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1、第一章 整数的可除性一 初等数论及其主要内容 数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即质数）分布 以及数论函数等内容，统称初等数论 （elementary number theory）。初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的几何原本（公元前3世纪）中就已出现。欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，
2、现在一般数论书中的“中国剩余定理”，正是我国古代孙子算经中的下卷第26题，我国称之为孙子定理。近代初等数论的发展得益於费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。1801年，德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做算术探究，开始了现代数论的新纪元。高斯还提出：“数学是科学之王，数论是数学之王”。二 数论的发展 由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。而且近年来初等数论在计算机科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了 广泛的应用，无疑同时也促进着数论的发展。我国近代：在
3、解析数论、丢番图方程，一致分布等方面有过重要贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤等一流的数论专家，其中华罗庚在三角和估值、堆砌素数论方面的研究享有盛名。特别是在“篩法”、歌德巴赫猜想方面的研究，已取得世界领先的优异成绩。陈景潤在1966年证明歌德巴赫猜想方面证明了”1+2”(一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和)三、几个著名数论难题 初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想；费尔马大定理；孪生素数问题；完全数问题等。1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教
4、学中首先发现的。1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,正式提出了以下的猜想：一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”所谓的1+2，是筛法的光辉顶点，至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。1、哥德巴赫猜想：2、费尔马大定理：费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，世人冠以“业余王子”之美称。在三百七十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理。
5、经过8年的努力，英国数学家 安德鲁怀尔斯 终于在1995年完成了该定理的证明。方程 无非0整数解3、孪生素数问题 存在无穷多个素数 p,使得 p+2 也是素数。究竟谁最早明确提出这一猜想已无法考证，但是1849年法国数学家 Alphonse de Polignac 提出猜想：对 于任何偶数 2k,存在无穷多组以2k为间隔的素数。对于 k=1，这就是孪生素数猜想，因此人们有时把 Alphonse de Polignac 作为孪生素数猜想的提出者。不同的 k 对应的素数对的命名也很有趣，k=1 我们已经知道叫做孪生素数；k=2(即间隔为4)的素数对被称为 cousin prime；而 k=3(即间
6、隔为 6)的素数对竟然被称为 sexy prime(不过别想歪了，之所以称为 sexy prime 其实是因为 sex 正好是拉丁文中的 6。)4、最完美的数完全数问题 下一个具有同样性质的数是28,28=1+2+4+7+14.接着是496和8128.他们称这类数为完美数.欧几里德在大约公元前350-300年间证明了:注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然不知道有没有奇完全数。完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯的信徒发现的,他们注意到,数6有一个特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和，如：6=1+2+3.若 是素数，则 是完全数 在培养中学生思维能力方面大有作用。四、初等数论在中
7、小学教育中的作用国际数学奥林匹克从1959年起到2002年已经举行了43届比赛，大致统计，在总共260道题目中，可以主要用初等数论知识来解及初等数论知识有关的约有82题，约占31.5%。第一节 整除的概念 带余数除法2、整除的基本定理、整除的基本定理思考：逆命题是否成立？1、m|(ab)m|a,m|b2、m|(ab)，m|am|b定理2特例：m|a m|aq3 3、带余数除法、带余数除法例例1 求当b=15时,a取下列数值时的不完全商和余数.1、a=81;2、a=-81;例例2(1)一个数除以2,余数可能为 ,所有的整数按被2除所得的余数分类可分为 .(2)一个数除以3,余数可能为 ,所有的整
8、数按被3除所得的余数分类可分为 .(3)一 个 数 除 以 正 整 数 b,余 数 可 能 为 ,所有的整数按被b除所得的余数分类可分为 .带余数除法的应用举例带余数除法的应用举例例例1 1 证明形如证明形如3n-13n-1的数不是平方数。的数不是平方数。例例 2 2、任任 意意 给给 出出 的的5 5个个 整整 数数 中中，必必 有有3 3个个 数数 之之和被和被3 3整除。整除。例4例6第二节第二节 最大公因数与辗转相除法最大公因数与辗转相除法2 2、任意整数的最大公因数可转化为正整数来讨论、任意整数的最大公因数可转化为正整数来讨论3 3、下面先讨论两个非负整数的最大公因数、下面先讨论两个
9、非负整数的最大公因数定理定理2 2、设、设b b是任一正整数，则（是任一正整数，则（i)0i)0与与b b的公因数就是的公因数就是b b的因数，反之，的因数，反之，b b的因数也就是的因数也就是0 0与与b b的公因数。的公因数。(ii)(0,b)=b(ii)(0,b)=b4 4、定理、定理3 3 设设a,b,ca,b,c是三个不全为零的整数，且是三个不全为零的整数，且a=a=bq+cbq+c其中q是非零整数，则a,b与b,c有相同的公因数，因而(a,b)=(b,c)思考：1、d|a,d|c时能否推出d|b?5、下面要介绍一个计算最大公约数的算法下面要介绍一个计算最大公约数的算法辗转辗转相除法
