2023届高考数学专项练习解三角形图形类问题含答案.pdf

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1、2023届 高 考 数 学 专 项 练 习 导 数 与 函 数 放 缩 问 题 含 答 案【方 法 技 巧 与 总 结】解 决 三 角 形 图 形 类 问 题 的 方 法：方 法 一：两 次 应 用 余 弦 定 理 是 一 种 典 型 的 方 法，充 分 利 用 了 三 角 形 的 性 质 和 正 余 弦 定 理 的 性 质 解 题；方 法 二：等 面 积 法 是 一 种 常 用 的 方 法，很 多 数 学 问 题 利 用 等 面 积 法 使 得 问 题 转 化 为 更 为 简 单 的 问 题，相 似 是 三 角 形 中 的 常 用 思 路；方 法 三：正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 相

2、结 合 是 解 三 角 形 问 题 的 常 用 思 路；方 法 四：构 造 辅 助 线 作 出 相 似 三 角 形，结 合 余 弦 定 理 和 相 似 三 角 形 是 一 种 确 定 边 长 比 例 关 系 的 不 错 选 择；方 法 五：平 面 向 量 是 解 决 几 何 问 题 的 一 种 重 要 方 法，充 分 利 用 平 面 向 量 基 本 定 理 和 向 量 的 运 算 法 则 可 以 将 其 与 余 弦 定 理 充 分 结 合 到 一 起；方 法 六：建 立 平 面 直 角 坐 标 系 是 解 析 几 何 的 思 路，利 用 此 方 法 数 形 结 合 充 分 挖 掘 几 何 性

3、质 使 得 问 题 更 加 直 观 化.【题 型 归 纳 目 录】题 型 一:妙 用 两 次 正 弦 定 理 题 型 二:两 角 使 用 余 弦 定 理 题 型 三:张 角 定 理 与 等 面 积 法 题 型 四:角 平 分 线 问 题 题 型 五：中 线 问 题 题 型 六:高 问 题 题 型 七:重 心 性 质 及 其 应 用 题 型 八:外 心 及 外 接 圆 问 题 题 型 九:两 边 夹 问 题 题 型 十：内 心 及 内 切 圆 问 题【典 例 例 题】题 型 一:妙 用 两 次 正 弦 定 理 例 1.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）在.，-.梁，2S=-V3BA-B

4、CcosC 2a-r c sin sinC a-r c三 个 条 件 中 任 选 一 个 补 充 在 下 面 的 横 线 上，并 加 以 解 答.在 A B C 中，角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c且，作 力 B J_ A D,使 得 四 边 形 A B C D 满 足 ACD=-,A D=V3,求 8。的 取 值 范 围.O例 2.（2020北 京 北 师 大 二 附 中 高 三 期 中）如 图，四 边 形 A B C D 中 Z B A C=9 0 N A B C=3 0。，A D CD,设 2ACD=8.若 A A B C 面 积 是 A A C D 面 积 的 4倍，

5、求 sin2%（2）若 N 4 D B=，求 tan”.例 3.（江 苏 省 南 京 市 宁 海 中 学 2022届 高 三 下 学 期 4 月 模 拟 考 试 数 学 试 题）在 ABC中，内 角 4 8。的 对 边 分 别 为 a,b,c,4=150,点。在 边 上,满 足。=2B。,且./,+s i n/C）=J _b c 2a（1）求 证：A D=-a；o 求 cosZADC.例 4(广 东 省 2022届 高 三 二 模 数 学 试 题)如 图，已 知 4 R C 内 有 一 点 P,满 足 Z.PAB=乙 PBC=ZPCA=a.(1)证 明：PBsinABC=ABsina.(2)若

6、 N 4 5 C=90。，AB=I,求 PC.例 5.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)如 图,在 梯 形 A B C D 中，4 B C D,4 8=2,CD=5,NABC=爷.o(1)若 4。=2。,求 梯 形/B C D 的 面 积;若 4。_ L 6 0,求 tan/A B D.例 6.(2022河 南 安 阳 模 拟 预 测(理)如 图，在 平 面 四 边 形 中,D C=2AD=4咯 ABAD=y,N B D C=专.(1)若 cosAABD=力，求 A A B D 的 面 积；O(2)若 N C=NADC,求 BC.例 7.(2019安 徽 省 怀 远 第 一 中 学 高

