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1、（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号（2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征（3)卷积和的计算（4)离散时间信号LTI系统的性质第2章 线性时不变系统2.1 离散时间LTI系统:卷积和（1）用单位抽样信号表示离散时间信号基信号 系数单位抽样信号的筛选性质假设此系统是线性的，并且定义 为 的响应：由线性性质有：（2）卷积和表示线性时不变系统的响应即现在我们假设系统为LTI系统，并且定义单位抽样响应为由时不变性质：线性时不变：由卷积和的定义可知即序列xn与hn的卷积和定义为：结论：离散LTI系统的输出yn是输入xn与系统单位抽样响应hn的卷积和。序列与n 做卷积和，结果仍为序列本身。卷积和
2、的图解法计算步骤如下：翻褶：先将x(n)和h(n)的变量置换为m，得到x(m)和h(m)，将h(m)以m=0的垂直轴为对称轴翻摺为h(-m)；移位：将h(-m)沿m轴平移n得到h(n-m)，当n0时，右移n位，当n0时，左移|n|位；相乘：对给定的某个n值，将h(n-m)和 x(m)相同m值的对应点相乘；相加：再将以上所有对应点的乘积累加，就可以得到给定的某n值时的y(n)。卷积和的运算在图形上可以分成四步：翻褶、移位、相乘、相加。（3）卷积和的计算以和为例说明卷积的图解方法。h(0-m)m1h(m)m1x(m)m321h(-1-m)m1h(1-m)m1h(2-m)m1h(6-m)m3ny(n
3、)536 61图1.4 x(n)和h(n)的卷积和图解y(0)=x(0)h(0)=31=3y(1)=x(0)h(1)+x(1)h(0)=31+21=5y(2)=x(0)h(2)+x(1)h(1)+x(2)h(0)=6y(3)=x(0)h(3)+x(1)h(2)+x(2)h(1)+x(3)h(0)=6 y(4)=x(0)h(4)+x(1)h(3)+x(2)h(2)+x(3)h(1)+x(4)h(0)=3y(5)=x(0)h(5)+x(1)h(4)+x(2)h(3)+x(3)h(2)+x(4)h(1)+x(5)h(0)=30+20+11+01+01+01=1;（4）卷积和离散LTI系统的性质（i）
4、一个离散LTI系统的特性完全取决于它的单位抽样信号响应例1很多系统有这种对 的响应。只有一个LTI 系统有如下对 的响应例2单位抽样响应一个累加器。注意:（ii）交换律:例子：线性时不变系统中的阶跃响应 阶跃输入输入单位抽样信号响应的累加(iii)分配律:说明：公式左边对应上图表示的系统；公式右边对应下图表示的并联系统。(iv)结合律:（交换律）说明：（1）式右边对应上图表示的级联系统；（1）式左边对应中图表示的系统；（2）式右边对应下图表示的级联系统；（1）（2）（v）线性时不变系统的因果性和稳定性 1）因果性 2)稳定性证明1)：充分性 若n0时h(n)=0，根据卷积和公式因为式中m0，所
5、以n-mn，这就证明了y(n)的值只取决于x(n)在nn时的值，因此系统是因果的。必要性 根据卷积和公式有若当mn，即系统在n时的输出y(n)与输入x(n)在nn时的值有关，也就是y(n)值与n以后的x(n)有关，所以该系统不是因果系统，此与假设矛盾可见要使y(n)与nn时的x(n)无关，则必须使 证明2)：充分性 若系统满足条件且输入x(n)有界，对所有n。此时系统的输出为两边取绝对值，得即输出y(n)有界，故系统是稳定的。必要性 利用反证法，已知系统稳定。假设，可以找到一个有界的输入则即输出无界，因而假设不成立，所以是稳定的必要条件。初始松弛条件：若nn时，xn=0，则nn时y(n)=0.
6、一个线性时不变系统的因果性等效于初始松弛条件成立。事实上，由n0时，hn=0，有这表明y(n)的值只取决于x(n)在nn时的值。于是，若nn，xn=0，则n n时 y(n)=0.注：2.2 常系数线性差分方程Linear Constant-coefficient Difference Equations 离散线性时不变系统的输入输出关系常用常系数线性差分方程表示，即 或者若系数中含有n，则称为“变系数”。差分方程的阶数等于y(n)的变量序号的最高值与最低值之差，例如上式就是N阶差分方程。线性是指各y(n-i)项和各x(n-i)项都只有一次幂而且不存在它们的相乘项，否则就是非线性。差分方程不能由
7、输入完全表征输出,还要有附加条件.求解差分方程有如下几种方法：递推法、时域经典法、卷积法、变换域法等等递推解法比较简单，适合计算机求解。时域经典法和微分方程的解法比较类似，比较麻烦。卷积法必须知道系统的单位抽样响应h(n)，这样利用卷积和就能得到任意输入时的输出响应。变换域法是利用Z变换的方法求解差分方程。当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代的方法求系统的响应，当输入为（n）时，输出（响应）就是单位抽样响应h(n)。例：常系数差分方程（）初始条件为n0时，y(n)=
8、0，求其单位抽样响应；（）初始条件为n0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。解：（）设，且，必有依次迭代所以单位抽样响应为（）设，由初始条件知，必有将原式该写为另一种递推关系则所以单位抽样响应为由本例看出，差分方程相同，但是初始条件不同，得到的单位抽样响应不同，也就是对应着不同的系统(1)由单位脉冲时移的表示连续时间信号;(2)连续时间LTI 系统的卷积积分表示;(3)性质及举例。2.3 连续时间LTI系统(1)连续时间信号表示任何一个输入x(t)可用脉冲的伸缩平移的和来近似.单位脉冲的筛选性质 (2)一个连续时间LTI 系统的响应脉冲响应：取极限连续时间LTI 系统的响应y(t)是输入 x(
9、t)与系统的冲击响应 h(t)的卷积(积分).卷积(积分)的运算参见.(3)性质及举例1.交换性:x(t)*h(t)=h(t)*x(t)2.筛选性质：3.一个积分器：因此如果输入 输出y(t)=h(t)即4.阶跃响应：分配律结合律交换性质 因果性：连续时间LTI系统是因果的 稳定性：连续时间LTI系统是稳定的2.4 常系数线性微分方程Linear Constant-coefficient Differential Equations 连续线性时不变系统的输入输出关系常用常系数线性微分方程表示，即微分方程的阶数是指出现在方程中的y(t)的最高阶导数。一般只涉及到一阶和二阶微分方程。差分方程不能由输入完全表征输出,还要有附加条件.经典解法在“高等数学”讲过了；变换解法在“复变函数与积分变换”讲过，本课程以后还要涉及到。作业:习题:2.1 2.4 2.18 2.27 2.28 2.29 2.30