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1、第十七讲 分裂算法17 分裂算法 计算时效性问题 快慢过程的相对可分性17 分裂算法 计算时效性问题 快慢过程的相对可分性计算时效性问题 大气海洋数值模拟或预报问题或是要求准而快，或是要求稳而长，如数值天气预报就要求准而快，而气候模式则需稳而长；准即预报的准确性，要求模式的分辨率较高、物理过程精细和初值高质量；快即在短时间内做出预报，时效性很强。计算时效性问题 稳即计算稳定，长即长时间模拟或预测；对于气候模拟问题，需要百年甚至上千年的长时间模拟，要求模式具备良好的稳定性，保障其能够长时间积分下去；与此同时，还要求模式运行速度快，否则会严重阻碍气候模拟研究的进程。计算时效性问题 为了保障在较短的
2、时间内完成这样的长时间数值积分，通常情况下采用降低模式分辨率、简化模式物理过程等办法来节省计算时间，而这样无疑有要影响到数值模拟的精确度。计算时效性问题 因此，无论从哪方面考虑，大气海洋数值模拟中的计算时效问题总是不可回避的首要问题之一，计算省时性显得十分重要。目前，国际数值预报领域对模式的计算时效性高度重视，提出了模式动力框架设计的标准，一些主要业务中心也提出各自的策略。Classical requirements for a dynamical core:Stability Accuracy(up to a certain order;at least 2)EfficiencyToday,
3、additional requirements:conservation of certain variables“mimetic“properties(discretization reproduces some exact analytical properties)well-balancing scalability efficient on(quite)different computer architectures(CPU,GPU,)(WGNE-29,2014)英国气象局提高计算时效的策略u 2002 年启动ENDGame 研究计划，希望2014 上业务；以New Dynamics
4、为基础，采用内外循环求解的方法，把Helmholtz 方程的求解简化成7 点格式，并采用很简单的预条件子u 2012 年启动GungHo 研究计划，希望2022年上业务；采用准均匀网格，去奇点，大幅提高可扩展性ENDGame:EvenNewerDynamicsforGeneralatmosphericmodellingoftheenvironment准均匀网格示意图三角形网格 立方体网格 阴阳网格(Woodetal,2014)(Woodetal,2014)欧洲中心提高计算时效的策略 保持经纬度网格和谱截断算法，提出快速Legendre 变换，提高模式的可扩展性和并行效率。European Ce
5、ntre for Medium-Range Weather Forecasts(Wedietal,2013)我们的策略 网格：物理上合理的经纬网格 算法：守恒型有限差分格式 稳定：声波和重力波的特殊处理一种常用的省时算法：分裂算法 提高模式计算时效的几种途径：准均匀网格、半隐式格式或半解析格式、分裂算法；分裂算法是最常用、最有效的省时算法之一，包括算子分裂算法和区域分裂算法；基于大气运动自身的一些特点建立起来的，具有很强的物理背景和基础；算子分裂算法 算子分裂算法：将一个复杂的物理过程分解为两个或多个较简单的子过程而逐个计算，然后再叠加或综合(曾庆存等,1980)；每个子过程从数学上都可以表示
6、一个算子；既可使计算逻辑简化，又可节省计算时间，是一种经济的计算方法。算子分裂算法的物理基础 大气海洋运动包括两种典型的动力过程：适应过程和演变过程（曾庆存，1979）；适应过程一般为一个快过程，演变过程则为一个慢过程，二者在时间尺度上是可以区分开来的（曾庆存，1963）；这是算子分裂算法的物理基础。衡量算子分裂算法的物理标准 快慢过程虽然可分，但又相互作用，相互依存；一个算子分裂算法是否在实现分裂计算的同时考虑快慢过程的相互作用是衡量它好坏的一个重要物理标准。衡量算子分裂算法的物理标准 在一定条件下，大气运动的总能量是守恒的，它对应着大气方程组的平方守恒性；若算子分裂算法能保持该守恒性，既具
7、有重要物理意义，也具有良好计算稳定性；因此，是否具有能量守恒性成为评价一个分裂算法好坏的又一物理标准。区域分裂算法 区域分裂法：根据大气运动在不同纬度的不同表现特征，而将地球表面区域按纬度分解成三个或多个子区域，然后在不同的区域采用不同的算法或采用相同的算法与不同的积分步长来求解，并在各子区域的交界处协调地衔接起来；一种很常用的有效省时算法。区域分裂算法的物理基础 地球的椭球形几何结构以及自转决定了无论在热力上还是动力上，大气海洋运动随纬度不同而不同；极区是很特殊的一个区域，极点是大气方程组的可去奇异点，数值求解时，其计算稳定性往往比中、低纬地区要差得多。区域分裂算法的衡量标准 将极区与中低纬
8、地区分裂开来，分别求解，则可大大提高模式在中低纬地区的时间步长，从而大量节省计算时间；如何协调地衔接极区与中、低纬地区，尤其如何使得数值解在整个球面是平方守恒的（在一定条件下），是衡量区域分裂算法的一个重要标准。17 分裂算法 计算时效性问题 快慢过程的相对可分性算子分裂算法的数学标准 从数学的角度出发探讨一下快慢过程的相对可分性和相互依赖性，为检验算子分裂算法提供一个相应的数学标准。建立更具普遍性的算子分裂模型，并对它们进行误差分析和相容性分析，从而为分裂算法的建立和比较检验提供另一个数学标准。算子分裂算法的理论研究 通过对一些常用算子分裂算法的理论性研究，找出目前已有算子分裂算法的弊端，从
9、而为旧算子分裂算法的完善和改进以及新算子分裂算法的提出开劈道路，奠定基础。快慢过程的相对可分性 对于发展方程：(t t0,t0+)其中为空间微商算子。假定可分解为快算子1和慢算子2：,则方程写成：对于大气海洋方程，1F 和2F 可分别表示适应过程和演变过程。快慢过程的相对可分性 其半离散方程为：其中L 为空间微分算子：G(F)和S(F)是关于F 的连续可微函数。快慢过程的相对可分性 F 关于t 的一阶和二阶导数为：利用Taylor 展开式有：快慢过程的相对可分性 这样便得到：只 与 适 应过程有关快慢过程相互作用只 与 演 变过程有关快慢过程的相对可分性 令，则 而从物理上讲，体现着快过程的发
10、展倾向，体现着慢过程的发展倾向，而且 和 是整个运动发展变化的主项。快慢过程的相对可分性 从发展变化的主项看，运动的发展过程是可分的，这为分裂算法的实现提供了可能；运动过程的可分性是相对的、局部的，不是绝对的；因为在运动过程中，快慢过程相互作用，相互依赖，这对运动的发展和变化也有一定的影响。快慢过程的相对可分性 若忽略高阶小量，这种相互作用集中体现在 上。显然，该项是不可分的，这又为算子分裂算法的建立提出了难题。虽然 为二阶小量，相对 和 来说作用很微小，但它体现着快慢过程的相互作用，具有物理意义。快慢过程的相对可分性 因此，在进行算子分裂计算时，若完全忽略 的作用，不仅要失去物理意义，而且从数学上讲还会降低解的精度，这样必将影响计算效果。所以，是否考虑快慢过程的相互作用便成为评价算子分裂算法好坏的第一条标准。第十七讲 小结 介绍了大气海洋数值模拟中的计算时效性问题以及国际上为解决此问题所采取的策略；介绍了大气海洋运动快慢过程的相对可分性；谢谢！