7、 三 阶 段 练 习(理)A 4B C的 内 角 的 对 边 分 别 为 a,b,c,设(sin力+sinB+sinC)(sinX+sinB sinC)=2sinAsinB.求 C；(2)若。为 B C边 上 的 点，M 为 AO 上 的 点，CD=1,CAB=/M B。=ZZ)MB.求 AM.例 8.(2022.山 东 烟 台 一 模)如 图，四 边 形 A B C D 中，A B2+B C2+AB-BC A C2.(1)若 AB=3 B C=3,求 ZVLBC的 面 积；若 CD=6 B C,/。在。=30。，ZBCD=120。,求 乙 4cB 的 值.例 9.(2022全 国 高 三 专

8、 题 练 习)在 AB=2A D,sin/A C B=2sin乙 4 c o，5 8。=2s 八 这 三 个 条 件 中 任 选 一 个，补 充 在 下 面 问 题 中，并 解 答.已 知 在 四 边 形 A B C D 中，ZA BC+N A D C=兀，B C=CD=2,且.(1)证 明：tanZ.ABC=3tanNBA。；(2)若 A C=3,求 四 边 形 ABCD的 面 积.例 m(2022.福 建.厦 门 一 中 高 一 阶 段 练 习)在 平 面 四 边 形 A B C D 中,N A B C=j,Z A D C=f,B C=4.若 ABC的 面 积 为 3代，求 4。；(2)若

9、 在。=，Z.BAC=A D A C,求 tunZDAC.例 1L(2022湖 北 武 汉 模 拟 预 测)如 图,在 平 面 四 边 形 A B C D 中，ZBCZ?=y,AB=1,乙 43。=普.当 B C=您，CD=V 7 时，求 47。的 面 积;(2)当 Z A D C=5，4。=2 时，求 cosZACD.题 型 二:两 角 使 用 余 弦 定 理 例 11(2022.湖 北.襄 阳 四 中 模 拟 预 测)在 ABC中，内 角 力，3,。的 对 边 分 别 为 a,3 c,角 4 的 平 分 线 A O 交 边 于 点 D(1)证 明：嘿=景，AD2=4 B 力 若 4 5=1

10、,4=茅，求。0 D C 的 最 小 值.例 以（2022.湖 北 武 汉.二 模）如 图，/力 8。内 一 点 尸 满 足/:/，。,4 7=叱=2.(1)若 AB=n,P C=2,求 sin/A C P 的 值;若 A B=V5,sinZACP=4,求 4 P 的 长.例 14（2022江 苏 泗 阳 县 实 验 高 级 中 学 高 一 阶 段 练 习）如 图，在 凸 四 边 形 ABC。中，已 知 AB=4 D=4,BC=6.若/月。B=5，C=号，求 c o s/B O C的 值；（2）若 CD=2,四 边 形 A B C D 的 面 积 为 4,求 cos（A+C）的 值.例 15.

11、（2021.全 国.高 考 真 题）记 A B C是 内 角 A,B,。的 对 边 分 别 为 a,b,c.已 知=a c,点。在 边 力 C上，BDsmZ.ABC=asinC.证 明：BD=b；（2）若 AO=2DC,求 cos/A B C.例 16.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习（理）如 图，在 48。中，。是 A C 边 上 一 点，N 4 B C 为 钝 角，4 0 8。=90.（1）证 明：cosNADB+sinO=0；（2）若 A B=2/7,B C=2,再 从 下 面 中 选 取 一 个 作 为 条 件，求 ABO的 面 积.sin乙 45。=警 算；4 C=3 4

12、D.14注:若 选 择 两 个 条 件 分 别 解 答，则 按 第 一 个 解 答 计 分.例 17.（2022 重 庆 二 模）已 知 A 4 B C 的 外 心 为 O,M,N 为 线 段 上 的 两 点，且。恰 为 中 点.（1）证 明：AM|MB|=|AV|NC 若|力 O|=Q M=1,求 各 空 的 最 大 值.题 型 三:张 角 定 理 与 等 面 积 法 例 18.（广 东 省 2022届 高 三 三 模 数 学 试 题）已 知 45。中，a,Ac分 别 为 内 角 4,5,。的 对 边,且 2&疝 14=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC.（1）求 角 A 的 大 小

