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1、专 题 5 立 体 几 何 1.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）在 九 章 算 术 中，将 四 个 面 都 是 直 角 三 角 形 的 四 面 体 称 为 鳖 脯，在 鳖 臊 中，4 8，平 面 3。，且 3。，8,AB=B=C Q,点 尸 在 棱 A C上 运 动，设 C P的 长 度 为 x,若 回 产 团 的 面 积 为 力，则/（力 的 图 像 大 致 为（）2.（2022,上 海,高 三 专 题 练 习）已 知 正 三 棱 柱 的 底 面 边 长 为 2,高 为 1,过 顶 点 A 作 一 平 面 a 与 侧 面 B C G q交 于 E F,且 E/T3BC,若 平 面
2、a 与 底 面 ABC所 成 二 面 角 的 大 小 为 四 边 形 BCEF面 积 为 V 则 函 数），=/（x）的 图 像 大 致 是（）B.3.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）已 知 矩 形 ABCD,AB=,8C=2,将 ABO沿 矩 形 的 对 角 线 所 在 的 直 线 进 行 翻 折，在 翻 折 的 过 程 中 A.存 在 某 个 位 置，使 得 直 线 4 8 和 直 线 C。垂 直 B.存 在 某 个 位 置，使 得 直 线 4 c 和 直 线 8。垂 直 C.存 在 某 个 位 置，使 得 直 线 A O和 直 线 8 C垂 直 D.无 论 翻 折 到 什 么
3、位 置，以 上 三 组 直 线 均 不 垂 直4.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）在 正 四 面 体 A-8 C Z）中，点 P为 ABCZ）所 在 平 面 上 的 动 点，若 与 A 8所 成 角 为 定 值 夕，4 0,?）则 动 点 尸 的 轨 迹 是（）A.圆 B.椭 圆 C.双 曲 线 D,抛 物 线 5.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）如 图，正 方 体 4 8 8-A M G A 中，E、尸 分 别 是 A 3、8 c 的 中 点，过 点 A、E、F 的 截 面 将 正 方 体 分 割 成 两 个 部 分，记 这 两 个 部 分 的 体 积 分 别 为 乂，匕
4、 化 匕），则 W：匕=（）25C.47D.27466.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）如 图，正 四 棱 锥 的 底 面 边 长 和 高 均 为 2,M 是 侧 棱 PC的 中 点，若 过 A M作 该 正 四 棱 锥 的 截 面，分 别 交 棱 P8、PD于 点 E、F（可 与 端 点 重 合），则 四 7.（2022上 海,高 三 专 题 练 习）如 图 一 副 直 角 三 角 板，现 将 两 三 角 板 拼 成 直 二 面 角，得 到 四 面 体 A 8 C Q,则 下 列 叙 述 正 确 的 是（）平 面 3C O的 法 向 量 与 平 面 A C D 的 法 向 量 垂
5、直；异 面 直 线 与 A 所 成 的 角 为 60。；四 面 体 A8C D有 外 接 球；直 线 D C 与 平 面 4 8 c所 成 的 角 为 30。.B,CDA.B.C.D.8.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）设 正 方 体 ABC。-A B C A 棱 长 为 L 平 面。经 过 顶 点 A,且 与 棱 A3、AD、A A所 在 直 线 所 成 的 角 都 相 等，则 满 足 条 件 的 平 面 a 共 有（）个.A.1 B.2 C.3 D.49.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）如 图 A B C D-A B C A是 长 方 体，。是 片。的 中 点，直 线
6、AC交 平 面 A B Q 于 点 M,则 下 列 结 论 塔 送 的 是（）A.A,M,。三 点 共 线 B.M,O,A，A 四 点 共 面 C.B,四，O,M 四 点 共 面 D.A,O,C,M 四 点 共 面 10.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）如 图，棱 长 为 2 的 正 方 体 ABC。-A 4 C Q 中，尸、。分 别 是 面 对 角 线 与 B力 上 的 动 点，且 A P=E Q,给 出 下 列 两 个 判 断：3则 下 列 说 法 正 确 的 是（)A.（1）正 确，（2）错 误 B.（1）错 误，（2）正 确 C.（1）正 确，（2）正 确 D.（1）错 误，
