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1、学科网（北京）股份有限公司概率（能力提升卷）概率（能力提升卷）考试时间：120 分钟；满分：150 分姓名：_班级：_考号：_考卷信息：本卷试题共 22 题，单选 8 题，多选 4 题，填空 4 题，解答 6 题，合计 150 分，限时 150 分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！一单选题（共一单选题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分）1（2021 春舒城县期末）连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为 m，n，记 tm+n，则下列说法正确的是（）A事件“t12”的概率为121B事件“t 是奇数”与“mn”互为对立事件C事件
2、“t2”与“t3”互为互斥事件D事件“t8 且 mn32”的概率为142（2021海淀区模拟）一个盒中装有大小相同的 2 个黑球，2 个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为（）A37216B3772C29D2273（2020 春芝罘区校级期末）抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”，事件 B 表示“不小于 5 的点数出现”，则一次试验中，事件 A 或事件 B 至少有一个发生的概率为（）A23B13C12D564（2020梧州模拟）数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻
3、忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如 343、12521 等，两位数的回文数有 11、22、33、99 共 9 个，则三位数的回文数中为偶数的概率是（）A19B29C39D495（2021 秋芜湖期末）笼子中有 2 只鸡和 2 只兔，从中依次随机取出一只动物，直到 4 只动物全部取出 如果将两只兔子中的某一只起名为“长耳朵”，则“长耳朵”恰好是第 2 只被取出的动物的概率为（）A16B12C13D14 优秀教师推荐请联系小娜老师QQ:527120826数理化英一对一培优-组班团课提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826学科网（北京）股份有限公司6（2021 秋辽
4、宁期末）小方每次投篮的命中率为57，假设每次投篮相互独立，则他连续投篮 2 次，恰有 1次命中的概率为（）A2049B1049C2549D15497（2021 秋鹰潭期末）抛掷两枚硬币，若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为P1，P2，P3，则下列判断中错误的是（）AP1P2P3BP1+P2P3CP1+P2+P31DP32P12P28（2021 秋淄博期末）史记卷六十五孙子吴起列传第五中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马
5、只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场每场比赛中胜者得 1 分，否则得 0 分若每场比赛之前彼此不知道对方所用之马，则比赛结束时，齐王得 2 分的概率为（）A16B13C23D56二多选题（共二多选题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）（多选）9（2021 秋福州期末）某人有 6 把钥匙，其中 n 把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，设第二次才能开门的概率为 p，则下列结论正确的是（）A当 n1 时，=16B当 n2 时，=13C当 n3 时，=310D当 n4 时，=45（多选）10（2021 秋新余期末）甲袋中有 8 个白
6、球，4 个红球，乙袋中有 6 个白球，6 个红球，这些小球除颜色外完全相同从甲、乙两袋中各任取 1 个球，则下列结论正确的是（）A2 个球颜色相同的概率为12B2 个球不都是红球的概率为13C至少有 1 个红球的概率为23D2 个球中恰有 1 个红球的概率为12（多选）11（2021 秋玉溪期末）下列说法正确的有（）A某市大中小型超市分别有 20 家、40 家、140 家，现用分层抽样的方法从该市大中小型超市中抽取一 优秀教师推荐请联系小娜老师QQ:527120826数理化英一对一培优-组班团课提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826学科网（北京）股份有限公司个容量为 10
