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1、数值计算方法试题集及答案(-)-2 作者：日期：3 计算方法期中复习试题 一、填空题：1、已 知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(f f f，则 用 辛 普 生（辛 卜 生）公 式 计 算 求 得31_)(dx x f,用三点式求得)1(f。答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(f f f，则过这三点的二次插值多项式中2x的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2 x x x x x x x L 3、近似值*0.231 x 关于真值229.0 x有(2)位有效数字；4、设)(x f可微,求方程)(x f x 的牛
2、顿迭代格式是()；答案)(1)(1nn nn nx fx f xx x 5、对1)(3 x x x f,差商 3,2,1,0 f(1),4,3,2,1,0 f(0)；6、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；7、用二分法求非线性方程 f(x)=0 在区间(a,b)内的根时，二分 n 次后的误差限为(12na b)；8、已知 f(1)2，f(2)3，f(4)5.9，则二次 Newton 插值多项式中 x2系数为(0.15)；11、两点式高斯型求积公式10d)(x x f(10)3 21 3()3 21 3(21d)(f f x x f)，代数精度为(5)；12、为了使计算 3 2)1(6)
3、1(41310 x xxy 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 11,)6 4(3(10 xt t t t y，为了减少舍入误差，应将表达式 4 1999 2001 改写为 1999 20012。13、用二分法求方程0 1)(3 x x x f在区间 0,1 内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75。14、计算积分15.0dx x,取 4 位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268，用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309，梯形公式的代数精度为 1，辛卜生公式的代数精度为 3。15、设46)2(,16)1(,0)0(f f
4、f,则)(1x l)2()(1 x x x l，)(x f的二次牛顿插值多项式为)1(7 16)(2 x x x x N。16、求积公式baknkkx f A x x f)(d)(0的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有(1 2 n)次代数精度。17、已知 f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求积公式求51d)(x x f(12)。18、设 f(1)=1，f(2)=2，f(3)=0，用三点式求)1(f(2.5)。19、如果用二分法求方程0 43 x x在区间 2,1 内的根精确到三位小数，需对分（10）次。20、已知 3 1)1()1()1(211 0)(2 33x c x
5、 b x a xx xx S是三次样条函数，则 a=(3)，b=（3），c=（1）。21、)(,),(),(1 0 x l x l x ln是以整数点nx x x,1 0为节点的 Lagrange 插值基函数，则 nkkx l0)(1)，nkk j kx l x0)(jx)，当2 n时)()3(204x l x xk knkk(32 4 x x)。22、区间 b a,上的三次样条插值函数)(x S在 b a,上具有直到 _2_阶的连续导数。23、改 变 函 数f x x x()1(x 1)的 形 式，使 计 算 结 果 较 精 确 x xx f 11。5 24、若用二分法求方程 0 x f在区
6、间 1,2 内的根，要求精确到第 3 位小数，则需要对分 10 次。25、设 2 1,1 0,22 33x c bx ax xx xx S是 3 次样条函数，则 a=3,b=-3,c=1。26、若用复化梯形公式计算10dx ex，要求误差不超过610，利用余项公式估计，至少用 477 个求积节点。27、若43 2 1()f x x x，则差商2 4 8 16 32,f 3。28、数 值 积 分 公 式1121 8 0 19()()()()f x dx f f f 的 代 数 精 度 为 2。选择题 1、三点的高斯求积公式的代数精度为(B)。A 2 B 5 C 3 D 4 2、舍入误差是(A)产
7、生的误差。A.只取有限位数 B模型准确值与用数值方法求得的准确值 C 观察与测量 D数学模型准确值与实际值 3、3.141580 是的有(B)位有效数字的近似值。A 6 B 5 C 4 D 7 4、用 1+x 近似表示 ex所产生的误差是(C)误差。A 模型 B 观测 C 截断 D 舍入 5、用 1+3x近似表示31 x 所产生的误差是(D)误差。A 舍入 B 观测 C 模型 D 截断 6、-324 7500 是舍入得到的近似值，它有(C)位有效数字。A 5 B 6 C 7 D 8 7、设 f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,则抛物插值多项式中 x2的系数为(A)。A 0 5 B 0