7、（2）错 误 11.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）球 面 上 两 点 之 间 的 最 短 连 线 的 长 度，就 是 经 过 这 两 个 点 的 大 圆 在 这 两 点 间 的 一 段 劣 弧 的 长 度（大 圆 就 是 经 过 球 心 的 平 面 截 球 面 所 得 的 圆），我 们 把 这 个 弧 长 叫 做 两 点 的 球 面 距 离.已 知 正 的 项 点 都 在 半 径 为 2 的 球 面 上，球 心 到 所 在 平 面 距 离 为 也，则 A、8 两 点 间 的 球 面 距 离 为（）3冗 24 3汽 A.）B.-C.-D.2 3 412.（2022上 海 高 三 专
8、题 练 习）如 图，已 知 三 棱 柱 的 体 积 为 V,P,Q,R分 别 为 侧 棱 AA1,BB,CG 上 的 点 且 4P+CR=A A，则（）A G13.（2022 上 海 高 三 专 题 练 习）棱 长 为 4 的 立 方 体 A 8 8-4 B C 2 中，P,Q 是 C G 上 两 动 点，且 PQ=1,则 三 棱 锥 P-A Q O 的 体 积 为（）.,16 8A.8 B.C.3 D.3 314.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）平 面 a 与 球。相 交 于 周 长 为 27 的 A,8 为 OO,上 两 点，若 乙 408=工，且 A,B 的 球 面 距 离 为
9、 也;r,则 O。的 长 度 为（）.4 4A.1 B.0 C.n D.215.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）在 棱 长 为 10的 正 方 体.A B C O-A A G A 中，P 为 左 侧 面 上 一 点，已 知 点 P 到 A R 的 距 离 为 3,点 尸 到 A A 的 距 离 为 2,则 过 点 P 且 与 A C 平 行 的 直 线 交 正 方 体 于 尸、。两 点，则。点 所 在 的 平 面 是（）A lc BA.A A B B.B B g C C.CCtDtD D.ABCD16.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）运 用 祖 晒 原 理 计 算 球 的
10、体 积 时，夹 在 两 个 平 行 平 面 之 间 的 两 个 几 何 体，被 平 行 于 这 两 个 平 面 的 任 意 一 个 平 面 所 截，若 截 面 面 积 都 相 等，则 这 两 个 几 何 体 的 体 积 相 等.构 造 一 个 底 面 半 径 和 高 都 与 球 的 半 径 相 等 的 圆 柱，与 半 球（如 图）放 置 在 同 一 平 面 上，然 后 在 圆 柱 内 挖 去 一 个 以 圆 柱 下 底 面 圆 心 为 顶 点，圆 柱 上 底 面 为 底 面 的 圆 锥 后 得 到 一 新 几 何 体（如 图），用 任 何 一 个 平 行 于 底 面 的 平 面 去 截 它 们
11、 时，可 证 得 所 截 得 的 两 个 截 面 面 积 相 等，由 此 可 证 明 新 几 何 体 与 半 球 体 积 相 等.现 将 椭 圆+=1绕 y 轴 旋 转 一 周 后 9 16得 一 橄 榄 状 的 几 何 体（如 图），类 比 上 述 方 法，运 用 祖 咂 原 理 可 求 得 其 体 积 等 于（）17.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）如 果 球、正 方 体 与 等 边 圆 柱（轴 截 面 为 正 方 形 的 圆 柱）的 体 积 相 等，那 么 它 们 的 表 面 积 S球，5正 方 体，6柱 的 大 小 关 系 为（）.A.5球 S正 方 体 S柱 B.S理 5柱
12、 S正 方 体 C.S柱 v S琢 v S正 方 体 D.S正 方 体 S柱 v S球 18.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）在 北 纬 45。圈 上 有 甲、乙 两 地，经 度 相 差 9 0,那 么 甲、乙 两 地 的 球 面 距 离 与 地 球 半 径 的 比 值 是（）A.1 B.-C.D.一 3 4 319.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）已 知 B 4,PB,P C 是 从 点 P 引 出 的 三 条 射 线，每 两 条 射 线 T T间 夹 角 都 是 H，则 直 线 与 平 面 Q 4 8所 成 角 的 余 弦 值 是（）.A 1 R 6 c V6 n 百