7、 的样本进行研究，应抽取中型超市 2 家B在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生的概率是 0.5C一组数据的标准差越小，该组数据离散程度越小，稳定性越好D在抛币试验中，试验次数从 1 增加到 10 的过程中，随机事件发生的频率越来越接近其概率（多选）12（2021 秋丹东期末）已知事件 A，B 相互独立，且 P（A）=13，P（B）=12，则（）AP（）=23B()=13CP（A+B）=23D(+)=12三填空题（共三填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13（2021 秋锦州期末）已知甲同学投篮的命中率为 0.6，若甲投篮两次（两次投篮命
8、中与否互不影响），则两次投篮至少投中一次的概率为14（2021定远县校级开学）甲和乙两个箱子各装有 10 个球，其中甲箱中有 5 个红球、5 个白球，乙箱中有 8 个红球、2 个白球掷一枚质地均匀的骰子，如果出现点数为 1 或 2，从甲箱子随机摸出一个球；如果点数为 3，4，5，6，从乙箱子随机摸出一个球则摸出红球的概率为15（2019 春沙坪坝区校级期末）一个袋子里装有大小形状完全相同的 5 个小球，其编号分别为 1，2，3，4，5，甲、乙两人进行取求，甲先从袋子中随机取出一个小球，若编号为 1，则停止取求；若编号不为 1，则将该球放回袋子中由乙随机取出 2 个小球后甲再从袋子中剩下的 3
9、个小球随机取出一个，然后停止取球，则甲能取到 1 号球的概率为16（2021 秋新高考月考）已知四个函数：yx，yx2，y2x，ylnx，从中任选 2 个，则事件“所选 2 个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为四四解答题（共解答题（共 6 小题，第小题，第 17 题题 10 分，第分，第 18-22 题每题题每题 12 分，共计分，共计 70 分）分）17（2021 秋玉林期末）同时掷两颗质地均匀的骰子（六个面分别标有数字 1，2，3，4，5，6 的正方体）（1）求两颗骰子向上的点数相等的概率；（2）求两颗骰子向上的点数不相等，且一个点数是另一个点数的整数倍的概率 优秀教师推荐请联系小娜老
10、师QQ:527120826数理化英一对一培优-组班团课提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826学科网（北京）股份有限公司18（2021 秋杨浦区校级期末）已知甲射击的命中率为 0.7乙射击的命中率为 0.8，甲、乙两人的射击互相独立求：（1）甲、乙两人同时击中目标的概率；（2）甲、乙两人中至少有一个人击中目标的概率；（3）甲、乙两人中恰有一人击中目标的概率19（2021 秋金山区期末）同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数（1）试表示“出现两个 1 点”这个事件相应的样本空间的子集；（2）求“出现两个 1 点”的概率；（3）求“点数之和为 7”的概率 优秀教师推荐请联系小娜老师Q
11、Q:527120826数理化英一对一培优-组班团课提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826学科网（北京）股份有限公司20（2018 秋东安区校级期末）已知射手甲射击一次，命中 9 环（含 9 环）以上的概率为 0.56，命中 8 环的概率为 0.22，命中 7 环的概率为 0.12（1）求甲射击一次，命中不足 8 环的概率；（2）求甲射击一次，至少命中 7 环的概率21（2021 秋玉溪期末）某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过”，并给予录取甲、乙两人在笔试中“通过”的概率依次为 0.5，0.6，
12、在面试中“通过”的概率依次为 0.4，0.3，笔试和面试是否“通过”是独立的，那么（1）甲、乙两人都参加此高校的自主招生考试，谁获得录取的可能性大？（2）甲、乙两人都参加此高校的自主招生考试，求恰有一人获得录取的概率 优秀教师推荐请联系小娜老师QQ:527120826数理化英一对一培优-组班团课提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826学科网（北京）股份有限公司22（2021 秋昌江区校级期末）第 32 届夏季奥林匹克运动会于 2021 年 7 月 23 日至 8 月 8 日在日本东京举办，某国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在某训练基地进行封闭式训练甲、乙两位队员进行对抗赛，