13、；（2）设 点。为 上 一 点，力。是 A 3 C的 角 平 分 线，且 4。=2,6=3,求 的 面 积.例 11(2022湖 北 武 汉 模 拟 预 测)在 A R C中，设 角 A,B,C所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,且(c-6)sinC=(a b)(sinA+sinB)求 4 若。为 B C上 的 点，4。平 分 角 A,且 c=告，求 票 例 20.(2022辽 宁 高 一 期 中)如 图，在 A BC中，力 B=2,3sin2B 2cosB2=0,且 点。在 线 段 反 7上.(1)若/力。=等，求 A O的 长；若 BD=2DC,$叱 g空=4 2,求 A A 5D的

14、面 积.sm Z.CAD例 21(2022江 苏 华 罗 庚 中 学 三 模)在 入 4 8。中，已 知 4 B=4,4 C=5,c o s B=申.(1)求 s in 4的 值；(2)若 4 D 是 N A 4C的 角 平 分 线，求 4。的 长.例 22(2022山 东 淄 博 三 模)已 知 函 数/(力)=VSsincoxcoscox cos2o)x 4-y(w 0),其 图 像 上 相 邻 的 最 高 点 和 最 低 点 间 的 距 离 为.+亨.(1)求 函 数/3)的 解 析 式；(2)记 A B C的 内 角 A B C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,a=4,bc=1 2

15、,/(Z)=l.若 角 A 的 平 分 线 4。交 3。于。，求 4 D 的 长.例 23(2022黑 龙 江 哈 尔 滨 三 中 高 三 阶 段 练 习(理)在 A B C中，角 力，B,。的 对 边 分 别 是 a,b,c,且 2bcosC=2a+c.(1)求 角 B 的 大 小；若 b=2/，O 为 A C边 上 的 一 点，BO=1,且，求 A 4 B C的 面 积.6。是 的 平 分 线;。为 线 段 的 中 点.(从，两 个 条 件 中 任 选 一 个，补 充 在 上 面 的 横 线 上 并 作 答).题 型 四,角 平 分 线 问 题 例 24(2022北 京 首 都 师 范 大

16、 学 附 属 中 学 三 模)已 知 48。的 内 角 4 8 C 的 对 边 分 别 为 a,6,c,且 V3sin(-j1-+B)+sin(-B)=0.(1)求 Z B 的 值；(2)给 出 以 下 三 个 条 件：条 件：一+3c=0；条 件 a=3；条 件 S*=耳 工.这 三 个 条 件 中 仅 有 两 个 正 确,请 选 出 正 确 的 条 件 并 回 答 下 面 的 问 题：求 sin4的 值；(诵)求/A B C 的 角 平 分 线 B D 的 长.例 25(2022江 苏 南 京 师 大 附 中 模 拟 预 测)在 ABC中，内 角 C 所 对 的 边 长 分 别 为 a,b

17、,c,且 满 足 2c _.,tan2T-tanB(1)求 角 A;角 的 内 角 平 分 线 交 B C 于 点 M,若 a=4V7,4M=3J5,求 sin/4WC.例 26(2022.北 京 八 十 中 模 拟 预 测)在 中，V3sin(fi+)=cos(B+5).(1)求 B 的 值；(2)给 出 以 下 三 个 条 件:a?b2+c2+3c=o；a=，b=l；5 火=岑 2,若 这 三 个 条 件 中 仅 有 两 个 正 确,请 选 出 正 确 的 条 件 并 回 答 下 面 问 题：求 sin/的 值；(洲 求/A B C 的 角 平 分 线 B D 的 长.例 27(2022.

18、河 南.模 拟 预 测(理)如 图，在 中，。为 边 6 C 的 中 点，/4 C B 的 平 分 线 分 别 交 4。于 E,b 两 点.(1)证 明：sinZABC-smZCAD=sin A ACB-sinZBD；若/B 4 C=M s i n N A B C=4,A D=，求 DE.BD例 28（2022.广 东 佛 山 三 模）设 43。的 内 角 A、B、C 的 对 边 分 别 为 a、b、c,已 知 bsinA+V3acosB=0,乙 4BC的 平 分 线 交 A C 于 点。，且 BO=2.求 孙（2）若 a=3,求 b.例 29（2022山 东 潍 坊 模 拟 预 测）已 知

19、4BC的 内 角 A、B、C 的 对 边 分 别 为 a、b、c,且 ABC的 面 积 为 V3（a2+b2 c2）4 求 NC;若 乙 4=年，/。的 角 平 分 线 C E 与 边 A 3 相 交 于 点 E,延 长 C E 至 点。，使 得 CE=D E 或 cos4ADB.题 型 五:中 线 问 题 例 30（2022 广 东 佛 山 高 三 期 末）力 中，内 角 4,B,。所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,且 acosC=（26-c）cos A.（1）求 角 4 的 大 小；若&=2,5。边 上 的 中 线 A D=0,求 ABC的 面 积.例 31(2022.全 国.模 拟

