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1、概率、随机变量及其分布列高考定位1.计 数 原 理、古 典 概 型、几 何 概 型 的 考 查 多 以 选择 或 填 空 的 形 式 命 题，中 低 档 难 度；2.概 率 模 型 多 考 查 独 立重 复 试 验、相 互 独 立 事 件、互 斥 事 件 及 对 立 事 件 等；对 离 散型 随 机 变 量 的 分 布 列 及 期 望 的 考 查 是 重 点 中 的“热 点”，多在 解 答 题 的 前 三 题 的 位 置 呈 现，常 考 查 独 立 事 件 的 概 率，超几何分布和二项分布的期望等.真 题 感 悟答案C解析如图所示，画出时间轴：答案B3.(2017 全 国卷)一批产品的二等品率
2、为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)_.解 析 有 放 回 地 抽 取，是 一 个 二 项 分 布 模 型，其 中p0.02，n100，则D(X)np(1 p)1000.020.981.96.答案1.964.(2017 全 国卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量
3、为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15)15，20)20，25)25，30)30，35)35，40)天数2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？X 200 300 500P 0.2 0.4 0.4(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200n500.当3
4、00n500时，若最高气温不低于25，则Y6n4n2n，若最高气温位于区间20，25)，则Y63002(n300)4n12002n；若最高气温低于20，则Y62002(n200)4n8002n；因此E(Y)2n0.4(1 2002n)0.4(8002n)0.26400.4n.当200n300时，若最高气温不低于20，则Y6n4n2n；若最高气温低于20，则Y62002(n200)4n8002n；因此E(Y)2n(0.40.4)(8002n)0.21601.2n.所以n300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.考 点 整 合4.离散型随机变量的均值、方差(1)离散型随机变量的分布列为
5、x1x2x3xinP p1p2p3pipn离散型随机变量的分布列具有两个性质：pi0；p1p2pipn1(i1，2，3，n).(2)E()x1p1x2p2xipixnpn为随机变量的数学期望或均值.D()(x1E()2p1(x2E()2p2(xiE()2pi(xnE()2pn叫做随机变量的方差.(3)数学期望、方差的性质.E(ab)aE()b，D(ab)a2D().XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p).X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p).探 究 提 高 1.求 古 典 概 型 的 概 率，关 键 是 正 确 求 出 基 本 事 件总 数 和 所 求 事 件 包 含
6、 的 基 本 事 件 总 数.常 常 用 到 排 列、组 合的有关知识，计数时要正确分类，做到不重不漏.2.计 算 几 何 概 型 的 概 率，构 成 试 验 的 全 部 结 果 的 区 域 和 事 件发 生 的 区 域 的 寻 找 是 关 键，有 时 需 要 设 出 变 量，在 坐 标 系中表示所需要的区域.热点二互斥事件、相互独立事件的概率命题角度1互斥条件、条件概率【例 2 1】(2016 全 国卷 选 编)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数0 1 2 3 45保费0.85a a 1.25a
7、1.5a 1.75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数0 1 2 3 45概率0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率.命题角度2相互独立事件与独立重复试验的概率【训 练 2】(2017 邯 郸 质 检)2017年4月1日，国家在河北省白洋淀以北的雄县、容城、安新3县设立雄安新区，这是继深圳经济特区和上海浦东新区之后又一具有全国意义的新区，是千年大计、国家大事。多家央企为了配合国家战略支持雄安新区建设，纷纷申请在新区建立分
8、公司.若规定每家央企只能在雄县、容城、安新3个片区中的一个片区设立分公司，且申请其中任一个片区设立分公司都是等可能的，每家央企选择哪个片区相互之间互不影响且必须在其中一个片区建立分公司.向雄安新区申请建立分公司的任意4家央企中，(1)求恰有2家央企申请在“雄县”片区建立分公司的概率；(2)用X表示这4家央企中在“雄县”片区建立分公司的个数，用Y表示在“容城”或“安新”片区建立分公司的个数，记|XY|，求的分布列.热点三随机变量的分布列、均值与方差命题角度1超几何分布【例 3 1】(2017 山 东 卷)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志