10、，又称相除法，又称EuclidEuclid算法。它是数论中的一个重要算法。它是数论中的一个重要方法，在其他数学分支中也有广泛的应用。方法，在其他数学分支中也有广泛的应用。定义定义 下面的一组带余数除法，称为辗转相除法。下面的一组带余数除法，称为辗转相除法。6 6、最大公因数的两个性质、最大公因数的两个性质 对于两个以上整数的最大公因数问题，不妨设所以，命题得证。第三节 整除的进一步性质及最小公倍数例例 用辗转相除法求(125,17)，以及x，y，使得 125x 17y=(125,17)。解 做辗转相除法：则 对于两个以上整数的最小公倍数问题，不妨设注：多项式的带余除法类似于整数的带余除法第四节
11、 质（素）数 算术基本定理一、质（素）数一、质（素）数1、定义 一个大于1的整数，如果它的正因数只有1及它本身，就叫做质数（或素数）；否则就叫合数。2、与素数相关的性质定理证：必要性显然。对于一个给定的整数，我们根据上述定理不仅可以判别它是否是素数，且还可以找出所有不大于它的素数把1划去，剩下第一个数是2,2是素数。从2起划去它后面所有2的倍数，剩下的第一个数是3，它不是2的倍所以它是素数。依次，当我们把所有的不大于的素数。这种方法是希腊时代幼拉脱斯展纳发明的，好像用筛子筛出素数一样，称幼拉脱斯展纳筛法。数的素性检验方法问题在近几年得到了飞速的发展,若用计算机编成程序,对于10位数,几乎瞬间即
12、可完成,对于一个20位数,则需要2个小时,对于一个50位数就需要一百亿年,令人吃惊的是,要检验一个一百位数,需要的时间就猛增到1036年.到了1980年,这种困难的情况得到了改观,阿德曼(Adleman),鲁梅利(Rumely),科恩(Cohen),和伦斯特拉(Lenstra)研究出一种非常复杂的过去,要检验一个数是否是素数，最简单方法是试除法，检验一个20位数只消10秒钟,对于一个50位数用15秒钟,100位数用40秒钟,如果要他检验一个1000位数,只要用一个星期也就够了.但是大部分的素性检验法都不能分解出因数来,只能回答一个数是否是素数.技巧,现在以他们的名字的首字母命名的ARCL检验法
13、 定理3、素数的个数是无穷的。注：2000多年前，古希腊数学家欧几里得（前330-前275），著有几何原本，他在此书中率先证明了素数的无限性，这个证明一直被当作数学证明的典范，受到历代数学家的推崇，因为这一定理及其证明既简洁、优美而不失深刻。其证明思路如下：证明:假设正整数中只有有限个质数，设为下面介绍与素数有关的某些问题1、费马数：费马在1640年设计了一个公式，给出一些素数。然而他大错特错了！只有五个素数被发现是遵从于这个公式的，它们是3,5,17,257和65537,分别对应于n=0,1,2,3,42、费马数与尺规作图的联系：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。尺规作图 瑞士科学家欧
14、拉于1732年举出故费马的猜测不正确。规作图使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同：1、直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度；2、圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成之前构造过的长度。只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。尺是起源于古希腊的数学课题。只使用圆规和直尺，并且一般地，任意正n边形有以下结论：3、梅森数梅森数(Mersenne number)是指形如2p1的正整数，其中指数p是素数，常记为Mp。若Mp是素数，则称为梅森素数。早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究2P1
15、的先河，他在名著几何原本 第九章中论述完美数时指出：如果2P1是素数，则(2p1)2(p1)是完美数。梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上，对2P1作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的 物理数学随感一书中断言：对于p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，2P1是素数 而对于其他所有小于257的数时，2P1是合数。前面的7个数属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数属于被猜测的部分。值得提出的是：虽然梅森的断言中包含着若干错误，但他的工作极大地激发了人们研究2P1型素数的热情，在梅森素数的基础研究方面，法国数学家鲁卡斯和美国 数学家雷
16、默都做出了重要贡献；以他们命名的“鲁卡斯-雷默方法”是目前已知的检测梅森素数素性的最佳方法。此外，中国数学家和语言学家周海中给出了梅森素数分布的精确表达式，为人们寻找梅森素数提供了方便；这一研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。2005年，美国数学家C.Cooper和S.Boone领导的科研小组发现了第43个梅森素数，该素数有9 152 052位数，是目前知道的最大的素数，该素数是：关于梅森数有下列的一个命题：二、算术基本定理1、定理4 任一大于1的整数能表成素数的乘积，即任一大于1的整数此为算术基本定理。2、正整数的标准分解式推论4.1 任一大于1的整数a能够唯一地写成推论4.2 设a是任一大
17、于1的整数，且推论4.3 设a,b是任意两个正整数，且注：利用推论容易证明：定理5 设a是任一大于1的正整数第五节第五节 函数函数x,x及其在数论中的一个应用及其在数论中的一个应用一、取整函数及性质1、取整函数x的定义:函数x与x是对于一切实数都有定义的函数，函数x的值等于不大于x的最大整数；函数x的值是x-x.把x叫做x的整数部分，x叫做x的小数部分。问题：这两个函数的图像如何？2、取整函数的简单性质例题则原命题等价于证注：此为厄米特恒等式。二、取整函数的一个应用例3、求50！中3的最高幂3（50！）=16+5+1例4、求1000！的十进制表示式中末尾连续零的个数解：1000！的十进制表示式中因子5的个数等于因子10的个数，所以1000！的十进制表示式中末尾连续零的个数等于因子5的个数，即