20、 预 测)在 A B C中.sin4cos(A-求 角 4(2)若 4 7=8,点。是 线 段 的 中 点，_1 4 C 于 点 E,且。E=3,求 C E的 长.例 32(2022海 南 海 口 二 模)在 A A B C 中，角 4,8。的 对 边 分 别 为 a,b,c,已 知 B=告，b=a.J D(1)求 s i n 4 若 Q=5,月 8 边 的 中 点 为。，求 C D例 33(2022 山 东 烟 台 二 中 模 拟 预 测)设 A B C的 内 角。的 对 边 分 别 为 a,b,c,且 bcosC+V5csinZ?_1a+c(1)求 角 6 的 大 小；设 分 别 为 边

21、AB,的 中 点，已 知 B C D的 周 长 为 3+心,且 卷=乂 板,若 c 5 a,求 a.例 34(2022.新 疆 克 拉 玛 依.三 模(理)在 力 B C中，a,b,c 分 别 为 三 个 内 角 4,。的 对 边，若 2?=(a2+c2-b2)(l-g).cosB)(1)求 角 c；若 c=2 U,sin A=W，。为 4 7 的 中 点，求 的 长 度.例 35(2()22 湖 北.模 拟 预 测)记 4 4 8。的 内 角 力,3,。的 对 边 分 别 为 氏 6,若 6 2+02&2=2而 如 1。.(1)求 角 人(2)若 4 6=3一,力。=3,点 P 在 线 段

22、上，且 CP=4 C B Q 是 线 段 4 7 中 点，A P与 交 于 点 OM,求 cos/AM B.例 36(2()22 陕 西 交 大 附 中 模 拟 预 测(理)设 也 力 口。的 内 角 4,口，。所 对 边 的 长 分 别 为 明 匕，:,且&=bcosC+-c s in B.o 求 B；(2)若。=1,。=3,4?的 中 点 为。,求 如 的 长.题 型 六:高 问 题 例 37（2022 河 南 平 顶 山 市 第 一 高 级 中 学 模 拟 预 测（理）在 ABC中，角 4,3,。所 对 的 边 分 别 为 a,b,（1）求 角 4 的 大 小；若 c=8,&4BC的 面

23、 积 为 475,求 边 上 的 高.例 38（2022江 苏 南 京 市 江 宁 高 级 中 学 模 拟 预 测）从 A 为 锐 角 且 sinB-cost?=；匕=2asin（C+专）这 两 个 条 件 中 任 选 一 个，填 入 横 线 上 并 完 成 解 答.在 三 角 形 A B C 中，已 知 角 4,3,C的 对 边 分 别 为 a,b,c,.（1）求 角 4;若 b=卒 c且 B C 边 上 的 高 A D 为 24，求 C D 的 长.例 39(2022北 京 房 山 二 模)在 ABC 中，acosB+-b=c,b=2.求 乙 4;(2)再 从 下 列 三 个 条 件 中

24、选 择 一 个 作 为 已 知，使 4BC存 在 且 唯 一 确 定，求 边 上 的 高.条 件：cosB=1；条 件：sinB=条 件：ABC的 面 积 为，.注:如 果 选 择 的 条 件 不 符 合 要 求，第(2)问 得 0分;如 果 选 择 多 个 符 合 要 求 的 条 件 分 别 解 答，按 第 一 个 解 答 计 分.例 40(2022山 东 青 岛 一 模)在 ABC中，内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,且(sinB-sinC)2=sinMsinBsinC-(1)求 角 A；(2)若 6=5,B C 边 上 的 高 为 当 N,求 边 c.例 41(20

25、22.福 建.模 拟 预 测)已 知 ABC的 内 角 A,B,。的 对 边 分 别 为 a,b,c,2c-b=2acosB.(1)求 角 A;(2)若 空 sinB+(c-4)COSB=，7,b-c=2,求 3。边 上 的 高.黑 型 七 鼻 心 m s及 其 应 用 例 42(2022.湖 北 省 仙 桃 中 学 模 拟 预 测)如 图，在 A B C中，已 知 2,4 7=2/，B A C=30,B C 边 上 的 中 线 AM与 NABC的 角 平 分 线 BN相 交 于 点 P.(l)N M PN的 余 弦 值.(2)求 四 边 形 PM CN的 面 积.例 43(2022 全 国