8、5 C 2 D-2 8、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C)。A 3 B 4 C 5 D 2 9、(D)的 3 位有效数字是 0.236 102。(A)0.0023549 103(B)2354.82 10 2(C)235.418(D)235.54 10 1 6 10、用简单迭代法求方程 f(x)=0 的实根，把方程 f(x)=0 表示成 x=(x)，则 f(x)=0 的根是(B)。(A)y=(x)与 x 轴交点的横坐标(B)y=x 与 y=(x)交点的横坐标(C)y=x 与 x 轴的交点的横坐标(D)y=x 与 y=(x)的交点 11、拉格朗日插值多项式的余项是(B),牛顿插值多项式的余项是
9、(C)。(A)f(x,x0,x1,x2,xn)(x x1)(x x2)(x xn 1)(x xn)，(B)!1()()()()()1(nfx P x f x Rnn n(C)f(x,x0,x1,x2,xn)(x x0)(x x1)(x x2)(x xn 1)(x xn)，(D)()!1()()()()(1)1(xnfx P x f x Rnnn n 12、用牛顿切线法解方程 f(x)=0，选初始值 x0 满足(A),则它的解数列 xnn=0,1,2,一定收敛到方程 f(x)=0 的根。0)()()D(0)()()C(0)()()B(0)()()A(0 0 0 0 x f x f x f x f
10、 x f x f x f x f 13、为求方程 x3 x2 1=0 在区间 1.3,1.6 内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A)。(A)11:,1112kkxxxx 迭代公式(B)21211:,11kkxxxx 迭代公式(C)3/1 212 3)1(:,1k kx x x x 迭代公式(D)11:,12212 3 k kkkx xxx x x 迭代公式 14、在牛顿-柯特斯求积公式：baniinix f C a b dx x f0)()()()(中，当系数)(niC是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用
11、。（1）8 n，（2）7 n，（3）10 n，（4）6 n，23、有下列数表 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 f(x)-2-1.75-1 0.25 2 4.25 所确定的插值多项式的次数是（）。7（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次 15、取3 1 732.计算43 1()x，下列方法中哪种最好？（）(A)28 16 3；(B)24 2 3()；(C)2164 2 3()；(D)4163 1()。26、已 知330 22 1 2 2 4()()()x xS xx a x b x 是 三 次 样 条 函 数，则,a b的 值 为()(A)6，6；(B)6，8；(C)8，6；(D
12、)8，8。16、由下列数表进行 Newton 插值，所确定的插值多项式的最高次数是（）ix 1.5 2.5 3.5()if x-1 0.5 2.5 5.0 8.0 11.5(A)5；(B)4；(C)3；(D)2。17、形如1 1 2 2 3 3()()()()baf x dx A f x A f x A f x 的高斯（Gauss）型求积公式的代数精度为（）(A)9；(B)7；(C)5；(D)3。18、计算3的 Newton 迭代格式为()(A)132kkkxxx；(B)132 2kkkxxx；(C)122kkkxxx；(D)133kkkxxx。19、用二分法求方程3 24 10 0 x x
13、在区间1 2,内的实根，要求误差限为31102，则对分次数至少为()(A)10；(B)12；(C)8；(D)9。20、设()il x是以0 1 9(,)kx k k L为节点的 Lagrange 插值基函数，则90()ikkl k()(A)x；（B）k；（C）i；（D）1。33、5 个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有()次代数精度(A)5；(B)4；(C)6；(D)3。21、已知330 22 1 2 2 4()()()x xS xx a x b x 是三次样条函数，则,a b的值为()(A)6，6；(B)6，8；(C)8，6；(D)8，8。35、已知方程32 5 0 x x 在2 x 附近
14、有根，下列迭代格式中在02 x 不收敛的是()(A)312 5k kx x；(B)152kkxx；(C)315k k kx x x；(D)31 22 53 2kkkxxx。22、由下列数据 x 0 1 2 3 4()f x 1 2 4 3-5 确定的唯一插值多项式的次数为()8(A)4；(B)2；(C)1；(D)3。23、5 个节点的 Gauss 型求积公式的最高代数精度为()(A)8；(B)9；(C)10；(D)11。三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打，否则打）1、已知观察值)2 1 0()(m i y xi i，,用最小二乘法求 n 次拟合多项式)(x Pn时，)(x Pn的次数 n
15、可以任意取。()2、用 1-22 x近似表示 cosx 产生舍入误差。()3、)()(2 1 0 12 0 x x x xx x x x 表示在节点 x1的二次(拉格朗日)插值基函数。()4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。()5、矩阵 A=5 2 13 5 21 1 3具有严格对角占优。()四、计算题：1、求 A、B 使求积公式 11)21()21()1()1()(f f B f f A dx x f的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求211dxxI(保留四位小数)。答案：2,1)(x x x f 是精确成立，即 322122 2 2B A