13、A.-B.C.D.2 2 3 320.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）已 知 三 棱 锥 P-A B C 的 顶 点 都 在 半 径 为 g 的 球 面 上，AB=,BC=6，AC=2,则 三 棱 锥 尸 A B C 体 积 的 最 大 值 为（）A.B.1 C.招 D.2 1 821.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）在 半 径 为 R 的 球 内 有 一 内 接 正 三 棱 锥.它 的 底 面 三 个 顶 点 恰 好 都 在 同 一 个 大 圆 上，一 个 动 点 从 三 棱 锥 的 一 个 顶 点 出 发 沿 球 面 运 动，经 过 其 余 三 点 后 返 回.则 经
14、过 的 最 短 路 程 是（）7 7 8A.-7 TR B.2T T R C.一 冗 R D.T T R6 3 322.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）在 直 二 面 角。-/-尸 中，A m,3班，A,8 都 不 在/上，AB与 a 所 成 角 为 x,A B 与 所 成 角 为 y,A B 与 I所 成 角 为 z,则 cos2x+cos2），+s%2z的 值 为（）A.72 B.2 C.3 D.623.（2022 上 海 高 三 专 题 练 习）平 面 过 正 方 体 ABC。-4 用 弓。的 顶 点 A,a 平 面 C B Q,a f l平 面 A 5 C D=m,平 面 4
15、 8 8 M=，则 八 所 成 角 的 正 弦 值 为（）A.B.C.3 D.12 2 3 224.（2022 上 海 高 三 专 题 练 习）将 直 径 分 别 为 6,8,1 0的 三 个 铁 球 熔 铸 成 一 个 大 铁 球，则 大 铁 球 的 表 面 积 是 原 来 三 个 球 表 面 积 之 和 的（）.A.B.C.1 D.2 倍 25 18 225.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）高 为 也 的 四 棱 锥 的 底 面 是 边 长 为 1 的 正 方 形，点 4S,A,B,C,D 均 在 半 径 为 1 的 同 一 球 面 上,则 底 面 A B C D 的 中 心 与
16、 顶 点 S之 间 的 距 离 为（）A.叵 B.也 C.1 D.夜 4 226.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）在 xQ y平 面 上，将 等 轴 双 曲 线 V-y 2=l的 右 支 和 它 的 两 条渐 近 线、以 及 两 条 直 线 y=i 和 y=-i 围 成 的 封 闭 图 形 记 为。，则。绕 y 轴 旋 转 一 周 而 成 的 几 何 体 的 体 积 为（）（提 示:祖 唯 原 理）4C.7133D.7 C427.（2022 上 海 高 三 专 题 练 习）用 长 度 分 别 是 2,3,5,6,9（单 位：c m）的 五 根 木 棒 连 接（只 允 许 连 接，不
17、允 许 折 断），组 成 共 顶 点 的 长 方 体 的 三 条 棱，则 能 够 得 到 的 长 方 体 的 最 大 表 面 积 为（）A.258cM B.414C/M2 C.416cM D.418cm228.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）鲁 班 锁 是 中 国 传 统 的 智 力 玩 具，起 源 于 古 代 汉 族 建 筑 中 首 创 的 禅 卯 结 构，这 种 三 维 的 拼 插 器 具 内 部 的 凹 凸 部 分（即 梯 卯 结 构）啮 合，十 分 巧 妙，外 观 看 是 严 丝 合 缝 的 十 字 立 方 体，其 上 下、左 右、前 后 完 全 对 称，从 外 表 上 看，
18、六 根 等 长 的 正 四 棱 柱 分 成 三 组，经 9 0样 卯 起 来，如 图，若 正 四 棱 柱 的 高 为 6,底 面 正 方 形 的 边 长 为 1,现 将 该 鲁 班 锁 放 进 一 个 球 形 容 器 内，则 该 球 形 容 器 的 表 面 积 的 最 小 值 为（容 器 壁 的 厚 度 忽 略 不 计）29.（2022上 海 师 大 附 中 高 三 阶 段 练 习）已 知 正 方 体 的 棱 长 为 1,每 条 棱 所 在 直 线 与 平 面 1所 成 的 角 都 相 等，则 a 截 此 正 方 体 所 得 截 面 面 积 的 最 大 值 为 A 3 6 a 2宕 3 0 c
