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1、函 数2021/8/9 星期一1一一映射映射函数奇偶性单调性应用对数函数指数函数知识结构2021/8/9 星期一2（一）知识点归纳（一）知识点归纳 1、映射、函数、函数的三要素、映射、函数、函数的三要素、函数的单调性、函数奇偶性。函数的单调性、函数奇偶性。2、反函数，互为反函数的函数图、反函数，互为反函数的函数图像间的关系。像间的关系。3、指数、指数,对数对数;指数函数指数函数,对数函数对数函数（二）典例分析（二）典例分析（三）单元测试（三）单元测试2021/8/9 星期一3例例1 函数函数y=log (x2-2x+3)的定义域为的定义域为_值域为值域为_，单调增区间为，单调增区间为_，减区，
2、减区间为间为_。解：解：x2-2x+30 xR x2-2x+3=(x-1)2+22 y=log (x2-2x+3)-1 单调增区间为（单调增区间为（-,1，减区间为减区间为1,+）2021/8/9 星期一4例例2 y=log2 的值域为的值域为_，增区间为增区间为_，减区间为，减区间为_。解：解：-(x2-6x+5)0 x2-6x+50 1x5 y=log2 log22=1 值域为值域为y1 增区间为（增区间为（1，3 减区间为减区间为3，5）2021/8/9 星期一5例例3 函数函数y=log (x2-ax-a)在区间在区间(-,1-)上是增函数则上是增函数则a的范围是的范围是_。（f(x)
3、=log (3x2-ax+5)在在-1,+)上是减函上是减函数则数则a范围为范围为_）。）。解：解：x2-ax-a=(x-)2-a y=log (x2-ax-a)在在(-,1-)上上 是增函数是增函数 1-(1-)2-a(1-)-a0 2-2 a22021/8/9 星期一6例例4 当当x(1,2)时，不等式时，不等式(x-1)2logax恒成恒成立，则立，则a的范围是的范围是_。解：令解：令y1=(x-1)2 y2=logax 当曲线当曲线y=logax过过A(2,1)时时 1=loga2 a=2 欲使欲使x(1,2 (x-1)2logax恒成立恒成立 必须使必须使1a2A(2,1)1 2xy
4、O2021/8/9 星期一7例例5 函数函数y=log 2x+log x单调减区间为单调减区间为_。解：令解：令t=log x y=t2+t=(t+)2-log x-0 x 函数函数y=log 2x+log x 单调减区间为单调减区间为(0,2021/8/9 星期一8例例6 设设0a1，x，y满足满足 logax+3logxa-logxy=3 若若y有最大值为有最大值为 ，求此时，求此时a值及值及x的值。的值。解：解：logxy=logax+-3 logay=log2ax-3logax+3 a =a=log x=x=()=2021/8/9 星期一9例例7 函数函数y=logax(0a1)x1的
5、图象上有的图象上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为三点，它们的横坐标分别为t，t+2，t+4。（1）若）若ABC面积为面积为S，求，求S=f(t)。（2）判断）判断S=f(t)的单调性。的单调性。（3）求）求S=f(t)的最大值。的最大值。0Stt A B C t+2t+4A B C 2021/8/9 星期一10解：解：A(t,logat)B(t+2,loga(t+2)C(t+4,loga(t+4)S=SAABB+SBBCC-SAACC =(|logat|+|loga(t+2)|)+(|loga(t+2)|+|loga(t+4)|)-2(|logat|+|loga(t+4)|)t1 S=lo
6、ga S=loga(1-)在在1+)上为减函数上为减函数（3）当当t=1时时 S大大=loga2021/8/9 星期一11例例8 当当0a0,且且a1)解的解的个数为个数为_。解：解：-x2+2x+2a =-(x-1)2+2a+1 2a+1a+1AByx10 xyx=1202021/8/9 星期一12例例10 已知已知x1是方程是方程x+lgx=4的解，的解，x2是方是方程程x+10 x=4的解，则的解，则x1+x2=_。（A）5 （B）4 （C）3 （D）1法法1：x1+lgx1=4又又x2+10 x2=4 3x14 0 x21 3x1+x20，a1为常数，函数为常数，函数f(x)=loga
