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1、2019最 新 高 等 数 学（下 册）期 末 考 试 试 题（含 答 案）一、解 答 题 1.试 讨 论 下 列 无 界 函 数 的 二 重 积 分 的 收 敛 性:drdy 曹 篙）（”以 乂 田 区 也 解:（x2d3），=I d可-d r=2可：产 2，=2万 jr2+y2l）产 252-2 m07 1.-m 1故 当 机 2）+J（x+y）2。（当（%J）W（0,0）时）故 52+中+加 w y 2y w y+盯+（当 a，y）（o，。）时）再 注 意 到 广 义 重 积 分 收 敛 必 绝 对 收 敛，即 知 积 分 5 0（当（x,y）#（0,0）时），采 用 极 坐 标 即 得
2、 x+xy+y VJJ2，一 x+ydxdy _ 产 d。p dr而:f 2-d 0_ 为 常 义 积 分，其 值 为 有 限 数,J o（1 YI l+|sin2 I1,r而 Joi 尸 dr=2-（-1-一-），.由 此 可 知：原 积 分“2 0(x，y)2 pdxdy当 时 收 敛,当 时 发 散。2.求 下 各 微 分 方 程 的 通 解：(l)2y+y-y=2e;解：2r2+r-1=0,1=一=得 相 应 齐 次 方 程 的 通 解 为-_ 38y=qe+c2e2令 特 解 为 y*=Ae*,代 入 原 方 程 得 2Ae+Ae-Aev=2ev,解 得 A=l,故 y*=e。X故
3、原 方 程 通 解 为=et+c1e-J+c2e(2)2/+5/=5%2-2%-1；解：2尸+5厂=04=0,5=三 _5.对 应 齐 次 方 程 通 解 为 y=q+c2e-r令 y*=x(ax2+历:+c),代 入 原 方 程 得 2(6zr+2b)+5(3ax2+2bx+c)=5x2 2xl比 较 等 式 两 边 系 数 得 故 方 程 所 求 通 解 为 y=G+,2e 3*+1；兀 3-%2+%)y+3y+2y=3屁 解：r2+3r+2=01=-1,弓=2,对 应 齐 次 方 程 通 解 为 y=cle-JC+c2e_2jc令 y*=x(Ax+8)e-,代 入 原 方 程 得(2AX
4、+B+2A)QX=3叱 解 得 3A=-,B=-32则=（尹 一 可 尸 故 所 求 通 解 为 y=qe-x+c2e-2x+|x2-3x je-v.(4)y-2 v+5y=e sin 2x；解：r2-2 r+5=0q 2=1 2/相 应 齐 次 方 程 的 通 解 为 y=ev(c,cos 2 x+c2 sin 2x)令 y=x e(A c o s 2 x+3 s in 2 x),代 入 原 方 程 并 整 理 得 4B cos 2 x-4 A sin 2 x=sin 2x得 则 A=-,B=04y*=jceA cos2x4故 所 求 通 解 为 y=ex(cl cos 2 x+c2 sin
5、 2 x)-:xex cos 2 x.(5)y+2y+y=x;解：r2+2 r+l=0(2=T相 应 齐 次 方 程 通 解 为 y=(c,+C2x)e-X令 y*=A x+B 代 入 原 方 程 得 2 A+A x+3=x得 A=l B=-2则 y*=x-2故 所 求 通 解 为 y=(C+c2x)ev+x-2(6)/-4/+4y=e2.解：r2-4 r+4=0%=2对 应 齐 次 方 程 通 解 为 y=(q+。2幻，*令 y*=A?e2*代 入 原 方 程 得2A=1,A=2故 原 方 程 通 解 为 y=(q+c2x)e2x+1 x2e2x(2)4y+4y+y=0,引 A0=2,y，3
