《2023年高三理科数学培养讲义：第2部分专题6第16讲导数的综合问题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年高三理科数学培养讲义：第2部分专题6第16讲导数的综合问题.pdf（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、高三理科数学培养讲义：第 2 部分_专题 6_第 16 讲_导数的综合问题(word 版可编辑修改)1/14 高三理科数学培养讲义：第 2 部分_专题 6_第 16 讲_导数的综合问题(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高三理科数学培养讲义：第 2部分_专题 6_第 16 讲_导数的综合问题(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修
2、改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为高三理科数学培养讲义：第 2 部分_专题 6_第 16 讲_导数的综合问题(word版可编辑修改)的全部内容。高三理科数学培养讲义：第 2 部分_专题 6_第 16 讲_导数的综合问题(word 版可编辑修改)2/14 第 16 讲 导数的综合问题 高考统计定方向 热点题型 真题统计 命题规律 题型 1：“辅助函数法证明不等式 2018 全国卷T21；2017全国卷T21；2016 全国卷 T21；2014 全 国卷T21 分析近五年全国卷发现高考命题有以下规律：在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点,常
3、以含指数函数、对数函数为载体考查函数的零点（方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题.题型 2：“转化法”解决不等式恒成立中的参数问题 2017 全国卷T21；2015全国卷T21 题型 3：“图象辅助法解决函数零点或方程根的问题（数形结合）2018 全国卷T21;2017全国卷T21;2016 全国卷T21；2015全国卷T21 题型 1“辅助函数法证明不等式 核心知识储备 构造辅助函数的四种方法(1）移项法：证明不等式f(x）g(x）（f(x）0（f（x)g（x）0)，进而构造辅助函数h(x）f（x)g(x)；（2）构造“形似函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数
4、;把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构构造辅助函数;（3)主元法：对于（或可化为)f(x1，x2)A的不等式，可选x1（或x2)为主元,构造函数f(x，x2)(或f（x1,x）)；（4)放缩法：若所构造函数最值不易求解,可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数 辑整理后发布的发布之前我们对文中内容进行仔细校对但是难免会有疏漏的地方但是任然希望高三理科数学培养讲义建议和反馈这将是我们进步的源泉前进的动力本文可编辑可修改如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅最后祝您生学培养讲义第部分专题第讲导数的综合问题版可编辑修改第讲导数的综合问题热点题型题型辅助函数法证明不等式题高三理科
5、数学培养讲义：第 2 部分_专题 6_第 16 讲_导数的综合问题(word 版可编辑修改)3/14 高考考法示例【例 1】（2018郑州质量预测）已知函数f(x）exx2.(1)求曲线f（x)在x1 处的切线方程；（2)求证：当x0 时，错误!ln x1。解 (1）f（x）ex2x，由题设得f(1）e2,f(1）e1，故曲线f(x）在x1 处的切线方程为y(e 2)x1.（2)f(x）ex2x，f(x)ex2，f（x）在（0，ln 2）上单调递减,在(ln 2，)上单调递增,所以f(x)f（ln 2）22ln 2 0，所以f（x)在0，1上单调递增，所以f(x）maxf(1)e1，x0,1
6、又f（x）过点（1，e1），且yf(x）在x1 处的切线方程为y（e2)x1，故可猜测：当x0，x1 时，f（x)的图象恒在切线y（e2）x1 的上方 下证：当x0 时,f(x)（e2)x1，设g（x）f（x)(e 2）x1，x0，则g（x）ex2x(e 2)，g(x）ex2,g(x）在(0，ln 2）上单调递减，在（ln 2，)上单调递增，又g（0)3e0，g(1)0，0ln 2 1，g(ln 2)0，所以,存在x0(0，ln 2），使得g(x0）0，所以，当x(0,x0）(1,)时，g(x）0；当x(x0,1）时，g（x)0,故g（x)在(0,x0）上单调递增，在(x0,1)上单调递减,在
