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1、 内蒙古呼伦贝尔市高三数学模拟统一考试试题（一）理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合2log1Axx，1Bx x，则AB（）A.1,2 B.1,C.1,2 D.1,【答案】D【解析】【分析】解出对数不等式可得集合A，根据并集的运算即可得结果.【详解】由2log12Axxx x，1Bx x，则1,AB，故选 D.【点睛】本题主
2、要考查了对数不等式的解法，并集的概念，属于基础题.2.复数z满足 113zii ，则复数z等于（）A.1i B.1 i C.2 D.-2【答案】B【解析】【分析】通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可.【详解】复数z满足 1132zii ，2 121111iziiii，故选B.【点睛】本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题 3.等差数列na中，1510aa，47a，则数列na前 6 项和6S为（）A.18 B.24 C.36 D.72【答案】C【解析】【分析】由等差数列的性质可得35a，根据等差数列的前n项和公式163466622aaaaS 可得结果.【详解】等差
3、数列na中，1510aa，3210a，即35a，163465766636222aaaaS ，故选 C.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题.4.已知菱形ABCD的边长为 2，60ABC，则BD CD（）A.4 B.6 C.2 3 D.4 3【答案】B【解析】【分析】根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果【详解】如图所示，菱形形ABCD的边长为 2，60ABC，120C，22222222 cos12012BD ，2 3BD，且30BDC，|3 302|3262BD CDBDCDcos ，故选 B【点睛】本题主要考查了平面向量的数量
4、积和余弦定理的应用问题，属于基础题.5.已知双曲线C：222210,0 xyabab的焦距为2c，焦点到双曲线C的渐近线的距离为32c，则双曲线的渐近线方程为（）A.3yx B.2yx C.yx D.2yx 【答案】A【解析】【分析】利用双曲线C：222210,0 xyabab的焦点到渐近线的距离为32c，求出a，b的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程【详解】双曲线C：222210,0 xyabab的焦点,0c到渐近线0bxay的距离为32c，可得：223 2bccab，可得32bc，3ba，则C的渐近线方程为3yx 故选 A【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出,a b的关系是解题的
5、关键，考查计算能 力，属于中档题.6.定义在R上的函数 f x满足 2log10()50 xxf xfxx，则2019f（）A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】推导出 22019403 5441log 2ffff ，由此能求出2019f的值 【详解】定义在R上的函数 f x满足 2log10()50 xxf xfxx，22019403 544211logffff ，故选 C【点睛】本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题.7.三国时代吴国数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边
6、的正方形，其面积称为弦实图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2勾股(股勾)24 朱实黄实弦实，化简，得勾2股2弦2设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷 1000 颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A.866 B.500 C.300 D.134【答案】D【解析】由题意，大正方形的边长为 2，中间小正形的边长为31，则所求黄色图形内的图钉数大约为23110001342，故选 D.8.函数 sin 22fxx 的图象向右平移6个单位后关于原点对称，则函数 f x在,02上的最大值为（）A.32 B.32 C.12
7、 D.12【答案】B【解析】【分析】由条件根据函数sinyA x的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得3 k ，kz，由此根据|2求得的值，得到函数解析式即可求最值【详解】函数 sin 22fxx 的图象向右平移6个单位后，得到函数sin 2sin 263yxx 的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得3 k ，kz，|2，3，sin 23fxx，由题意,02x，得42,333x ，321,32sinx，函数 sin 23fxx在区间,02的最大值为32，故选 B【点睛】本题主要考查函数sinyA x的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了正弦函数最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦
