2022届福建省厦门市重点高考压轴卷数学试卷含解析.pdf

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1、2021-2022高 考 数 学 模 拟 试 卷 注 意 事 项：1.答 题 前，考 生 先 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 码 填 写 清 楚，将 条 形 码 准 确 粘 贴 在 条 形 码 区 域 内。2.答 题 时 请 按 要 求 用 笔。3,请 按 照 题 号 顺 序 在 答 题 卡 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答，超 出 答 题 区 域 书 写 的 答 案 无 效；在 草 稿 纸、试 卷 上 答 题 无 效。4.作 图 可 先 使 用 铅 笔 画 出，确 定 后 必 须 用 黑 色 字 迹 的 签 字 笔 描 黑。5.保 持 卡 面 清 洁，不 要 折 暴、不 要

2、 弄 破、弄 皱，不 准 使 用 涂 改 液、修 正 带、刮 纸 刀。12 29、(12 29一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5分，共 60分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.设 函 数/。）=5皿（勿+?口 0）,若/（M 在 0,2汨 上 有 且 仅 有 5个 零 点，则。的 取 值 范 围 为（）（12 29A 12 29-15 10J L 5 10J2,若 函 数 y=2sin（2x+e）的 图 象 过 点（9，1）,则 它 的 一 条 对 称 轴 方 程 可 能 是（）67T 7T 7V 57TA

3、.x=B.x=C.x=D.x=6 3 12 123.已 知 平 面。和 直 线 a,b,则 下 列 命 题 正 确 的 是（）A.若 b/a,则。a B.若 i _L%,_L。，则 aC.若。匕，h.La J 则。_La D.若 _1_/?，a,则。_L。4.已 知 尸 是 双 曲 线 C:2+V=4 伏|（A 为 常 数）的 一 个 焦 点，则 点 F 到 双 曲 线 C的 一 条 渐 近 线 的 距 离 为（）A.2k B.4k C.4 D.26.已 知/（x+2）是 偶 函 数，/（x）在（-8,2 上 单 调 递 减，/（0）=0,则/（2-3x）0的 解 集 是2 2A.(-)U(+

4、o0)7.一 个 超 级 斐 波 那 契 数 列 是 一 列 具 有 以 下 性 质 的 正 整 数:从 第 三 项 起，每 一 项 都 等 于 前 面 所 有 项 之 和(例 如：1,3,4,8,16).则 首 项 为 2,某 一 项 为 2020的 超 级 斐 波 那 契 数 列 的 个 数 为()A.3 B.4 C.5 D.68.如 图 所 示 点 尸 是 抛 物 线 丁=8 x的 焦 点，点 A、B分 别 在 抛 物 线 y 2=8 x及 圆/+572-4*-1 2=0 的 实 线 部 分 上 9.五 名 志 愿 者 到 三 个 不 同 的 单 位 去 进 行 帮 扶，每 个 单 位

5、至 少 一 人，则 甲、乙 两 人 不 在 同 一 个 单 位 的 概 率 为()2 13 3 19A.-B.C.D.5 25 5 2510.下 列 选 项 中，说 法 正 确 的 是()A.“3x0 G R,x()-x0 0”B.若 向 量 石 满 足 7 方 0，则 Z与 否 的 夹 角 为 钝 角 C.am2 贝(la K。D.“x e(AU 8)”是“x e(A D B)”的 必 要 条 件 一,x 0.XA.(0,)B.(0,)e 2e12.已 知 全 集。=1 1,集 合 A=,若 函 数 尸(x)=/(x)一 履 在 R 上 有 3个 零 点，则 实 数 人 的 取 值 范 围

6、为()C.(co,)D(,)2e 2e ex|x l,5=止 K 2,贝！|&4)口 8=()A.1 x|l x 2 j B.1 x l x 2|C.x|-l x-l|二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5分，共 20分。13.（a 2 s（l c）的 展 开 式 中，/。的 系 数 是.14.已 知 圆。：/+9=4,直 线/与 圆。交 于 P,。两 点，A（2,2）,若|+|A Q=40,则 弦 P Q 的 长 度 的 最 大 值 为,15.等 腰 直 角 三 角 形 A BC内 有 一 点 P,PA=,PB=垃,PC=2,Z A=9Q,则 AABC面 积 为.16.已 知