7、（1，）上单调递增,又g（0）g（1)0，g(x）exx2（e2）x10，当且仅当x1 时取等号，故错误!x,x0。辑整理后发布的发布之前我们对文中内容进行仔细校对但是难免会有疏漏的地方但是任然希望高三理科数学培养讲义建议和反馈这将是我们进步的源泉前进的动力本文可编辑可修改如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅最后祝您生学培养讲义第部分专题第讲导数的综合问题版可编辑修改第讲导数的综合问题热点题型题型辅助函数法证明不等式题高三理科数学培养讲义：第 2 部分_专题 6_第 16 讲_导数的综合问题(word 版可编辑修改)4/14 又xln x1，即错误!ln x1，当x1 时,等号成立 方法归纳
8、1解本题的关键是第(1)结论对第(2)问的证明铺平了路,只需证明错误!xln x1.所以利用导数证明不等式时,要进行适当的变形，特别是变形成第（1)问相似或相同形式时,将有利于快速证明 2用导数证明不等式的方法(1）利用单调性:若f(x）在a,b上是增函数，则xa，b，则f(a)f（x）f(b)；对x1，x2a,b,且x1x2，则f（x1)f（x2）对于减函数有类似结论（2）利用最值：若f(x）在某个范围D内有最大值M（或最小值m),则对xD，有f（x）M(或f（x）m)(3)证明f（x）g（x)，可构造函数f(x）f(x)g（x），证明f（x)0.对点即时训练（2017全国卷)已知函数f（x
9、）x1aln x.(1）若f(x)0,求a的值；（2）设m为整数,且对于任意正整数n，错误!错误!错误!m，求m的最小值 解 (1）f（x)的定义域为(0，），若a0，因为f错误!错误!aln 2 0，所以不满足题意 若a0,由f(x）1错误!错误!知,当x(0,a)时,f(x）0 时，f(x）g(x)证明(1)令f(x）f（x）xln（1x)x，x（0，），则有F（x)错误!1错误!.当x(0，）时，F(x）0,所以f(x）在（0,）上单调递减,故当x0 时，f(x)F（0)0，即当x0 时，f（x)x。（2)令G(x)f(x)g（x）ln(1 x)kx，x(0,），则有G(x)错误!k错误
10、!，辑整理后发布的发布之前我们对文中内容进行仔细校对但是难免会有疏漏的地方但是任然希望高三理科数学培养讲义建议和反馈这将是我们进步的源泉前进的动力本文可编辑可修改如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅最后祝您生学培养讲义第部分专题第讲导数的综合问题版可编辑修改第讲导数的综合问题热点题型题型辅助函数法证明不等式题高三理科数学培养讲义：第 2 部分_专题 6_第 16 讲_导数的综合问题(word 版可编辑修改)6/14 当k0 时，G（x)0，故G（x)在（0，）上单调递增，G(x）G(0)0，故任意正实数x0均满足题意 当 00，从而G(x）在(0，x0)上单调递增,所以G（x)G(0）0，即f
11、(x）g（x）综上，当k1 时，总存在x00,使得对任意x（0,x0），恒有f(x）g(x)方法归纳 不等式恒成立问题常见方法 1分离参数afx恒成立afxmax即可或afx恒成立afxmin即可；2数形结合yfx图象在ygx上方即可；3讨论最值fxmin0 或fxmax0 恒成立；4讨论参数.对点即时训练 已知函数f(x）a（x2x)ln x(aR)(1)若f(x)在x1 处取得极值，求a的值；（2)若f(x）0 在1，)上恒成立，求a的取值范围 解 (1）f（x）2axa错误!，f(x)在x1 处取到极值，f（1)0，即a10，a1.经检验,a1 时，f（x）在x1 处取到极小值(2)f（
12、x）2ax2ax1x,令g(x）2ax2ax1(x1），当a0 时，f（x）错误!0，f(x）在1，）上单调递减 又f（1）0,x1 时，f（x)0，不满足f（x）0 在1，）上恒成立 辑整理后发布的发布之前我们对文中内容进行仔细校对但是难免会有疏漏的地方但是任然希望高三理科数学培养讲义建议和反馈这将是我们进步的源泉前进的动力本文可编辑可修改如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅最后祝您生学培养讲义第部分专题第讲导数的综合问题版可编辑修改第讲导数的综合问题热点题型题型辅助函数法证明不等式题高三理科数学培养讲义：第 2 部分_专题 6_第 16 讲_导数的综合问题(word 版可编辑修改)7/14