16、B A 得98,91 B A 求积公式为)21()21(98)1()1(91)(11f f f f dx x f 当3)(x x f 时，公式显然精确成立；当4)(x x f 时，左=52，右=31。所以代数精度为 3。9 69286.0140973 2 113 2/11983 113 119131 1113 221 dttdxxx t 2、已知 ix 1 3 4 5)(ix f 2 6 5 4 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f的三次插值多项式)(3x P，并求)2(f的近似值（保留四位小数）。答案：)5 3)(4 3)(1 3()5)(4)(1(6)5 1)(4 1)(3 1()
17、5)(4)(3(2)(3 x x x x x xx L)4 5)(3 5)(1 5()4)(3)(1(4)5 4)(3 4)(1 4()5)(3)(1(5 x x x x x x 差商表为 ix iy 一阶均差 二阶均差 三阶均差 1 2 3 6 2 4 5-1-1 5 4-1 0 4 1)4)(3)(1(41)3)(1()1(2 2)()(3 3 x x x x x x x N x P 5.5)2()2(3 P f 5、已知 ix-2-1 0 1 2)(ix f 4 2 1 3 5 求)(x f的二次拟合曲线)(2x p，并求)0(f的近似值。答案：解：i ix iy 2ix 3ix 4ix
18、 i iy x i iy x2 10 0-2 4 4-8 16-8 16 1-1 2 1-1 1-2 2 2 0 1 0 0 0 0 0 3 1 3 1 1 1 3 3 4 2 5 4 8 16 10 20 0 15 10 0 34 3 41 正规方程组为 41 34 103 1015 10 52 012 0a aaa a 1411,103,7102 1 0 a a a 221411103710)(x x x p x x p711103)(2 103)0()0(2p f 6、已知x sin区间 0.4，0.8的函数表 ix 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 iy 0.38942 0.47
19、943 0.56464 0.64422 0.71736 如用二次插值求63891.0 sin的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差|)(|!3|)(|332xMx R 尽量小，即应使|)(|3x 尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点 7.0,6.0,5.0 最好，实际计算结果 596274.0 63891.0sin，且 410 55032.0)7.0 63891.0)(6.0 9 63891.0)(5.0 63891.0(!31596274.0 63891.0sin 11 7、构造求解方程0 2 10 x ex的根的迭代格式,2,1,
20、0),(1 n x xn n，讨论其收敛性，并将根求出来，4110|n nx x。答案：解：令 0 10)1(,0 2)0(,2 10 e)(e f f x x fx.且0 10 e)(xx f)(，对 x，故0)(x f在(0,1)内有唯一实根.将方程0)(x f变形为)e 2(101xx 则当)1,0(x时)e 2(101)(xx，110e10e|)(|xx 故迭代格式)e 2(1011nxnx 收敛。取5.00 x，计算结果列表如下：n 0 1 2 3 nx 0.5 0.035 127 872 0.096 424 785 0.089 877 325 n 4 5 6 7 nx 0.090
21、595 993 0.090 517 340 0.090 525 950 0.090 525 008 且满足 66 710 95 000 000.0|x x.所以008 525 090.0*x.10、已知下列实验数据 xi 1.36 1.95 2.16 f(xi)16.844 17.378 18.435 试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。解：当 0 x1 时，)(x fex，则 e)(x f，且x xd e10有一位整数.要求近似值有 5 位有效数字，只须误差 4)(11021)(f Rn.12 由)(12)()(23)(1 fna bf Rn，只要 42 2)(1102112e12e)
22、e(n nRx n 即可，解得 30877.67 106e2n 所以 68 n，因此至少需将 0,1 68 等份。12、取节点1,5.0,02 1 0 x x x,求函数xx f e)(在区间 0,1 上的二次插值多项式)(2x P,并估计误差。解：)1 5.0)(0 5.0()1)(0()1 0)(5.0 0()1)(5.0()(5.0 02 x xex xe x P)5.0(2)1(4)1)(5.0(2)5.0 1)(0 1()5.0)(0(1 5.01 x x e x x e x xx xe 又 1|)(|max,)(,)(1,0 3 x f M e x f e x fxx x 故截断误
23、差|)1)(5.0(|!31|)(|)(|2 2 x x x x P e x Rx。14、给定方程0 1 e)1()(xx x f 1)分析该方程存在几个根；2)用迭代法求出这些根，精确到 5 位有效数字；3)说明所用的迭代格式是收敛的。解：1）将方程 0 1 e)1(xx（1）改写为 xx e 1（2）作函数1)(1 x x f，xx f e)(2的图形（略）知（2）有唯一根)2,1(*x。2)将方程（2）改写为 xx e 1 13 构造迭代格式 5.1e 101xxkxk),2,1,0(k 计算结果列表如下：k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 xk 1.22313 1.29431 1.
