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1、暨南大学珠海学院 第一一章 第一节第一节 映射与函数映射与函数n一、集合一、集合n二、映射二、映射n三、函数三、函数n四、小结四、小结第一章 函数与极限暨南大学珠海学院 第一一章 一、集合一、集合1.1.集合集合:具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.有限集有限集无限集无限集暨南大学珠海学院 第一一章 数集分类数集分类:N-N-自然数集自然数集Z-Z-整数集整数集Q-Q-有理数集有理数集R-R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:例如例如不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.例如例如,规
2、定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.暨南大学珠海学院 第一一章 集合的运算集合的运算（1）集合的并）集合的并（2）集合的交）集合的交暨南大学珠海学院 第一一章（3）集合的差）集合的差（4）集合的补）集合的补暨南大学珠海学院 第一一章 集合的运算律集合的运算律（1）交换律：）交换律：（2）结合律：）结合律：（3）分配律：）分配律：（4）摩根律：）摩根律：暨南大学珠海学院 第一一章 2.2.区间区间:是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这这两个实数叫做区间的端点两个实数叫做区间的端点.称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,暨南大学珠海学院 第一一章
3、称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.暨南大学珠海学院 第一一章 3.3.邻域邻域:暨南大学珠海学院 第一一章 4.4.常量与变量常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量常量,注意注意常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的而言的.通常用字母通常用字母a,b,c等表示常量等表示常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量.常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：用字母用字母x,y,t
4、等表示等表示变变量量.暨南大学珠海学院 第一一章 5.5.绝对值绝对值:运算性质运算性质:绝对值不等式绝对值不等式:暨南大学珠海学院 第一一章 二、映射二、映射1 1 映射概念映射概念 设设 是两个非空集合，如果存在一个法则是两个非空集合，如果存在一个法则 ,使得对于使得对于 中每个元素中每个元素 ，按法则按法则 在在 中有唯中有唯一确定的元素一确定的元素 与之对应，则与之对应，则 称为从称为从 到到 的映射，的映射，记作记作 其中其中 称为元素称为元素 （在映射（在映射 下）的像，并记作下）的像，并记作 ，即即 而元素而元素 称为元素称为元素 （在映射（在映射 下）的一个原像；集下）的一个原
5、像；集合合 称为映射称为映射 的定义域，记作的定义域，记作 ，即，即 ；中所有元素的像所组成的集合称为映射中所有元素的像所组成的集合称为映射 的值域，的值域，记作记作 或或 ，即，即暨南大学珠海学院 第一一章 从上述映射的定义中，需要注意的是：从上述映射的定义中，需要注意的是：（1 1）构成一个映射必须具备以下三个要素：集合）构成一个映射必须具备以下三个要素：集合 ，即定义域，即定义域 ；集合；集合 ，即值域的范围：，即值域的范围：；对应法则；对应法则 ，使对每个，使对每个 ，有唯一确定的，有唯一确定的 与之对应与之对应.（2 2）对每个）对每个 ，元素，元素 的像的像 是唯一的；而对是唯一的
6、；而对于每个于每个 ，元素，元素 的原像不一定是唯一的；映射的原像不一定是唯一的；映射 的值域的值域 是是 的一个子集，即的一个子集，即 ，不一定，不一定 .暨南大学珠海学院 第一一章 设设 Y 是从集合是从集合 到集合到集合 的映射，若的映射，若 ，即，即 中中任一元素任一元素 都是都是 中某元素的像，则称中某元素的像，则称 为为 到到 上的上的映射或满射；若对映射或满射；若对 中任意两个不同元素中任意两个不同元素 ，它们的像它们的像 ，则称，则称 为为 到到 的单射；若的单射；若映射映射 既是单射又是满射，则称既是单射又是满射，则称 为一一映射（或双射）为一一映射（或双射）满射、单射与双射
7、满射、单射与双射暨南大学珠海学院 第一一章 设设 是从集合是从集合 到集合到集合 的映射，则由定义，对每个的映射，则由定义，对每个 有唯一的有唯一的 ，适合，适合 .于是，可以定义一于是，可以定义一个从个从 到到 的新映射的新映射 ，即，即 对每个对每个 ，规定，规定 ，这，这 满足满足 .这个映这个映射射 称为称为 的逆映射，记作的逆映射，记作 ，其定义域，其定义域 ，值域，值域 2.逆映射与复合映射逆映射与复合映射暨南大学珠海学院 第一一章 注意：注意：只有单射才存在逆映射只有单射才存在逆映射.复合映射：复合映射：设有两个映射设有两个映射 其中其中 .则有映射则有映射 可以定义一个从可以定
8、义一个从 的对应法则，它将每个的对应法则，它将每个 映成映成 .显然，显然，这个对应法则确定了一个从这个对应法则确定了一个从 的映射，这个映射的映射，这个映射称为映射称为映射 构成的复合映射，记作构成的复合映射，记作 ，即，即 注意：注意：的值域的值域 必须包含在必须包含在 的定义域内，即的定义域内，即 暨南大学珠海学院 第一一章 因变量因变量自变量自变量数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域三、函数三、函数暨南大学珠海学院 第一一章 自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的
