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1、2022年 中 考 数 学 考 前 30天 迅 速 提 分 复 习 方 案（上 海 专 用）专 题 2.8圆 有 关 综 合 题（燕 尾 模 型 与 半 角 模 型、三 角 形 的 存 在 性）与 模 拟 题 训 练 题 型 一：垂 径 定 理 背 景 下 燕 尾 模 型 与 半 角 模 型 1.（2018 上 海 中 考 真 题）已 知。0的 直 径 AB=2,弦 AC与 弦 BD交 于 点 E.且 ODLAC,垂 足 为 点（2）如 图 2,如 果 E为 弦 BD的 中 点，求 NABD的 余 切 值；（3）联 结 BC、CD、DA,如 果 BC是。的 内 接 正 n边 形 的 一 边，C
2、D是。0的 内 接 正（n+4）边 形 的 一 边，求 4ACD的 面 积.2.（2020 上 海 中 考 真 题）如 图，/及 冲，AB-AC,。提/麻 勺 外 接 圆，加 勺 延 长 交 边 力 行 点.（1）求 证：NBAO2NABD；（2）当 勿 是 等 腰 三 角 形 时，求 N 6 级 的 大 小;（3）当 4介 2,徵=3时，求 边 式 的 长.圆 中 的 分 类 讨 论 问 题（三 角 形 的 存 在 性）1.（2015 上 海 中 考 真 题）（本 题 满 分 14分，第（1）小 题 满 分 4分，第（2）小 题 满 分 5分，第（3）小 题 满 分 5分）已 知：如 图，A
3、 B 是 半 圆。的 直 径，弦 CD/AB,动 点 P、Q 分 别 在 线 段。C、C。上,且 O Q=OP,A P 的 延 长 线 与 射 线。相 交 于 点、与 弦 相 交 于 点 尸（点 尸 与 点 C、4。不 重 合)，A B=2(),cos Z A O C-.设 O P=x,CPF 的 面 积 为DQy.DBB（1）求 证：A P=O Q；（2）求 y 关 于 x 的 函 数 关 系 式，并 写 出 它 的 定 义 域；（3）当 A O P E 是 直 角 三 角 形 时，求 线 段。尸 的 长.【模 拟 题 训 练】1.12021静 安 二 模 25】（本 题 满 分 14分，其
4、 中 第（1）小 题 5分，第（2）小 题 5分，第（3）小 题 4分）如 图，已 知 半 圆 仍 勺 直 径/庆 4,点/在 线 段 曲 上，半 圆 P与 半 圆 湘 切 于 点 4 点 第 半 圆 注，COVAB,延 长 线 与 半 圆 洲 交 于 点。，如 与 比 相 交 于 点 反（1）求 证：ADAPODACy（2）设 半 圆 夕 的 半 径 为 x,线 段 切 的 长 为 y,求 y与 x之 间 的 函 数 解 析 式，并 写 出 定 义 域；（3）当 点 后 在 半 圆 P上 时，求 半 圆 夕 的 半 径.用 益 以 图）2.12021虹 口 二 模 25（本 题 满 分 14
5、分，第（1）小 题 4分，第（2）小 题 5分，第（3）小 题 5分）在 欣%中，NAB0 90,tanA=-,AC=5,点/健 射 线 上 一 点，以 梃 为 半 径 的。,姣 4直 线 46T点（1）如 图 9,当 吩 Ht，求 切 的 长；（2）当 点 在 线 段/或 延 长 线 上 时，设 笈 佐 x,四 边 形 画 面 积 为 y,求 y关 于 x的 函 数 解 析 式，并 写 出 它 的 定 义 域；（3）如 果 直 线,M 与 射 线 式 相 交 于 点 反 且 以 力 与 加 相 似，求 线 段 6加 勺长.图 9”3.12021长 宁 二 模】已 知 半 圆 碑 J直 径 力
6、 作 4,点 C、在 半 圆(点 占 点 不 重 合)，ZCOB=ZDBO,弦 物 与 半 径 OC相 交 于 点 发 CHLAB,垂 足 为 点，C攸 弦 B吁 点 F(1)如 图 1,当 点 是 A C的 中 点 时，求/C如 的 度 数；(2)如 图 2,设 叱 x,%=y,求 y关 于 x函 数 解 析 式，并 写 出 定 义 域；(3)联 结 切、OF,如 果。仍 是 等 腰 三 角 形，求 线 段。/长.【2021杨 浦 二 模】如 图，已 知 碌/胡 微 边 比 上 一 点，H 1 5,cotN为 4,点 尸 是 射 线 力 占 上 一 点,联 结 闾，。密 过 点/且 与 网