26、高 三 专 题 练 习)G是 4 A B C 的 重 心,a,b,c分 别 是 角 的 对 边,若 20aAX+156GB+12c交=6,则 cosA=()A.0 B.春 C.v-D.15 5例 44（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 4 A B C 的 内 角 4,6,。的 对 边 分 别 为 a,b,c,且 acosB+V3asinB=。+1=1,点 3 是 4/6。的 重 心,且 4 3=厚,则 413。的 面 积 为（）oA.乎 B.V3 C.3 D.2V3例 45（2022全 国 模 拟 预 测）在 A A B C 中，内 角 A,6,。所 对 的 边 分 别 为 a,

27、b,c,若 ZVIBC的 外 接 圆 的 面 积 为 兀，（b c）sinB+2sin2C=asin4.求 力；4。是 角？1的 平 分 线，若 B D=3OC,ABC的 重 心 为 G,求 4 G 的 长.题 型 八，外 心 及 外 接 圈 问 题 例 46（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）设 O 为 4BC的 外 心，若 而=而+2而，则 sin/氏 4 c 的 值 为例 47(2022江 苏 泰 兴 市 第 一 高 级 中 学 高 三 阶 段 练 习)在 工 B C 中，4,AC=6,B C=5,点。为 ABC的 外 心，若 不 5=久 而+“屈,则/!+“=()A.B.喜 C

28、.2 D.白 3 5 7 9例 48(2022.广 东.模 拟 预 测)48。的 内 角 4 B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,且 a(JsinB-cos。)=(c-6)cosA.从 下 列 这 三 个 条 件 中 选 择 一 个 补 充 在 横 线 处，并 作 答.。为 4 A B C 的 内 心;O 为 的 外 心;。为 4 A B C 的 重 心.求 4(2)若 6=6,c=10,求 OBC 的 面 积.注:如 果 选 择 多 个 条 件 分 别 解 答，则 按 第 一 个 解 答 计 分.例 49(2022黑 龙 江 齐 齐 哈 尔 二 模(理 的 内 角 4,5,C 的 对

29、 边 分 别 为 a,b,c,且 a(V3sinJ3 cosC)=(c 6)cosX.从 下 列 这 两 个 条 件 中 选 择 一 个 补 充 在 横 线 处，并 作 答.O 为 48。的 内 心;。为 ABC的 外 心.注:如 果 选 择 多 个 条 件 分 别 解 答，则 按 第 一 个 解 答 计 分.求 4(2)若 b=3,c=5,，求 OBC的 面 积.例 50(2022江 苏 省 白 蒲 高 级 中 学 高 三 阶 段 练 习)在 46。中，角 4 B,。的 对 边 分 别 为 a,b,c；3b=4c,coscC=45(1)求 cos4的 值；(2)若 ZVIBC的 外 心 在

30、其 外 部，a=7,求/XABC外 接 圆 的 面 积.例 51(2022 辽 宁.三 模)在/3C中，内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c.已 知 4=告，c=4.O(1)若 sinB cosB=#-,求 ABC外 接 圆 的 直 径；(2)若。=求 ABC的 周 长.例 52(2022.四 川.树 德 中 学 模 拟 预 测(理)已 知 的 数/=每 in5cc唠-cos节+十.(1)求/(立)的 单 调 增 区 间；(2)设 工 的 内 角 4,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,若/(4)=J,a=g,求 4B C 外 接 圆 的 面 积.例 53（2022

31、湖 南 长 郡 中 学 高 三 阶 段 练 习）法 国 著 名 军 事 家 拿 破 仑 波 拿 巴 最 早 提 出 的 一 个 几 何 定 理:“以 任 意 三 角 形 的 三 条 边 为 边 向 外 构 造 三 个 等 边 三 角 形，则 这 个 三 个 三 角 形 的 外 接 圆 圆 心 恰 为 另 一 个 等 边 三 角 形 的 顶 点”.如 图，在 中，内 角 4 B,。的 对 边 分 别 为 a,b,c,已 知 acos（B C）=cosX（2V36sinC,-a）.以 AB,B C,A C为 边 向 外 作 三 个 等 边 三 角 形，其 外 接 圆 圆 心 依 次 为 Q,O2,