7、 集 合 4=1,4,3=5,7.若/3=4,则 实 数 a 的 值 是.三、解 答 题：共 70分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。17.（12 分）如 图，在 四 面 体 NM8C中，A B L B C,D A=D C=DB.（1）求 证:平 面 ABC_L平 面 A C O；（2）若 NC4=30。，二 面 角 C AB。为 60,求 异 面 直 线 与 B C所 成 角 的 余 弦 值.18.（12分）已 知 直 线/的 参 数 方 程 为 V2x=m-12广。为 参 数），以 坐 标 原 点 为 极 点，工 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建

8、立 极 坐 及，y 二 t2标 系,曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 p 2 cos2。+3P2 sin2。=1 2,且 曲 线 C 的 左 焦 点 F 在 直 线 I上.(I)求/的 极 坐 标 方 程 和 曲 线 C 的 参 数 方 程;(U)求 曲 线。的 内 接 矩 形 的 周 长 的 最 大 值.2 219.（12分）已 知 椭 圆 y=l（a b 0）的 焦 距 是 2五，点 P 是 椭 圆。上 一 动 点，点,N 是 椭 圆 c 上 关 于 原 点。对 称 的 两 点（与 P 不 同），若 直 线 的 斜 率 之 积 为-2(I)求 椭 圆 的 标 准 方 程；(II)A,

9、B 是 抛 物 线 G=4)上 两 点，且 A 3 处 的 切 线 相 互 垂 直，直 线 与 椭 圆 C 相 交 于 C,。两 点，求)的 面 积 的 最 大 值.20.(12分)记 函 数/(X)=x+g+|2x-1的 最 小 值 为 机.(1)求 加 的 值；9(2)若 正 数 b,。满 足 而。=加，证 明：ab+bc-ca-.+Z?+c21.(12分)已 知 数 列 4 满 足 q=T，且 4=誓+击(之 2,eN).(D 求 证：数 列 24 是 等 差 数 列，并 求 出 数 列 4 的 通 项 公 式；(2)求 数 列 4 的 前 项 和 S,.22.(10分)如 图，四 棱

10、锥 P-A B C O 的 底 面 A5CQ是 正 方 形，为 等 边 三 角 形，M,N 分 别 是 A5,A O 的 中 点，且 平 面 平 面 ABC。.(1)证 明：C M J 平 面 PN5；PE(2)问 棱 出 上 是 否 存 在 一 点 E,使 PC 平 面 O E M,求 的 值 EA参 考 答 案 一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5分，共 60分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.A【解 析】J T由 求 出。x+二 范 围，结 合 正 弦 函 数 的 图 象 零 点 特 征，建 立。不 等

11、 量 关 系，即 可 求 解.【详 解】八 冗 冗 冗 当 xl 0,2乃 时，CDX+G,4,在 0,2句 上 有 且 仅 有 5个 零 点，7T 12 295TT ZSTI H:.-4 ty.5 5 10故 选:A.【点 睛】本 题 考 查 正 弦 型 函 数 的 性 质，整 体 代 换 是 解 题 的 关 键，属 于 基 础 题.2.B【解 析】把 已 知 点 坐 标 代 入 求 出。，然 后 验 证 各 选 项.【详 解】式 乃 冗 兀 由 题 意 2sin(F 9)=1,sin(-(p)=,(p-2 k 7 i-或(p=2k jr,k e Z,3 3 2 6 2不 妨 取(P=一 或

12、 e=V,6 2IT 7 T若 9=务，则 函 数 为 丁=sin(2x+5)=c o s 2 x,四 个 选 项 都 不 合 题 意，J 1)7 7 7 7 T T J 1若 干=一，则 函 数 为 y=2sin(2x?),只 有 x 时，sin(2xg?)=1,即 x=是 对 称 轴.6 6 3 3 6 3故 选：B.【点 睛】本 题 考 查 正 弦 型 复 合 函 数 的 对 称 轴，掌 握 正 弦 函 数 的 性 质 是 解 题 关 键.3.C【解 析】根 据 线 面 的 位 置 关 系，结 合 线 面 平 行 的 判 定 定 理、平 行 线 的 性 质 进 行 判 断 即 可.【详