13、每局依次轮流发球，连续赢 2 个球者获胜通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为34，乙发球乙赢的概率为23，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球（1）求该局打 4 个球乙赢的概率；（2）求该局打 5 个球结束的概率 优秀教师推荐请联系小娜老师QQ:527120826数理化英一对一培优-组班团课提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826学科网（北京）股份有限公司答案解析答案解析一单选题（共一单选题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分）1（2021 春舒城县期末）连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为 m，n，记 tm+n，则下
14、列说法正确的是（）A事件“t12”的概率为121B事件“t 是奇数”与“mn”互为对立事件C事件“t2”与“t3”互为互斥事件D事件“t8 且 mn32”的概率为14【分析】计算出事件“t12”的概率可判断 A；根据对立事件的概念，可判断 B；根据互斥事件的概念，可判断 C；计算出事件“t8 且 mn32”的概率可判断 D；【解答】解：连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为 a，b，记 ta+b，则事件“t12”的概率为136，故 A 错误；事件“t 是奇数”与“mn”为互斥不对立事件，故 B 错误；事件“t2”与“t3”不是互斥事件，故 C 错误；事件“t8 且 mn32”共有 9 个
15、基本事件，故事件“t8 且 mn32”的概率为14，故 D 正确；故选：D2（2021海淀区模拟）一个盒中装有大小相同的 2 个黑球，2 个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为（）A37216B3772C29D227【分析】依题意，取球次数为 4 次，即前 3 次有两次取得黑球，一次取得白球，第四次取得白球因为先取黑球，再取白球时取球概率不变，但是先取白球再取黑球时取球概率发生改变，故前三次取球应分哪一次取得白球进行讨论【解答】解：依题意，取球次数为 4 次，即前 3 次有两次取得黑球，一次取得白球，第四次取得白球若
16、第一次取得白球，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为：P1=12(23)213=227，优秀教师推荐请联系小娜老师QQ:527120826数理化英一对一培优-组班团课提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826学科网（北京）股份有限公司若第二次取得白球，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为：P2=12122313=118，若第三次取得白球，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为：P3=(12)313=124，所以则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为 PP1+P2+P3=227+118+124=37216故选：A3（2020 春芝罘区校级期末）抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件 A
17、 表示“小于 5 的偶数点出现”，事件 B 表示“不小于 5 的点数出现”，则一次试验中，事件 A 或事件 B 至少有一个发生的概率为（）A23B13C12D56【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件 A 和事件 B 发生的概率，又通过列举可得事件 A 和事件 B为互斥事件，进而得出事件 A 或事件 B 至少有一个发生的概率即为事件 A 和事件 B 的概率之和【解答】解：事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”，事件 B 表示“不小于 5 的点数出现”，P（A）=26=13，P（B）=26=13，又小于 5 的偶数点有 2 和 4，不小于 5 的点数有 5 和 6，所以事件 A 和事件 B
18、为互斥事件，则一次试验中，事件 A 或事件 B 至少有一个发生的概率为P（AB）P（A）+P（B）=13+13=23，故选：A4（2020梧州模拟）数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如 343、12521 等，两位数的回文数有 11、22、33、99 共 9 个，则三位数的回文数中为偶数的概率是（）A19B29C39D49【分析】利用列举法列举出所有的三位回文数的个数，再列举出其中所有的偶数的个数，由此能求出结果【解答】解：三位数的回文数为 ABA，A 共有 1 到 9 共 9 种可能，即 1B1、2B2、3B3B 共有 0
