi _ csinPF2F1f*,PF2 a即 PF1=-PF2-p在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得PFr-PF2=2a,.-.-PF2-PF2=2 a,即 仍 初=当由双曲线的几何性质，知PF2 c a,C-C L c a,即 c2 2
26、ac a2 0;1.e2 2e 1 0,解 得 一 夜+1 e l,双曲线离心率的范围是(1,e+1).所 以C选项是正确的.大 招 2 1 椭圆与双曲线焦点问题大招总结椭圆与双曲线共焦点，则 有 三 等+上 磬=2,其中，61为椭圆的离心率，e2为双曲线e彳 纥的离心率，e为焦点三角形中“PF2.已知：椭 圆 捻+5=1,双曲线 捻-5 =1共焦点证 法1：v PF1+PF2=2aPF1PF2=2mPFi+P母-4c2cos Q =-2PF1PF2 2PF1PF2COS0=(PF+PF2)2-4C2-2PF1PF2 2PFPF(1+cos0)=4Q2 4c2又 v 2P&PF2cos 6=(
27、P&+PF2y -4 c2+2PF1PF22PF1PF2(COS0-1)=4m2 4c2工一1(1)1+cos 9 a2 c2 e：(2)cos 8 1 m2 c2Z2 11+cos 6 cos 0-1-5-1 COS 0=-5-cos 0 4-11-cos 0 1+cos 0=2证 法2:借助焦点三角形面积公式运用面积公式，设椭圆的短半轴长为瓦，双曲线的虚半轴 长 为 b2贝 IJ SFF2=瓦tanSAP&Fz=&乙 tan-所以 h ftan|=-g,bl=a2-c2,=c2-m2N tan-e-22nla2.o 0 2 0(c2 m2),整理得 衰+2=1el e2典型例题例3.设e
28、i le2分别为具有公共焦点居 与 F2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且 满 足 丽而 2=0,则 宏 率 的 值 为（）62）A.j B.1 C.2 D,不确定解 方 法1:设椭圆和双曲线的方程为:F-=1(171 九 0)和-1(1 0,b 0).IP 尸 il+P F2 =2 伍 IPF1I-IPF2I=2G,|PFII =Vm+y/a,P F2=Vm a,满 足 丽讯 =(),P F/2 是直角三角形，A P F12+|PF2|2=4c2.即 m+a=2c2r-,1 ej+e,1,1 m,a则 商 不=/+=/+/=m+Q=2故 选 C.方 法 2:如 果 理 解
29、并 记 住 了 结 论,上 署+上 署=2.吗+2=2例4.已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1IF2IP 是它们的一个交点，且F1P F2=y,记椭圆和双曲线的离心率分别为e1)e 2,则 看+嵩=()A.4 B.2V3 C.2D.3解 方 法 1：设椭圆的长半轴长为由,双曲线的半实轴长为a2,P在双曲线的右支上，根据椭 圆 及 双 曲 线 的 定 义 可 得|PFi|+|PF2l=2ai，|PF1|一|PF2l=2 a 2,可得 仍&|=的+。2,仍 初=的 一。2,设 厂 昌=2C/&PF2=拳在 PF F 2中由余弦定理得，4c2=(1+。2)2+(fli-a2)2-2(即+。2)(即 一
30、 ci2)cos掌 化 简 得 3al+返=4c2,该式可变成普+暮=4,结合故 选 A.士 5 0 1-COS0.方 法 2：一+1+cos 61-4)(T)=21+一31=2+=4例3.已知椭圆和双曲线有共同的焦点F i f P是它们的一个交点，且 乙&。尸2=(记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1,e 2,则 当 取最大值时，e1,e2的值分别是()ele2A 次 更.2，2今 百B冷C.f,V6D.2 2 2 2解不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：京+程=1（。b 0）,c =后 二 户 器 一 方=1,C=J a）+*.设 P i=m P Fz=n.m n.贝 lj m+n =2 a
31、,m n=2 a L m =a altn=a-ar.ncos-=3m2+n2-(2c)22mn121化为：（Q+%）2 +（a -QJ 2 -4c 2 =（Q+a1）（a -%）.a2+3a f 4c 2 =0,1,3 4FL-4 2 哥|化为:日当且 仅 当 G =0 =当 时取等号-故 选 A.例 4.（2 02 1.浙江宁波市高二期末）已知片,尸2是 椭 圆 J 和双曲线C2的公共焦点，P是它们的一个公共交点，且 PF2=Y，若 椭 圆 G离心率 记 为6 1,双 曲 线C2离心率记为e2,则 2 7e（+e 1 的最小值为A.2 5 B.100 C.9 D.36解 方 法 1：记|P
32、Fi l =m,P F2 =n,则m +n=2 a（椭圆长轴长），|m -=2 优（双曲线的实轴长），又由余弦定理得 m2+n2+m n =4c2,所以（m+n）2+（m-n）2=4c2,即 3a2+a2=4c2,变 形 为 高+看=4,所 以 2 7曹+及=；信+看）（2 7曹+及）=；（82 +管+患）2 5,当且 仅 当 誓=管，即 e2=3e 时等号成立.故 选 A.方 法 2:直接用结论 谭 瓦+常 区=2=1+2=4,由柯西不等 式 得（2 7酋+崂 隹+23川27/*+、时等号成立，故 选A100即2 7登+登 2 5,当 且 仅 当 誓=詈，即e 2 =3e i2 2例5.（2