9、定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值一切实数值.暨南大学珠海学院 第一一章 定义定义:如果自变量在定义如果自变量在定义域内任取一个数值时，域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值值函数，否则叫与多值函数函数暨南大学珠海学院 第一一章 (1)符号函数符号函数几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyo暨南大学珠海学院 第一一章(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线暨南大学珠海
10、学院 第一一章 有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3)狄利克雷函数狄利克雷函数暨南大学珠海学院 第一一章(4)取最值函数取最值函数yxoyxo暨南大学珠海学院 第一一章 在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.暨南大学珠海学院 第一一章 例例1 1解解故故暨南大学珠海学院 第一一章 M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX（1）函数的有界性）函数的有界性:2 2、函数的特性、函数的特性暨南大学珠海学院 第一一章（2）函数的单调性）函数的单调性:暨南大学珠海学院 第一一章
11、（3）函数的奇偶性）函数的奇偶性:偶函数偶函数xyxo-x暨南大学珠海学院 第一一章 奇函数奇函数yxox-x暨南大学珠海学院 第一一章（4）函数的周期性）函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其（通常说周期函数的周期是指其最小正最小正周期周期）.暨南大学珠海学院 第一一章 例例2 2解解单值函数单值函数,有界函数有界函数,偶函数偶函数,周期函数周期函数(无最小正周期无最小正周期)不是单调函数不是单调函数,暨南大学珠海学院 第一一章 DWDW3 3、反函数与复合函数、反函数与复合函数(1)反函数反函数设函数设函数暨南大学珠海学院 第一一章 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形
12、关于直线 对称对称.暨南大学珠海学院 第一一章（2）、复合函数）、复合函数定义定义:暨南大学珠海学院 第一一章 注意注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成构成.暨南大学珠海学院 第一一章 5、初等函数、初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三三角函数和反三角函数统称为角函数统称为基本初等函数基本初等函数.4.4.
13、基本初等函数基本初等函数暨南大学珠海学院 第一一章 非初等函数举例非初等函数举例:符号函数当 x 0当 x=0当 x 0取整函数当暨南大学珠海学院 第一一章 第二节第二节 数列的极限数列的极限n一、概念的引入n二、数列的定义n三、数列极限的定义n四、收敛数列的性质n五、小结 暨南大学珠海学院 第一一章“割之弥细，所失割之弥细，所失弥少，割之又割，弥少，割之又割，以至于不可割，则以至于不可割，则与圆周合体而无所与圆周合体而无所失矣失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入暨南大学珠海学院 第一一章 正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面
14、积形的面积暨南大学珠海学院 第一一章 二、数列的定义二、数列的定义例如例如暨南大学珠海学院 第一一章 注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一动可看作一动点在数轴上依次取点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列是整标函数数列与函数几何意义暨南大学珠海学院 第一一章 三、数列的极限三、数列的极限暨南大学珠海学院 第一一章 问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一确是否无限接近于某一确定的数值定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:暨南大学珠海学院 第一一章 例如 当当n无无限限增增大大时时,如如果果数
15、数列列xn的的一一般般项项xn无无限限接接近近于于常常数数a,则常数则常数a称为数列称为数列xn的极限的极限,或称数列或称数列xn收敛收敛a,记为记为v数列极限的描述定义问题问题:“无限增大无限增大”，“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言刻划它？如何用数学语言刻划它？暨南大学珠海学院 第一一章 考察逼近1的规律：暨南大学珠海学院 第一一章 如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：v数列极限的精确定义暨南大学珠海学院 第一一章 几何解释几何解释:简记形式 0,NN 当nN时 有|xna|.0,NN 当nN时 有|xna|.暨南大学珠海学
16、院 第一一章 数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1证证所以所以,注意：注意：0,NN 当nN时 有|xna|.暨南大学珠海学院 第一一章 例例2证证所以所以,说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结:用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给定关键是任意给定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.0,NN 当nN时 有|xna|.暨南大学珠海学院 第一一章 例例3证证 0,NN 当nN时 有|xna|.暨南大学珠海学院 第一一章 例4 分析:证明 0,NN 当nN时 有|xna|.暨南大学珠海学院 第一一