19、到 9 共 10 种可能，即 A0A、A1A、A2A、A3A、共有 91090 个，其中偶数为 A 是偶数，共 4 种可能，即 2B2，4B4，6B6，8B8，优秀教师推荐请联系小娜老师QQ:527120826数理化英一对一培优-组班团课提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826学科网（北京）股份有限公司B 共有 0 到 9 共 10 种可能，即 A0A、A1A、A2A、A3A、其有 41040 个，三位数的回文数中，偶数的概率 P=4090=49；故选：D5（2021 秋芜湖期末）笼子中有 2 只鸡和 2 只兔，从中依次随机取出一只动物，直到 4 只动物全部取出 如果将两只
20、兔子中的某一只起名为“长耳朵”，则“长耳朵”恰好是第 2 只被取出的动物的概率为（）A16B12C13D14【分析】依据古典概型即可求得“长耳朵”恰好是第二只被取出的动物的概率【解答】解：把 2 只鸡记为 m，n，2 只兔子记为长耳朵 H，和短耳朵 h，则从笼中依次随机取出一只动物，直到 4 只全部取出，共有如下 24 种不同的取法，（m，n，H，h），（m，n，h，H）（m，H，n，h），（m，H，h，n），（m，h，H，n），（m，h，n，H），（n，m，H，h），（n，m，h，H），（n，H，m，h），（n，H，h，m），（n，h，m，H），（n，h，H，m），（H，m，n，h），（H，
21、m，h，n），（H，n，m，h），（H，n，h，m），（H，h，m，n），（H，h，n，m），（h，m，n，H），（h，m，H，n），（h，n，m，H），（h，n，H，m），（h，H，m，n），（h，H，n，m），其中“长耳朵“恰好是第 2 只被取出的动物，则共有 6 种取法，则“长耳朵”恰好是第 2 只被取出的动物的概率为624故选：D6（2021 秋辽宁期末）小方每次投篮的命中率为57，假设每次投篮相互独立，则他连续投篮 2 次，恰有 1次命中的概率为（）A2049B1049C2549D1549【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出结果【解答】解：小方每次投篮的命
22、中率为57，假设每次投篮相互独立，则他连续投篮 2 次，恰有 1 次命中的概率为：优秀教师推荐请联系小娜老师QQ:527120826数理化英一对一培优-组班团课提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826学科网（北京）股份有限公司P=57(1 57)+(1 57)57=2049故选：A7（2021 秋鹰潭期末）抛掷两枚硬币，若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为P1，P2，P3，则下列判断中错误的是（）AP1P2P3BP1+P2P3CP1+P2+P31DP32P12P2【分析】利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式直接求解【解答】解：抛掷两枚硬币，
23、记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为 P1，P2，P3，则 P1=1212=14，P2=1212=14，P3=1212+1212=12，P1P2P3，故 A 错误；P1+P2P3，故 B 正确；P1+P2+P31，故 C 正确；P32P12P2，故 D 正确故选：A8（2021 秋淄博期末）史记卷六十五孙子吴起列传第五中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场每场比赛中胜者得 1
24、分，否则得 0 分若每场比赛之前彼此不知道对方所用之马，则比赛结束时，齐王得 2 分的概率为（）A16B13C23D56【分析】设田忌的上等马、中等马、下等马分别为 A，B，C，齐王的上等马、中等马、下等马分别为 a，b，c，列举出所有可能的基本事件，进而求出齐王得 2 分的基本事件，再利用古典概型的概率公式即可求出结果【解答】解：设田忌的上等马、中等马、下等马分别为 A，B，C，齐王的上等马、中等马、下等马分别为 a，b，c，所有的基本事件有 6 种，分别为（Aa，Bb，Cc），（Aa，Bc，Cb），（Ab，BaCc），（Aa，Bc，Ca），优秀教师推荐请联系小娜老师QQ:527120826
25、数理化英一对一培优-组班团课提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826学科网（北京）股份有限公司（Ac，Bb，Ca），（Ac，Ba，Cb），比赛结束时，齐王得 2 分的基本事件为（Aa，Bc，Cb），（Aa，Bc，Ca），（Ac，Bb，Ca），（Ac，Ba，Cb），共 4 种，所以所求概率 P=46=23，故选：C二多选题（共二多选题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）（多选）9（2021 秋福州期末）某人有 6 把钥匙，其中 n 把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，设第二次才能开门的概率为 p，则下列结论正确的是（