19、 G4 3 4 230.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）如 图 所 示，已 知 正 方 体 4BC。-A 4 C Q 的 棱 长 为 2,长 为 2的 线 段 的 一 个 端 点 M 在 棱。上 运 动，另 一 端 点 N 在 正 方 形 A 5C O内 运 动，则 的中 点 的 轨 迹 的 面 积 为 A.47r B.217 1C.万 D.2专 题 5 立 体 几 何 1.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）在 九 章 算 术 中，将 四 个 面 都 是 直 角 三 角 形 的 四 面 体 称 为 鳖 脯，在 鳖 臊 中，4 8，平 面 3。，且 3。，8,AB=B=C Q,
20、点 尸 在 棱 A C 上 运 动，设 C P 的 长 度 为 x,若 回 产 团 的 面 积 为 力，则/（力 的 图 像 大 致 为（）【答 案】A【解 析】【分 析】过 户 作 PF/AB交 8 c 于 尸，过 F 作 FE/CD交 B D 于 E，连 接 P E,有 线 面 垂 直 的 性 质 得 Q _ L 8,根 据 线 面 垂 直 的 判 定 有 8 0,面 PFE,进 而 可 知 5。_1理，故 S.PBD=；PE-BD,令 AB=BD=CD=2a,根 据 线 段 的 平 行 关 系、勾 股 定 理 求 出 尸 尸、防，即 可 得 P E,写 出 SPBD关 于 x 的 关 系
21、 式，利 用 二 次 函 数 性 质 判 断 图 象.【详 解】过 P 作 PF/AB交 B C 于 F,过/作 F E/8 交 8。于 E，连 接 PE,I3A8_L 平 面 8 8,团。尸 _1 _ 平 面 B C D，B D u 面 B C D,即 PFJ_ B D,I3BD CD,则 又 P F c F E=F,国 B D L 面 PFE,P E u 面 尸 正，则 8O_LPE,令 AB=BD=CD=2a,则 BC=2&a，AC=2s/3a,CP PF r i.6,.EF BF n.o FC,甚 0=.则 PF=X-x，而=，则 EF=2-京，fnFC=x，AC AB 3 CD BC
22、 V2 3EF=2 a-x,而 P E u J P F E F?=J竺-述 ax+4a2，3 V 3 30 Sj,BD=PE-BD=a-3 f s+4/=a-(x-y/3a)2+2a2(0 x 2y/3a)，由 解 析 式 知：变 化 类 似 二 次 函 数 曲 线，回 根 据 二 次 函 数 的 性 质 知：S,/w,关 于 x=G a 对 称，在 0 W x 6 上 单 调 递 减，在 x/3a x/3a上 单 调 递 增,故 选：A【点 睛】关 键 点 点 睛；利 用 线 面 垂 直 的 判 定 及 性 质 判 断 3。_ L P E,根 据 平 行 关 系 及 线 段 垂 直 关 系，
23、应 用 勾 股 定 理 求 尸 尸、E F、P E,进 而 写 出 S/BD关 于 x 的 函 数 式.2.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）已 知 正 三 棱 柱 ABC-A B IG 的 底 面 边 长 为 2,高 为 1,过 顶 点 A作 一 平 面 a 与 侧 面 BCC6 交 于 E F,且 EfB B C,若 平 面 a 与 底 面 ABC所 成 二 面 角 的 大 小 为 x 0 x W）,四 边 形 8CEF面 积 为 V则 函 数 y=x）的 图 像 大 致 是（）【答 案】C【解 析】【分 析】先 作 出 平 面 a 与 底 面 A 8C所 成 的 二 面 角 的
24、平 面 角 为 x,如 图 为/G 4 H,在 宜 角 三 角 形 A G 中 用 x,及 AH=#)表 示 出 G”,再 利 用 四 边 形 8CE尸 面 积 为 y=B C xG H求 出 根 据 解 析 式，作 出 简 图，即 可 得 到 答 案.【详 解】作 图 如 下：过 A 作 4 W|8 C,，G 分 别 是 中 点，则 A H 1BC,所 以 A H _LA M,在 等 腰 三 角 形 A，郎 中，A G 1 E F,.EF/BC,:.AG AM,所 以 N G A 是 平 面 a 与 底 面 A 8C所 成 角 的 平 面 角.Z G A H=xtGHtan x=-,AHG