7、目 切 于 点。，与 边 交 于 另 一 点(1)当 圆 心 琳 射 线 上 时，求。冰 J半 径；3(2)当 圆 心 直 线 力 弼 距 离 为 一 时，求 线 段/例 长；4(3)试 讨 论 以 线 段 图 长 为 半 径 的。P与。渊 位 置 关 系，并 写 出 相 应 的 线 段 4磁 值 范 围.分 别 为 氏 F.(1)如 图 1,当 点 人 身 立 于 直 线 功 同 侧，求 证：CF=DE；(2)如 图 2,当 点 4、洌 立 于 直 线 以 两 侧，NBAE=30,旦 AE=2BF,求 弦 位 的 长；(3)设 弦 的 长 为 1,线 段 友 的 长 为 如 线 段 分 的
8、长 为，探 究/与 小 之 间 的 数 量 关 系，并 用 含 原 的 代 数 式 表 示/.【2021奉 贤 二 模】如 图，已 知 扇 形 4 后 的 半 径 的=4,/仍=90,点 G 分 别 在 半 径 的、OB上(点 坏 与 点 4重 合)，联 结 被 点 偎 弧 46上 一 点，PC=PD.3(1)当 cot/ar=，以 以 为 半 径 的 圆 与 圆 冰 目 切 时，求 以 粕 长；4(2)当 点。与 点 雇 合，点 P为 弧 力 解 中 点 时，求/欧 的 度 数；s(3)如 果 比=2,且 四 边 形 切 必 是 梯 形，求 言 的 值.WCD二 模】已 知：在 半 径 为
9、2的 扇 形 力 仍 中，NA0B=m(0V辰 180),点 提 篇 上 的 一 个 动 点,直 线/占 直 线 位 相 交 于 点。(1)如 图 1,当 0(勿 90,式 娓 等 腰 三 角 形 时，求/徽 大 小(用 含 加 勺 代 数 式 表 示)；(2)如 图 2,当 加=90点 提 息 的 中 点 时，联 结 48,求 SABD.的 值;SAABC(3)将 前 沿/渐 在 的 直 线 折 叠，当 折 叠 后 的 圆 弧 与 06所 在 的 直 线 相 切 于 点 反 且 施=1时，求 线 段 的 长.【2021年 浦 东 新 区 二 模】已 知：半 圆 而 直 径 4 Q 6,点 C
10、在 半 圆 0上，且 tan/46C=2j5,点 为 弧 一 点，联 结 47(如 图)(1)求 麻 勺 长；(2)若 射 线 比 交 射 线 力 好 点 机 且，啰 C与 欣(相 似，求 功 的 长；(3)联 结 勿，当 如 比 时，作/0 敝 平 分 线 交 线 段 比 于 点 儿 求 创 的 长.已 知/胡 G 且 cos/物 C=5,10,点/是 线 段 四 上 的 动 点，点 德 射 线/吐 的 动 点，且 AQ=BPx,以 线 段 图 为 边 在/砸 上 方 作 正 方 形;W，以 线 段 以 为 边 在 力 笈 上 方 作 正 三 角 形 PBM.(1)如 图 2,当 点 在 射
11、 线/此 时，求 下 的 值；(2)如 果。恪 过、J俩 点，求 正 三 角 形 阳 瞰 边 长；(3)如 果 点 在/物 矽 的 边 上，求 留 粕2022年 中 考 数 学 考 前 30天 迅 速 提 分 复 习 方 案（上 海 专 用）专 题 2.8圆 有 关 综 合 题（燕 尾 模 型 与 半 角 模 型、三 角 形 的 存 在 性）与 模 拟 题 训 练 题 型 一：垂 径 定 理 背 景 下 燕 尾 模 型 与 半 角 模 型 1.（2018 上 海 中 考 真 题）已 知。0的 直 径 AB=2,弦 AC与 弦 BD交 于 点 E.且 ODLAC,垂 足 为 点 F.（1）如 图
12、 1,如 果 O备 用 图 AC=BD,求 弦 AC的 长；（2）如 图 2,如 果 E为 弦 BD的 中 点，求 NABD的 余 切 值；（3）联 结 BC、CD、DA,如 果 BC是。的 内 接 正 n边 形 的 一 边，CD是。0的 内 接 正（n+4）边 形 的 一 边，求 4ACD的 面 积.【答 案】A C=5 cotNABD=0；一 广 青.【分 析】（1）由 AC=BD知 A O+C O=C O+B C，得 A D=，根 据 0D_LAC知 A O=C，从 而 得 AD=CD=B C，即 可 知 NA0D=ND0C=/B0C=60,利 用 AF=A0sinNA0F可 得 答 案
13、；（2）连 接 BC,设 OF=t,证 OF为 aABC中 位 线 及 DEF0ZSBEC得 BC=DF=2t,由 DF=1-t可 得 t=即 可 知 BC=DF=,继 而 求 得 E F=A C=,由 余 切 函 数 定 义 可 得 答 案；3 3 4 3（3）先 求 出 BC、CD、AD所 对 圆 心 角 度 数，从 而 求 得 BC=AD=Q、OF-2,从 而 根 据 三 角 形 面 积 公 式 计 算 可 得.【详 解】（1）VODAC,A A D=CD ZAF0=90,又；AC=BD,二 A C=8 O，即 A O+C O=C O+8 C，A AD=BC AD=CD=B C A ZA