13、解】A：当 a u。时，也 可 以 满 足 a b,b/a,故 本 命 题 不 正 确；B：当 a u a 时，也 可 以 满 足 b l.a,故 本 命 题 不 正 确；C：根 据 平 行 线 的 性 质 可 知：当 b L a,时，能 得 到 a_Lc,故 本 命 题 是 正 确 的；D：当 a u a 时，也 可 以 满 足，加，b/a,故 本 命 题 不 正 确.故 选：C【点 睛】本 题 考 查 了 线 面 的 位 置 关 系，考 查 了 平 行 线 的 性 质，考 查 了 推 理 论 证 能 力.4.D【解 析】分 析 可 得 k0,再 去 绝 对 值 化 简 成 标 准 形 式，

14、进 而 根 据 双 曲 线 的 性 质 求 解 即 可.【详 解】,2 v2当 2 0时，等 式 气 2+y2=4|攵|不 是 双 曲 线 的 方 程；当 k 解：因 为/(幻=,*1 cosx=cosx,U+e)U+e J、(1 e)/、ex 1 1 ex 所 以 J(x)=+e-cos(x)=e*+COSx=+/COsx=/(x),所 以 函 数 是 奇 函 数，可 排 除 A、C；又 当 力(),可 排 除 D；=4 1女=-4仙 可 化 为。一 一=1,可 得 虚-4k 4上 函 数 值 与 0 的 大 小，即 可 得 出 答 案.故 选：B.【点 睛】本 题 考 查 函 数 表 达

15、式 判 断 函 数 图 像，属 于 中 档 题.6.D【解 析】先 由/(x+2)是 偶 函 数，得 到 f(x)关 于 直 线 x=2对 称；进 而 得 出/(单 调 性，再 分 别 讨 论 2-3x22和 2-3x0得 f(2-3x).f(4),所 以 2 3x4,2解 得 x；当 2 3x0得 了(2-3)/(0),所 以 2 3x；因 此，/(2-3x)0的 解 集 是(f,-；2)U(；2，+8).3 3【点 睛】本 题 主 要 考 查 由 函 数 的 性 质 解 对 应 不 等 式，熟 记 函 数 的 奇 偶 性、对 称 性、单 调 性 等 性 质 即 可，属 于 常 考 题 型.

16、7.A【解 析】根 据 定 义，表 示 出 数 列 的 通 项 并 等 于 2020.结 合 的 正 整 数 性 质 即 可 确 定 解 的 个 数.【详 解】由 题 意 可 知 首 项 为 2,设 第 二 项 为 乙 则 第 三 项 为 2+f,第 四 项 为 2(2+。，第 五 项 为 22(2+。第 n 项 为 2-3(2+。必 feN*,且 之 3,贝!J 2-3(2+.)=2020,因 为 2020=22x5x101，当 一 3 的 值 可 以 为 0,1,2；即 有 3 个 这 种 超 级 斐 波 那 契 数 列，故 选：A.【点 睛】本 题 考 查 了 数 列 新 定 义 的 应

17、 用，注 意 自 变 量 的 取 值 范 围，对 题 意 理 解 要 准 确，属 于 中 档 题.8.B【解 析】根 据 抛 物 线 方 程 求 得 焦 点 坐 标 和 准 线 方 程，结 合 定 义 表 示 出 丹；根 据 抛 物 线 与 圆 的 位 置 关 系 和 特 点，求 得 8 点 横 坐 标 的 取 值 范 围，即 可 由 A E 4 B 的 周 长 求 得 其 范 围.【详 解】抛 物 线 丫 2=8*,则 焦 点 网 2,0）,准 线 方 程 为 x=-2,根 据 抛 物 线 定 义 可 得 4+2，圆（x 2p+y 2=i 6,圆 心 为（2,0）,半 径 为 4,点 A、B

18、 分 别 在 抛 物 线 V=8 x 及 圆 V+y24 一 12=0 的 实 线 部 分 上 运 动，解 得 交 点 横 坐 标 为 2.点 A、B 分 别 在 两 个 曲 线 上，A 3 总 是 平 行 于 x 轴，因 而 两 点 不 能 重 合,不 能 在 x 轴 上,则 由 圆 心 和 半 径 可 知 xB e（2,6）,则 的 周 长 为|+|+怛/?|=%+2+x 以+4=6+X B,所 以 6+为 8,12）,故 选：B.【点 睛】本 题 考 查 了 抛 物 线 定 义、方 程 及 几 何 性 质 的 简 单 应 用，圆 的 几 何 性 质 应 用，属 于 中 档 题.9.D【解