8、函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值，属于基础题 9.过抛物线24yx的焦点F且倾斜角为60的直线交抛物线于A、B两点，以AF、BF为直径的圆分别与y轴相切于点M，N，则MN（）A.3 B.2 3 C.2 33 D.4 33【答案】D【解析】【分析】设 11,A x y，22,B x y，则112OMy，212ONy，1212MNyy，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理即可求解【详解】设 11,A x y，22,B x y，则112OMy，212ONy，直线AB的方程为：31yx，联立 231 4yxyx，可得234 3120yy，124 3yy，124y y ，1211164 31622
9、33MNyy，故选 D【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题，属于中档题.10.已知函数1()ln1f xxx，则=()y f x的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用特殊值，对函数图像进行排除，由此得出正确选项.【详 解】由 于12201112ln1ln2222f ，排 除B选 项.由 于 2222,23f ef eee，2f ef e，函数单调递减，排除 C 选项.由于10010020101f ee，排除 D选项.故选 A.【点睛】本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图像，属于基础题
10、.11.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥外接球表面积是（）A.4 3 B.20 C.4 D.12【答案】D 【解析】【分析】首先把三视图转换为几何体，求出三棱锥外接球的半径，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果【详解】根据几何体的三视图，把几何体转换为：所以该几何体的球心为O，222+1=3R，24312S，故选 D【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，属于基础题型 12.已知236ab，则a，b不可能满足的关系是（）A.abab B.4ab C.22112ab D.228ab【答案】C【解析】【分析】根 据236
11、ab即 可 得 出21l3oga ，31l2ogb ，根 据23loglog132，33loglog222，即可判断出结果【详解】236ab；226log1og 3la ，336log1og 2lb ；2332log2log4ab ，2332logog42lab ，故,A B正确；2322223211loglog2log323 log22ab，故 C错误；22232223loglog2log2323log 2ab 23232324 loglogl23oglog82，故 D正确 故 C【点睛】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：2abab 和不等式222abab的应用，
12、属于中档题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.二项式6212xx的展开式中，常数项的值为_.【答案】240【解析】【分析】利用通项公式666163621()212rrrrrrrrTxxCxC，令6 30r，解得2r，即可得出【详解】666163621()212rrrrrrrrTxxCxC，令6 30r，解得2r 常数项的值是244266 51222402C，故答案为 240【点睛】本题主要考查了二项式定理的通项公式、常数项的求法，属于基础题 14.若满足32xxyyx，则目标函数2zyx 的最大值为_.【答案】-1【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数
13、为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】由约束条件32xxyyx 作出可行域如图，化目标函数2zyx 为2yxz，由图可得，当直线2yxz过点B时，直线在y轴上的截距最大，由2xyxy 得11xy即11B，则z有最大值1 21z ，故答案为1【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.学
14、校艺术节对同一类的A，B，C，D四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“C作品获得一等奖”。若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_.【答案】B 【解析】【分析】首先根据“学校艺术节对A BCD、四件参赛作品只评一件一等奖”，故假设A BCD、分别为一等奖，然后判断甲、乙、丙、丁四位同学的说法的正确性，即可得出结果。【详解】若 A为一等奖，则甲、丙、丁的说法均错误，不满足题意；若 B为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、
15、丁的说法错误，满足题意；若 C为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意；若 D为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；综上所述，故 B获得一等奖。【点睛】本题属于信息题，可根据题目所给信息来找出解题所需要的条件并得出答案，在做本题的时候，可以采用依次假设A BCD、为一等奖并通过是否满足题目条件来判断其是否正确。16.数列 11nan n的前n项和为nS，若1S，mS，nS成等比数列1m，则正整数n值为_.【答案】8【解析】【分析】利用裂项相消法求出前n项和为nS，根据等比数列的定义列出关于,m n的等式22211mnnm，进而可得不等式2210mm，结合m的范围求出m，即可求出