17、章 四、收敛数列的性质四、收敛数列的性质1、有界性有界性例如例如,有界有界无界无界暨南大学珠海学院 第一一章 定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证由定义由定义,注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.暨南大学珠海学院 第一一章 2、唯一性、唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限.证证由定义由定义,故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.暨南大学珠海学院 第一一章 3.收敛数列的保号性收敛数列的保号性定理定理3 如果如果 证证从而有从而有推论推论 如果数列如果数列暨南大学
18、珠海学院 第一一章 4、子数列的收敛性、子数列的收敛性注意：注意：例如，例如，暨南大学珠海学院 第一一章 定理定理4 4 收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同证证证毕证毕暨南大学珠海学院 第一一章 第三节第三节 函数的极限函数的极限n一、函数极限的定义n二、函数极限的性质n三、小结 练习题暨南大学珠海学院 第一一章 一、函数极限的定义一、函数极限的定义1、自变量趋于无穷大时函数的极限、自变量趋于无穷大时函数的极限暨南大学珠海学院 第一一章 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”
19、.暨南大学珠海学院 第一一章 1、定义：、定义：暨南大学珠海学院 第一一章 2、另两种情形、另两种情形:暨南大学珠海学院 第一一章 3、几何解释、几何解释:暨南大学珠海学院 第一一章 例例1证证暨南大学珠海学院 第一一章 2 2、自变量趋向有限值时函数的极限、自变量趋向有限值时函数的极限暨南大学珠海学院 第一一章 1、定义：、定义：暨南大学珠海学院 第一一章 2、几何解释、几何解释:注意：注意：暨南大学珠海学院 第一一章 例例2证证例例3证证暨南大学珠海学院 第一一章 例例4证证函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.暨南大学珠海学院 第一一章 3.单侧极限单侧极限:例如例如,暨南大学珠海
20、学院 第一一章 左极限左极限右极限右极限暨南大学珠海学院 第一一章 左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例6证证暨南大学珠海学院 第一一章 二、函数极限的性质二、函数极限的性质1.有界性有界性2.唯一性唯一性暨南大学珠海学院 第一一章 定理定理(保号性保号性)推论推论23.函数极限的局部保号性函数极限的局部保号性推论推论1 如果如果 那么就存在着那么就存在着暨南大学珠海学院 第一一章 4.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)定义定义定理定理暨南大学珠海学院 第一一章 三、小结三、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义(见下表见下表)暨南大学珠海学院
21、 第一一章 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 暨南大学珠海学院 第一一章 第四节第四节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大n一、无穷小n二、无穷大n三、无穷小与无穷大的关系暨南大学珠海学院 第一一章 一、无穷小一、无穷小1、定义、定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.暨南大学珠海学院 第一一章 例如例如,注意注意（1）无穷小是变量）无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数）零是可以作为无穷小的唯一的数.暨南大学珠海学院 第一一章 2、无穷小与函数极限的关系、无穷小与函数极限的关系
22、:证证 必要性必要性充分性充分性暨南大学珠海学院 第一一章 意义意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无无穷小穷小);3、无穷小的运算性质、无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无有限个无穷小的代数和仍是无穷小穷小.证证暨南大学珠海学院 第一一章 注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.暨南大学珠海学院 第一一章 定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证暨南大学珠海学院 第一一章 推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小
23、的乘积是有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小暨南大学珠海学院 第一一章 二、无穷大二、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.暨南大学珠海学院 第一一章 特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大注意注意（1）无穷大是变量）无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界但是无界变量未必是无穷大变量未必是无穷大.暨南大学
24、珠海学院 第一一章 不是无穷大不是无穷大无界，无界，暨南大学珠海学院 第一一章 证证暨南大学珠海学院 第一一章 三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒恒不为零的无穷小的倒数为无穷大不为零的无穷小的倒数为无穷大.证证暨南大学珠海学院 第一一章 意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的都可归结为关于无穷小的讨论讨论.暨南大学珠海学院 第一一章 第五节第五节 极限运算法则极限运算法则n一、极限运算法则n二、求极限方法举例n三、小结 思考题暨南大学珠海学院 第一一章 一、极限运算法