26、）A当 n1 时，=16B当 n2 时，=13C当 n3 时，=310D当 n4 时，=45【分析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解【解答】解：某人有 6 把钥匙，其中 n 把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，设第二次才能开门的概率为 p，对于 A，当 n1 时，P=5615=16，故 A 正确；对于 B，当 n2 时，P=4625=415，故 B 错误；对于 C，当 n3 时，P=3635=310，故 C 正确；对于 D，当 n4 时，P=2645=415，故 D 错误故选：AC（多选）10（2021 秋新余期末）甲袋中有 8 个白球，4 个红球，乙袋中有 6
27、 个白球，6 个红球，这些小球除颜色外完全相同从甲、乙两袋中各任取 1 个球，则下列结论正确的是（）A2 个球颜色相同的概率为12B2 个球不都是红球的概率为13C至少有 1 个红球的概率为23 优秀教师推荐请联系小娜老师QQ:527120826数理化英一对一培优-组班团课提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826学科网（北京）股份有限公司D2 个球中恰有 1 个红球的概率为12【分析】利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式直接求解【解答】解：甲袋中有 8 个白球，4 个红球，乙袋中有 6 个白球，6 个红球，这些小球除颜色外完全相同从甲、乙两袋中各任取 1 个球
28、，对于 A，2 个球颜色相同的概率为 P=812612+412612=12，故 A 正确；对于 B，2 个球不都是红球的概率为 P1412612=56，故 B 错误；对于 C，至少有 1 个红球的概率为 P1812612=23，故 C 正确；对于 D，2 个球中恰有 1 个红球的概率为 P=812612+412612=12，故 D 正确故选：ACD（多选）11（2021 秋玉溪期末）下列说法正确的有（）A某市大中小型超市分别有 20 家、40 家、140 家，现用分层抽样的方法从该市大中小型超市中抽取一个容量为 10 的样本进行研究，应抽取中型超市 2 家B在一次试验中，随机事件可能发生也可能
29、不发生，所以事件发生的概率是 0.5C一组数据的标准差越小，该组数据离散程度越小，稳定性越好D在抛币试验中，试验次数从 1 增加到 10 的过程中，随机事件发生的频率越来越接近其概率【分析】利用分层抽样判断 A；利用概率的定义判断 BD；利用标准差定义判断 C【解答】对于 A，某市大中小型超市分别有 20 家、40 家、140 家，现用分层抽样的方法从该市大中小型超市中抽取一个容量为 10 的样本进行研究，应抽取中型超市 104020+40+140=2 家，故 A 正确；对于 B，在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生的概率的取值范围是0，1；对于 C，由标准差的定义得：一组
30、数据的标准差越小，该组数据离散程度越小，稳定性越好，故 C 正确；对于 D，在抛币试验中，试验次数相当大时，随机事件发生的频率越来越接近其概率，故 D 错误故选：AC（多选）12（2021 秋丹东期末）已知事件 A，B 相互独立，且 P（A）=13，P（B）=12，则（）AP（）=23B()=13 优秀教师推荐请联系小娜老师QQ:527120826数理化英一对一培优-组班团课提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826学科网（北京）股份有限公司CP（A+B）=23D(+)=12【分析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解【解答】解：事件 A，B 相互独立，且 P（A）=13，P
31、（B）=12，对于 A，P（）1P（A）113=23，故 A 正确；对于 B，P（A）P（A）P（）=13(1 12)=16，故 B 错误；对于 C，P（A+B）P（A）+P（B）P（AB）=13+121312=23，故 C 正确；对于 D，P（+）P（A）+P（）P（）=1312+231213122312=49，故 D 错误故选：AC三填空题（共三填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13（2021 秋锦州期末）已知甲同学投篮的命中率为 0.6，若甲投篮两次（两次投篮命中与否互不影响），则两次投篮至少投中一次的概率为【分析】两次投篮至少投中一次的对立事件为
