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1、问题：用虚功方程可解几个代数未知量？看例子平面平衡自由刚体 几个自由度？给刚体虚位移：对应平动对应转动用虚功方程解决过若干问题，即，一个变分方程可对应几个独立的代数方程：独立代数方程数 广义坐标数 广义坐标的变分虚功表达式中广义坐标的变分的系数，称为广义力Qi可见，虚功方程等价于 Qi=0(i=1,2,.,k)1在以下（拉格朗日方程）的讲解中，会用到广义力的概念，故下面首先介绍广义力。注2：对应每一个广义坐标，有一个广义力；广义力是代数量而非矢量；广义力不作用在某个物体上，故也无法画出。注1：对单个自由刚体，该组方程等同于平衡方程；对非自由质点系，该组方程不同于平衡方程（见后面例1）。2第18
2、章 动力学普遍方程 拉格朗日方程18-1 18-1 广义力广义力一、广义力的概念质点系任一质点坐标可用广义坐标 qh(h=1,2,k)表示：求变分，得用广义坐标变分表示的虚位移：该质点上的力所作虚功：整个质点系上所有（主动）力所作虚功：对应第 h个广义坐标的广义力3二、广义力的求法1.解析法由各力及其作用点求用直角坐标表示：2.几何法由虚功求质点系虚功：若只给定第h 个广义坐标的虚位移，其余广义坐标的虚位移为0，则4例1（书上例17-10）解1：（解析法）建立坐标系如图。选1、2为广义坐标。各力在坐标轴上的投影为各力作用点坐标为代入广义力公式（过程略，你可以再详细些），得计算双摆的广义力，已知
3、摆长各为l1、l2，重量各为W1、W2，力P。（2自由度）5解2：（几何法）选1、2为广义坐标，对应虚位移为1、2。先令10、20，如图（a）。所有力在此虚位移上的虚功为所以，对应1的广义力为6 再令20、10，如图(b)。所以，对应2的广义力为18-2 18-2 动力学普遍方程动力学普遍方程拉格朗日是分析力学的创始人。回到动力学问题上来。达朗贝尔原理虚位移原理动力学普遍方程 拉格朗日方程分析力学的基础所有力在此虚位移上的虚功为：7动力学普遍方程的思想是：对n 个质点的质点系：动力学问题形式上的平衡问题动力学普遍方程达朗贝尔原理 虚位移原理理想约束：(1)(2)或(3)或注：上式中 不一定指质
4、点，而一般可理解为力或力偶个数；当质点系静止时（静平衡），退化为虚功方程：即，对动力学问题，给系统加上惯性力，再应用虚位移原理即可解题。8例2（补充，由例12-1 改，求反力）图示系统。均质滚子A、滑轮B 重量和半径均为Q 和r，滚子纯滚动，三角块固定不动，倾角为，重量为G，重物重量P。试用动力学普遍方程求地面给三角块的水平反力。分析：此题已经由动量定理、质心运动定理和达朗贝尔原理分别求解过。1.欲用动力学普遍方程求解三角块水平反力，需解除其水平约束，研究整体，给各运动物体加惯性力和惯性力偶，但有关加速度和角加速度未知；2.欲求加速度和角加速度，研究整体（不去约束），加惯性力和惯性力偶，给系统
5、虚位移，应用动力学普遍方程可求。解题步骤：(一)研究整体（若求反力，需先去其约束，画上约束力）；(二)画主动力，并加惯性力（偶），画运动图；给系统虚位移；(三)列解方程。PQQCOAB9解：I.求加速度和角加速度。研究整体（不去约束，因后面要用虚位移原理），加惯性力和惯性力偶，如图。其中惯性力和惯性力偶：PQQaaCCOAB 给系统虚位移，如图。其中虚位移的关系：且(1)(2)列动力学普遍方程：将(1)、(2)式代入方程(3)，解得：从而(3)10作业：选做18-5（试用动力学普遍方程求。注意为2自由度问题）II.求地面水平反力。研究整体，解除地面的水平约束，代之以水平反力X；加惯性力和惯性力
6、偶，如图。PQQaaCCOABX 给系统虚位移，如图。列动力学普遍方程：将(1)式代入上式，解得：注：由于使用动力学普遍方程较麻烦，通常不用其直接求解动力学问题。其意义在于导出拉格朗日方程。1 1拉氏方程由动力学普遍方程导出，它秉承了动力学普遍方程不需考虑约束力的优点。因而，对受完整约束的多自由度多刚体系统，比其它动力学方法简单（特别是保守系统，毋需求广义力）。18-3 18-3 拉格朗日方程（简介）拉格朗日方程（简介）简称拉氏方程。拉格朗日推导出两种形式的拉氏方程，即第一类拉格朗日方程和第二类拉格朗日方程。第一类方程使用直角坐标及约束方程（用待定乘子法），因而方程组中的方程很多；第二类方程使
7、用广义坐标、广义力及动能的概念，使方程组中的方程数大大减少（为广义坐标数或自由度数）。一般（此处亦如此）的拉格朗日方程均指第二类方程。一、拉格朗日方程二、保守系统中的拉格朗日方程其中L=T V 称为拉格朗日函数或动势。(1)(2)注1：拉格朗日方程提供了k个（系统自由度数）（广义坐标的）微分方程。注2：通常用拉格朗日方程建立系统的动力学方程（特别是振动系统的振动微分方程），或求加速度，而不用其求速度。12解题步骤：(一)研究整体（一般不去约束），选广义坐标；(二)画主动力，并分析速度；求拉格朗日函数或广义力；(三)列解方程。例3（补充，例12-1）图示系统。均质滚子A、滑轮B 重量和半径均为Q
8、 和r，滚子纯滚动，三角块固定不动，倾角为，重物重量P。试用拉格朗日方程求滚子质心加速度。系统为1个自由度保守系统，故用保守系统拉格朗日方程求解：分析：选广义坐标 s，写任意位置下系统的拉格朗日函数（L=T V），由上式可写1个方程，其中所含待求量 即为所求。PQQv avCaCssCOAB此时，k=1。13拉格朗日方程：其中则即则拉格朗日函数：解：设重物从静止上升s，选s 为广义坐标。在任意位置时系统动能：设系统起始位置为0势能位置，系统势能为：PQQv avCaCssCOAB14例4（书例18-3，2自由度系统，较难）已知：均质圆柱质量为M，半径r，纯滚动；摆长l，不计质量；小球视为集中质
9、量，质量m。试用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程。分析：为2自由度保守系统。用拉氏方程求解：研究整个系统，选滚子转角（注：为方便，设为如图方向）、摆转角 为广义坐标。为写系统任意位置时的动能，需先进行速度分析。解：事实上，拉格朗日方程最拿手的还不是上面1个自由度系统的动力学问题，而是多自由度系统问题，如下例。先选广义坐标，再写任意位置下系统的拉格朗日函数，由上式可写2个方程，即为所求。此时，k=2。15OA 作平面运动。选O 为基点，A 为动点，则其中，易知质点系动能：选O 点所在水平面为0势能面，系统势能为拉格朗日函数：代入拉格朗日方程：整理得非线性ODE，一般无解析解。16下次课预习：第20章 单自由度系统的振动作业：选做18-5（试用拉格朗日方程求。注意为2自由度问题）17