25、H=A/3 tan x,所 以 四 边 形 8CEF面 积 为：y=F(%)=B C x G H=2 G tan x根 据 正 切 函 数 图 象 可 知 C符 合.故 选:C【点 睛】本 题 主 要 考 查 空 间 中 两 面 所 成 二 面 角 的 平 面 角 的 求 解 及 性 质;利 用 线 线 平 行、线 线 垂 直 证 明 N G A H 是 平 面 与 底 面 ABC所 成 的 二 面 角 的 平 面 角 是 求 解 本 题 的 关 键;本 题 属 于 难 度 较 大型 试 题.3.（2022 上 海 高 三 专 题 练 习）已 知 矩 形 A3CD,AB=,BC=2,将 M 沿
26、 矩 形 的 对 角 线 3。所 在 的 直 线 进 行 翻 折，在 翻 折 的 过 程 中 A.存 在 某 个 位 置，使 得 直 线 A 8和 直 线 CO垂 直 B.存 在 某 个 位 置，使 得 直 线 A C和 直 线 8。垂 直 C.存 在 某 个 位 置，使 得 直 线 A。和 直 线 BC垂 直 D.无 论 翻 折 到 什 么 位 置，以 上 三 组 直 线 均 不 垂 直【答 案】A【解 析】依 次 判 断 每 个 选 项：存 在 一 个 状 态 使 AC=代 得 到，8,故 A 正 确 D 错 误；若 A C 和 BD垂 直 得 到 8 _ L A F,不 成 立，故 8
27、错 误；若 A O和 B C垂 直 得 到 4 c _ L B C,不 成 立，故 C 错 误；得 到 答 案.【详 解】如 图 所 示：作 CF_LB）于 尸，AE1.BD于 E翻 折 前 AC=,易 知 存 在 一 个 状 态 使 AC=,满 足 A C 2+A B 2=B C 2，A C _LA 8,抽，相，平 面 ACO,CD u 平 面 AC。；.A8 L C D,故 A 正 确 O 错 误；若 A C和 垂 直，.比 _1仃.比）_ 1平 面 力 3,4尸 彳 平 面 46:尸；.3。，4尸，不 成 立，故 8 错 误；若 4）和 BC 垂 直，3 c _ 1_ 8故 8。_ 1平
28、 面 4 8,AC 1 平 面 AC,.A C _ L B C,因 为 A B B C,故 AC_LBC不 成 立，故 C错 误；故 选：A【点 睛】本 题 考 查 了 直 线 与 直 线 的 位 置 关 系，意 在 考 查 学 生 的 空 间 想 象 能 力 和 推 理 能 力.4.（2022 上 海 高 三 专 题 练 习）在 正 四 面 体 A-B C D中，点 P为 ABC。所 在 平 面 上 的 动 点,若 赫 与 A B所 成 角 为 定 值 则 动 点 P的 轨 迹 是（）A.圆【答 案】BB.椭 圆 C.双 曲 线 D.抛 物 线【解 析】把 条 件 转 化 为 A B与 圆
29、锥 的 轴 重 合，面 BC。与 圆 锥 的 相 交 轨 迹 即 为 点 尸 的 轨 迹 后 即 可 求 解.【详 解】以 平 面 截 圆 锥 面，平 面 位 置 不 同，生 成 的 相 交 轨 迹 可 以 为 抛 物 线、双 曲 线、椭 圆、圆.令 A3与 圆 锥 的 轴 线 面 合，如 图 所 示，则 圆 锥 母 线 与 A 3所 成 角 为 定 值，所 以 面 8 c o 与 圆 锥 的 相 交 轨 迹 即 为 点 尸 的 轨 迹.根 据 题 意，A 3不 可 能 垂 直 于 平 面 5 8,即 轨 迹 不 可 能 为 圆.面 3 8 不 可 能 与 圆 锥 轴 线 平 行，即 轨 迹
30、不 可 能 是 双 曲 线.可 进 一 步 计 算 AB与 平 面 BCD所 成 角 为 arctanypl，即。=arctan近 时,轨 迹 为 抛 物 线，0 4 arctan V 2时，轨 迹 为 椭 圆,：。e，所 以 轨 迹 为 椭 圆.故 选：B.【点 睛】本 题 考 查 了 平 面 截 圆 锥 面 所 得 轨 迹 问 题，考 查 了 转 化 化 归 思 想，属 于 难 题.5.（2022 上 海 高 三 专 题 练 习）如 图，正 方 体 ABCO-ABIG A 中，E、F 分 别 是 A 3、B C的 中 点，过 点 A、E、尸 的 截 面 将 正 方 体 分 割 成 两 个
31、部 分，记 这 两 个 部 分 的 体 积 分 别 为 匕 匕 化 匕），则 乂：匕=（）【答 案】C【解 析】【分 析】如 图 所 示，过 点 4，E,尸 的 截 面 下 方 几 何 体 转 化 为 一 个 大 的 三 棱 锥，减 去 两 个 小 的 三 棱 锥，上 方 部 分，用 总 的 正 方 体 的 体 积 减 去 下 方 的 部 分 体 积 即 可.【详 解】设 正 方 体 的 棱 长 为 2a,则 过 点 A，E,尸 的 截 面 下 方 体 积 为：=-3a-3a-2a-a-a-2=-a3,3 2 3 2 3 9回 另 一 部 分 体 积 为 匕=8/一 青 3=白 3,叫:匕 噜