24、27409 1.27969 1.27812 1.27856 1.27844 1.27847 1.27846 3)xx e 1)(，xx e)(当 2,1 x时，2,1)1(),2()(x，且 1 e|)(|1 x 所以迭代格式),2,1,0()(1 k x xk k对任意 2,1 0 x均收敛。15、用牛顿(切线)法求3的近似值。取 x0=1.7,计算三次，保留五位小数。解：3是0 3)(2 x x f的正根，x x f 2)(，牛顿迭代公式为 nnn nxxx x2321，即),2,1,0(2321 nxxxnnn 取 x0=1.7,列表如下：n 1 2 3 nx 1.73235 1.732
25、05 1.73205 16、已知 f(-1)=2，f(1)=3，f(2)=-4，求拉格朗日插值多项式)(2x L及 f(1，5)的近似值，取五位小数。解：)1 2)(1 2()1)(1(4)2 1)(1 1()2)(1(3)2 1)(1 1()2)(1(2)(2 x x x x x xx L)1)(1(34)2)(1(23)2)(1(32 x x x x x x 04167.0241)5.1()5.1(2 L f 17、n=3,用复合梯形公式求xxd e10的近似值（取四位小数）,并求误差估计。解：7342.1 e)e e(2 e 3 20 1d e1 3 2 3 1 0310 T xx x
26、xx f x f e)(,e)(，1 0 x时，e|)(|x f 14 05.0 025.0108e3 12e|e|23 T Rx 至少有两位有效数字。20、（8 分）用最小二乘法求形如2bx a y 的经验公式拟合以下数据：ix 19 25 30 38 iy 19.0 32.3 49.0 73.3 解：,1 2x span 2 2 2 238 31 25 191 1 1 1TA 3.73 0.49 3.32 0.19 Ty 解方程组 y A AC AT T 其中 3529603 33913391 4A AT 7.1799806.173y AT 解得：0501025.09255577.0C 所
27、以 9255577.0 a，0501025.0 b 21、（15 分）用8 n的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算dx ex 10时，试用余项估计其误差。用8 n的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。解：001302.0768181121)(12 022 e f ha bf RT)()(2)(2)8(71 kkb f x f a fhT 36787947.0)41686207.0 47236655.0 5352614.060653066.0 7788008.0 8824969.0(2 1 161 6329434.0 22、（15 分）方程0 13 x
28、 x在5.1 x附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）3 1 x x对应迭代格式311 n nx x；(2)xx11 对应迭代格式nnxx111；（3）13 x x对应迭代格式131 n nx x。判断迭代格式在5.10 x的收敛性，选一种收敛格式计算5.1 x附近的根，精确到小数点后第三位。解：（1）321(31)(）x x，1 18.0 5.1）（，故收敛；15（2）xxx11 21)(2，1 17.0 5.1）（，故收敛；（3）23)(x x，1 5.1 3 5.12）（，故发散。选择（1）：5.10 x，3572.11 x，3309.12 x，3259.13 x，3249.14
29、x，32476.15 x，32472.16 x 25、数值积分公式形如 10)1()0()1()0()()(f D f C Bf Af x S dx x xf试确定参数D C B A,使公式代数精度尽量高；（2）设 1,0)(4C x f，推导余项公式 10)()()(x S dx x xf x R，并估计误差。解：将3 2,1)(x x x x f 分布代入公式得：201,301,207,203 D B B A 构造 Hermite 插值多项式)(3x H满足1,0)()()()(33i x f x Hx f x Hi ii i其中1,01 0 x x 则有：103)()(x S dx x
30、xH，2 2)4(3)1(!4)()()(x xfx H x f dx x xfdx x S x f x x R2103)4(10)1(!4)()()()(1440)(60!4)()1(!4)()4()4(102 3)4(f fdx x xf 27、（10 分）已知数值积分公式为：)()0()()0(2)(20h f f h h f fhdx x fh，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：1)(x f显然精确成立；x x f)(时，1 1 0 2 2220 h hh hxdxh；2)(x x f 时，12122 2 0 0 2 332 2302 hhh
31、h hh hdx xh；3)(x x f 时，3 0 121 0 2 42 2 3403h h hh hdx xh；4)(x x f 时，6 4 0 121 0 2 553 2 4504hh h hh hdx xh；所以，其代数精确度为 3。16 28、（8 分）已知求)0(a a的迭代公式为：2,1,0 0)(210 1 k xxax xkk k 证明：对一切a x kk,2,1，且序列 kx是单调递减的，从而迭代过程收敛。证明：2,1,0 221)(211 k axaxxax xkkkk k 故对一切a x kk,2,1。又1)1 1(21)1(2121 k kkxaxx 所以k kx x