6、.求 下 列 微 分 方 程 满 足 所 给 初 始 条 件 的 特 解：(1)7-4 y+3y=0,=6,4 力=1 0;解：特 征 方 程 为 r2-4 r+3=0解 得=1,4=3通 解 为 y=qe+c2e3xy-qe*+3c2e3c,+c,=6 c.=4由 初 始 条 件 得 1 2=1q+3G=1()c2=2故 方 程 所 求 特 解 为 y=4ev+2e3A.解：特 征 方 程 为 解 得 通 解 为 由 初 始 条 件 得 故 方 程 所 求 特 解 为 4/+4/*+1=01上 y=(G+c2x)e 2q=211y=(2+x)e*(3)/+4y+29y=0,乂 皿=0,/|0
7、=15;解：特 征 方 程 为 尸 2+4+29=0解 得/;2=-25 Z通 解 为 y=(q cos 5 x+c2 sin 5x)yr=e-2 v(5c2-2 q)cos 5x+(-5q-2c2)sin 5x故 方 程 所 求 特 解 为 q=0 q=0由 初 始 条 件 得，=5c2-2q 二=15 g=3y=3e-2 A sin5x.(4)y+25y=0,此 句=2,处 皿=5.解：特 征 方 程 为 解 得 通 解 为 由 初 始 条 件 得 r+2 5=0?2=5iy=c cos5x+c2sin5xyr=_5cl sin 5x+5c2 cos 5xC j=2 j q=2v n 15
8、 c2=5 c?2=1故 方 程 所 求 特 解 为 y=2cos5x+sin5x.4.求 下 列 微 分 方 程 的 通 解:y+y 2y=0;解：特 征 方 程 为 r2+r 2=0解 得 4=1,r2=-2故 原 方 程 通 解 为 y=qe*+c2e-2”.y+y=0;解：特 征 方 程 为 r2+l=0解 得?2=i故 原 方 程 通 解 为 y=G cosx+c2 sinx(3)4 W(X-20d%r+25x=0；d r dr解：特 征 方 程 为 4r2-2 0r+25=0解 得 4=弓=g5故 原 方 程 通 解 为 x=(G+c2t)e2.(4)y4 y+5y=0;解：特 征
9、 方 程 为 r2-4 r+5=0解 得 d=2 i故 原 方 程 通 解 为 y=e2 A(?!cosx+c2 sin x).(5)y+4y+4y=0;解：特 征 方 程 为 产+4r+4=。解 得 弓=2=-2故 原 方 程 通 解 为 y=e-2A(c,+c2x)(6)/-3/+2y=0.解：特 征 方 程 为 r2-3 r+2=0解 得 r=1,r=2故 原 方 程 通 解 为 y=qe+c2e2 v.5.计 算 下 列 对 坐 标 的 曲 面 积 分:(l)j x2y2zdxdy,其 中 X 是 球 面 f+y+z2=R2的 下 半 部 分 的 下 侧；zdxdy+仙 比+)dzdx
10、,其 中 E 是 柱 面 x2+,2=l被 平 面 z=0及 z=3所 截 得 的 在 第 I封 限 内 的 部 分 的 前 侧；W(x,y,z)+xdydz+2/(x,y,z)+ydzdx+/(x,y,z)+zdxdy,其 中 J(x,y,z)为 连 续 函 数，Z 是 平 面 x-y+z=l在 第 IV封 限 部 分 的 上 侧；(4)jjxzclrdy+xydjxlz+yzdzdx,其 中 Z1是 平 面 x=0,y=0,z=0,x+y+z-所 围 成 的 空 间 区 域 的 整 个 边 界 曲 面 的 外 侧；jj.(y-z)dydz+(z-x)dzdr+(x-y)dxdy,其 中 Z
11、 为 曲 面 z=+与 平 面 z=/?(/?0)所 围 成 的 立 体 的 整 个 边 界 曲 面，取 外 侧 为 正 向；Jj,y（x-z）dydz+x2dzdx+（y2+xz）drdy,其 中 为 xy-z-O,4 y=z=a 所 围 成 的 正 方 体 表 面，取 外 侧 为 正 向；解：（1）：z=-R1-x1-y2,下 侧，Z 在 xOy面 上 的 投 影 区 域 分 为：x2+y2/?2.|x2y2zdrdy=-乩 x2y2-x2-y2）dxdy=-/de,r4 cos2 Osin。（_4片 _ r）rdr=一 黑 飞/2例 可:（/_）+/?*.血 2_闿（代 _,）=-J：（