7、（1）讨论）讨论f(x)在区间在区间(-,-5)内的单调性，内的单调性，并给予证明。并给予证明。（2）设）设g(x)=1+loga(x-3)如果方程如果方程f(x)=g(x)有实根，求有实根，求a的范围。的范围。解：设解：设U(x)=x1x2-5 则则U(x1)-U(x2)=2021/8/9 星期一20 x1x2-5 x1-x20 x1+50 x2+50U(x1)-U(x2)1时时 f(x)=loga 在在(-,-5)上是增函数。上是增函数。当当0a0)a(t+2)=t+1212+4 a =0a 。2021/8/9 星期一22单元测试单元测试一、单选题一、单选题1）若指数函数若指数函数y=f(
8、x)反函数的图像过点反函数的图像过点(2,-1)，则此指数函数是（），则此指数函数是（）(A)y=()x(B)y=2x(C)y=3x(D)y=10 x2）若若f(x)=，则，则f()=-的解为（）的解为（）（A）2 （B）-2 （C）2 （D）13）若函数若函数y=f(x)的定义域是的定义域是-2,2，则函，则函数数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域是（）的定义域是（）(A)-4,2(B)-2,2(C)-2,4(D)-4,-22021/8/9 星期一234）设集合设集合A和和B都是坐标平面上的点集都是坐标平面上的点集|(x,y)|xR,yR|，映射，映射f:AB把把A中的元中的元素素(x,
9、y)映射成映射成B中的元素中的元素(x+y,x-y)，则，则在映射下，象在映射下，象(2,1)的原象是（）的原象是（）(A)(3,1)(B)(,)(C)(,-)(D)(1,3)5）函数函数y=f(x)的定义域和值域都是的定义域和值域都是(-,0),那么函数那么函数y=f(-x)的图像一定位于（）的图像一定位于（）（A）第一象限）第一象限 （B）第二象限）第二象限 （C）第三象限）第三象限 （D）第四象限）第四象限2021/8/9 星期一246）如果如果0a1,0 x2x1，则下列各式中正，则下列各式中正确的是（确的是（B）（A）1ax2ax1 （B）ax1ax21（C）ax2ax11 （D）a
10、x11ax27）若函数若函数f(x-1)是偶函数，则函数是偶函数，则函数f(x)()(A)以以x=1为对称轴为对称轴 (B)以以x=-1为对称轴为对称轴 (C)以以y轴为对称轴轴为对称轴 (D)不具有对称性不具有对称性8）已知已知f(x)=asinx+b +4(a,bR)，且，且f(lg log310)=5，则，则f(lg lg3)的值是（）的值是（）（A）-5 （B）5 （C）-3 （D）32021/8/9 星期一259）已知函数已知函数f(x)，(xR)满足：满足：(1)f(1+x)=f(1-x)；(2)在在1,+)上为增上为增函数；函数；(3)x10，且，且x1+x2f(-x2)(B)f
11、(-x1)=f(-x2)(C)f(-x1)f(-x2)(D)无法确定无法确定10）若若f(x)为奇函数，且在为奇函数，且在(-,0)内是增内是增函数，又函数，又f(-2)=0，则，则xf(x)0的解集为（）的解集为（）(A)(-2,0)(0,2)(B)(-,-2)(2,+)(C)(-,-2)(2,+)(D)(-2,0)(2,+)2021/8/9 星期一2611）若若f(x),g(x)均为奇函数，且均为奇函数，且F(x)=af(x)+bg(x)+1在在(0,+)上有最大值上有最大值4，则，则F(x)在在(-,0)上有最小值（）上有最小值（）（A）-4（B）-2（C）-1（D）312）定义在定义在
12、R上的函数上的函数y=f(x)有反函数，则有反函数，则函数函数y=f(x+a)+b的图像与的图像与y=f-1(x+a)+b的图的图像间的关系是（）像间的关系是（）(A)关于直线关于直线y=x+a+b对称对称 (B)关于直线关于直线x=y+a+b对称对称 (C)关于直线关于直线y=x+a-b对称对称 (D)关于直线关于直线x=y+a-b对称对称2021/8/9 星期一27二、填空题二、填空题13）已知函数已知函数f(x)=ax2+b(x0)的图像过点的图像过点(-2,11),f(x)的图像过点的图像过点(2,-1)，则，则a=_，b=_。14）已知已知logx3logy30，则，则0,1,x,y