33、 02 1.全国高三专题练习）设F L 分别为椭圆G言+%=1 4 瓦 0）与双曲2 2线G：%=1（。2%0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，S M F 2 =90。,若椭圆的离心率%悖,乎 则双曲线C2的离心率e2的取值范围为解 方 法1：由椭圆及双曲线定义得M Fi+M F2=2%,用居一 M F2=2 a2=M F =%+a2,M F2 ai a2因为 ZF1M F2=90,所 以（%+02）2 +（%a 2）2 =4c 2 n 青+谖=2 c 2 n +,=2因 为 勺 生 乎 所 以 专=2 一 点 噜 扪e 2 d竿，啕因为 b2,所 以1 e 2 b2,所 以1/2,a
34、=V2,1 双曲线离心率为e =J =4 =V.a y z 2故 选 B.方 法 2 :直 接 用 结 论 上 含+=2,e：=解 得e2=y.例 7.(2 02 1全国高二课时练习)椭圆和双曲线共焦点尸,尸 2 ,它们的交点为P ,且4尸 建 尸 2=会若椭圆的离心率为当，则双曲线的离心率为解 方 法 工：设椭圆与双曲线的焦点都在%轴上，设椭圆的长轴长为2%,双曲线的实轴长 为 2 a 2,两曲线的焦距为2 c,椭圆和双曲线的离心率分别为q、e2,不 妨 设P为第一象限的点，在椭圆中：|P Fi l +|P Fz l =2 a i(l),在双曲线中：|P Fi|一|P Fz l =2 d 2
35、 (2),联立(2)解得，|P Fi|=%+a2,P F2 =%-a2,在 P g 中由余弦定理得：(2C)2=|P&|2 +P F22-2 P Fr|P F2|CO S,即 4c 2 =(%+a2)2+(%a2)2-2(ax+a2)(a1-a2)-|即 4c2=2(域+成)-(al-谖)=al+3或 即 4=冷+誓,所 以,+2=4,因为椭圆的离心率e i=f,所以双曲线的离心率e 2=平，故答案为：斗.方 法 2 :直接用结论 等+等=*解 得 e2=乎例9.(2 02 1.浙江绍兴市.高二期末)已知FVF2为椭圆和双曲线的公共焦点，P为其一个公共点，且 4尸/尸2=学若椭圆与双曲线的离心
36、率分别为内建2,贝 I J%上 的最小值为()解 方 法1:如图所示:设椭圆的长半轴长为%,双曲线的实半轴长为a2,不妨设点P在第一象限，则根据椭圆及双曲线的定义得,PF i+PF2 =2a1,PF1-PF2 =2a2,所以 PF i=Gi +a2,PF2 =-a2,设 F1F2 =2c,z.F1PF2=y,在&P F#2 中,由 余 弦 定 理 得 4c 2 =（Q1+&）2 +（Q1-。2）2 -2（%+g）31。2）Xc o s与，化简可得：4c 2 =3向+谖,所 以4=专+专,即 看+嵩=4,al a2由+44 =；3|+|1、2oj 后-=藐2 遮,解付日 -e、V32 y.故 选
37、D.2JT T,2n i-方 法2 :直 接 用 结 论 号+号=2=4,由4=/2后=照,解 得0 e 2与 故 选D例9.（2 02 1.陕西渭南市.高二期末（理）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称 为 一 对“相关曲线”，已 知 七、F2是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当出 PF?=60。时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）A.V3 B,V2 C.卓 D.2解 方 法1：设椭圆的长半轴长为的，椭圆的离心率为e 1，则al el双曲线的实半轴长为a,双曲线的离心率为e,e =?a=/.设 IP FJ =X,PF2=y x y 0),贝I J 4c2
38、=x2+y2-2xycos 60 =x2+y2 xy,当 点p被看作是椭圆上的点时，有4c 2 =（X+y）2 -3孙=4送-3x y,当 点P被看作是双曲线上的点时，有 4c2=(%-y)2+xy=4a2+xy,两式联立消去xy得 4c 2 =aj+3a2,即 4c2=6 7 +3 Q：所 以(J+3(丁 =4,又合e,所 以 e 2 +总=4,整 理 得 e4-4e2+3=0,解 得 e 2 =3 或 e 2 =1（舍去），所 以 e =V3,即双曲线的离心率为V3,故 选 A.1-cos-1+cos-方 法 2 :直接用结论-3+-3,=2 =4+段=2 =与=百，故 选 A.el e2
39、 -2 e2自我检测1.(2 014-湖 北 卷)已 知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且乙 PF 2=p 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()1.解1-c o s 6 1+c o s 9+e=21 34+=2以 亍1 V3 V3121 1+点,答 案 A2.已知椭圆?+=l（a b 0）,与双曲线 -g =l（m 0,n 0）具有相同焦点瓦、F2,且 在 第 一 象 限 交 于 点P,椭圆与双曲线的离心率分别为ei、e2,若Z.FXPF2=则el+/的 最 小 值 是2.利用结论知1+=4l 1）（4+2A/3）,14181+22+V3 2答案.A3.设分