12、l-C0S4。）呵：内 病 二 7-2心 加 2 一.）3+J（R 2 一 产）5 d（R2 _/）L-1 I f 7 3 4 5 7 7=一 77 之 兀 R Y*_/户-R（7?2-r2）2+（/?2-r2）216|_3 5 7 Jo105（2）2 如 图 11-8所 示，Z 在 xOy面 的 投 影 为 一 段 弧，图 11-8故 JJ,zdrdy=0,2 在)，Oz面 上 的 投 影Dyz=(jy,z)|Oyl,0z3,此 时 2可 表 示 为:x=,(y,z)GDV2,故|.rdydz=Jj。-y2dydz=31-),孙 Z 在 xOz面 上 的 投 影 为 DA.Z=(X,Z)|0
13、A 1,0zdzdr=Q-x2dzdx=J；dz J；ll-x2dx=3 J。l-x2dx因 此：zcbxly+xdydz+ydzdx=2区 7 7 同=6 j；/1-？dr=6-4_ 3K-T(3)E如 图 11-9所 示，平 面 尸 y+z=l上 侧 的 法 向 量 为=1,-1,1,的 方 向 余 弦 为 1 T 1COS a=-7=,COS P=-7=,C O S/-i=,6 出 超 图 11-9由 两 类 曲 面 积 分 之 间 的 联 系 可 得:y,z)+xdydz+2/(x,y,z)+ydzdr+/(%,y,z)+zdvdy=JJ(/+%)cosads+(2/+y)cos 0d
14、s+(/+z)drdyff/.cosa,八 COs4,=(/+x)-d.vdy+(2/+y)-dxdy+(/+z)dxdyJJw cos/cos/=J(/+x)-(2/+y)+(/+z)dxdy=J L(x-y+z)dxdy=J L,(x 一)+1 一(x 一 切 心 dy=U”dy1 1 1=x 1 x 12 2(4)如 图 U T O 所 示:X X+E 2+E 3+N 4.图 11-10其 方 程 分 别 为 2：z=0,Z2：x=0,Z3：y=0,4：x+y+z=l,故 jxzdrdy=i=0+0+0+jj xzdxdy=限”(1-一)心 心，=J W(i*y)d y=：由 积 分 变
15、 元 的 轮 换 对 称 性 可 知.口.ndjxiz=JJ yzdzdr因 止 匕.jj xzdxdy+A3dydz+yzdzdx=3 x=l24 8 记 Z 所 围 成 的 立 体 为 0,由 高 斯 公 式 有：Jj v(y-z)dydz+(z-x)dzd.r+(x-y)drdy=fff(生 二)+旦 旺+遐*dxdydzJJJc(ax dy d z)=JJ?Odrdjdz=0(6)记 E 所 围 的 立 方 体 为 0,P=y(x-z),Z?=y2+xz.由 高 斯 公 式 有 JJj(X-z)dydz+x2dzdx+(/+xz)dxdyrrf=叫(菽 dP+诙 SQ+在 O R悭)、
16、也 T J L a+y d y d z=1：W d y J：(x+y)dz=：呵：始+加 仙 孙+口 L Z opa Q-2-JI o a L cix+2 Jdx6.证 明：坐 在 整 个 x。)，平 面 内 除 y 轴 的 负 半 轴 及 原 点 外 的 开 区 域 G 内 是 某 个 二 元 x+y函 数 的 全 微 分，并 求 出 这 样 的 一 个 二 元 函 数.证：P=J,。=,),显 然 G 是 单 连 通 的，P 和。在 G 内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 X-+y x-+y数，并 且.3P 5Q-2xy=-2，(x,y)e G力 d x(x2+y2)因 此 弋:髻 在 开