32、两次投篮均没有投中，由此能求出两次投篮至少投中一次的概率【解答】解：甲同学投篮的命中率为 0.6，甲投篮两次（两次投篮命中与否互不影响），两次投篮至少投中一次的对立事件为两次投篮均没有投中，两次投篮至少投中一次的概率为：P1（10.6）（10.6）0.84故答案为：0.8414（2021定远县校级开学）甲和乙两个箱子各装有 10 个球，其中甲箱中有 5 个红球、5 个白球，乙箱中有 8 个红球、2 个白球掷一枚质地均匀的骰子，如果出现点数为 1 或 2，从甲箱子随机摸出一个球；如果点数为 3，4，5，6，从乙箱子随机摸出一个球则摸出红球的概率为0.7【分析】摸出红球有两种情况，第一种：从甲箱中
33、摸出红球，第二种：从乙箱中摸出红球，两种情况概率相加即可求解【解答】解：由题可知，摸出红球有两种情况，第一种：从甲箱中摸出红球，概率为51026=16，优秀教师推荐请联系小娜老师QQ:527120826数理化英一对一培优-组班团课提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826学科网（北京）股份有限公司第二种：从乙箱中摸出红球，概率为81046=815，所以摸出红球的概率为16+815=0.7，故答案为：0.715（2019 春沙坪坝区校级期末）一个袋子里装有大小形状完全相同的 5 个小球，其编号分别为 1，2，3，4，5，甲、乙两人进行取求，甲先从袋子中随机取出一个小球，若编号为
34、 1，则停止取求；若编号不为 1，则将该球放回袋子中由乙随机取出 2 个小球后甲再从袋子中剩下的 3 个小球随机取出一个，然后停止取球，则甲能取到 1 号球的概率为925【分析】甲先从袋子中随机取出一个小球，若编号为 1，则停止取球，则甲能取到 1 号球的概率为 P1=15，若编号不为 1，则将该球放回袋子中由乙随机取出 2 个小球后甲再从袋子中剩下的 3 个小球随机取出一个，然后停止取球，则甲能取到 1 号球的概率为 P2=4561013=425，由此能求出甲能取到 1 号球的概率【解答】解：一个袋子里装有大小形状完全相同的 5 个小球，其编号分别为 1，2，3，4，5，甲、乙两人进行取球，
35、甲先从袋子中随机取出一个小球，若编号为 1，则停止取球，则甲能取到 1 号球的概率为 P1=15，若编号不为 1，则将该球放回袋子中由乙随机取出 2 个小球后甲再从袋子中剩下的 3 个小球随机取出一个，然后停止取球，则甲能取到 1 号球的概率为 P2=4561013=425，甲能取到 1 号球的概率为：PP1+P2=15+425=925故答案为：92516（2021 秋新高考月考）已知四个函数：yx，yx2，y2x，ylnx，从中任选 2 个，则事件“所选 2 个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为【分析】分别把四个函数的图像画出，数形结合得到符合图像有且仅有一个交点的情况，进而求出相应的概
36、率 优秀教师推荐请联系小娜老师QQ:527120826数理化英一对一培优-组班团课提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826学科网（北京）股份有限公司【解答】解：选时，画出两个函数的图像，如下图，可以看出有两个公共点，不符合要求；选时，画出两个函数的图像，如下图，有且只有一个公共点，符合要求；选时，画出两个函数的图像，有且只有一个公共点，符合要求；优秀教师推荐请联系小娜老师QQ:527120826数理化英一对一培优-组班团课提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826学科网（北京）股份有限公司选时，画出两个函数的图像，如下图，有两个公共点，不符合要求；选时，画
37、出两个函数的图像，没有交点，不符合题意；选时，画出两个函数的图像，如下图，无有交点，不符合题意，优秀教师推荐请联系小娜老师QQ:527120826数理化英一对一培优-组班团课提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826学科网（北京）股份有限公司综上，一共有 6 种情况，其中 2 种满足要求，故所求事件事件为 P=26=13故答案为：13五五解答题（共解答题（共 6 小题，第小题，第 17 题题 10 分，第分，第 18-22 题每题题每题 12 分，共计分，共计 70 分）分）17（2021 秋玉林期末）同时掷两颗质地均匀的骰子（六个面分别标有数字 1，2，3，4，5，6 的正
38、方体）（1）求两颗骰子向上的点数相等的概率；（2）求两颗骰子向上的点数不相等，且一个点数是另一个点数的整数倍的概率【分析】（1）根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解（2）根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解【解答】解：（1）同时掷两颗骰子包括的基本事件共 36 种，掷两颗骰子向上的点数相等包括的基本事件为 6 种，故所求的概率为636=16（2）两颗骰子向上的点数不相等，且一个点数是另一个点数的倍数时，用坐标记为（2，4），（4，2），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（1，4），（4，1），（5，1），（1，5），（1，6），（6，1），（2，6），（6，2
