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1、第 5 课 时 利 用 导 数 探 究 函 数 的 零 点 问 题 提 升 关 键 能 力 考 点 突 破 掌 握 类 题 通 法 考 点 一 研 究 函 数 的 零 点 个 数 综 合 性 例 1 2019全 国 卷 n 节 选 已 知 函 数 yu)=inx-m.讨 论 的 单 调 性，并 证 明 式 X)有 且 仅 有 两 个 零 点.听 课 笔 记：一 题 多 变(变 条 件，变 问 题)将 本 例 中 的 函 数 改 为 f(x)=lnx+1,机 6 R”，讨 论 函 数 g(x)=T(x)一；零 点 的 个 数.反 思 感 悟 判 断 函 数 零 点 个 数 的 3 种 方 法 直
2、 接 法 令/u)=o,则 方 程 解 的 个 数 即 为 零 点 的 个 数 画 图 法 转 化 为 两 个 易 画 出 图 象 的 函 数，看 其 交 点 的 个 数 即 可 定 理 法 利 用 零 点 存 在 性 定 理 判 定，可 结 合 最 值、极 值 去 解 决【对 点 训 练】已 知 二 次 函 数 人 工)的 最 小 值 为-4,且 关 于 X 的 不 等 式/(%)W0的 解 集 为 五|-1xG R).(1)求 函 数/U)的 解 析 式；(2)求 函 数 g(x)=等 一 41n x 的 零 点 个 数.考 点 二 由 函 数 的 零 点 个 数 求 参 数 的 范 围
3、综 合 性 1 5 1 2 2022榆 林 市 第 十 中 学 高 三 月 考 已 知 函 数 段)=加 一 ln x-x,aO.(1)试 讨 论 函 数 人 x)的 单 调 性；(2)若 函 数*x)有 两 个 零 点，求 实 数 a 的 取 值 范 围.听 课 笔 记：反 思 感 悟 已 知 函 数(方 程)零 点 的 个 数 求 参 数 范 围(1)函 数 在 定 义 域 上 单 调，满 足 零 点 存 在 性 定 理.(2)若 函 数 不 是 严 格 单 调 函 数，则 求 最 小 值 或 最 大 值 结 合 图 象 分 析.(3)运 用 分 离 参 数，数 形 结 合 等 方 法，讨
4、 论 参 数 所 在 直 线 与 函 数 图 象 交 点 的 个 数.【对 点 训 练】2022重 庆 南 开 中 学 模 拟 已 知 函 数 y(x)=x+aer+l(aCR).(1)讨 论 式 x)的 单 调 性；(2)若 函 数 兀 0有 两 个 零 点，求。的 取 值 范 围.第 5课 时 利 用 导 数 探 究 函 数 的 零 点 问 题 提 升 关 键 能 力 考 点 一 例 1 解 析：兀 T)的 定 义 域 为(0,1)U(1,+8).因 为 了()=1+二?市 0，所 以/(x)在(0,1),(1,+8)单 调 递 增.X 1.X-L)因 为 1 e)=l一 言 0,./(e
5、2)=2 所 以 於)在(1，+8)有 唯 一 零 点 xi,即./(xi)=0.又 0 Ll,VL)=_nxi+”=一 仙)=0,故 危)在(0,1)有 唯 一 零 点 上 X X/X-1 X综 上，人 尤)有 且 仅 有 两 个 零 点.一 题 多 变 解 析：由 题 设，g(x)=7(x)；(龙).令 g(K)=0,得 m=+x(X 0).设 夕(x)=-+x(x0),则/(X)=T+1=_(L1)(X+1).当 XG(O,1)时，d(x)0,9(x)在(0,1)上 单 调 递 增；当 xW(l,+8)时，(p(x)|时，函 数 g(x)无 零 点;当 机=|时，函 数 g(x)有 且
6、只 有 一 个 零 点；当 0根|时，函 数 g(x)无 零 点；当 胆=|或/wWO时，函 数 g(x)有 且 只 有 一 个 零 点；当 时，函 数 g(x)有 两 个 零 点.对 点 训 练 解 析：(1)因 为 凡。是 二 次 函 数,且 关 于 x 的 不 等 式/(x)WO的 解 集 为 x|-1 WxW3,xGR,所 以 於)=a(x+l)(x3)=加 一 2ox3a,且 a0.所 以 f(x)min=7=-4a=-4,所 以 a故 函 数 _/U)的 解 析 式 为/(x)=/-2x-3.解 析：(2)因 为 g(x)=x2-41n x=x-1-41nx-2(x0),所 以 g
7、 3=l+?-：(x-?,-3).令 g(x)=o,得 Xl=1,X2=3.当 X 变 化 时，g(x),g(x)的 变 化 情 况 如 下 表：X(0,1)1(1，3)3(3，+8)g(x)+0 0+g(x)/极 大 值 极 小 值/当 0 xW3 时，g(x)g(l)=-425-1-22=90.因 为 g(x)在(3,+8)上 单 调 递 增，所 以 g(x)在(3,+8)上 只 有 1 个 零 点，故 g(x)在(0,+8)上 仅 有 1个 零 点.考 点 二 例 2 解 析：函 数 式)=加 一 Inx一 元 的 定 义 域 为(0,+).(1 Q)2ax-1=-,设 g(x)=2ar
8、2X 1当”0 时，因 为 函 数 g(x)图 象 的 对 称 轴 为=(0时，g(x)0,/(x)0时，令 g(x)=0.得 汨=上 手 羽，x2=+(ta当 0r42 时，g(x)o,/(X)工 2 时，g(x)0,/(x)0.所 以 函 数 式 x)在(0,匕 字 电)上 单 调 递 减，在(上 半 匣，+8)上 单 调 递 增.4a 4a(2)若 x)有 两 个 零 点，即 ar2In x-x=0 有 两 个 解，=吟 蛆.设 力(九)=吟 蛆，h,(x)=1-2 ln x-x设 F(x)=l 21nx-x,因 为 函 数 尸(x)在(0,+8)上 单 调 递 减，且 尸(1)=0,所
9、 以 当 040,(x)0,当 xl 时，F(x)0,h(x)0.所 以 函 数 Mx)在(0,1)上 单 调 递 增，在(1,+8)上 单 调 递 减，且*f+8 时,力(X)-0,所 以 0a0恒 成 立，所 以 在 R 上 单 调 递 增；当。0 时，令/(x)=0 得 x=ln a,当 xlna时，/(x)lna时,f(x)X),-X)单 调 递 增,所 以 7(x)在(一 8,Ina)上 单 调 递 减，在(Intz,+8)上 单 调 递 增 综 上 所 述，当“W 0 时，人 幻 在 R 上 单 调 递 增；当 a0时，_/(x)在(-8,n a)上 单 调 递 减，在(Ina,+
10、8)上 单 调 递 增.解 析：(2)由(1)可 知，时，式 刈 在 R 上 单 调 递 增，函 数 至 多 有 一 个 零 点，不 合 题 意.a0时，_/(x)在(一 8,In a)上 单 调 递 减，在(In a,+8)上 单 调 递 增，因 为 函 数 有 2 个 零 点、,所 以/(x)min=/Un a)=ln 4+20=040.记 g(x)=e*x(x0),则/任)=。，一 1,所 以 xG(8,0)时，g，(x)g(O)=10,则 e*x,于 是 eW 一|,则 x0 时，e*吟.所 以 当 xx+F+l,限 定 x2x+M-=；x(8+ax),4 4 4所 以 当 X-1 且 X0.于 是，若 函 数 有 2 个 零 点，则(0,屋 2).