17、 区 域 G 内 是 某 个 二 元 函 数(x,y)的 全 微 分.上 xdx+ydy田 一 2 x2+y2ld(x2+y2)2 x2+y2=d ln(x2+y2)知 M(x,y)=ln(%2+y2).7.指 出 下 列 各 微 分 方 程 的 阶 数：(1)x(y)2-2y/+x=0;一 阶 2,“一 个，+丁=0；二 阶(3)个+2歹+/3；=0；三 阶(4)(7x-6y)dr+(x+y)dy=0.一 阶 8.设 厂 为 曲 线 x=r,y=P,z=p 上 相 应 于，从 0 变 到 1的 曲 线 弧，把 对 坐 标 的 曲 线 积 分Pdx+Qdy+Rdz化 成 对 弧 长 的 曲 线
18、 积 分.解：由 x=f,产 落 z=户 得 dx=dtf dy=2tdt=2xdt,dz=3rdt=3ydt,ds=Jl+4x2+9y2d/.故 cosa=/1ds Jl+4Y+9y2a dy 2xCOS P=Ids 71+4%2+9/dz 3ycos y=,/ds 71+4%2+9/b k f n ni r P+2 x Q+3 y H 因 而 Pdx+Qdx+Hdx=/3=d 9 J Jl+4d+9y29.计 算 下 列 对 面 积 的 曲 面 积 分：（1）JJ、（z+2 x+f 由，其 中 为 平 面（=1在 第/卦 限 中 的 部 分；（2）“,（2孙-2x?-x+z）ds,其 中
19、W 为 平 面 2x+2y+z=6在 第/卦 限 中 的 部 分；（3）JJ.（x+y+z）ds 淇 中 X 为 球 面 f+y2+z2=q2上 zN（0/2a）的 部 分；J L（孙+Z X）d S,其 中 W 为 锥 面 Z=J%2+y 2 被 柱 面 了 2+丫 2=2如 所 截 得 的 有 限 部 分；（5）儿（/?2-V 一 力 由,其 中 巾 为 上 半 球 面 Z=J R2 一 I 一/2.4 一 解：（1）N:z=4-2x-y（如 图 10-69 所 不）故JL(z+2x+g)，=J。4.=半 dxdy哼 x*x 3=4对 ds=丁+(-2尸+(-2)2(1处=3dxdyJ(2
20、xy-2x2-X+z)ds=JJo 3(2xy-2x2-3x-2y+6)cUdy=3/dx 2xy-2x2-3x-2y+6)dy=3 J。(6-3x-2x2)(3-x)4-(x-1)(3-x)2 drr3 1 0 27=3Jo(3X3-1 O X2+9)dr=-.(3)N:z=yla2-x2-y2且 其 在 xOy面 上 的 投 影 为 D+c T-h2且&=收 22x?-7 y a 一 村 十 回 一 1 户 六 工”故 J L*+y+z)+=J J Q(x4-y4-yja2 x2 y2a a,xd1y-x2-y2-又 寸-称-相 匕 ff ad1 xd.y=TuiZ(a 2-ni 2).x
21、 y(4)z=&2+y 2,%:x2+y2 lax1+X+y2 2X+ydxdy=42dxdy故JL(孙+)由=何。孙+(尤+y)&2+y 2 出 d y=力 J；d。J。r2 sin 8 cos 0+r2(cos 0+sin 6)rdr22 1=四/)(sin 6 cos 6+cos 夕 sin 6),二(2。cos 8)“d 0J)2-=4V26Z4 j(sjn cos5 0+cos5 0+sin cos4 e X。2=8 夜/f2cos5d=8 缶&-=J。5 3 15%:丁+西 双 y(ds=Jl+NN-y、J R 2 _ j 2 _ y 2)dxdy=R rdy卜-2.一 X2 2x
22、-y)故 jj qR2 _%2 由 _ Jj Rdrdy=R-欣 2=TIR，10.求 由 抛 物 线 y=f 及 直 线 y=1所 围 成 的 均 匀 薄 片（面 密 度 为 常 数 0）。对 于 直 线 y=-1 的 转 动 惯 量。图 10-65解：I=+2do=0J：cUj：(y+l)2dy=?(y+l)3 dx1J：8-(炉+1)3 的=黑 夕 11.已 知 均 匀 矩 形 板（面 密 度 为 常 量.）的 长 和 宽 分 别 为 力 和 小 计 算 此 矩 形 板 对 于 通 过 其 形 心 且 分 别 与 一 边 平 行 的 两 轴 的 转 动 惯 量。解：取 形 心 为 原 点