19、 析】三 个 单 位 的 人 数 可 能 为 2,2,1或 3,1,1,求 出 甲、乙 两 人 在 同 一 个 单 位 的 概 率，利 用 互 为 对 立 事 件 的 概 率 和 为 1即 可 解 决.【详 解】C2C-斗 A；+当 A；6 6由 题 意，三 个 单 位 的 人 数 可 能 为 2,2,1或 3,1,1；基 本 事 件 总 数 有=15（）种，若 为 第 一 种 情 况，且 甲、乙 两 人 在 同 一 个 单 位，共 有 种 情 况；若 为 第 二种 情 况，且 甲、乙 两 人 在 同 一 个 单 位，共 有 c；c；隹 种，故 甲、乙 两 人 在 同 一 个 单 位 的 概

20、率 为 主=色，故 甲、乙 两 人 不 在 同 一 个 单 位 的 概 率 为 150 25 25 25故 选：D.【点 睛】本 题 考 查 古 典 概 型 的 概 率 公 式 的 计 算，涉 及 到 排 列 与 组 合 的 应 用，在 正 面 情 况 较 多 时，可 以 先 求 其 对 立 事 件，即 甲、乙 两 人 在 同 一 个 单 位 的 概 率，本 题 有 一 定 难 度.10.D【解 析】对 于 4 根 据 命 题 的 否 定 可 得：叼 xoGR,x()2-x(E0”的 否 定 是 VxGR,x2-x0w,即 可 判 断 出；对 于 8 若 向 量 石 满 足 a b 则 7 与

21、 坂 的 夹 角 为 钝 角 或 平 角；对 于 C 当，=0 时，满 足”，2机 2,但 是 不 一 定 成 立；对 于。根 据 元 素 与 集 合 的 关 系 即 可 做 出 判 断.【详 解】选 项 A 根 据 命 题 的 否 定 可 得：叼 xoCR,xo2-x(WO”的 否 定 是 VxGR,x2-x0M,因 此 4 不 正 确；选 项 5 若 向 量 石 满 足 7 坂 0,则 与 的 夹 角 为 钝 角 或 平 角，因 此 不 正 确.选 项 c 当,=0时，满 足”,“2弓 历 2,但 是 a功 不 一 定 成 立，因 此 不 正 确；选 项。若“XG(AnB)”,则 x e

22、A 且 x e B,所 以 一 定 可 以 推 出“X G(AUB)”，因 此“X G(AUB)”是“工(4 口 6)”的 必 要 条 件，故 正 确.故 选：D.【点 睛】本 题 考 查 命 题 的 真 假 判 断 与 应 用，涉 及 知 识 点 有 含 有 量 词 的 命 题 的 否 定、不 等 式 性 质、向 量 夹 角 与 性 质、集 合 性 质 等,属 于 简 单 题.11.B【解 析】根 据 分 段 函 数，分 当 x(),将 问 题 转 化 为 左=区 的 零 点 问 题，用 数 形 结 合 的 方 法 研 究.X【详 解】当 x 0,g(x)在 xe(-oo,0)是 增 函 数

23、，左 0 时，X X X X X有 一 个 零 点,当 x 0 时，左=回=弊，令 h(x)=学,“(X)J?一 X X当 xe(O,G)时，(幻 0,二 义 幻 在(0,G)上 单 调 递 增,当 XG(G,+8)时，(X)VO,/z(x)在(&,+00)上 单 调 递 减,所 以 当 X=时，(x)取 得 最 大 值(，因 为 产(x)=/(X)-在 R 上 有 3 个 零 点，所 以 当 x 0 时，攵 有 2个 零 点，X如 图 所 示：综 上 可 得 实 数 Z 的 取 值 范 围 为(0,，)，故 选：B【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 函 数 的 零 点 问 题，还 考 查

24、了 数 形 结 合 的 思 想 和 转 化 问 题 的 能 力，属 于 中 档 题.12.B【解 析】直 接 利 用 集 合 的 基 本 运 算 求 解 即 可.【详 解】解：全 集 U=R,集 合 A=x|xl,B=%|-1%2),.,QA=x|1则(dA)nB=x|湄 nx|-l 掇 2=x|1 A?2,故 选：B.【点 睛】本 题 考 查 集 合 的 基 本 运 算，属 于 基 础 题.二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5分，共 20分。13.-40【解 析】先 将 原 式 展 开 成(a-%)5c(a 20)5,发 现(4-2。)5中 不 含。3/0,故 只 研 究