32、 1，即序列 kx是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。29、（9 分）数值求积公式 30)2()1(23)(f f dx x f是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？解：是。因为)(x f在基点 1、2 处的插值多项式为)2(1 21)1(2 12)(fxfxx p 30)2()1(23)(f f dx x p。其代数精度为 1。30、(6 分)写出求方程 1 cos 4 x x在区间 0,1 的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(6 分)n n nx x x cos 1411，n=0,1,2,141sin41 x x 对任意的初值 1,0 0 x,迭代公式都收敛。31、(12 分
33、)以 100,121,144 为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。用 Newton 插值方法：差分表：100 121 144 10 11 12 0.0476190 0.0434783-0.0000941136 11510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)17=10.7227555 2583 x x f 00163.0 29 6 15 1008361144 115 121 115 100 115!3 25 fR 32、(10 分)用复化 Simpson 公式计算积分 10sindxxxI的近似值，要求误差限
34、为510 5.0。0.94614588 1214 0611 f f f S 0.94608693 1434212414 01212 f f f f f S 5-1 2 210 93 3.0151 S S S I 94608693.02 S I 或利用余项：!9!7!5!31sin8 6 4 2x x x xxxx f!4 9!2 7 514 2)4(x xx f 51)4(x f 54)4(4510 5.05 288012880 nfna bR，2 n，2S I 33、(10 分)用 Gauss 列主元消去法解方程组：27 6 234 5 324 2 43 2 13 2 13 2 1x x x
35、x x xx x x 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333-2.3333 4.3333 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 5.3333-2.3333 4.3333 0.0 0000 1.9375 9.6875 Tx 0000.5,0000.3,0000.2 18 36、(6 分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：1211 010f A f A dx x xf 取 f(x)=1,x，令公式准确成立，得：211 0 A A，31211
36、 0 A A 310 A，611 A f(x)=x2时，公式左右=1/4;f(x)=x3时，公式左=1/5,公式右=5/24 公式的代数精度=2 40、(10 分)已知下列函数表：x 0 1 2 3()f x 1 3 9 27(1)写出相应的三次 Lagrange 插值多项式；(2)作均差表，写出相应的三次 Newton 插值多项式，并计算1 5(.)f的近似值。解：（1）31 2 3 0 2 3 0 1 3 0 1 20 1 0 2 0 3 1 0 1 2 1 3 2 0 2 1 2 3 3 0 3 1 3 2()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(
37、)()()()()x x x x x x x x x x x xL x 3 24 82 13 3x x x（2）均差表：0 11 32 93 27 2618 26 43 341 2 2 1 1 23()()()()N x x x x x x x 31 5 1 5 5(.)(.)f N 42、(10 分)取 5 个等距节点，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分22011 2 dxx的近似值（保留 4 位小数）。解：5 个点对应的函数值211 2()f xx xi 0 0.5 1 1.5 2 f(xi)1 0.666667 0.333333 0.181818 0.111111-（2分）19(1)复化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）：40 51 2 0 666667 0 333333 0 181818 0 1111112.(.).T 0 868687.(2)复化梯形公式（n=2,h=2/2=1）：211 4 0 666667 0 181818 2 0 333333 0 1111116(.).S 0 861953.