23、，取 两 旋 转 轴 为 坐 标 轴，建 立 坐 标 系 如 图 1 0-36所 示.b h h 4=JL y 1Vdy=j5 drR y2pdy=小 p y2d y=pbh3,-2-2-2 1，b A ily=JJ-20kdy=J%px2d x J j dy=Jj phx2Ax=phb-2 2 212.设 均 匀 薄 片(面 密 度 为 常 数 1)所 占 闭 区 域。如 下，求 指 定 的 转 动 惯 量：X2 y2.(1)0：+-1,求/),；o(2)0由 抛 物 线 V=与 直 线 4 2 所 围 成，求 人 和 小(3)D为 矩 形 闭 区 域：O W x W”,0WyW6,求 人
24、和 Iy.解：(1)令 x=arcos。,y=%rsin。,则 在 此 变 换 下 尤 2 v2D：3+=41 变 化 为。：W 1,即 a bOWrWl,0W0W2?r,且)=abr,d(r,0)所 以/,=J k 2d x由，=儿 a2r2 cos2 0abrdrd0=a司:cos?，dej dr=(1+cos 26)d 0-na3b.8 J。4(2)闭 区 域。如 图 10-35所 示 图 10-354=l L y&d y=24=E/&d y=2：A2dy=3 J。2V2 52 考“JL y 2d xd y=J：M Vdy=d：y2dy*,/)=J k&d y=J：x&J：d)，=J；版
25、 2d x=2 113.求 锥 面 z=J。+避 被 柱 面 z?=2x所 割 下 部 分 的 曲 面 面 积。解：由 z2=?+/,Z2=2X两 式 消 去 Z得 x2+y2=2x,则 所 求 曲 面 在 xOy面 上 的 投 影 区 域 D 为:f+y2w2x,而 dz X故 所 求 曲 面 的 面 积 为.Adxdy=J/。V2dxdy=2 d J；y/2rdr=3/r2cos。d6=4后 Jjn cos?0d0=2/2n2(1+cos26)d6=0 TL14.计 算 下 列 向 量 场 A 的 散 度 与 旋 度:A=(V+z2*2+-+力；解：0,2(y-z,z-x,x-y)(2)4
26、=(x2yz9xy2z,xyz2；解：6孙,卜(22-y2),y(;r2-z2),z(y2-J:2)(3)4=x_ y_ z_yz zx xy解：J-+-L+L yz zx xy xyz z y x z y x15.利 用 三 重 积 分 计 算 由 下 列 曲 面 所 围 成 的 立 体 的 体 积:(1)Z=6-2一 寸 及 z=f+y2.(2)x2+y2+z2=2 Z(Q0)及 x2+y2=z2(含 有 z 轴 的 部 分)；(3)z=y/x2+y2 及 z=x2+/；(4)z=y5-x2+y2 及 x2+y2=4z.解：(1)曲 面 围 成 的 立 体。如 图 10-55所 示。在 柱
27、 面 坐 标 系 下，Q 可 表 示 为：0 6 2TT 0r2r z 6-r2图 10-55用 柱 面 坐 标 可 求 得 Q 的 体 积 v=ff dv=fff rdrdOdz=rd”，dzJJJa JJJr?Jo Jo Jr-2n f(6r-r2-r3)dr=2 3r2-r3-r4=n.%L 3 4 Jo 3(2)曲 面 围 成 的 立 体 Q 如 图 10-56所 示。在 球 面 坐 标 系 下 Q 可 表 示 为：O 0 2 nc 710 r 2cz cos(p图 10-56利 用 球 面 坐 标 可 求 得 Q 的 体 积:=BIcdu=J f U n 岗 2岗=，)dApsinW