13、之间的之间的大小关系是大小关系是_。15）已知已知0a1，则方程，则方程a|x|=|logx|。实根实根的个数是的个数是_个。个。16）设函数设函数g(x)=是奇函数，则是奇函数，则a=_。2021/8/9 星期一28三、解答题三、解答题17）设设f(x)是是R上的偶函数上的偶函数,且在区间且在区间(-,0)上递增，若有上递增，若有f(2a2+a+1)0 3a2-2a+10 2a2+a+13a2-2a+1 a2-3a0 0a1，变数，变数x,y之间有关系式：之间有关系式：logax+3logxa-logxy=3。（1）若）若x=at(t0)，试求以，试求以a,t表示表示y的表达式；的表达式；（
14、2）若）若t的变化范围为的变化范围为1,+)此时此时y的最小值为的最小值为8，求，求a和和x值。值。解解：（：（1）logax+3logxa-logxy=3 =logax+-3 logay=loga2x-3logax+3 y=a =a （2）当）当t=时时 y小小=a =8 a=8 =16 此时此时x=16 =642021/8/9 星期一3019）已知二次函数已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函和一次函数数g(x)=-bx，其中，其中a,b,c满足满足abc,a+b+c=0（1）求证：两函数的图像交于不同的两）求证：两函数的图像交于不同的两点点A，B；（2）求线段）求线段AB在在x轴
15、上的射影轴上的射影A1B1的长的的长的取值范围。取值范围。解：解：(1)y=ax2+bx+c ax2+bx+c=-3x y=-bx ax2+2bx+c=0 =4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac =4(a+)2+c2 abc a+b+c=0 a0 c0 两函数图象交于两个不同点。两函数图象交于两个不同点。2021/8/9 星期一31（2）设方程两个根分别为）设方程两个根分别为x1,x2 则则 x1+x2=-x1x2=|A1B1|2=(x1+x2)2-4x1x2 =(-)2-=4 abc a+b+c=0 a0 c-a-cc (-2,-)|A1B1|2(3,12)|A1B1|22021/8/9
16、 星期一3220）如图所示，铁路线上如图所示，铁路线上AB段长段长100千米，千米，工厂工厂C到铁路的距离到铁路的距离CA为为20千米，现在要千米，现在要在在AB上某一点上某一点D处，向处，向C修一条公路，已修一条公路，已知铁路与公路的每吨千米的运费之比为知铁路与公路的每吨千米的运费之比为3:5，为了使原料从供应站，为了使原料从供应站B运到工厂运到工厂C的运费的运费最省。最省。D点应选在何处？点应选在何处？解：设解：设|AD|=x 铁路上每吨千米运费铁路上每吨千米运费 为为3k，公路为，公路为5k。总运费总运费y=5k +3k(100-x)(0 x100)=5 -3xADBC2021/8/9
17、星期一33 令令 =t (t+3x)2=25(x2+400)16x2-6tx+10000-t=0 =36t2-416(10000-t)0 t80 当当t=80时时 x=15时，即时，即D取在距取在距A15千米处，总千米处，总运费量省。运费量省。法法2 设设ACD=a 则总运费量则总运费量y=3(100-20tana)+5 =300+()小小=此时此时 tana=AD=15（千米）（千米）2021/8/9 星期一3421）已知函数已知函数f(x)=3x且且f-1(18)=a+2，g(x)=3ax-4x的定义域为区间的定义域为区间0,1。（1）求）求g(x)的解析式；的解析式；（2）求）求g(x)
18、的单调区间，确定其增减性并的单调区间，确定其增减性并试用定义证明；试用定义证明；（3）求）求g(x)的值域。的值域。解解：（：（1）f(x)=3x且且f-1(18)=a+2 f(a+2)=3a+2=18 3a=2 g(x)=2x-4x2021/8/9 星期一35（2）令）令t=2 g(t)=t-t2=-(t-)2+t1,2 g(t)在在1,2上单调递减上单调递减 g(x)在在1,2上单调递减上单调递减 证：设证：设0 x1x21 g(x2)-g(x1)=2x2-4x2-2x1+4x1 =(2x2-2x1)-(2x2-2x1)(2x2+2x1)=(2x2-2x1)(1-2x1-2x2)0 x10 1-2x1-2x20 g(x2)0 恒成立恒成立 =4m2-4(2m2+)0 m 或或m0 U(x)小小=m2-2+24 由由m2-2=(m2-2)2=1 m=此时此时f(x)小小=2 x=或或-2021/8/9 星期一38谢谢2021/8/9 星期一39