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1、 一元二次方程 一、本章知识结构框图 二、具体内容（一）、一元二次方程的概念 1理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为 1，未知数的最高次数为 2，整式方程，可化为一般形式；-2正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数（1）明确只有当二次项系数0 a时，整式方程02 c bx ax才是一元二次方程。（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数).（3）熟练整理方程的过程 3一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4列出实际问题的一元二次方程,（二）、一元二次方程的解法 1明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元
2、一次方程求解；2根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3体会不同解法的相互的联系；4值得注意的几个问题：实际问题 数学问题)0(02 a c bx ax 设未知数，列方程 实际问题的答案，数学问题的解 aac b bx242 解 方 程 降 次 开平方法 配方法 公式法 (1)开平方法：对于形如n x 2或)0()(2 a n b ax的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.形如n x 2的方程的解法：当0 n时，n x;当0 n时，02 1 x x;当0 n时，方程无实数根。（2
3、）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x 2)(的方程，再运用开平方法求解。配方法的一般步骤：移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；)“系数化 1”：根据等式的性质把二次项的系数化为 1；配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为n m x 2)(的形式；求解：若0 n时，方程的解为n m x，若0 n时，方程无实数解。（3）公式法：一元二次方程)0(02 a c bx ax的根aac b bx242 当0 42 ac b时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；当0 42 ac b时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写
4、为abx x22 1；当0 42 ac b时，方程无实数根.公式法的一般步骤：把一元二次方程化为一般式；确定c b a,的值；代入ac b 42中计算其值，判断方程是否有实数根；若0 42 ac b代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。）（4）因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式至少有一个为 0，即：若0 ab，则0 0 b a 或；因式分解法的一般步骤：、若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为
5、零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。（5）选用适当方法解一元二次方程 对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。（6）解含有字母系数的方程（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。？（三）、根的判别式 1了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式
6、求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。（1）=ac b 42（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程02 c bx ax（0 a）当 时 00 a方程有实数根；（当 时 00 a方程有两个不相等的实数根；当 时 00 a方程有两个相等的实数根；）当 时 00 a方程无实数根；从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。】（四）相关练习（一）一元二次方程的概念 1一元二次方程的项与各项系数 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项：（1）x x 3 2 52（2）0 15 6 22 x x （3）5)2(7)1(3 y y y（4）m m m m m
7、 m 5 7)2()(2（5）2 2)3(4)1 5(a a 2应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值(1)m为何值时，关于x的方程m x m x mm4)3()2(2 是一元二次方程。（2 m）-（2）若分式018 72 xx x，则 x（8 x）|3由方程的根的定义求字母或代数式值(1)关于x的一元二次方程0 1)1(2 2 a x x a有一个根为 0，则 a（1 a）(2)已知关于x的一元二次方程)0(02 a c bx ax有一个根为 1，一个根为1，则 c b a，c b a（0，0）（3）&（4）已知 c 为实数，并且关于x的一元二次方程0 32 c x x的一个根的相反
8、数是方程0 32 c x x的一个根，求方程0 32 c x x的根及 c 的值。（0，-3，c=0）（二）一元二次方程的解法，1开平方法解下列方程：（1）0 125 52 x（2）289)3(1692 x（3）（4）0 3612 y（4）0)3 1(2 m（5）（6）85)1 3(22 x；2配方法解方程：（1）0 5 22 x x（2）0 1 52 y y（3）3 4 22 y y、3公式法解下列方程：（1）2 6 32 x x（2）p p 3 2 32（3）y y 11 72￥（4）2 5 92 n n（5）3)1 2)(2(2 x x x 4因式分解法解下列方程：（1）0 9412 x
9、（2）0 45 42 y y（3）0 3 10 82 x x（4）0 21 72 x x（5）6 2 2 3 3 62 x x x（6）1)5(2)5(2 x x!（7）0 8)3(2)3(2 2 2 x x x 5解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）：（1）128)7 2(22 x（2）2 2 2)2(2 1 2 m m m m（3）)3)(2()2(6 x x x x|（3）￥（4）3)1 3(2)2 3(332 y y y y y（4）2 2)3(144)5 2(81 x x、6解含有字母系数的方程（解关于 x 的方程）：（1）0 22 2 2 n m mx x（2）1 2 4 32
10、2 a ax a x；（3）n m nx x n m 2)(2（4）x a x a x x a)1()1()1(2 2 2 2|（三）一元二次方程的根的判别式 1不解方程判别方程根的情况：（1）4x x x 7 32（2）x x 4)2(32（3）x x 5 4 5 42 2 k为何值时，关于 x 的二次方程0 9 62 x kx（1）有两个不等的实数根（2）有两个相等的实数根（3）无实数根 3已知关于的方程m x m x 1)2(42有两个相等的实数根求的值和这个方程的根 4若方程0 5 4)1(22 2 a a x a x有实数根，求：正整数 a.5对任意实数 m，求证：关于 x 的方程0 4 2)1(2 2 2 m mx x m无实数根.6 k为何值时，方程0)3()3 2()1(2 k x k x k有实数根.