28、。/)c0s=2对 肆 Y e。/修 也 喝 夕=2兀.2/_ lc o s4 4=n a 3 3 L 4 Jo(3)曲 面 围 成 的 立 体 Q如 图 10-57所 示。在 柱 面 坐 标 系 下，。可 表 示 为：062T T 0rlr2 zr图 10-57利 用 柱 面 坐 标 可 求 得。的 体 积：v=W Ld v=d可;呵 dz=2或(产=2兀】3 1 4 T 兀 r r=.13 4 Jo 6r3)dr(4)曲 面 围 成 的 立 体。如 图 10-58所 示。在 柱 面 坐 标 系 下，2 可 表 示 为:0 W 9 M 2万 0r2 z，5-34图 10-58利 用 柱 面
29、坐 标 可 求 得 Q 的 体 积:v=rd 0drdz=d r d r j-dz=白（5 一?尸=:兀（5逐 一 4）3 I o d o。16.三 个 力 Q=(l,2,3),&=(-2,3,-4),尸 3=。,-4,5)同 时 作 用 于 一 点.求 合 力 R 的 大 小 和 方 向 余 弦.解：R=(1-2+3,2+3-4,3-4+5)=(2,1,4)|/?|=/22+12+42=721cos a=17.研 究 下 列 函 数 的 极 值:（1）Z=J+y3 3”+）?）；(3)z=(6xJ)(4yy2);(2)z=e(x+y2+2y)；(4)z=(x2+y2)e-(+四；(5)z=x
30、y(a-xy),a0.解:（1）解 方 程 组,z*.Z=3X2-6 X=0=3 y2 _ 6 y=0得 驻 点 为(0,0),(0,2),(2,0),(2,2).zn=6x_6,zvv=0,zvv=6y-6在 点(0,0)处，A=6,3=0,C=-6,B2-A C=-3 6 0,且 A0,所 以(0,2)点 不 是 极 值 点.在 点(2,0)处，A=6,8=0,C=-6,B2AC=360,所 以(2,0)点 不 是 极 值 点.在 点(2,2)处,A=6,B=0,C=6,B2-4c=-360,所 以 函 数 有 极 小 值 z(2,2)=-8.（2）解 方 程 组 z=e2A(2 x+2/
31、+4 y+l)=0zv=2e2A(y+l)=0得 驻 点 为 z.=42(*+：/+2丁+1)z刀=4e2(y+l)z=2e2，在 点 g,-1)处,A=2e,3=0,C=2e,B2-AC=-4e20,所 以 函 数 有 极 小 值=-/(3)解 方 程 组,z*=(6-2x)(4y-/)=0=(6x-x2)(4-2y)=0得 驻 点 为(3,2),(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).Z2(4y-y2),Zxy=4(3x)(2y)Zvv=-2(6x-x2)在 点(3,2)处，A=-8,B=0,C=-18,B247=8X 18(l-x2-/)=0得 驻 点 尸 o(O,O),及 产(
32、期,必),其 中 沏 2+兆 2=1,在 点 A 处 有 z=0,而 当 在,y)#(0,0)时，恒 有 z0,故 函 数 z在 点 方 处 取 得 极 小 值 z=0.再 讨 论 函 数 z=ue由 包=片(1一“)，令 包=0 得=1,du du当 wl 时，0；当 w 0,du du由 此 可 知，在 满 足 城+为 2=1的 点(即,光)的 邻 域 内，不 论 是 f+)2l或 f+y2,均 有 z=(x2+y2)e-+1 e1.故 函 数 z在 点(xo,y)取 得 极 大 值 z=e(5)解 方 程 组 Z、.=y(a-2 x-y)=0zy=x(a-2 y-x)=Q得 驻 点 为
33、片(0,0),鸟 Zxv=_2y,Zxya-2x-2y,zyy=-2x.故 z的 黑 塞 矩 阵 为 H=-2 y a-2 x-2 yc i-2 x-2 y-2x2a a0 a 3 3于 是“(用=,H(P2)=a u a 2a_ _3 T易 知(P|)不 定，故 尸 I不 是 z的 极 值 点,H(P2)当“0时 负 定，故 此 时 巳 是 z的 极 大 值 点，且 z(飘)=|.18.求 函 数 二 肛 2+23_巧 立 在 点(1,1,2)处 沿 方 向 角 为 二=三,=的 方 向 导 数。皿 du du du du解：一=c o s a+c o s p+C O S/ei dx(1,1