13、 当a0 时，二次函数g（x)开口向上，对称轴为x错误!,过（0，1）a当g(1）0,即a1 时，g（x)0 在1，)上恒成立,f（x)0,从而f(x）在1,)上单调递增 又f（1)0，x1 时，f(x)0 成立，满足f(x)0 在1，）上恒成立 b当g(1)0,即 0a1 时，存在x01，使x(1,x0)时,g(x）0，f(x）单调递减；x(x0，）时，g（x）0,f(x)单调递增,f(x0）f（1）又f（1）0，f(x0）0,故不满足题意 当a0 时，二次函数g（x）开口向下,对称轴为x错误!，g（x)在1，)上单调递减，g（1)a10，g(x）0,f（x)在1,)上单调递减 又f(1)0
14、,x1 时，f(x）0，故不满足题意 综上所述，a1,)题型 3“图象辅助法”解决函数零点或方程根的问题(数形结合）（对应学生用书第 77 页）核心知识储备 1利用导数研究函数的零点 函数的零点、方程的实根、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念,解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势,数形结合求解 2三次函数的零点分布 三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x时，函数值也趋向，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可存在两个极值点x1，x2且x1x2的函数f(x)ax3bx2cxd（a0)的零点分布情况如下：a的符号 零点个数 充要条件 辑整理后发
15、布的发布之前我们对文中内容进行仔细校对但是难免会有疏漏的地方但是任然希望高三理科数学培养讲义建议和反馈这将是我们进步的源泉前进的动力本文可编辑可修改如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅最后祝您生学培养讲义第部分专题第讲导数的综合问题版可编辑修改第讲导数的综合问题热点题型题型辅助函数法证明不等式题高三理科数学培养讲义：第 2 部分_专题 6_第 16 讲_导数的综合问题(word 版可编辑修改)8/14 a0（f(x1）为极大值，f(x2)为极小值)一个 f（x1）0 或f（x2）0 两个 f（x1)0 或者f（x2）0 三个 f(x1)0 且f(x2）0 a0（f(x1)为极小值,f（x2）为
16、极大值)一个 f(x1）0 或f（x2)0 两个 f(x1）0 或者f（x2）0 三个 f（x1)0 且f(x2）0 高考考法示例【例 3】已知函数f(x）错误!a。(1)若函数f(x）有两个零点，求实数a的取值范围；(2）若函数g（x)xln x12ax2错误!有两个极值点，试判断函数g（x)的零点个数 解 （1)令(x）错误!，由题意知y(x)的图象与ya的图象有两个交点 因为（x）错误!，所以当 0 x1 时，(x）0，（x）在（0，1）上单调递增；当x1 时，（x）0,(x)在（1,）上单调递减（x)max（1)1.又x0 时，(x）,x（0，1)时，(x）（,1)又x1 时，(x)(
17、0,1)综上可知，当且仅当a（0,1）时，ya与y（x）的图象有两个交点，即函数f(x）有两个零点（2）因为函数g(x)有两个极值点，由g（x)ln x1ax0,得错误!a0 有两个不同的根x1，x2（设x1x2）由（1)知，0 x11x2,0a1,且错误!a（i1,2）,且函数g（x）在（0，辑整理后发布的发布之前我们对文中内容进行仔细校对但是难免会有疏漏的地方但是任然希望高三理科数学培养讲义建议和反馈这将是我们进步的源泉前进的动力本文可编辑可修改如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅最后祝您生学培养讲义第部分专题第讲导数的综合问题版可编辑修改第讲导数的综合问题热点题型题型辅助函数法证明不等式
18、题高三理科数学培养讲义：第 2 部分_专题 6_第 16 讲_导数的综合问题(word 版可编辑修改)9/14 x1），(x2，)上单调递减，在（x1，x2)上单调递增，则g（xi)xiln xi错误!ax错误!错误!12xiln xi错误!xi错误!（i1,2)令h（t)错误!tln t错误!t错误!,则h(t）错误!错误!错误!错误!0,所以函数h（t）在(0，)上单调递增，故g(x1)g(1)0,g（x2)g(1）0。又x0,g（x)错误!0；x，g（x）,所以函数g（x）恰有三个零点【教师备选】已知函数f(x)ex(exa)a2x(aR）(1)曲线f(x)在点（1，f（1）处的切线垂直