16、n的值.【详解】11111nan nnn，11111122311nnSnnn ，又1S，mS，nS成等比数列1m，21mnSSS，即221211mnnm，22211mnnm，2221mm，即2210mm，解得1212m ，结合1m可得2m，8n，故答案为 8.【点睛】本题主要考查了利用裂项相消法求数列的前n项和，等比数列的概念，结合m的范围求出m是解题的关键，属于中档题.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17.如图：在ABC中，10a，4c
17、，5cos5C .（1）求角A；（2）设D为AB的中点，求中线CD的长.【答案】（1）4A；（2）2【解析】【分析】（1）通过cosC求出sinC的值，利用正弦定理求出sin A即可得角A；（2）根据sinsinBA C求出sinB的值，由正弦定理求出边b，最后在ACD中由余弦定理即可得结果.【详解】（1）5cos5C ，212 5sin1 cos155CC.由正弦定理sinsinacAC，即104sin2 55A.得2sin2A，5cos05C ，C为钝角，A为锐角，故4A.（2）BA C，sinsinsincoscossinBA CACAC2522 510252510.由正弦定理得sins
18、inbaBA，即10102102b得2b.在ACD中由余弦定理得：2222cosCDADACAD ACA22422222 ，2CD.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查三角函数知识的运用，属于中档题.18.如图，在直三棱柱111ABCABC中，D、E、F、G分别是BC、11BC、1AA、1CC中点.且2 2ABAC，14BCAA.（1）求证：BC 平面ADE；（2）求二面角1GEFB的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）63【解析】【分析】（1）根据边长的关系可求得出ABAC和ADBC，根据直棱柱的性质可得DE 平面ABC，即可得DEBC，根据线面垂直判定定理即可得
19、结果；（2）建立如图所示的直角坐标系，求出面1B EF和面EFG的法向量，求出法向量夹角的余弦值即可得最后结果.【详解】（1）2 2ABAC，4BC，ABAC.D是BC的中点，ADBC，111ABCABC为直三棱柱，D，E为BC，11BC中点，DE 平面ABC，DEBC，BC 平面ADE.（2）由（1）知建系如图，且 0 0 2F，12 2,0,0B，2,2,0E，0,2 2,2G，2,2,2EF，12,2,0B E，0,2 2,0FG 设平面1B EF的法向量为,mx y z，由100m EFm B E，得2220220 xyzxy.取 1,1,2m，同理得平面EFG法向量 2,0,1n.2
20、 26cos,32 3m n，而二面角1GEFB为钝二面角，二面角1GEFB的余弦值为63.【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定以及利用向量法求平面所成角的余弦值，求出平面的法向量是解题的关键，属于中档题.19.诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：第一周 第二周 第三周 第四周 第一个周期 95%98%92%88%第二个周期 94%94%83%80%第三个周期 85%92%95%96%（1）计算表中十二
21、周“水站诚信度”的平均数X；（2）分别从表中每个周期的 4 个数据中随机抽取 1 个数据，设随机变量X表示取出的 3 个数中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X的分布列和期望；（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由.【答案】（1）91%（2）见解析（3）两次活动效果均好详见解析【解析】【分析】（1）利用平均数公式能求出表中十二周“水站诚信度”的平均数；（2）随机变量X的可能取值为 0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望；
22、（3）根据后继一周都有提升可得两次活动效果均好【详解】（1）表中十二周“水站诚信度”的平均数：959892889494838085929596191%12100 x.（2）随机变量X的可能取值为 0，1，2，3，1212044464P X ，3211211444444P X 1231444464 ，3213212444444P X 3233044464 ，32318344464P X ，X的分布列为：X 0 1 2 3 P 132 732 1532 932 171590123232323232EX .（3）两次活动效果均好 理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%94%和80%到85%看出，后