32、 故 选：C.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 几 何 的 割 补 问 题，还 考 查 了 空 间 想 象 的 能 力，属 于 中 档 题.6.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）如 图，正 四 棱 锥 P-A B C D的 底 面 边 长 和 高 均 为 2,M 是 侧 棱 PC的 中 点，若 过 A M作 该 正 四 棱 锥 的 截 面，分 别 交 棱 P8、PD于 点 E、F（可 与 端 点 重 合），则 四 棱 锥 P-A A W 的 体 积 的 取 值 范 围 是（）【答 案】D【解 析】PF PF设 质=苍 诟=，则 PE=xPB,PF=yPD,然 后 利 用 等 体 积
33、 法 由 丫 丽=匕 一+匕 卸 尸 叫-”+k 3 2 孙=为+力 得 至 X 卢 不 再 消 元 得 到 小 的=工 冬，令 3 3y-l 3 3y-l3y-1=t,利 用 对 勾 函 数 的 性 质 求 解.【详 解】PE PF设 一=x,=y,则 PE=xPB,PF=yPDPB PD4 2所 以 Vp_AEF=孙-VP-ABD=-XyyP-MEF=万 孙-88=孙，,_ 1,_ 2._ 1._ 2VP-AFM=2y Vp-ACD=)，Vp-AEM=耳 式.VP-ABC=%2VP-Af：MF=VP-AEF+VP-f：MF=VP AFM+VP-AEM=2=-(%+),3v所 以 x+y=3
34、个 则”豆 令 3 y-l=f,因 为 y e 1,1所 以 f e p 2所 以 4 j_9,2所 以 P-AEMF3y23 y-1e故 选：D【点 睛】方 法 点 睛；求 解 棱 锥 的 体 积 时，等 体 积 转 化 是 常 用 的 方 法，转 化 原 则 是 其 高 易 求，底 面 放 在 已 知 几 何 体 的 某 一 面 上.求 不 规 则 几 何 体 的 体 积，常 用 分 割 或 补 形 的 思 想，将 不 规 则 几 何 体 转 化 为 规 则 几 何 体 以 便 于 求 解.7.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）如 图 一 副 直 角 三 角 板，现 将 两 三 角
35、 板 拼 成 直 二 面 角，得 到 四 面 体 A 3 C D,则 下 列 叙 述 正 确 的 是（）平 面 8 8 的 法 向 量 与 平 面 A C D 的 法 向 量 垂 直;异 面 直 线 8 c 与 AD所 成 的 角 为 60。：四 面 体 ABC。有 外 接 球；直 线。C 与 平 面 A 8C所 成 的 角 为 30。.A.B.C.D.【答 案】c【解 析】【分 析】由 题 设 四 面 体 相 关 侧 面 的 关 系 即 可 判 断 正 误；过。、C作 8 C、BO的 平 行 线 且 交 于 F,连 接 A F,则 NADF就 是 异 面 直 线 BC与 A 的 夹 角，设
36、比=1求 相 关 边 的 长 度，再 应 用 余 弦 定 理 求 cos 247）尸：由 四 面 体 的 性 质 即 可 知 正 误：由 面 面 垂 直 确 定。C 与 平 面 ABC所 成 的 角 是 N D C 8,即 知 线 面 角 的 大 小.【详 解】平 面 BCD的 法 向 量 与 平 面 ABC的 法 向 量 垂 直，而 与 平 面 ACD的 法 向 量 不 垂 直，故 错 误；过。作 BC的 平 行 线，过 C作 5。的 平 行 线，两 平 行 线 交 于 点 F,联 结 A F,则 NA尸 就 是 异 面 直 线 8 c与 AO的 夹 角，过 A 作 AE _L8C,联 结）
37、、EF,若 BD=1，则 8D=2,8C=2/i,A8=AC=,由 B D J.B C,面 BO Cc 面 A 3 C=8 C,而 BDC_L 而 A8C,BDu 而 BDC,回 8。1 面 ABC,ABI ffiA B C,则 8 _LA8,同 理 可 证 F C J.A C,0AD=AF=Vio,DF=2后,易 得 cos4 4 尸=叵，故 错 误；10 由 于 所 有 的 四 面 体 都 有 外 接 球，故 正 确；因 为 B O 1平 面 A 8 C,所 以。C 与 平 面 ABC所 成 的 角 是/心 8=30。，正 确.故 选：C8.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）设 正