19、于直线L：x2e2y20，求a的值；（2）讨论函数f（x）零点的个数 解(1）f（x)2e2xaexa2，因为f(x）在点（1，f(1)处的切线垂直于直线x2e2y20，所以f（1)2e2aea22e2,aea20，解得a0 或ae。(2）函数f(x)的定义域为 R，f(x）(2exa)(exa）当a0 时,f(x)e2x0，无零点；当a0 时，f（x)0，得x0ln错误!.当x错误!时，f(x）0,函数f（x)单调递减；当x错误!时，f(x)0,函数f(x)单调递增，f（x)minf错误!错误!a2.因为f(x)ex（exa）a2xe2xa2x,且当x0 时，e2xa2x0,当x时，e2xa
20、2x0,f(x）0,辑整理后发布的发布之前我们对文中内容进行仔细校对但是难免会有疏漏的地方但是任然希望高三理科数学培养讲义建议和反馈这将是我们进步的源泉前进的动力本文可编辑可修改如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅最后祝您生学培养讲义第部分专题第讲导数的综合问题版可编辑修改第讲导数的综合问题热点题型题型辅助函数法证明不等式题高三理科数学培养讲义：第 2 部分_专题 6_第 16 讲_导数的综合问题(word 版可编辑修改)10/14 当错误!a20 时，即 ln错误!错误!，a2e错误!，函数f(x)有两个不同的零点；当错误!a20 时,即a2e错误!时，函数f（x）有一个零点；当错误!a20
21、 时，即2e错误!a0 时，函数f(x）没有零点；当a0 时，令f(x)0，得x0ln a.当x（，ln a)时，f(x)0，函数f(x）单调递减；当x(ln a,）时,f(x)0，函数f(x)单调递增，f(x）minf（ln a）a2ln a.当x和当x，均有f（x)0，当a2ln a0 时，即 ln a0，a1 时,函数f（x)有两个不同的零点；当a2ln a0 时，即a1 时，函数f(x)有一个零点；当a2ln a0 时，即 0a1 时，函数f(x)没有零点；综上，当a2e错误!或a1 时，函数f（x）有两个不同的零点；当a2e错误!或a1 时，函数f(x）有一个零点；当2e错误!a1
22、时,函数f(x）没有零点 方法归纳 三步解决方程解或曲线公共点的个数问题 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴或直线yk在该区间上的交点问题；第二步:利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值最值、端点值等性质，进而画出其图象；第三步：结合图象求解.对点即时训练（2018全国卷）已知函数f(x）exax2.（1）若a1,证明：当x0 时，f(x)1；（2)若f（x)在（0，）上只有一个零点,求a.解(1)证明:当a1 时，f(x）1 等价于（x21)ex10。辑整理后发布的发布之前我们对文中内容进行仔细校对但是难免会有疏漏的地方但是任然希望高三理科数学培养讲义建议和反馈
23、这将是我们进步的源泉前进的动力本文可编辑可修改如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅最后祝您生学培养讲义第部分专题第讲导数的综合问题版可编辑修改第讲导数的综合问题热点题型题型辅助函数法证明不等式题高三理科数学培养讲义：第 2 部分_专题 6_第 16 讲_导数的综合问题(word 版可编辑修改)11/14 设函数g(x）（x21)ex1,则g(x）（x22x1)ex(x1)2ex.当x1 时,g(x）0，所以g（x)在（0，）单调递减而g(0)0，故当x0 时，g(x)0，即f（x)1.（2）设函数h(x）1ax2ex。f（x）在（0，)只有一个零点等价于h（x）在（0，)只有一个零点（)当a0
24、 时,h(x)0，h（x）没有零点；（)当a0 时，h(x)ax（x2）ex.当x（0,2）时,h(x）0；当x(2，）时，h（x)0.所以h（x）在(0,2)单调递减，在（2，)单调递增 故h(2）1错误!是h（x）在0，）的最小值 若h（2）0，即a错误!，h(x)在(0，）没有零点；若h(2)0，即a错误!，h（x）在(0，）只有一个零点;若h（2)0,即a错误!，由于h（0）1，所以h(x）在(0，2）有一个零点 由(1）知,当x0 时，exx2，所以 h(4a)1错误!1错误!1错误!1错误!0,故h(x）在（2,4a)有一个零点因此h(x）在（0,）有两个零点 综上,f（x）在（0
25、,）只有一个零点时，a错误!。高考真题 1(2017全国卷）已知函数f（x）ae2x（a2)exx.(1）讨论f（x）的单调性；(2)若f（x）有两个零点,求a的取值范围.解(1)f（x)的定义域为（,)，f(x）2ae2x（a2）ex1(aex1)(2ex1）（）若a0，则f(x）0，所以f（x）在（,)上单调递减(）若a0，辑整理后发布的发布之前我们对文中内容进行仔细校对但是难免会有疏漏的地方但是任然希望高三理科数学培养讲义建议和反馈这将是我们进步的源泉前进的动力本文可编辑可修改如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅最后祝您生学培养讲义第部分专题第讲导数的综合问题版可编辑修改第讲导数的综合问