40、别为具有公共焦点F,与 F,的椭圆和双曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点，且满足 以 P E =0，则+破的最小值为（）9 5A.3 B.-C.4 D.-2 34.（2021-江西南昌市-（理）已知斗鸟是椭圆和双曲线的公共焦点，尸是它们的一个公共点，且“PF,=f,则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（）41 5A.-B*C.l D.02 25.（2021-江苏徐州市-高二月考）已知点耳行分别是椭圆G 和 双 曲 线 的 公 共 焦 点，g分别是C,和 G 的离心率，点 p 为G 和 G 的一个公共点，且ZF,PF?=耳，若 e2 G（2,5）厕4 的取值范围是（）6.（2021-甘肃省民
41、乐县第一中学高二期中（理）已知耳F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是7 1它们的一个公共点，且尸6 =记椭圆和双曲线的离心率分别为 勺,则不 的最大值为（）A.-B.C.D.12 3 37.（2021-江西高三其他模拟（文）已知椭圆C,与双曲线的焦点相同,离心率分别为q,3且满足e2=右6是它们的公共焦点,P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若/片尸工=120。，则双曲线C2的离心率为（）3A.yf2 B.-73 C.2 D.2、8.（2021-贵州黔东南苗族侗族自治州凯里一中高三开学考试（理）已知椭圆与双曲线/二f刁 有公共焦点耳，耳，为左焦点,耳为右焦点,p点为它们在第一象限的一个交点，且 句
42、 p一 一 中4FPF,设q,e,分别为椭圆双曲线离心率贝J+L的最大值为（）4q e2A.及 B.2 夜 C.3V2 D，4/29.（2021-江苏省前黄高级中学高二期末）斗乃是椭圆G和双曲线C?的公共焦点，4七分别为曲线G,G的离心率,P为曲线G,G的一个公共点，若ZFPF2=q，且%G 百,2,则d 610.（2021天津静海区-高二期中）已知椭圆C,与双曲线G有公共焦点RE，M为G与G的一个交点,MF,1 M F2，椭圆C,的离心率为q，双曲线C2的离心率为%若q=2/，则4=11.（2021-江苏省天一中学高三一模）设P为有公共焦点 小 鸟 的椭圆G与双曲线C?的一个交点，且 尸耳-
43、LPF,，椭圆G的离心率为4，双曲线。2的离心率为4，若6=3%，则G=12.（2021-江苏省如阜中学高二月考（文）设P为 有 公 共 焦 点 的 椭 圆C,与双曲线C2的一个交点，且PF,PF2，椭圆G的离心率为4，双曲线。2 的 离 心 率 为 厕 9屋+破的最小值为13.（2 019-湖北（理）已知耳，鸟是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点，且NF、PF1=半 椭 圆、双曲线的离心率分别为4 ,则e：+2 的最小值是.2 2 214.（2 02 1-浙江嘉兴市-高二月考（理）设 椭 圆 上+2-=1和双曲二一,2 =1的公共焦点为6 2 3耳,马，是两曲线的一个公共点，则c
44、o s N 4 Pg的值等于（）A.-B.-C.-D-4 3 9 52 215.（2 02 1-江苏泰州市-泰州中学高二开学考试）已知椭圆+与=l（a b 0）与双曲线a bG ：二二=l（m 0,0）有相同的焦点与片，点 P是两曲线的一个公共点，且m n P F?=60。,若椭圆离心率 半 厕 双曲线C2的离心率e2=（）A币2B.2 C.D.3216.（2 02 1-江苏省镇江第一中学高二期末）已知用是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点，且/月尸乙=g，记椭圆和双曲线的离心率分别为4 ,则 工+业 的最大值为3q羯（）A 述 B.空 C.2 百 D.2V23 32 217.（2
45、02 1-全国高三专题练习（理）若 椭 圆 二+=1a h2 23 匕 0）与双 曲 线 二 一 与=1a2 b2（4 0,4 0）有相同的焦点耳,6 点P是两条曲线的一个交点,/尸鸟=|椭圆的离心率为q，双曲线的离心率为4,ete2=2则 e；+e22=.18.（2 02 1-江西南昌市-南昌二中高二月考（文）椭圆与双曲线共焦点片、F2，它们的交点P对两公共焦点、鸟的张角为N 片尸工=2,椭圆与双曲线的离心率分别为分 2，则（）c o s20 s i n?。s i n?。c o s 2。A.+=1 B.z+j=1e；e2 e,e2c o s 2。s i n 冶 s i n 冶 cos119.（2 02 1-陕西汉中市-高三月考（理）椭圆与双曲线共焦点大，F2，它们的交点P对两公共焦点,鸟张的角为/耳尸鸟=；椭圆与双曲线的离心率分别为4勺,则（）3 1 1 3,T e；4e；&4埠 4e c.竺4e2 4ec ；=l D.4e：-1 +4%e2=13 2,3