39、），（3，6），（6，3），共包括 16 个基本事件，故两颗骰子向上的点数不相等，且一个点数是另一个点数的倍数的概率为1636=4918（2021 秋杨浦区校级期末）已知甲射击的命中率为 0.7乙射击的命中率为 0.8，甲、乙两人的射击互相独立求：（1）甲、乙两人同时击中目标的概率；（2）甲、乙两人中至少有一个人击中目标的概率；（3）甲、乙两人中恰有一人击中目标的概率【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙两人同时击中目标的概率；（2）利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙两人中至少有一个人击中目标的概率（3）利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法
40、公式能求出甲、乙两人中恰有一人击中目标的概率【解答】解：（1）甲射击的命中率为 0.7乙射击的命中率为 0.8，甲、乙两人的射击互相独立，设事件 A 表示“甲命中”，事件 B 表示”乙命中“，优秀教师推荐请联系小娜老师QQ:527120826数理化英一对一培优-组班团课提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826学科网（北京）股份有限公司P（A）0.7，P（B）0.8，则甲、乙两人同时击中目标的概率为：P（AB）P（A）P（B）0.70.80.56；（2）甲、乙两人中至少有一个人击中目标的对立事件是甲、乙都没有击中目标，甲、乙两人中至少有一个人击中目标的概率为：P（AB）1P（
41、）1（10.7）（10.8）0.94（3）甲、乙两人中恰有一人击中目标的概率为：P（A+）P（A）+P（）0.7（10.8）+（10.7）0.80.3819（2021 秋金山区期末）同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数（1）试表示“出现两个 1 点”这个事件相应的样本空间的子集；（2）求“出现两个 1 点”的概率；（3）求“点数之和为 7”的概率【分析】“同时抛掷两颗骰子”的样本空间是：（i，j）|i1，2，6；j1，2，6，其中i、j 分别是抛掷第一颗与第二颗骰子所得的点数（1）将“出现两个 1 点”这个事件用 A 表示，利用列举法能求出子集（2）样本空间一共有 6636 个基本事件，它们是等可
42、能的，由此能求出“出现两个 1 点”的概率（3）将“点数之和为 7”这个事件用 B 表示，利用列举法求出事件 B 共有 6 个基本事件，从而能求出“点数之和为 7”的概率【解答】解：“同时抛掷两颗骰子”的样本空间是：（i，j）|i1，2，6；j1，2，6，其中 i、j 分别是抛掷第一颗与第二颗骰子所得的点数（1）将“出现两个 1 点”这个事件用 A 表示，则事件 A 就是子集（1，1）（2）样本空间一共有 6636 个基本事件，它们是等可能的，从而“出现两个 1 点”的概率为()=136（3）将“点数之和为 7”这个事件用 B 表示，则 B（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，
43、2），（6，1），事件 B 共有 6 个基本事件，从而“点数之和为 7”的概率为()=636=1620（2018 秋东安区校级期末）已知射手甲射击一次，命中 9 环（含 9 环）以上的概率为 0.56，命中 8 环的概率为 0.22，命中 7 环的概率为 0.12 优秀教师推荐请联系小娜老师QQ:527120826数理化英一对一培优-组班团课提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826学科网（北京）股份有限公司（1）求甲射击一次，命中不足 8 环的概率；（2）求甲射击一次，至少命中 7 环的概率【分析】记“甲射击一次，命中 7 环以下”为事件 A，“甲射击一次，命中 7 环”为
44、事件 B，由于在一次射击中，A 与 B 不可能同时发生，故 A 与 B 是互斥事件（1）“甲射击一次，命中不足 8 环”的事件为 A+B，由互斥事件的概率加法公式，能求出甲射击一次，命中不足 8 环的概率（2）方法 1：记“甲射击一次，命中 8 环”为事件 C，“甲射击一次，命中 9 环（含 9 环）以上”为事件 D，则“甲射击一次，至少命中 7 环”的事件为 B+C+D，由此能求出甲射击一次，至少命中 7 环的概率方法 2：“甲射击一次，至少命中 7 环”为事件，由对立事件的概率求法能求出甲射击一次，至少命中7 环的概率【解答】解：记“甲射击一次，命中 7 环以下”为事件 A，则 P（A）1