25、后 面 一 项 即 可 得 解.【详 解】(a 2Z?y(1 c)=(a-2Z?y c(a 2Z?y,依 题 意，只 需 求 c-(a 28)5中 2c的 系 数，是(_2=40.故 答 案 为：-40【点 睛】本 题 考 查 二 项 式 定 理 性 质，关 键 是 先 展 开 再 利 用 排 列 组 合 思 想 解 决，属 于 基 础 题.14.2夜【解 析】设(x,y)为 P Q 的 中 点，根 据 弦 长 公 式，只 需 10Ml最 小，在 AA P M/A Q M中，根 据 余 弦 定 理 将|AP|A Q 表 示 出 来，由 NAMP+NAMQ=TT,得 到 AP1+A Q 2 A

26、M|2+2 M Q,结 合 弦 长 公 式 得 到|A M 一。加=骁，求 出 点 用 的 轨 迹 方 程，即 可 求 解.【详 解】设 M(x,y)为 P Q 的 中 点，在 APM 中，|A P=|一 2|A M|MP|COS/A M P,在 V A Q 中，|AQ|2=|AM|2+|M Q|2-2|A A/|MQ|COSN A M Q,Z A M P+Z A M Q=4,cos Z A M P+cos Z A M Q=0+得 I AP|2+AQ1=2AM|2+|MP|2+|MQ|2=2|A M|2+2|MQ/，即 40=2|AMF+2(|OQ|2|0W|2),20=1 AM I2+4-1

27、 0 M|2,AM|2-|OM|2=16.(X-2)2+(-2)2-(X2+/)=16,得 x+y+2=0.所 以 10M Li=导 拒，|P Q|g=2 0.故 答 案 为：2夜.【点 睛】本 题 考 查 直 线 与 圆 的 位 置 关 系、相 交 弦 长 的 最 值，解 题 的 关 键 求 出 点 M 的 轨 迹 方 程，考 查 计 算 求 解 能 力，属 于 中 档 题.15.52【解 析】利 用 余 弦 定 理 计 算 cosZPA3,cos（90-Z R 43）,然 后 根 据 平 方 关 系 以 及 三 角 形 面 积 公 式，可 得 结 果.【详 解】设 AB=AC=x由 题 可

28、 知：cos NPAB=PA2+AB2-PB22PAABcoS(9 0-Z P A5)=sinZPAB由 sin2 ZPAB+cos2 ZPAB=1,A 4=l,PB=6,PC=22所 以 212+X2-(V2)-2x12+X2-222x2=1+化 简 可 得：/一 6 f+5=o则/=5或 f,即 x=6 或 尢=1由 所 以 x=J$所 以 以 Bc=g-AB-AC=|故 答 案 为：2【点 睛】本 题 主 要 考 查 余 弦 定 理 解 三 角 形，仔 细 观 察，细 心 计 算，属 基 础 题.16.9【解 析】根 据 集 合 交 集 的 定 义 即 得.【详 解】集 合 A=1,4,

29、B=a-5,7,A c 3=4,a 5=4,则 a 的 值 是 9.故 答 案 为：9【点 睛】本 题 考 查 集 合 的 交 集，是 基 础 题.三、解 答 题：共 70分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。17.(1)证 明 见 解 析 息 6【解 析】(1)取 A C中 点 尸,连 接 R D,E B,得。尸，AC,可 得 E 4=E B=F C,可 证 AD E W AZ 8,可 得 D F 工 F B,进 而。产 _L平 面 A B C,即 可 证 明 结 论；(2)设 E,G,H 分 别 为 边 4 3,8,8。的 中 点，连 DE,EF,GF

30、,F H,H G,可 得 G E/A D,G H/BC,EF/B C,可 得 N F G H(或 补 角)是 异 面 直 线 A。与 BC所 成 的 角，B C 1 A B,可 得 所 LAB,N D E F 为 二 面 角 C-A B D的 平 面 角，即/。户=60,设 A=a,求 解 A F G H,即 可 得 出 结 论.【详 解】(1)证 明:取 A C中 点 R 连 接/。，用，由 D A=DC,则 D F AC,v A B 1B C,则 E4=FB=FC,n故 ADEA且 ADEB,NDFB=NDFA=,2.D F AC,D F FB,A C cF B=F.尸 _L平 面 A B

