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1、晨鸟教育 Earlybird 8 最小二乘估计 知识点 最小二乘法及回归直线方程 填一填 1最小二乘法 设 x、y 的一组观察值为(xi，yi)，i1,2，n，且回归直线方程为yabx，当 x 取值 xi(i1,2，n)时，y的观察值为 yi，差 yiyi(i1,2，n)刻画了实际观察值 yi与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，通常是用离差的平方和，即 Qi1n yiabxi2作为总离差，并使之达到最小这样，回归直线就是所有直线中 Q 取最小值的那一条，由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和为最小”的方法，叫作最小二乘法 2回归直线方程的系数计算公式 晨鸟教育 Earlybird 答一
2、答 利用最小二乘法的思想求得线性回归方程的步骤是什么？提示：第一步：先求 x，y，x2，x y.第二步：求i1nx2i，第三步：求i1nxiyi.第四步：代入公式求 bi1nxiyin x yi1nx2in x2.第五步：代入公式 a y b x.代入直线方程得：ybxa.对回归直线方程的几点说明(1)(xi，yi)(i1,2，n)的中心点(x，y)在回归直线上 晨鸟教育 Earlybird(2)由回归直线方程知 x 处的估计值为 yabx.(3)回归直线使得样本数据中的点到它的距离的平方和最小(4)求回归直线方程，计算量大，一般应学会使用计算器求解(5)利用回归直线方程可以对总体进行估计 类
3、型一 最小二乘法与回归直线方程的理解 【例 1】下列有关线性回归方程的系数 a，b 的公式正确的是()【思路探究】符号i1nai表示 n 个实数 a1，a2，an的和【解析】由线性回归方程的概念我们知道，线性回归方程的系晨鸟教育 Earlybird 数公式 bx1y1x2y2xnynn xyx21x22x2nn x2i1nxiyin xyi1nx2in x2，a y b x，易知 A 正确【答案】A 回归直线方程的系数 a，b，用最小二乘法估计 a，b 使函数 Q(a，b)最小，Q(a，b)(A)A.i1n(yiabxi)2 B.i1n|yiabxi|C(yiabxi)2 D|yiabxi|解
4、析：由最小二乘法的定义知通过求 Q(y1bx1a)2(y2bx2a)2(ynbxna)2的最小值而得到回归直线的方法，叫作最小二乘法，故 Q(a，b)i1n(yibxia)2，故选 A.类型二 求回归直线方程 【例 2】某市近 5 年的煤气消耗量与使用煤气户数如下表：年份 2014 2015 2016 2017 2018 x/万户 1 1.1 1.5 1.6 1.8 y/百万立方米 6 7 9 11 12(1)检验是否线性相关；(2)求 y 对 x 的回归直线方程【思路探究】根据表中的数据 作出散点图 晨鸟教育 Earlybird 判断是否线性相关 若是，则根据公式求得a，b 得回归直线方程
5、【解】(1)作出散点图，观察呈线性相关，如图所示 (1)x 11.11.51.61.8575，y 679111259，i15x2i121.121.521.621.8210.26，i15xiyi161.171.591.6111.81266.4.bi15xiyi5 x yi15x2i5 x266.4575910.265492517023，a y b x 917023753123，y 对 x 的回归直线方程为 y17023x3123.规律方法 求回归直线方程的步骤：(1)先把数据制成表，从表中计算出i1nxi，i1nyi，i1nx2i，i1nxiyi；晨鸟教育 Earlybird(2)计算回归系数
6、a，b.公式为 bi1nxiyin x yi1nx2in x2，a y b x；(3)写出回归直线方程 ybxa.某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析，得下表数据：x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 已知记忆力 x 和判断力 y 是线性相关的，求线性回归方程 解：x 68101249，y 235644，i14x2i6282102122344，i14xiyi6283105126158，b15849434449214200.7，a y b x 40.792.3.则所求的线性回归方程为 y0.7x2.3.类型三 回归直线方程的应用 【例 3】假设关于某设备的使用年限
7、x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：晨鸟教育 Earlybird 使用年限 x 2 3 4 5 6 维修费用 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知 y 对 x 呈线性相关关系试求：(1)回归直线方程 ybxa；(2)估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少？【思路探究】先求回归直线方程，若回归直线方程为 ybxa，则在 xx0处的估计值为 y0bx0a.【解】(1)制表如下：于是有 b112.35459054212.3101.23.a y b x 51.2340.08.故回归直线方程是 y1.23x0.08.(2)根据回归直线方程是 y1.23x0.08，
8、当 x10 年时，y1.23100.0812.38(万元)，即估计使用 10 年时，维修费用是 12.38万元 规律方法(1)知道 x 与 y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验 否则，应首先进行相关性检验如果本身两个变量不具备相关关系，或者说，它们之间相关关系不显著即使求出回归直线方程也是毫无意义晨鸟教育 Earlybird 的，而且用其估计和预测的量也是不可信的(2)在求方程时，由于一步代入很烦琐，所以要分步求解，即分别求得 x，y，x y，x2，i1nx2i，i1nxiyi，再代入公式求 a，b.某种产品的广告费支出 x(单位：百万元)与销售额 y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x