34、.2)(1.1,2)&(1,1,2)=(V-J 2)c o s(2孙-xz)|(1.1.2)cos:+(3z2-)|(1|2)cosg=5.19.求 下 曲 线 在 给 定 点 的 切 线 和 法 平 面 方 程:(l)x=asin2/j=加 in/cos/,z=ccos)点/=;4(2)/+y2+zJ6,元+y+z=0,点 M)(1,一 2)；/二 23,z2 M-乂 点 M)(M J O,ZO).解：xr=2a sin t cos t,y=b cos 2f,zr=-2c cos t sin tTT曲 线 在 点 1二 二 的 切 向 量 为 4TT当 1=巴 时,4切 线 方 程 为 b
35、c=-，z=2 2x=法 平 面 方 程 为 2 2即(2)联 立 方 程 组 2 2 2,x+y+z=6Vx+y+z=0它 确 定 了 函 数 y=y(x),z=za),方 程 组 两 边 对 x 求 导，得dzz-o 2zoT-dy一 dx出 一 dx2元+2y1+1 dxdz _ x-ydx y-z=0,=-ldx M5 0 dy z-x解 得=-dx y-z在 点 M)(1,-2,1)处，工 dx所 以 切 向 量 为 1,0,-1).故 切 线 方 程 为 x-1 y+2 z-l r o法 平 面 方 程 为 l(x-1)+0(y+2)-1(z-1)=0即 xz=0.(3)将 方 程
36、 y2=2nir,z2=A；z-x两 边 分 别 对 x 求 导，得-dy-dz,2y=2m,2z=-ldx dxdz _ 1dr 2zm 1曲 线 在 点(的 加)处 的 切 向 量 为 1,1 卜,故 切 线 方 程 为 I%2z J于 是 电=,dx vx f _ y-%_ z-z1 m 1%2z0法 平 面 方 程 为 m 1(X-X0)H(y _yo)_7(z-z0)=o.y。2 zo20.矩 型 一 边 长=10cm,另 一 边 长 b=24cm,当 a 边 增 加 4 m m,而 b 边 缩 小 1 mm时，求 对 角 线 长 的 变 化.解：设 矩 形 对 角 线 长 为/,则
37、/=J/+y2,出-J；一(xdx+ydy).y)x2+y2当 x=10,y=24,dr=0.4,dy=-0.1 时，d/=,1(10 x0.4-24x0.1)=0.062(cm)V102+242故 矩 形 的 对 角 线 长 约 增 加 0.062cm.21.设 z=xln(xy),求；及、工、dx2dy dxdy22 2 2 2(3)x2-=1；(4)%2+-=11;4 9 4 92(5)%2+2-=0.9解：(1)半 轴 分 别 为 1,2,3的 椭 球 面，如 图 7-13.顶 点 在(0,0,-9)的 椭 圆 抛 物 面，如 图 7-14.解：=%+ln(xy)=1+ln(Ay),d
38、 x x y必 二 y 二 1dx2 xy x d2z _ x _ 1dxdy xy y匹=。,dxdyd3z 4dxdy11/,22.已 知 j(x,y)=A+y-xytan 一，试 求 f(tx,ty).y2 2tx解：f(tx,ty)=(tx)2+(Zy)2-fy tan=r/(x,y 23.指 出 下 列 方 程 表 示 怎 样 的 曲 面，并 作 出 图 形：2 2(1)x2+1;(2)3 6 f+9 y 2 4z=36；(3)以 x轴 为 中 心 轴 的 双 叶 双 曲 面，如 图 7-15.(4)单 叶 双 曲 面,如 图 7-16.(5)顶 点 在 坐 标 原 点 的 圆 锥