31、 C,又。尸 u 平 面 AC。，故 平 面 ABC _L平 面 ACO（2）解 法 一:设 G,H 分 别 为 边 CD,BD的 中 点，则 R 7/A D,G/8 C,NFG H（或 补 角）是 异 面 直 线 AO与 8 C所 成 的 角.设 E 为 边 A 3的 中 点，则 E F/3 C,由 AB_L6C,知 所，4 3.又 由（1）有 D E L平 面 ABC,./LA B,E F Q D F F,AB _ L 平 面 D EF,:.DE _ L AB.,所 以 NOE尸 为 二 面 角 C-A 6-。的 平 面 角，./。户=60,设 DA=DC=OB=a,则 DF=AD NCA

32、D=-2在 RtAD EF 中,EF-=a2 3 6 巧 从 而 GH=BC=EF=a2 6在 RN BD F 中，FH-BD-,2 2又 而=,4。=0，2 2从 而 在 FG”中，因 FG=F H,-G H 巧 cosZFG H=2=FG 6因 此，异 面 直 线 A。与 8。所 成 角 的 余 弦 值 为 由.6DG解 法 二:过 点 尸 作 EM _ L A C交 A B于 点 M,由(1)易 知 FC,ED,F M 两 两 垂 直,以 尸 为 原 点，射 线 月 0,小,不 曾 分 别 为 x 轴，)轴，z轴 的 正 半 轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 尸-不 妨 设 AD=

33、2,由 CO=Ar,NC4D=30。，易 知 点 A,C,。的 坐 标 分 别 为 A(0,-x/3,0),C(0,73,0),D(0,0,l)贝！|亚=(0,73,1)显 然 向 量 左=(0,0,1)是 平 面 A B C 的 法 向 量 已 知 二 面 角。一 4 3-。为 60,设,则 加 2+2=3,A B=(m,n+也,0)设 平 面 A B D 的 法 向 量 为 n=(x,y,z),(而 万=0 有 y+z=。则 一=/1-A B n=0 tnx+ln+j3j y=0令 y=1,贝!1=一+百,1,6m由 上 式 整 理 得 9n2+28-2 1=0,解 之 得 及=-6(舍)

34、或=毡 9 Q C 76 o.D 士-,-,U9 92 c o s A b C B-A D C B-33因 此，异 面 直 线 A。与 8。所 成 角 的 余 弦 值 为 立.6【点 睛】本 题 考 查 空 间 点、线、面 位 置 关 系，证 明 平 面 与 平 面 垂 直，考 查 空 间 角，涉 及 到 二 面 角、异 面 直 线 所 成 的 角，做 出 空 间 角 对 应 的 平 面 角 是 解 题 的 关 键，或 用 空 间 向 量 法 求 角，意 在 考 查 直 观 想 象、逻 辑 推 理、数 学 计 算 能 力，属 于 中 档 题.18.(I)曲 线。的 参 数 方 程 为：亡;(。

35、为 参 数)；/的 极 坐 标 方 程 为 0(sin 8 cos8)=2及；(II)16.【解 析】(I)直 接 利 用 转 换 关 系，把 参 数 方 程、极 坐 标 方 程 和 直 角 坐 标 方 程 之 间 进 行 转 换；(H)利 用 三 角 函 数 关 系 式 的 恒 等 变 换 和 正 弦 型 函 数 的 性 质 的 应 用，即 可 求 出 结 果.【详 解】2 2(I)由 题 意：曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 为：土+匕=1,12 4v Q C O S 0所 以 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 7(。为 参 数)，y=2 sin 0因 为 直 线/的 直 角 坐

36、标 方 程 为：x-y-m=O,又 因 曲 线 C 的 左 焦 点 为 尸(-20,0),将 其 代 入 x-y=0 中，得 到 根=一 2 0，所 以/的 极 坐 标 方 程 为 Q(sin。-cos。)=2及.(H)设 椭 圆 C 的 内 接 矩 形 的 顶 点 为(2 6 cos。,2sine),(2月 cos6,2sin6),(2/3cos-2sin6),26 cos。,一 2sin。)(0。/,所 以 椭 圆 C 的 内 接 矩 形 的 周 长 为：873 cos6+8sin。=16sin+?),y z)7所 以 当。+;=”时，即。=时，椭 圆 C 的 内 接 矩 形 的 周 长