25、则一、极限运算法则定理定理证证由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得暨南大学珠海学院 第一一章 暨南大学珠海学院 第一一章 推论推论1 1常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2有界，有界，暨南大学珠海学院 第一一章 二、求极限方法举例二、求极限方法举例例例1 1解解暨南大学珠海学院 第一一章 小结小结:暨南大学珠海学院 第一一章 解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2暨南大学珠海学院 第一一章 解解例例3 3(消去零因子法消去零因子法)暨南大学珠海学院 第一一章 例例4 4解解(无穷小因子分出法无穷小因子分
26、出法)暨南大学珠海学院 第一一章 小结小结:无穷小分出法无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子以分母中自变量的最高次幂除分子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.暨南大学珠海学院 第一一章 例例5 5解解先变形再求极限先变形再求极限.暨南大学珠海学院 第一一章 解解例例6 6暨南大学珠海学院 第一一章 例例7 7解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,暨南大学珠海学院 第一一章 例8.求解解:方法方法 1则令 原式方法方法 2（变量替换）（有理化）（有理化）暨南大学珠海学院 第一一章 意义：意义：暨南大学珠海学院 第一一章 例例8 8解解暨南大学珠海学院 第一
27、一章 第六节第六节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限n一、极限存在准则n二、两个重要极限n三、小结 思考题暨南大学珠海学院 第一一章 一、极限存在准一、极限存在准则则1.夹逼准则夹逼准则证证暨南大学珠海学院 第一一章 上两式同时成立上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限暨南大学珠海学院 第一一章 注意注意:准则准则 和和准则准则 称为称为夹逼准则夹逼准则.暨南大学珠海学院 第一一章 例例1 1解解由夹逼定理得由夹逼定理得暨南大学珠海学院 第一一章 2.单调有界准则单调有界准则单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列
28、单调数列几何解释几何解释:暨南大学珠海学院 第一一章 例例2 2证证(舍去舍去)暨南大学珠海学院 第一一章 二、两个重要极二、两个重要极限限(1)暨南大学珠海学院 第一一章 若若则则推广：推广：暨南大学珠海学院 第一一章 例例3 3解解暨南大学珠海学院 第一一章(2)暨南大学珠海学院 第一一章 推广：推广：1）2）暨南大学珠海学院 第一一章 3）若若则则暨南大学珠海学院 第一一章 4）若若则则暨南大学珠海学院 第一一章 例例4 4解解例例5 5解解1暨南大学珠海学院 第一一章 解解2 原式原式=暨南大学珠海学院 第一一章 第七节第七节 无穷小的比较无穷小的比较n一、无穷小的比较n二、等价无穷小
29、代换n三、小结 思考题暨南大学珠海学院 第一一章 一、无穷小的比较一、无穷小的比较例如例如,极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同.不可比不可比.观观察察各各极极限限暨南大学珠海学院 第一一章 定义定义:暨南大学珠海学院 第一一章 例如，例如，暨南大学珠海学院 第一一章 例例1 1解解暨南大学珠海学院 第一一章 证证必要性必要性充分性充分性暨南大学珠海学院 第一一章 意义意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式：用等价无穷小可给出函数的近似表达式例如例如,暨南大学珠海学院 第一一章 常用等价无穷小常用等价无穷小:暨南大学珠海学院 第一一章 例例解解暨南大
30、学珠海学院 第一一章 二、等价无穷小代二、等价无穷小代换换定理定理(等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理)证证暨南大学珠海学院 第一一章 例例解解若若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限，而不会改变原式的极限暨南大学珠海学院 第一一章 不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换代数和中各无穷小不能分别代换.注意注
31、意例例解解暨南大学珠海学院 第一一章 例例解解解解错错暨南大学珠海学院 第一一章 说明:(1)无穷小量无穷小量和差取低阶规则和差取低阶规则:若 =o(),(2)无穷小量无穷小量和差代替规则和差代替规则:例如,例如,暨南大学珠海学院 第一一章(3)无穷小量因式代替规则:界,则例如,(4)无穷大量和差取高阶规则:例如,暨南大学珠海学院 第一一章 第八节第八节 函数的函数的连续性连续性与间断点与间断点n一、函数的连续性n二、函数的间断点n三、小结 思考题暨南大学珠海学院 第一一章 一、函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量暨南大学珠海学院 第一一章 2.连续的定义连续的定义暨南大学珠海
32、学院 第一一章 暨南大学珠海学院 第一一章 例例1 1证证由定义由定义2知知暨南大学珠海学院 第一一章 3.单侧连续单侧连续定理定理暨南大学珠海学院 第一一章 例例2 2解解右连续但不左连续右连续但不左连续,暨南大学珠海学院 第一一章 4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的叫做在该区间上的连连续函数续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,暨南大学珠海学院 第一一章 例例3 3证证暨南大学珠海学院 第一一章 二、函数的间