9、愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E(X).因此X的分布列为命题角度2与独立重复试验有关的分布列【例 3 2】(2017 郴 州 二 模)某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况，绘制了该厂日销售量的频率分布直方图，如图所示：
10、将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.(1)求未来3天内，连续2天日销售量不低于8吨，另一天日销售量低于8吨的概率；(2)用X表示未来3天内日销售量不低于8吨的天数，求随机变量X的分布列、数学期望与方差.所以X的分布列为X 0 1 2 3P 0.216 0.432 0.288 0.064E(X)30.41.2，D(X)30.4(10.4)0.72.【训 练 3】(2017 西 安 二 模)中国铁路客户服务中心为方便旅客购买车票，推出三种购票方式：窗口购票、电话购票、网上购票，旅客任选一种购票方式.若甲、乙、丙3名旅客都准备购买火车票，并且这3名旅客选择购票的方式是相互独
11、立的.(1)求这三名旅客中至少有两人选择网上购票的概率；(2)记这三名旅客购票方式的种数为，求的分布列和数学期望.热点四概率与统计的综合问题【例 4】(2017 衡 阳联 考)当今信息时代，众多高中生也配上了手机，某校为研究经常使用手机是否对学习成绩有影响，随机抽取高三年级50名理科生的一次数学周练成绩，用茎叶图表示如下图(记60分为及格)：(1)根据茎叶图中数据完成下面的22列联表，并判断是否有95%的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响？及格 不及格 总计很少使用手机 经常使用手机 总计(2)从50人中，选取一名很少使用手机的同学记为甲和一名经常使用手机的同学记为乙，解一道数列题，甲、乙独
12、立解决此题的概率分别为p1，p2，且p20.4，若p1p20.3，则此二人适合结为学习上互帮互助的“师徒”，记X为两人中解决此题的人数，若E(X)1.12，问两人是否适合结为“师徒”？P(K2k0)0.10 0.05 0.025k02.706 3.841 5.024解(1)由茎叶图数据，得22列联表：及格 不及格 总计很少使用手机20 7 27经常使用手机10 13 23总计30 20 50(2)依题意，随机变量X的可能取值为0，1，2.则P(X0)(1p1)(1p2)，P(X2)p1p2，P(X1)(1p1)p2p1(1p2)，随机变量X的分布列为X 0 1 2P(1p1)(1p2)(1p1
13、)p2p1(1p2)p1p2E(X)(1p1)p2p1(1p2)2p1p2p1p21.12，所以p11.12p20.72，因此p1p20.720.40.320.3，两人适合结为“师徒”.探 究 提 高1.本 题 考查 统 计 与 概 率 的 综 合应 用，意 在 考查 考 生的 识 图 能 力 和 数 据 处 理 能 力.此 类 问 题 多 涉 及 相 互 独 立 事 件、互斥事件的概率，在求解时，要明确基本事件的构成.2.联 系 高 中 生 使 用 手 机这 一 生 活现 象，利 用 数 学 中 列联 表、独立 性 检 验，予 以 研 究 二 者 的 相 关 性，考查 了 茎 叶 图、相 互
14、 独 立事 件 同 时 发 生、分 布 列.题 目 主 旨，引导 学 生 正 确对 待 使 用 手机，切勿玩物丧志，并倡导互帮互助的学习风气.【训 练 4】(2017 全 国 卷 改 编)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(，2).(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3，3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3，3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能
15、出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.试说明上述监控生产过程方法的合理性；下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：解(1)由题可知尺寸落在(3，3)之内的概率为0.9974，落在(3，3)之外的概率为0.0026.由题可知XB(16，0.0026)，P(X1)1P(X0)10.9974160.0408.E(X)160.00260.0416.(2)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3，3)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.