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1、 1 函数的最大与最小值教案【教学目标】：1、使学生掌握可导函数)(x f 在闭区间 b a,上所有点（包括端点 b a,）处的函数中的最大（或最小）值；2、使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法【教学重点】：掌握用导数求函数的极值及最值的方法【教学难点】：提高“用导数求函数的极值及最值”的应用能力【教学过程】一、复习：1、_ _/nx；2、_ _)()(/x g x f C 3、求 y=x327x 的 极值。二、新课 在某些问题中，往往关心的是函数在一个定义区间上，哪个值最大，哪个值最小 观察下面一个定义在区间 b a,上的函数)(x f y 的图象 发现图中 _是极小值，_是极大值，在区
2、间 b a,上的函数)(x f y 的最大值是 _，最小值是 _ x X2 o a X3 b x1 y 2 在 区 间 b a,上 求 函 数)(x f y 的 最 大 值 与 最 小 值 的 步 骤：1、函 数)(x f y 在),(b a 内 有 导 数；2、求 函 数)(x f y 在),(b a 内 的 极 值 3、将函数)(x f y 在),(b a 内的极值与)(),(b f a f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值 三、例题 例 1、求函数 5 22 4 x x y 在区间 2,2 上的最大值与最小值。解：先求导数，得 x x y 4 43/令/y 0 即 0 4
3、 43 x x 解得 1,0,13 2 1 x x x 导数/y 的正负以及)2(f，)2(f 如下表 X 2（2，1）1（1，0）0（0，1）1（1，2）2 y/0 0 0 y 13 4 5 4 13 从上表知，当 2 x 时，函数有最大值 13，当 1 x 时，函数有最小值 4 在日常生活中，常常会遇到什么条件下可以使材料最省，时间最少，效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。例 2 用边长为 60CM的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 90角，再焊接而成，问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积是多少？3 例 3、已知某
4、商品生产成本 C与产量 P 的函数关系为 C 100 4P，价格 R与产量 P 的函数关系为 R 25 0.125P，求产量 P 为何值时，利润 L 最大。四、小结：1、闭区间 b a,上的连续函数一定有最值；开区间),(b a 内的可导函数 不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。2、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。3、在解决实际应用问题中，关键在于建立数学模型和目标函数；如果函数在区间内 只有一个极值点，那么根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较。五、练习及作业：1、函数 4 52 x x
5、 y 在区间 1,1 上的最大值与最小值 4 2、求函数33 x x y 在区间 3,3 上的最大值与最小值。3、求函数 5 22 4 x x y 在区间 2,2 上的最大值与最小值。4、求函数 1 5 53 4 5 x x x y 在区间 4,1 上的最大值与最小值。5、给出下面四个命题（1）函数 4 52 x x y 在区间 1,1 上的最大值为 10，最小值为49（2）函数 1 4 22 x x y（2 X 4）上的最大值为 17，最小值为 1（3）函数 x x y 123（3 X 3）上 的 最 大 值 为 16，最 小 值 为 16（4）函数 x x y 123（2 X 2）上 无
6、最 大 值 也 无 最 小 值。其 中 正 确 的 命 题 有 5 6、把长度为 L CM的线段分成四段，围成一个矩形，问怎样分法，所围成矩形的面积最大。7、把长度为 L CM的线段分成二段，围成一个正方形，问怎样分法，所围成正方形的面积最小。8、某商品一件的成本为 30 元，在某段时间内，若以每件 X元出售，可以卖出(200-X)件，应该如何定价才能使利润 L 最大？9、在曲线 Y=1 X2(X 0，Y 0)上找一点了(0 0,y x)，过此点作一切线，与 X、Y轴构成一个三角形，问 X0为何值时，此三角形面积最小？6 10、要设计一个容积为 V的圆柱形水池，已知底的单位面积造价是侧面的单位面积造价的一半，问：如何设计水池的底半径和高，才能使总造价最少？(提示：2/1 1x x)