26、题热点题型题型辅助函数法证明不等式题高三理科数学培养讲义：第 2 部分_专题 6_第 16 讲_导数的综合问题(word 版可编辑修改)12/14 则由f（x)0 得xln a.当x(，ln a）时,f(x)0.所以f（x)在(,ln a)上单调递减,在(ln a，）上单调递增(2)()若a0，由(1）知，f(x）至多有一个零点(）若a0，由（1）知,当xln a时，f（x）取得最小值，最小值为f(ln a)1错误!ln a。当a1 时,由于f（ln a)0,故f(x)只有一个零点；当a（1，）时，由于 1错误!ln a0，即f（ln a)0，故f（x)没有零点;当a（0，1）时,1 错误!l
27、n a0，即f(ln a)0。又f（2)ae4（a2）e222e220,故f（x）在（,ln a)上有一个零点 设正整数n0满足n0ln错误!,则f(n0）e错误!（ae错误!a2）n0e错误!n02错误!n00.由于 ln错误!ln a，因此f(x）在（ln a，）有一个零点 综上，a的取值范围为（0，1)最新模拟 2(2018马鞍山市教学质量检测)已知函数g（x)xln x,h（x)错误!(a0)（1)若g(x)h（x)对x（1,)恒成立，求a的取值范围；(2）证明:不等式错误!错误!错误!e错误!对于正整数n恒成立,其中 e2.718 28为自然对数的底数 解 （1)法一:记f(x)g(
28、x）h（x)xln x错误!x2错误!,辑整理后发布的发布之前我们对文中内容进行仔细校对但是难免会有疏漏的地方但是任然希望高三理科数学培养讲义建议和反馈这将是我们进步的源泉前进的动力本文可编辑可修改如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅最后祝您生学培养讲义第部分专题第讲导数的综合问题版可编辑修改第讲导数的综合问题热点题型题型辅助函数法证明不等式题高三理科数学培养讲义：第 2 部分_专题 6_第 16 讲_导数的综合问题(word 版可编辑修改)13/14 令(x)f(x)ln x1ax，则（x)错误!a，当a1 时，x（1，），(x)错误!a1a0，f(x)在（1，)上单调递减，又f（1）1a0
29、,f(x)0，即f（x）在（1，)上单调递减，此时，f（x）f（1）错误!0，即g（x）h（x)，所以a1。当 0a1 时，考虑x错误!时，(x)错误!aaa0,f（x）在错误!上单调递增，又f(1）1a0，f(x)0,即f(x）在错误!上单调递増,f(x）f(1）错误!0，不满足题意 综上所述，a1，)法二：当x(1，)时，g(x）h(x)等价于a错误!f(x)，F(x）错误!，记m(x）x1xln x,则m（x)ln x0，m(x）在（1，)上单调递减，m(x)m（1)0，F（x)0，即f(x)在（1,）上单调递减,F(x）F（1）1，故a1，)(2)由（1)知：取a1，当x(0,)时，g
30、（x)h(x）恒成立，即xln x错误!恒成立，即 ln x错误!恒成立，即 ln(1 x）x1212x1错误!对于x（0，)恒成立，由此，ln错误!错误!错误!错误!错误!错误!，k1，2，,n，于是 ln错误!ln错误!ln错误!ln错误!错误!错误!辑整理后发布的发布之前我们对文中内容进行仔细校对但是难免会有疏漏的地方但是任然希望高三理科数学培养讲义建议和反馈这将是我们进步的源泉前进的动力本文可编辑可修改如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅最后祝您生学培养讲义第部分专题第讲导数的综合问题版可编辑修改第讲导数的综合问题热点题型题型辅助函数法证明不等式题高三理科数学培养讲义：第 2 部分_专题 6_第 16 讲_导数的综合问题(word 版可编辑修改)14/14 错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!.故错误!错误!错误!e错误!。辑整理后发布的发布之前我们对文中内容进行仔细校对但是难免会有疏漏的地方但是任然希望高三理科数学培养讲义建议和反馈这将是我们进步的源泉前进的动力本文可编辑可修改如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅最后祝您生学培养讲义第部分专题第讲导数的综合问题版可编辑修改第讲导数的综合问题热点题型题型辅助函数法证明不等式题