32、O-,.求 4（2）若 a=/,OQ2Q1的 面 积 为 喑，求 A B C的 周 长.题 型 九:两 边 夹 问 题 例 54（2021 双 流 区 校 级 模 拟）在 力 中，角 力，。所 对 的 边 分 别 为 a.,b,c,若 cosA+sin A-2sinB+cosB=（）,则 包 产 的 值 是（）A.2 B.V3 C.V2 D.1例 5 5（2020 苏 州 二 模）在 AABC中，已 知 边 a,b,c 所 对 的 角 分 别 为 4,B,。，若 Z sin 2+3sin2C=2sinAsinBsinC,+siirA）则 tan A=.例 56（2013-成 都 模 拟）在 X

33、 A B C 中，若（cos4+sinA）（cosB+sinB）=2,，则 角 C=例 5 7（2018-如 皋 市 二 模）在 A 4B C中，角 4、B、C 的 对 边 分 别 为 a,b.,c,设 S 是 AABC的 面 积，若+。2=枭 2+孽 s,则 角 A 的 值 是 一.J O题 型 十:内 心 及 内 切 回 问 题 例 58(2022全 国 高 三 专 题 练 习)力 B C 的 内 角 4 B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,a=6,b+12cosB=2c.(1)求 4 的 大 小；(2)M为 ABC内 一 点，4Vf的 延 长 线 交 B C 于 点，求 AB

34、C的 面 积.请 在 下 列 三 个 条 件 中 选 择 一 个 作 为 已 知 条 件 补 充 在 横 线 上，使 4BC存 在,并 解 决 问 题.M 为 ABC的 外 心，4A1=4；M 为 ZXABC的 垂 心，M D=/；“为 ABC的 内 心，4 0=3一.例 59(2022 安 徽.芜 湖 一 中 一 模(理)已 知 A A B C 的 内 角 A,。的 对 边 分 别 为 a,b,c,tanC=sin二 2 cosA 求 的 值；设 M 和 N 分 别 是 A A R C 的 重 心 和 内 心，若 M/V BC且 c=2,求 a 的 值.例 6 0（2022全 国 高 三 专

35、 题 练 习）在 A B C中，角 A,。的 对 边 分 别 为 a,b,c,且 4 为 锐 角，a=3 0,A B-AC=3,再 从 条 件：bsin且=a sin B,条 件：btanA=（2c b）ta n B,这 两 个 条 件 中 选 择 一 个 作 为 已 知.求:角 4（2）ZL4B。的 内 切 圆 半 径 r.例 61（2022 陕 西 武 功 县 普 集 高 级 中 学 一 模（文）在 力 中，a,b,c 分 别 是 角 4,B,。所 对 的 边，已 知 b=4,c=2,且 sinC=sinB+sin(A B).(1)求 角 A和 边 a 的 大 小；(2)求 的 内 切 圆

36、 半 径.例 6 2例 62.（2022.全 国.高 三 专 题 练 习）如 图，在 A B C 中，。是 5。上 一 点，4。平 分 ABAC.小 七、丁 BD _ AB 求 证：而=而；若 A C=2,。=1,4。=,道,求 A B C的 内 切 圆 面 积.例 63(2022陕 西 西 北 工 业 大 学 附 属 中 学 模 拟 预 测(理)在 48。中，a,b,c分 另 U为 角 4,。的 对 边,且 凤 丽。一/)(1)求 角 4(2)若 ABC的 内 切 圆 面 积 为 4兀，求 ABC面 积 S 的 最 小 值.例 64(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 函 数/

37、(力)=2，sinccosi+2cos%(1)求 函 数 f(x)=2Vsinacos#+2cos2a;的 对 称 轴;对 称 中 心;单 调 递 增 区 间；(2)在 A 4 8 C 中，a,b,c分 别 是 A B C 所 对 的 边，当/G4)=2,Q=2时，求 A 4 3 C 内 切 圆 面 积 的 最 大 值.例 65(2022.河 南 南 阳.高 三 期 末(理)在 ABC中，J5sinC+cosC=显 叱 骁 皿。求 人(2)若 ABC的 内 切 圆 半 径 r=2,求 A B+4。的 最 小 值.例 66（2022陕 西 模 拟 预 测（文）已 知 ABC+，角 1,6,。所

