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1、3.离散时间信号卷积的定义123离散线性卷积离散周期卷积离散循环卷积数字信号处理2离散线性卷积设序列x(n)和y(n)(-n+),称下述运算：为序列x(n)和y(n)的线性卷积，记作x(n)y(n),即 x(n)y(n)=3离散线性卷积容易看出，和一般的相加、相乘运算相比，卷积运算要复杂得多，它是有移位、相乘、和相加组成的综合性运算。对于不同的n,序列的线性卷积值构成了一个新的序列g(n).即 g(n)=x(n)y(n)4离散线性卷积例 3.2：设序列x(n)=1,-1,2和y(n)=3,0,-1,试计算x(n)和y(n)的线性卷积序列g(n)(-n+)解：由于x(n)和y(n)都是3点典型的
2、有限序列，因此，n2时，x(n)=y(n)=0,即i2时，x(i)=0.而对y(n-i),则n-i2时，y(n-i)=0,这时in和in-2，因此，可得：g(n)=当n4时，g(n)=0因此，x(n)和y(n)的线性卷积序列 g(n)=3,-3,5,1,-26离散线性卷积线性卷积的求和限为-到+，因此，它一般有收敛问题。对于线性卷积x(n)y(n),当 ,则称卷积在n=处收敛，若在-n+时线性卷积处处收敛，则称线性卷积收敛。若x(n)和y(n)中有一个序列是一般有限序列，不失一般性，设这个序列是x(n）x(n)=0 (n ,)可得：x(n)y(n)=上式是有限项求和，不存在不收敛的问题，涉及有
3、限序列的线性卷积一定收敛。7大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流8离散周期卷积对两个同周期的周期序列，可以定义周期卷积。设周期序列 和 的周期均为N，称下列运算：（-n+）为周期序列 和 的周期卷积，记作 容易看出，周期卷积也确定了一个新的序列，并且可以证明，这一序列也是周期为N的周期序列。若记这序列为 9离散周期卷积在上式中，可以看出，周期卷积的求和区间是周期序列对的主值区间。但是，若用任何长为N的区间求和，容易证明和值都是相同的，这正是周期序列的周期性带来的结果。由于周期序列周期卷积的求
4、和区间是有限的，因此，它不存在收敛的问题。若把非周期序列看作周期无限大的周期序列，这时，周期卷积和线性卷积完全一致。例 3.3：设 和 都是周期N=3的周期序列，它们的序列值分别为 和 ，试计算它们的周期卷积序列 。解：由于 也是周期N=3的周期序列，故只需计算n=0,1,2时 的值即可 10离散周期卷积11离散周期卷积因此：和 的周期卷积序列 为12离散循环卷积对N点有限序列来说，除了作线性卷积运算外，还有一种特殊的卷积运算，这就是循环卷积。设N点有限序列x(n)和y(n)，称下列运算：为有限序列x(n)和y(n)的循环卷积，记为即：循环卷积也确定了一个新的序列，若把循环卷积序列记为t(n),则13离散循环卷积可以看出，循环卷积序列t(n)也是有限序列，并且它与参与卷积的两有限序列具有相同的长度N。通常，若只考虑主值区间的值，则可简化为在循环卷积式中，对有序列y(n)的下标应用了模N运算。由于卷积式中也是有限项的和，因此也不存在收敛的问题。例3.4 对例3.2中的3点有限序列x(n)和y(n),试计算N=3的循环卷积序列t(n).解：由于N=3的循环卷积序列t(n)也是3点序列，因此，只需求出主值区间0,2中循环卷积序列t(n)就可以了。14离散循环卷积因此，x(n)和y(n)的3点循环卷积序列t(n)为15