33、断点二、函数的间断点暨南大学珠海学院 第一一章 暨南大学珠海学院 第一一章 1.跳跃间断点跳跃间断点例例4 4解解暨南大学珠海学院 第一一章 2.可去间断点可去间断点例例5 5暨南大学珠海学院 第一一章 解解注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.暨南大学珠海学院 第一一章 如例如例5中中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点特点或左右极限都存在的间断点统称为第一类间断点或左右极限都存在的间断点统称为第一类间断点.暨南大学珠海学院 第一一章 3.第二类
34、间断点第二类间断点例例6 6解解暨南大学珠海学院 第一一章 例例7 7解解暨南大学珠海学院 第一一章 狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间断点且都是第二类间断点.仅在仅在x=0处连续处连续,其余各点处处间断其余各点处处间断.注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.暨南大学珠海学院 第一一章 在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点处都间断,但其绝对值处处但其绝对值处处连续连续.判断下列间断点类型判断下列间断点类型:暨南大学珠海学院 第一一章 例例8 8解解暨南大学珠海学院 第一一章 第九节第九
35、节 连续函数的运算连续函数的运算 与初等函数的连续性与初等函数的连续性n一、四则运算的连续性n二、反函数与复合函数的连续性n三、初等函数的连续性暨南大学珠海学院 第一一章 一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性定理定理1 1例如例如,暨南大学珠海学院 第一一章 二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性定理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数函数.例如例如,反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.暨南大学珠海学院 第一一章 定理定理3 3证证暨南大学珠海学院 第一一章 将上两步合起来将上两步合起来:暨南大
36、学珠海学院 第一一章 意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;例例1 1解解暨南大学珠海学院 第一一章 例例2 2解解同理可得同理可得暨南大学珠海学院 第一一章 定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,暨南大学珠海学院 第一一章 三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的续的.暨南大学珠海学院 第一一章 定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.(均在其定义域内连续均在其定义域内连续)定理定理6 6 一切初等函数在
37、其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.暨南大学珠海学院 第一一章 1.初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,在其定在其定义域内不一定连续义域内不一定连续;例如例如,这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.注意注意注意注意2.初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.暨南大学珠海学院 第一一章 例例3 3例例4 4解解解解暨南大学珠海学院 第一一章 一一、最值定理、最值定理 二、介值定理二、介值定理 第九节 闭区间上连续
38、函数的性质 暨南大学珠海学院 第一一章 注意注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.一、最值定理定理定理1.1.在闭区间上连续的函数即:设则使值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点,暨南大学珠海学院 第一一章 例如例如,无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如又如,暨南大学珠海学院 第一一章 推论.由定理 1 可知有证证:设上有界.在闭区间上连续的函数在该区间上有界.暨南大学珠海学院 第一一章 二、介值定理二、介值定理定理定理2.(零点定理)至少有一点且使(证明略)暨南大学珠海学院 第一一章 定理3.(介值定理介值定理)设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C,
39、一点证证:作辅助函数则且故由零点定理知,至少有一点使即推论推论:使至少有在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最大值之间的任何值.暨南大学珠海学院 第一一章 例1.证明方程证明方程一个根.证证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即说明说明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二分法二分法在区间内至少有则则暨南大学珠海学院 第一一章 上连续,且恒为正,例2.设设在对任意的必存在一点证证:使令,则使故由零点定理知,存在即当时,取或,则有证明:暨南大学珠海学院 第一一章 内容小结在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,使必存在上有界;在在暨南大学珠海学院 第一一章 则证明至少存在使提示提示:令则易证1.设设一点暨南大学珠海学院 第一一章 2 至少有一个不超过 4 的正根.证证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然