37、取 得 最 大 值 16.3 2 6【点 睛】本 题 考 查 了 曲 线 的 参 数 方 程，极 坐 标 方 程 与 普 通 方 程 间 的 互 化，三 角 函 数 关 系 式 的 恒 等 变 换，正 弦 型 函 数 的 性 质 的 应 用，极 径 的 应 用，考 查 学 生 的 求 解 运 算 能 力 和 转 化 能 力，属 于 基 础 题 型.2 219.(I)+-=1；(H)724 2【解 析】(I)设 点 P,M,N 的 坐 标，表 达 出 直 线 的 斜 率 之 积,再 根 据 P,M,N 三 点 均 在 椭 圆 上，根 据 椭 圆 的 方 程 代 入 斜 率 之 积 的 表 达 式

38、 列 式 求 解 即 可.(II)设 直 线 的 方 程 为 y=kx+m，根 据 直 线 P M,P N 的 斜 率 之 积 为-,可 得 加 二 2出 面 积 公 式,再 换 元 利 用 基 本 不 等 式 求 解 即 可.【详 解】(I)设 P(X，yJ,例(%,月)，%(%,必)则=又 入；+才 1/+4 1 战 片|X i _ _()=犬 _ 货 _ P 即 h又 当+瓦=1/+5=1 故/及 一 0=片 一 考 一。2,即 一 下=-故/=2廿,又 2c=2及=/一/=2,故。2=4,=2.故 椭 圆 的 标 准 方 程 为 x2+v2=1.4 2(U)设 直 线 AB 的 方 程

39、 为 y=kx+m,A(x，x),6(,%),。(毛,达)，(王，口)，y=kx+m A由(2,n x2-4kx-4m=0 M xt+x2=4k,xx2=-Amx=4yM,再 联 立 直 线 与 椭 圆 的 方 程，表 达2又 G：y 吟，故 因 为 A 3 处 的 切 线 相 互 垂 直 故 H=_=故 直 线 A B的 方 程 为 y=+Ly=kx+i联 立 0+2/)尤 2+4公 一 2=0彳+5 缶,4k 2故 二 一 强-.故 Sc0=卜 冈 司|=3 J(X+9-4X|X2，代 入 韦 达 定 理 有 S,0。左 2+11+2公 _ q 夜 _ 2夜.2 G _ r-设 1=1 4

40、 d+1 2 1，则 4。一 尸+i-1-2 口.当 且 仅 当=;二 时 取 等 号.故 Q C D 的 面 积 的 最 大 值 为 V2.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 根 据 椭 圆 上 的 点 坐 标 满 足 的 关 系 式 求 解 椭 圆 基 本 量 求 方 程 的 方 法,同 时 也 考 查 了 抛 物 线 的 切 线 问 题 以 及 椭 圆 中 面 积 的 最 值 问 题，需 要 根 据 导 数 的 几 何 意 义 求 切 线 斜 率,再 换 元 利 用 基 本 不 等 式 求 解.属 于 难 题.20.(1)7 7 7=1(2)证 明 见 解 析【解 析】(1)将 函 数

41、/(X)转 化 为 分 段 函 数 或 利 用 绝 对 值 三 角 不 等 式 进 行 求 解;(2)利 用 基 本 不 等 式 或 柯 西 不 等 式 证 明 即 可.【详 解】解 法 一：(1)/*)=C 1，1-3x H,x K 2 23 1 1-X+,x 一 2 21当 xW：时，/U)/-=2,2)当 c x d,2 2吗 卜,当 x g 时，=所 以 加=/min(X)=l解 法 二：(1)/(x)=C 1，1-3x H,X 2 23 1 1-x+,x Ix+-22；7=1+%-12当 且 仅 当 1X H-202即 工=_1时，等 号 成 立.2当 X=；时 机=0,Z?0,c

42、0,所 以 要 证 明 不 等 式+0c+c 2-,a+b+c只 需 证 明(+8+c)2 9,c a b)因 为 I-1 j(6?+/?4-c)3-3/abc=9 成 立,c a b)v abc所 以 原 不 等 式 成 立.解 法 二：(2)因 为。，b0,c0,所 以+从:+叔 23海 丽 0,。+Z?+c 2 3ahc 0，又 因 为 而 c=l.所 以(a+Z?+c)(ab+bc+c)L 3abc 3#片/?2c2=9,(ab+be+ac)(a+b c)99所 以 9?+0c+c 2-,原 不 等 式 得 证.。+匕+。补 充：解 法 三：（2）由 题 意 可 知，cib4-b e