38、对 的 边 分 别 是 a,b,c,且 a=6,b=2C,设。为 4 A B e 的 内 心,则 A A O B 的 面 积 为 例 67（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 点 O 是 A B C 的 内 心，若 而 5=y A B+:而，则 c o s A C=)A A X-5B1。Q-8LD-1解 三 角 形 图 形 类 问 题【方 法 技 巧 与 总 结】解 决 三 角 形 图 形 类 问 题 的 方 法：方 法 一：两 次 应 用 余 弦 定 理 是 一 种 典 型 的 方 法，充 分 利 用 了 三 角 形 的 性 质 和 正 余 弦 定 理 的 性 质 解 题；方

39、法 二：等 面 积 法 是 一 种 常 用 的 方 法，很 多 数 学 问 题 利 用 等 面 积 法 使 得 问 题 转 化 为 更 为 简 单 的 问 题，相 似 是 三 角 形 中 的 常 用 思 路；方 法 三：正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 相 结 合 是 解 三 角 形 问 题 的 常 用 思 路；方 法 四：构 造 辅 助 线 作 出 相 似 三 角 形，结 合 余 弦 定 理 和 相 似 三 角 形 是 一 种 确 定 边 长 比 例 关 系 的 不 错 选 择；方 法 五：平 面 向 量 是 解 决 几 何 问 题 的 一 种 重 要 方 法，充 分 利 用 平 面 向

40、量 基 本 定 理 和 向 量 的 运 算 法 则 可 以 将 其 与 余 弦 定 理 充 分 结 合 到 一 起；方 法 六：建 立 平 面 直 角 坐 标 系 是 解 析 几 何 的 思 路，利 用 此 方 法 数 形 结 合 充 分 挖 掘 几 何 性 质 使 得 问 题 更 加 直 观 化.【题 型 归 纳 目 录】题 型 一:妙 用 两 次 正 弦 定 理 题 型 二:两 角 使 用 余 弦 定 理 题 型 三:张 角 定 理 与 等 面 积 法 题 型 四:角 平 分 线 问 题 题 型 五:中 线 问 题 题 型 六，高 问 题 题 型 七:重 心 性 质 及 其 应 用 题 型

41、 八:外 心 及 外 接 圆 问 题 题 型 九:两 边 夹 问 题 题 型 十，内 心 及 内 切 圆 问 题【典 例 例 题】题 型 一:妙 用 两 次 正 弦 定 理 例 1.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）在.，-.沪，2S=-V3BA-BCcosC 2a-r c sin sinC a-r c三 个 条 件 中 任 选 一 个 补 充 在 下 面 的 横 线 上，并 加 以 解 答.在 A B C 中，角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c 且，作 力 B J_ A D,使 得 四 边 形 A B C D 满 足 ACD=,A D=V3,求 8。的 取 值 范

42、围.O【答 案】2）.【解 析】根 据 题 意,选 择 求 得 B=与，设 Z B A C=0，则 ACAD=与 一 仇 NCD4=。+强,在 o Z 0A A C D 中，由 正 弦 定 理 求 得 A C=2sin（。+,），在 A B C中，由 正 弦 定 理 求 得 可 得 BC=*s i n（。+点）sin0=2?g s in（2-,）+1,结 合 0 6,和 三 角 函 数 的 性 质，即 可 求 解.【详 解】若 选:由 仝 3=一/一,根 据 正 弦 定 理 可 得 空 噜=.蜡。，cosC 2a+c cosC 2smA+smC即 2sinylcosB+sinCcosB=sin

43、BcosC,即 2sinAcosB=sin B co sC-sinCcosB=sin(B+C)=sinA,可 得 c o s 8=1 因 为 力（0,兀），所 以 8=亭,/o设 N R 4 C=0,则 NC4D=专-d NCZM=0+专,在 AC。中，由 正 弦 定 理 得 A C ADsinZADC sinZACD可 得 力 C=ADsinZADC 心 sin(+专)sin/A C D在 A B C中，由 正 弦 定 理 得 sin专 JA C=BCsinJB sin。=2sin(。+专),可 得=AC-Sind 2sin()-s in。sinB.红 sin 3-sin(l9+y)-sin

44、(9+-ycossin/9=+-1sin9cosj)=(2V 3sin20+2sin9cos0)=-2 V 3 x-1 s,|_ sin2。)=-=-(sin2 V3cos2)+1=_=sin(29+1,V 3 J J7因 为 O V J V 看，可 得 一 看 V 2。一 q V 4,J O O O当 2。一 年=卷 时，即。=卷,可 得 萃 sinq+1=2,J J O O O当 2。一 专=一 号 时，即 夕=0,可 得 竽 sin（3）+1=0,所 以 的 取 值 范 围 是（0,2）.选：由.刎=”2，根 据 正 弦 定 理 可 得 v5-=空 smB-sinC Q+C b c a

