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1、第二章章末归纳整合12abO ABba结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。空间向量的运算3平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义 表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零加法交换律加法结合律数乘分配律加法交换律数乘分配律加法结合律类比思想 数形结合思想数乘:ka,k为正数,负数,零4一、共线向量:零向量与任意向量共线.1.共线向量:空间两向量互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作 2.共
2、线向量定理:对空间任意两个向量 的充要条件是存在实数使共线向量定理与共面向量定理5二.共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.O A注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。61、已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若ab,求x,y的值。2、证明：三向量a=e1+e2,b=3e1-2e2,c=2e1+3e2 共面；若a=mb+nc，试求实数m、n之值。71）两个向量的夹角OAB空间向量的数量积向量a与b的夹角记作：82）两个向量的数量积注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积等于零。94)空间向量的数量积性质 注意
3、：性质2）是证明两向量垂直的依据；性质3）是求向量的长度（模）的依据；对于非零向量，有：105)空间向量的数量积满足的运算律 注意：数量积不满足结合律111、应用 可证明两直线垂直，2、利用 可求线段的长度。向量数量积的应用12空间向量正交分解及其坐标表示 单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用 i,j,k 表示。则空间中任意一个向量p可表示为 p=xi+yj+zk(x,y,z)就是向量p的坐标。13空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组x,y,z,使得p=xa+yb+zc.空间所有向量的
4、集合p|p=xa+yb+zc,x,y,z R a,b,c叫做空间的一组基底。143.1.5 向量的直角坐标运算15二、距离与夹角1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。16在空间直角坐标系中，已知、，则（2）空间两点间的距离公式终点坐标减起点坐标172.两个向量夹角公式注意：（1）当 时，同向；（2）当 时，反向；（3）当 时，。思考：当 及 时，的夹角在什么范围内？18立体几何中的向量方法191、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（
5、2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形问题）20ala二、怎样求平面法向量？21设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面，的法向量分别为u,v,则线线平行：l m a b a=kb;线面平行：l a u au=0;面面平行：u v u=kv.线线垂直：l m a b ab=0;面面垂直：u v uv=0.线面垂直：l a u a=ku;三、有关结论22异面直线所成角的范围：结论：题型一：线线角利用空间向量求空间角23题型二：线面角直线与平面所成角的范围：题型二：线
6、面角直线AB与平面所成的角可看成是向量与平面的法向量所成的锐角的余角，所以有 24题型三：二面角二面角的范围：关键：观察二面角的范围25立体几何中的向量方法坐标法问 题1：已 知：ABC 为 正 三 角 形，EC 平 面ABC,且EC,DB 在平面ABC 同侧，CE=CA=2BD.求证：平面ADE 平面ACE.怎样建立适当的空间直角坐标系？怎样证明平面ADE 平面ACE？如何求平面ADE、平面ACE的法向量？一个平面的法向量有多少个？能否设平面ADE的法向量为n=(1,y,z)?这样做有什么好处？26解：分别以CB，CE所在直线为y,z轴，C为原点建立空间直角坐标系C-xyz,如右下图,设正三
7、角形ABC边长为2则C(0,0,0)、E(0,0,2)、D(0,2,1)、B(0,2,0)、设N为AC中点，则N 连接BN，ABC为正三角形，BN AC，EC 平面ABC,BN EC,又ACEC=C,BN 平面ACE.因此可取向量 为平面ACE的法向量.那么设平面ADE的法向量为n=(1,y,z),则nn27n=n平面DEA 平面ACE.为了方便计算，能否取平面ACE的法向量为28通过上例，你能说出用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤吗？步骤如下：1.建立适当的空间直角坐标系；2.写出相关点的坐标及向量的坐标；3.进行相关的计算；4写出几何意义下的结论.291、怎样利用向量求距离？点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向，可取其射影的绝对值）。点到直线的距离：求出垂线段的向量的模。直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离。平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。30