39、面，其 中 心 轴 是 z轴，如 图 7-17.24.建 立 以 点(1,3,-2)为 中 心，且 通 过 坐 标 原 点 的 球 面 方 程.解：球 的 半 径 为 R=+32+(2)2=拒.设(x,y,z)为 球 面 上 任 一 点，则(%-1)2+(y-3)2+(z+2)2=14即 X2+,2+Z2-2A 6y+4z=0为 所 求 球 面 方 程.25.试 定 出 下 列 各 题 中 直 线 与 平 面 间 的 位 置 关 系：/、x+3 y+4 z 个(1)=-=一 和 4x-2y-2z=3;2-7 3X v z(2)一=亍 和 3x-2y+7z=8;x 2 y+2 z 3(3)=-=
40、-和 x+y+z=3.3 1-4,解：平 行 而 不 包 含.因 为 直 线 的 方 向 向 量 为 s=-2,-7,3)平 面 的 法 向 量=4,-2,-2),所 以 s“=(-2)x4+(-7)x(-2)+3x(-2)=0于 是 直 线 与 平 面 平 行.又 因 为 直 线 上 的 点 Mo(-3,-4,0)代 入 平 面 方 程 有 4x(-3)-2 x(T)-2xO=-4 w 3.故 直 线 不 在 平 面 上.(2)因 直 线 方 向 向 量 s等 于 平 面 的 法 向 量，故 直 线 垂 直 于 平 面.(3)直 线 在 平 面 上，因 为 3xl+lxl+(-4)xl=0,
41、而 直 线 上 的 点(2,-2,3)在 平 面 上.26.求 平 行 于 平 面 3k)，+7z=5,且 垂 直 于 向 量 i-j+2k的 单 位 向 量.解：”尸 3,T,7,2=1,-1,2.-L%_L故=X%=7272-1-114-3-11-1k=5i+j-2k31则 e“=(5i+/24).V3027.设 平 面 过 点(1,2,-1),而 在 x 轴 和 z轴 上 的 截 距 都 等 于 在 y 轴 上 的 截 距 的 两 倍，求 此 平 面 方 程.解：设 平 面 在)，轴 上 的 截 距 为 则 平 面 方 程 可 定 为 二+二=12b b 2b又(1,2,-1)在 平 面
42、 上，则 有 1 2-1+=12b b 2b得 b=2.故 所 求 平 面 方 程 为 2+2+三=14 2 428.求 垂 直 于 向 量 和 2仃+4的 单 位 向 量，并 求 上 述 两 向 量 夹 角 的 正 弦.32解：axb=14-3-42-1k=-5i-5j+5k与 ax 平 行 的 单 位 向 量 e5 G 5屈 sin 3=axbl|x|Z|V26-V6 2629.若 向 量 a+3b垂 直 于 向 量 7a-5,向 量 a-4b垂 直 于 向 量 7a-2b,求 a和 b 的 夹 角.解：(a+36)(74-56)=7|a-15|ft|2=0(a-4b),(la-2b)-7
43、1al?30a+81)，=0 由 及 可 得:a b a b(a/A 1产 用|2|川 2-4又 a 方=,防|20,所 以 C O S6=-=L2 ab 2故。=arccos.2 330.球 心 在 原 点，半 径 为 R 的 球 体，在 其 上 任 意 一 点 的 密 度 的 大 小 与 这 点 到 球 的 距 离 成 正 比，求 这 球 体 的 质 量。解：利 用 球 面 坐 标 计 算：Q：0 r/?,O 02n,0(p T t,夕=Ar,则 M=/xi尸 J。dOj：sin 的。J：kr r2drF t-|R=2K-cos r4=latR4.【参 考 答 案】*试 卷 处 理 标 记，请 不 要 删 除 一、解 答 题 1.无 2.无 3.无 4.无 5.无 6.无 7.无 8.无 9.无 10.无 11.无 12.无 13.无1 4.无 15.无 16.无 17.无 18.无 19.无 20.无 21.无 22.无 23.无 24.无 25.无 26.无 27.无 28.无 29.无 3 0.无