45、c可 得 ar+ac=b c2,即 a2-he2 b2=ac,又 由 余 弦 定 理，可 得 c o s 6=标+/一=-=_,2ac 2ac 2因 为 4 G（0,兀）,所 以 8=与，o设“4 0=依 则“4 0=专 一 仇 0 4=6+专,在 a。中，由 正 弦 定 理 得 A C ADsinZX PC-sinZXCP）可 得 4 7=ADsm A A D C/。sin（。+寺）sinZACDsin-o=2sin（夕+-1-）,在 板 中，由 正 弦 定 理 得 磊=焉,可 得 BC=松 s in O _ 2 sin（J+专）-sinJsinB 2 7 rsin 丁 表 sin（6+1）

46、sin6_ 4/V 3一 一 2sinJ+-ycossin9=节+-sincos=（2V3sin2+2sinJcosO）=-4=f2V3 x-1s2“十$也 2。）V 3 V o 乙=（sin2g-V3cos2）+1=-*sin（20+1,因 为 0 V 0 V 告，可 得 告 V 2。告 告，J o J J当 2。一 专=等 时，即 8=3 可 得 毕 s in 4+l=2,o o o o o当 26-专=一 专 时，即 6=0 可 得 竽 sin（一）+l=O所 以 B C的 取 值 范 围 是（0,2）.若 选：由 2S=V3BA 可 得 2 x-1-acsinB=V3accosB,即

47、sinB=V3cosB,可 得 tanB=V 3,因 为 ie（o,兀），所 以 B=警,O设*=夕，则 4 0=告 一 仇/8 月=0+,在 A A C D中，由 正 弦 定 理 得 AC ADsinZA PC-sinZACD)可 得 4 C=ADsinAADCsinZXCDA/3 sin仅+寺)sin等 o=2sin 仅+,在 中，由 正 弦 定 理 得 磊=篇 用 徨 AL AC-sinO 2、in(9+g)inf)4./1,7 U.可 得 B C=si%豆 一 一 蓝 序 一 一 一 7rsm(9+K)sm J+十 cosJ)sin J=-(-s i n20+sinOcosO)=-4(

48、2V3sin2+2sin6cosJ)=i(2/3 X 等 过+sin2J)V3 V3 v 2-ir(sin 2 0 V3cos20)+1=2/sin(22 等)+1,V 3 J J/因 为 O V。年，可 得 年 2 6与 卷，O O O O当 2。一 专=专 时，即 6=微，可 得 挈 siq+1=2,当 2。一 专=,时，即 6=0,可 得 竽 sin（-专）+1=0,所 以 B C的 取 值 范 围 是（0,2）.例 2.（2020北 京 北 师 大 二 附 中 高 三 期 中）如 图，四 边 形 4 B C D中/历 1。=90,ABC=30,AD C D,设 乙 4 c 0=9.若

49、A A B C面 积 是 AC。面 积 的 4倍，求 sin2。；若 Z.ADB=尤，求 ta n【答 案】sin26=乎 tanG=乎【解 析】（1）设 4。=a,可 求=asind 3=acos仇 由 题 意 S 4 A B C=4s 4。,利 用 三 角 形 的 面 积 公 式 即 可 求 解；（2）在 4?。中，M 3C D中，分 别 应 用 正 弦 定 理，联 立 可 得 2sin6+0）=3 sin J,利 用 两 角 和 的 正 弦 公 式，同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 式 即 可 求 解.【详 解】设 1。=Q,则 AB=V3af A D=asinO9 CD=acos

50、。,由 题 意 S AAJ3c=4S&ACQ,则-ya-V3a=4-yacos0 asinJ,所 以 sin29=-y-.由 正 弦 定 理，lABD中，.%4 n=咒 n n，即.严 小=二 垣 smZBAD smZADB sm(7t-0)ainJL6 BCD 中,BDsin/BCDBC 即 B D=sin/CDB sin 借+6)+得：2sin传+6)=3sinJ,化 简 得 V 5cosJ=2sin6,所 以 tan6*=例 3.(江 苏 省 南 京 市 宁 海 中 学 2022届 高 三 下 学 期 4 月 模 拟 考 试 数 学 试 题)在 A A B C 中，内 角 4 8。的 对