23、继一周都有提升【点睛】本题考查平均数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要 认真审题，在历年高考中都是必考题型之一 20.已知椭圆C：222211xyabab 离心率为32，直线1x 被椭圆截得的弦长为3.（1）求椭圆方程；（2）设直线ykxm交椭圆C于A，B两点，且线段AB的中点M在直线1x 上，求证：线段AB的中垂线恒过定点.【答案】（1）2214xy（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意易得椭圆过点31,2，结合22312bceaa，求出,a b即可得结果；（2）联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理根据中点坐标公式化简可得21 44kkm，求出0y，列出
24、AB的中垂线方程134yxk即可得结果.【详解】（1）由直线1x 被椭圆截得的弦长为3，得椭圆过点31,2，即221314ab，又22312bceaa，得224ab，所以24a，21b，即椭圆方程为2214xy.（2）由2214xyykxm得222148440kxkmxm，由222222644(14)(44)1664160k mkmmk，得2214mk.由122814kmxxk，设AB的中点M为00,x y，得024114kmxk，即21 44kkm，0021144mykxmkk .AB的中垂线方程为 1114yxkk.即134yxk，故AB的中垂线恒过点3,04N.【点睛】本题主要考查了椭圆
25、方程的求法，直线与圆锥曲线相交，韦达定理的应用以及直线过定点问题，属于中档题.21.已知函数 11ln1f xaxx ，1 xg xxe.（1）求 g x在区间0,e上的值域；（2）是否存在实数a，对任意给定的00,xe，在1,e存在两个不同的1,2ix i 使得 0if xg x，若存在，求出a的范围，若不存在，说出理由.【答案】（1）0,1（2）满足条件的a不存在，详见解析【解析】【分析】（1）对函数 g x进行求导，知 g x在区间0,1上单调递增，在区间1,e上单调递减，由此能求出 g x的值域；（2）对函数 f x进行求导，对a进行分类讨论，当0a 和11ae 时，不合题意，求出当1
26、01ae 时，判断单调性，min11fxfa，由（1）知 g x在0,e上值域为0,1，根据数形结合思想原题意可等价于 1101f efa，解不等式即可.【详解】（1）11xgxx e，0,1x时，0gx，g x单调递增，1,xe时，0gx，g x单调递减，00g，11g，10eg ee e，g x在0,e上值域为0,1.（2）由已知得1()1fxax，且1,xe，当0a 时，0fx，f x在1,e上单调递增，不合题意。当11ae 时，0fx，f x在1,e上单调递减，不合题意。当101ae 时，()0fx 得011xa。当1(1,)1xa时 0fx，f x单调递减，当1()1xea，时，0f
27、x，f x单调递增，min11fxfa.由（1）知 g x在0,e上值域为0,1，而 11f，所以对任意00,xe，在区间1,e上总有两个不同的1,2ix i，使得 0if xg x.当且仅当 1101f efa，即 1111ln 110 2aeaa ，由（1）得111ae.设 ln 11h aaa ，10,1ae，1111ahaaa，当10,1ae，0h a，h a单调递减，11110h ahee .0h a 无解.综上，满足条件的a不存在.【点睛】本题考查函数的值域的求法，探索是否存在满足条件的实数，探索函数图象上满足条件的两点是否存在综合性强，难度大，对数学思维能力要求较高，有一定的探索
28、性 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.在直角坐标系中，圆C的参数方程为：12cos32sinxy（为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同.（1）求圆C的极坐标方程；（2）若直线l：costsinxty（t为参数）被圆C截得的弦长为2 3，求直线l的倾斜角.【答案】（1）4cos3；（2）6或2【解析】【分析】（1）消去参数可得圆C的直角坐标方程，再根据222xy，cosx，siny即可得极坐标方程；（2）写出直线l的极坐标方程为，代入圆C的极坐标方程，根据极坐标的意义列出等式解出即可
29、.【详解】（1）圆C：12cos32sinxy，消去参数得：22134xy，即：2222 30 xyxy，222xy，cosx，siny.22cos2 3sin0，4cos3.（2）直线l：cossinxtyt的极坐标方程为，当 时4cos2 33.即：3cos32，36 或36 .2或6，直线l的倾斜角为6或2.【点睛】本题主要考查了参数方程化为普通方程，直角坐标方程化为极坐标方程以及极坐标的几何意义，属于中档题.23.已知 0f xaxb a ，且 0f x 的解集为37xx .（1）求实数a，b的值；（2）若 f x的图像与直线0 x 及3ym m围成的四边形的面积不小于 14，求实数m
30、取值范围.【答案】（1）5a，2b；（2）,1【解析】【分析】（1）解绝对值不等式得baxba ，根据不等式的解集为37xx 列出方程组，解出即可；（2）求出 f x的图像与直线0 x 及3ym m交点的坐标，通过分割法将四边形的面积分为两个三角形，列出不等式，解不等式即可.【详解】（1）由 0f x 得：xba，baxba ，即37baba ，解得5a，2b.（2）7,2523,2x xf xxx x 的图像与直线0 x 及ym围成的四边形ABCD，2,5A，0,3B，0,Cm，7,Dm m.过A点向ym引垂线，垂足为 2,Em，则211352522ABCDABCEAEDSSSmmm 14.化简得：214130mm，13m（舍）或1m.故m的取值范围为,1.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求法，以及绝对值不等式在几何中的应用，属于中档题.