45、0.560.220.120.1，“甲射击一次，命中 7 环”为事件 B，则 P（B）0.12，由于在一次射击中，A 与 B 不可能同时发生，故 A 与 B 是互斥事件，（1）“甲射击一次，命中不足 8 环”的事件为 A+B，由互斥事件的概率加法公式，P（A+B）P（A）+P（B）0.1+0.120.22答：甲射击一次，命中不足 8 环的概率是 0.22（2）方法 1：记“甲射击一次，命中 8 环”为事件 C，“甲射击一次，命中 9 环（含 9 环）以上”为事件 D，则“甲射击一次，至少命中 7 环”的事件为 B+C+D，P（B+C+D）P（B）+P（C）+P（D）0.12+0.22+0.560
46、.9答：甲射击一次，至少命中 7 环的概率为 0.9方法 2：“甲射击一次，至少命中 7 环”为事件，()=1 ()=10.10.9答：甲射击一次，至少命中 7 环的概率为 0.921（2021 秋玉溪期末）某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过”，并给予录取甲、乙两人在笔试中“通过”的概率依次为 0.5，0.6，在面试中“通过”的概率依次为 0.4，0.3，笔试和面试是否“通过”是独立的，那么 优秀教师推荐请联系小娜老师QQ:527120826数理化英一对一培优-组班团课提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：52
47、7120826学科网（北京）股份有限公司（1）甲、乙两人都参加此高校的自主招生考试，谁获得录取的可能性大？（2）甲、乙两人都参加此高校的自主招生考试，求恰有一人获得录取的概率【分析】（1）由相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式分别计算甲乙两人被录取的概率，再求解即可；（2）由相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式求解即可【解答】解：（1）记“甲通过笔试”为事件 A1，“甲通过面试”为事件 A2，“甲获得录取”为事件 A，“乙通过笔试”为事件 B1，“乙通过面试”为事件 B2，“乙获得录取”为事件 B，则 P（A）P（A1）P（A2）0.50.40.2，P（B）P（B1）P（B2）0.60
48、.30.18，从而 P（A）P（B），所以甲获得录取的可能性大；（2）记“甲乙两人恰有一人获得录取”为事件 C，则()=()+()=()()+()()=0.20.82+0.80.180.30822（2021 秋昌江区校级期末）第 32 届夏季奥林匹克运动会于 2021 年 7 月 23 日至 8 月 8 日在日本东京举办，某国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在某训练基地进行封闭式训练甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢 2 个球者获胜通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为34，乙发球乙赢的概率为23，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球（1）求该局打 4 个球乙赢的
49、概率；（2）求该局打 5 个球结束的概率【分析】（1）设乙发球乙赢为事件 A，甲发球乙赢为事件 B，分析这 4 个球的发球及输赢情况，能得到所求事件的构成，利用相互独立事件概率乘法公式能求出该局打 4 个球乙赢的概率；（2）先把所求事件分成乙赢和甲赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式能求出该局打 5 个球结束的概率【解答】解：（1）设乙发球乙赢为事件 A，甲发球乙赢为事件 B，该局打 4 个球乙赢为事件 C，由题意得 P（A）=23，P（B）=14，P（C）P（BBA）=14(1 23)1423=172，该局打 4 个球乙赢的概率为172（2）设该局打
50、 5 个球结束甲赢为事件 D，乙赢为事件 E，打 5 个球结束为事件 F，优秀教师推荐请联系小娜老师QQ:527120826数理化英一对一培优-组班团课提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826学科网（北京）股份有限公司D，E 是互斥事件，D=，FDE，P（D）=14(1 23)14(1 23)(1 14)=1192，P（E）（114）23（114）2314=116，P（F）P（DE）P（D）+P（E）=1192+116=13192，该局打 5 个球结束的概率为13192 优秀教师推荐请联系小娜老师QQ:527120826数理化英一对一培优-组班团课提优-优秀教师推荐，可与小