9、2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70(1)画出散点图；(2)求线性回归方程；(3)预测当广告费支出为 7 百万元时的销售额 解：(1)(2)从散点图可以发现，y 与 x 具有线性相关关系，利用计算器求得：x 5，y 50，i15x2i145，i15xiyi1 380，设回归方程为 ybxa，则 bi15xiyi5 x yi15x2i5 x21 38055501455526.5，a y b x 506.5517.5，晨鸟教育 Earlybird 故所求线性回归方程为 y6.5x17.5.(3)当 x7 时，y6.5717.563.所以，当广告费支出为 7 百万元时，销售额约为 6
10、 300 万元 规范解答 数形结合在线性相关性中的应用【例 4】(12 分)下表数据是退水温度 x()对黄硐延长性 y(%)效应的试验结果，y 是以延长度计算的，且对于给定的 x，y 为正态变量，其方差与 x 无关.x()300 400 500 600 700 800 y(%)40 50 55 60 67 70(1)画出散点图；(2)指出 x，y 是否线性相关；(3)若线性相关，求 y 关于 x 的线性回归方程；(4)估计退水温度是 1 000 时，黄硐延长性的情况【思路点拨】根据所给数据画出散点图，然后可借助函数的思想分析【满分样板】(1)散点图如图所示：4 分(2)由散点图可以看出样本点分
11、布在一条直线的附近，可见 y 与 x线性相关.5 分(3)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.晨鸟教育 Earlybird 于是可得：【思维启迪】(1)在研究两个变量是否存在某种关系时，必须从散点图入手，对于散点图，可以做出如下判断：如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，那么就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系；如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，那么变量之间具晨鸟教育 Earlybird 有相关关系；如果所有的样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系(2)利用散点图判断两个变量之间是否具有线性相关关系，体现了数形结合思想的作用，而用回归直线方程进行估计又
12、体现了函数与方程思想的应用 下表是某机构记载的某市 5 月 1 号到 5 月 12 号每天某传染病治愈者的数据，并根据这些数据绘制了散点图，如图.下列说法正确的是(填序号)根据此散点图，可以判断人数与日期具有线性相关关系；根据此散点图，可以判断人数与日期具有一次函数关系；后三天治愈者人数占这 12 天治愈者总人数的 30%多；后三天中每天治愈者人数均超过这 12 天内治愈者总人数的20%.解析：由散点图可以明显看出日期与人数具有线性相关关系，故晨鸟教育 Earlybird 正确，不正确这 12 天治愈者总人数为 1001092031 722，而后三天治愈者人数为 175186203564，后三
13、天治愈者人数占这 12 天治愈者总人数的 30%还多，故正确，不正确 一、选择题 1下列叙述中：变量间关系有函数关系，又有相关关系；回归函数即用函数关系近似地描述相关关系；i1nxix1x2xn；线性回归方程 ybxa 中，bi1n xi x yi y i1n xi x 2，a y b x；线性回归方程一定可以表示相关关系 其中正确的有(C)A B C D 解析：线性回归方程只能近似地表示线性相关关系 2线性回归方程 ybxa 必过(D)A(0,0)点 B(x，0)点 C(0，y)点 D(x，y)点 解析：回归直线系数 a、b 有公式 a y b x，所以 y ab x，故直线必过定点(x，y
14、)3实验测得四组(x，y)的值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则 y 与 x之间的回归直线方程为(A)晨鸟教育 Earlybird Ayx1 Byx2 Cy2x1 Dyx1 解析：本题中 x 与 y 完全线性相关 二、填空题 4用身高 x(cm)预测体重 y(kg)满足 y0.849x85.712，若要找到41.638 kg 的人，不一定是在 150 cm 中(填“一定”或“不一定”)解析：因为统计的方法是可能犯错误的利用线性回归方程预测变量的值不是精确值但一般认为实际测量值应在预测值左右 5 某地区近 10 年居民的年收入 x 与支出 y 之间的关系大致符合 y0.8x0.
15、1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为 15 亿元，则年支出的估计是 12.1 亿元 解析：因为居民年收入 x 与支出 y 之间的大致关系为 y0.8x0.1.所以当收入为 x15 时，y0.8150.112.1.三、解答题 6 某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利润 y(元)与该周每天销售这种服装件数 x 之间的一组数据关系见下表：x 3 4 5 6 7 8 9 y 66 69 73 81 89 90 91 已知i17x2i280，i17xiyi3 487.(1)求 x，y；(2)画出散点图；(3)求纯利润 y 与每天销售件数 x 之间的回归直线方程 解：(1)x 345678976(件)，y 666973818990917559779.86(元)(2)散点图如下：晨鸟教育 Earlybird (3)由散点图知，y 与 x 有线性相关关系 设回归直线方程为 ybxa.由i17x2i280，i17xiyi3 487，x 6，y 5597，得 b3 487765597280736133284.75，a559764.7551.36，故回归直线方程为 y4.75x51.36.