38、 方 体 棱 长 为 1，平 面。经 过 顶 点 A,且 与 棱 A8、AQ、A A所 在 直 线 所 成 的 角 都 相 等，则 满 足 条 件 的 平 面 a 共 有（）个.A.1 B.2 C.3 D.4【答 案】D【解 析】【分 析】由 正 方 体 的 性 质，分 A，8,D 在 同 一 侧、不 同 侧 两 种 情 况 画 出 满 足 题 设 的 平 面，即 可 知 平 面 a的 个 数.【详 解】1,当 平 面 a 面 A f力 且 过 A 点 时，满 足 题 设；2、由 正 方 体 的 性 质，面 A A A、面 ABQ 1、面 4片 口 都 满 足 题 设；团 共 有 4 个 平
39、面.故 选：D9.（2022 上 海 高 三 专 题 练 习）如 图 ABC。-A A G R 是 长 方 体，。是 印 乌 的 中 点，直 线 A C交 平 面 A B Q 于 点，则 下 列 结 论 皆 峰 的 是（）A.A,M,。三 点 共 线 B.M,0,A，A 四 点 共 面 C.B,Bx,0,M 四 点 共 面 D.A,O,C,M 四 点 共 面【答 案】C【解 析】【分 析】连 接 AG，A C,利 用 两 个 平 面 的 公 共 点 在 一 条 直 线 上 可 判 断 点 共 线.【详 解】解：连 接 A G，AC,则 A C AC,.A，C C A 四 点 共 面，A C u
40、 平 面 ACGA,M e A C，平 面 A C G A，M e 平 面 A B R,点 M 在 平 面 ACC,A 与 平 面 A 4 R 的 交 线 上，同 理 点 O 在 平 面 ACC A 与 平 面 A M R 的 交 线 匕 三 点 共 线，故 A 正 确；AM,。三 点 共 线，且 直 线 与 直 线 外 一 点 可 确 定 一 个 平 面，.4,M,O，A 四 点 共 面，A M,C,O 四 点 共 面，故 B,D 正 确；E 平 面 A B Q,O M u 平 面 A B R,Bt e 平 面 ABtDt 且 Bj O M,.和 Q M是 异 面 直 线，B,B,O,M四
41、点 不 共 面,故 C错 误.故 选：C10.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）如 图，棱 长 为 2 的 正 方 体 ABC。-A 4 G R 中，尸、Q 分 别 是 面 对 角 线 4。与 8。上 的 动 点，且 AP=D Q,给 出 下 列 两 个 判 断：（1）P Q和 4 G 始 终 是 异 面 直 线;（2）P Q 长 的 最 小 值 是 名 叵；3则 下 列 说 法 正 确 的 是（）A.（1）正 确，（2）错 误 B.（1）错 误，（2）正 确 C.（1）正 确，（2）正 确 D.（1）错 误，（2）错 误【答 案】B【解 析】【分 析】（1）如 图 所 示，建 立 空
42、 间 直 角 坐 标 系.设 4尸=。=&，求 出 平 面 A G P 和 平 面 A G Q 的 法 向 量 即 得 解；（2）求 出 伊 0|=母 一 8+4,利 用 二 次 函 数 求 出 函 数 的 最 值 即 得 解.【详 解】(1)如 图 所 示，建 立 空 间 直 角 坐 标 系.设 AP=Q=&a,则 P(2 a,0,a),Q(q,a,0),A(2,0,2),G(0,2,2),(0设 平 面 A G P 的 法 向 量 为%=(x,y,z)，AC,-n,=-2x+2y=0 所 以 _ _=(a-2,a-2,a).4 尸=-ax+(a-2)z=0设 平 面 A C 的 法 向 量
43、 为=（x,y,z），所 以-n2=-2x+2y=0n2=(a-2)x-k-ay-2z=0如 果 P Q 和 A 共 面，则 平 面 A G P 和 平 面 A G。重 合，所 以 a-2 a-21 1a=k所 以 a2-4a+2=0,，a=2-Ve（）,2.所 以 尸。和 A G 始 终 是 异 面 直 线 错 误:（2）由 题 得|PQ|=7（2a-2）2+a2+a2=j6/-8a+4,因 为 所 以 a=g 时，尸。长 的 最 小 值 是 半.所 以（1）错 误，（2）正 确.故 选：B【点 睛】关 键 点 睛：解 答 本 题 的 关 键 是 判 断 命 题（1）的 真 假，借 助 法
