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1、3平均值不等式1.回顾和复习平均值不等式.2.理解三个正数的平均值不等式,了解n个正数的平均值不等式.3.会用相关定理解决简单的最大(最小)值问题.1.二元平均值不等式(1)定理1:对任意实数a,b,有a2+b22ab(此式当且仅当a=b时取“=”号).(2)定理2:定理2可叙述为:两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.答案:A A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A 2.三元平均值不等式及其推广(1)定理3:对任意三个正数a,b,c,有a3+b3+c33abc(此式当且仅当a=b=c时取“=”号).(2)定理4:定理4可叙述为:三个正数的算术平
2、均值不小于它们的几何平均值.(3)n个正数的算术-几何平均值不等式:分析:本题需变式出现积为定值的情况,而条件中是和为定值x+y+z=1,所以对所证不等式的左边需变形出现积为定值的情况.题型一 题型二 题型三题型一 利用平均值不等式证明不等式 分析:本题是有条件的证明不等式问题,要巧用“x+y=1”来证明.题型一 题型二 题型三反思利用平均值不等式证明不等式时,要注意把握平均值不等式的结构特点,以便灵活地用于解题.另外,对式子进行拆项、凑项的灵活变形,也是常用的方法.题型一 题型二 题型三【变式训练1】已知a,b,c(0,+),且a+b+c=1.题型一 题型二 题型三题型二 利用平均值不等式求
3、最值 分析:对于x(5-2x)2无法直接利用平均值不等式求最值,可先拼凑出平均值不等式的形式后再求最值.题型一 题型二 题型三反思.在求最值时,除了注意“一正”“二定”“三相等”之外,还要掌握配项、凑系数等变形技巧.有时为了便于应用公式,还用换元法,多用于分母中有根式的情况.题型一 题型二 题型三题型一 题型二 题型三题型三 利用平均值不等式解决实际问题【例3】如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底面宽为2 m的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出.设箱体的长为a m,高为b m,已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积成反比.现有制箱材料60 m2,问当a,b各为多
4、长时,沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小?(A,B孔的面积忽略不计)题型一 题型二 题型三题型一 题型二 题型三a=6.由a=6,可得b=3.综上所述,当a=6,b=3时,经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小.题型一 题型二 题型三反思1.对于分母是一次式,分子是二次式的分式,可采用本题中的变形方法.2.本题的难度不在于建立数学模型,而在于建模后如何求函数的最值,这需要有扎实的数学知识和灵活应用基本定理、公式解题的能力.3.可以说解应用题需要过两关:一关是如何对由文字给出的应用问题建立数学模型;另一关就是对于建模后的数学模型,如何用相关的数学知识将其解答出来.题型一 题型二 题型三【变式训练
5、3】已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V,则下列不等式正确的是()A.V B.V解析:如图,设圆柱的半径为R,高为h,则4R+2h=6,即2R+h=3.V=R2h=RRh=,当且仅当R=R=h=1时“=”号成立.答案:B1 2 3 4 51下列结论正确的是()答案:B 1 2 3 4 5A.10 B.3 C.9 D.不存在 答案:C 1 2 3 4 5答案:A 1 2 3 4 54若长方体的体积为8,则其表面积的最小值为.解析:设长方体相交于同一点的三条棱长分别为a,b,c,则依题意有abc=8.而长方体的表面积S=2ab+2bc+2ac,当且仅当a=b=c 时,等号成立,即长方体的表面积的最小值为24.答案:241 2 3 4 55设计一幅宣传画,要求画面面积为4 840 cm2,画面的宽与高的比为(1),画面的上、下各留8 cm的空白,左、右各留5 cm的空白.怎样确定画面的高与宽,才能使宣传画所用纸张面积最小?