43、c u I-1,c a b9因 为。0,/?0,c0,所 以 要 证 明 不 等 式。力+C+C Q之-，Q+0+C只 需 证 明（一+：+（+b+c）2 9,a b c）由 柯 西 不 等 式 得：+（a+b+c）yfa-=+y/b-=+/c=9 成 立，所 以 原 不 等 式 成 立.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 绝 对 值 函 数 的 最 值 求 解，不 等 式 的 证 明，绝 对 值 三 角 不 等 式，基 本 不 等 式 及 柯 西 不 等 式 的 应 用，考 查 了 学 生 的 逻 辑 推 理 和 运 算 求 解 能 力.21.（1）证 明 见 解 析，4,=等 L（2）S

44、.=5 了.【解 析】（1）将 等 式。“=等+击 变 形 为 2%“=2%,1+2,进 而 可 证 明 出 2%是 等 差 数 列，确 定 数 列 2%,的 首 项 和 公 差，可 求 得 24的 表 达 式，进 而 可 得 出 数 列 4 的 通 项 公 式；（2）利 用 错 位 相 减 法 可 求 得 数 列 an 的 前 项 和 Sn.【详 解】（1）因 为 4=誓+击（2 2,eN*）,所 以 2%=2”,“+2,即 2凡 一 2=2,所 以 数 列 24 是 等 差 数 列，且 公 差 d=2,其 首 项 24=3所 以 2a“=3+(l)x2=2+l,解 得 4=第 1；,、。3

45、 5 7 屋=5+齐+/+2/?-1 2+1H-;I-2“T 2 S _ 3,5,7T-2r+F+F+2/2 12 2+1H-2-向：-，得 2=3+2、公+二+-L2 2 U2 23 T)2+1 3-;-=-2,+|22 x i x 1-L1 2 1-22+1 5 2+52+,412用 2所 以 5“=5-等【点 睛】本 题 考 查 利 用 递 推 公 式 证 明 等 差 数 列，同 时 也 考 查 了 错 位 相 减 法 求 和，考 查 推 理 能 力 与 计 算 能 力，属 于 中 等 题.PE22.(1)证 明 见 解 析；(2)存 在，一=2.EA【解 析】(D 根 据 题 意 证

46、出 C M J.3N,C M 上 P N,再 由 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 即 可 证 出.(2)连 接 A C 交 O M 于 点 Q,连 接 E Q,利 用 线 面 平 行 的 性 质 定 理 可 得 P C/E Q,从 而 可 得 P E：E4=C Q：QA,在 正 方 形 A B C D 中，由 CQ:04=CO:4 0=2 即 可 求 解.【详 解】(1)证 明：在 正 方 形 A 3 Q?中，M,N 分 别 是 48,4 0 的 中 点，:.B M=A N,B C A B,4 M B e=4 N A B=9 6.：.AM BC ANAB.：./B C M=/NBA.又 N

47、 B C M+N B M C=90，4 N B A+Z B M C=90.：.C M 1 B N.；PAD为 等 边 三 角 形，N 是 4 D 的 中 点，二 P W AD.又 平 面 平 面 ABC。，P N u 平 面 RIO,平 面 P A D A 平 面 A B C D=A D,:.P N A 平 面 ABCD.又 C M u 平 面 ABCD,；.C M 工 P N.V BN,P N u 平 面/WB,B N C P N=N,C W _ L 平 面 PNB.(2)解：存 在.如 图，连 接 A C 交 O M 于 点。，连 接 EQ.：P C/平 面 OEM,P C u 平 面/M C,平 面 P A C fl 平 面 D E=E Q，:.PC!/EQ.：.PE:EA=CQ:QA.在 正 方 形 ABC。中，A M/C D,且 CZ)=2AM.CQ:QA=C O:A M=2,.P?E=2.故 P*E=2.EA EA所 以 棱 R I 上 存 在 点 E,使 PC/平 面 O E M,此 时，E 是 棱 A 的 靠 近 点 A 的 三 等 分 点.【点 睛】本 题 考 查 了 线 面 垂 直 的 判 定 定 理、线 面 平 行 的 性 质 定 理，考 查 了 学 生 的 推 理 能 力 以 及 空 间 想 象 能 力，属 于 空 间 几 何 中 的 基 础 题.