44、向 量 比 较 严 谨 和 符 合 数 学 的 逻 辑.11.（2022 上 海 高 三 专 题 练 习）球 面 上 两 点 之 间 的 最 短 连 线 的 长 度，就 是 经 过 这 两 个 点 的 大 圆 在 这 两 点 间 的 一 段 劣 弧 的 长 度（大 圆 就 是 经 过 球 心 的 平 面 截 球 面 所 得 的 圆），我 们 把 这 个 弧 长 叫 做 两 点 的 球 面 距 离.已 知 正 AABC的 项 点 都 在 半 径 为 2 的 球 面 上，球 心 到 AABC所 在 平 面 距 离 为 亚，则 A、B 两 点 间 的 球 面 距 离 为（3）A.北 7tB.一 2C
45、-T3汽 D.4【答 案】C【解 析】【分 析】设 球 心 为 点 O.计 算 出 N A O 3,利 用 扇 形 弧 长 公 式 可 求 得 结 果.【详 解】设 球 心 为 点 0.平 面 A 8 C 截 球。所 得 截 面 圆 的 半 径 为 r=由 正 弦 定 理 可 得 竽=W%端 呜=2,又.。4=08=2,所 以，为 等 边 三 角 形，则 乙 408=。因 此，A、8 两 点 间 的 球 面 距 离 为 2x（=故 选：C.【点 睛】思 路 点 睛：求 球 面 距 离，关 键 就 是 要 求 出 球 面 上 两 点 与 球 心 所 形 成 的 角，结 合 扇 形 的 弧 长 公
46、式 求 解，同 时 在 计 算 球 的 截 面 圆 半 径 时，利 用 公 式 厂=加 彳（其 中 厂 为 截 面 圆 的 半 径，R为 球 的 半 径，d 为 球 心 到 截 面 的 距 离）来 计 算.12.（2022 上 海 高 三 专 题 练 习）如 图，已 知 三 棱 柱 A B C-A B G 的 体 积 为 分 别 为 侧 棱 A A，BB、,CG上 的 点 且 A P+C R=4 A，则%-ACRP=（）【答 案】B【解 析】【分 析】把 三 棱 柱 的 体 积 转 化 成 两 个 棱 锥 的 体 枳 之 和，得 到 等 式，根 据 棱 柱 和 棱 锥 的 体 积 公 式，结
47、合 棱 柱 的 性 质、平 行 线 的 性 质 进 行 求 解 即 可.【详 解】设 点 用 到 平 面 A B C的 距 离 为，点 发 到 平 面 4C G A 的 距 离 为 由 三 棱 柱 的 性 质 可 知：片 8/平 面 A C A，而 点。是 B瓦 上 的 点，因 此 点 Q 到 平 面 4C G A 的 距 离 也 为 H,在 平 行 四 边 形 A C C M中，AP+CR=AAt,因 此 有 C R=P A，4P=G R，所 以 SACRP=2 SQ A CCM,因 为 三 棱 柱 A B C-A 8 G 的 体 积 为 v,所 以 y=S.A叱 儿 又 V=5-AC G
48、A+即 丫=，s.W+-SA.B r/z=V=-S A C C.H+-V S A C r.H=2V,所 以 ACRP=-ACRPH=-S ACCAH=-2 V=-故 选：B【点 睛】本 题 主 要 柱 体、锥 体 体 积 的 计 算 问 题，考 查 学 生 数 学 运 算 能 力，空 间 想 象 能 力，是 一 道 中 档题.13.（2022 上 海 高 三 专 题 练 习）棱 长 为 4 的 立 方 体 ABC。-A B C。中，P，。是 CC,上 两 动 点，且 PQ=1,则 三 棱 锥 尸-A 纱 的 体 积 为（）.16 8A.8 B.C.3 D.一 3 3【答 案】D【解 析】【分
49、析】首 先 求 出=判 断 出 A D为 棱 锥 A-P Q D的 高，之 后 利 用 等 积 转 换，V-A&）=%g,求 得 结 果.【详 解】根 据 题 意 可 得：%w=g x P Q x 8=g x lx 4=2,因 为 A C 平 面 尸 Q。，所 以 A O为 棱 锥 A-PQ。的 高，1 8所 以 匕=A-PQD U G X SAPOOx A）=x 2 x 4=,故 选：D.【点 睛】该 题 考 查 的 是 有 关 立 体 几 何 的 问 题，涉 及 到 的 知 识 点 有 椎 体 的 体 枳 公 式，等 枳 转 换 求 三 棱 锥 的 体 积，属 于 简 单 题 目.14.（
50、2022上 海 高 三 专 题 练 习）平 面 a 与 球。相 交 于 周 长 为 2万 的 O，A,8 为。，上 两 点，若 ZAOB=E，且 A,8 的 球 面 距 离 为 立，则。0 的 长 度 为（）.4 4A.1 B.y/2 C.rt D.2【答 案】A【解 析】【分 析】首 先 根 据 题 意，画 出 对 应 的 图 形，根 据 题 中 的 条 件，求 得 0B=R=6,OB=,根 据 球 的 截 面 圆 性 质，勾 股 定 理 求 得 结 果.【详 解】jr因 为。为 球 心，NAOB=,所 以 设 球 半 径。3=R,可 得 A,8 的 球 面 距 离 为 2/?=也 乃，4