14、0D=ZD0C=ZB0C=60,VAB=2,.AO=BO=1,.,.AF=AOsinZAOF=l 贝 l AC=2AF=6；2 2（2）如 图 1,连 接 BC,O图 1YAB为 直 径，ODAC,.,.ZAF0=ZC=90,；.OD BC,.Z D=Z E B C,VDE=BE,NDEF=NBEC,.,.D E FA B EC（ASA）,.BC=DF、E C=E F,又.（）二（,OF是 ABC的 中 位 线，设 O F=t,贝 UBC=DF=2t,VDF=DO-OF=1-t,1-t=2t,解 得：则 DF=BC=g、AC-AB2-B C2-J 22-.,.EF=FC=-A C=,2 4 3
15、2DF 3 rrV0B=0D,.NABD二 N D,贝 iJcotNABD=co tN D二 户=二，2；EF yj2 T（3）如 图 2,c：BC是 0的 内 接 正 n边 形 的 一 边，CD是。的 内 接 正（n+4）边 形 的 一 A 0 3图 2边，360 360A Z B 0 C-、NA0D二 NC0D二-n n+4 36（）则-卜 2Xn360n+4=180,解 得：n=4,/.Z B 0 C=9 0、ZA0D=ZC0D=45,.,.B C=A C=,/ZAF0=90,.0F=A0cosZA0F=,2则 DF=OD-0F=l-,二 SA-A C D F=-X J 2 X（1-）=
16、2 1 1.2 2 2、2 2【点 睛】本 题 考 查 了 圆 的 综 合 题、解 直 角 三 角 形 的 应 用 等，综 合 性 较 强，有 一 定 的 难 度，熟 练 掌 握 和 灵 活 应 用 垂 径 定 理、正 弦 二 角 函 数、余 弦 三 角 函 数、余 切 三 角 函 数、全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质、正 多 边 形 与 圆 等 知 识 是 解 题 的 关 键.2.(2020 上 海 中 考 真 题)如 图，/a 中，AB=AC,。超 比 的 外 接 圆，加 勺 延 长 交 边 力 行 点。(1)求 证：Z B A g/A B D；(2)当 是 等 腰 三 角 形
17、时，求/及 力 的 大 小;(3)当 4/=2,时，求 边 比 的 长.【答 案】（1）证 明 见 解 析；（2）/及 力 的 值 为 67.5或 72；（3）5A/2F【分 析】（1）连 接 0A.利 用 垂 径 定 理 以 及 等 腰 三 角 形 的 性 质 解 决 问 题 即 可.(2)分 三 种 情 形：若 BD=CB,则/C=/BDC=/ABD+/BAC=3NABD.若 CD=CB,则 ZCBD=ZCDB=3ZABD.若 DB=DC,则 D与 A重 合，这 种 情 形 不 存 在.分 别 利 用 三 角 形 内 角 和 定 理 构 建 方 程 求 解 即 可.如 图 3中，作 AE
18、BC交 BD的 延 长 线 于 E.则 A把 p=2An=o*,进 而 得 到 A工 O=把 AF=巳 3BC DC 3 OH BH 4设 0B=0A=4a,0H=3a,根 据 BHABJAH三 0B2-0H-,构 建 方 程 求 出 a即 可 解 决 问 题.【详 解】解:（D 连 接 见，如 下 图 1所 示:,：AB-AC,：.AB=AC:OALBC,：.A BAO-CAO.：O A=O B,/.Z.ABD-B A O,：.Z.BAC-2 A B D.（2）如 图 2中，延 长 4饺 比 于 若 BD-CB,则/俏 N BDO N ABD N 8AC=3 N4BD.：AB-AC,：.A
19、ABO AC,：.ZDBO2ZABD.,:NDBa/C+NBDO80,：.8Z A 18O 0,A ZO3ZJ2=67.5.若 必=，则 N CBA N C D B=3 N ABD,/俏 4/4 切.,：ZDBC+ZC+ZC/)B=80,.IO/盼 180,:.N B C-B 凶 2.若 游 zr,则 与/重 合，这 种 情 形 不 存 在.综 上 所 述：/曲 值 为 67.5或 72.（3）如 图 3中，过 力 点 作 4 成 交 加 的 延 长 线 于.图 3设 防=44,阱 3a.则 在 业 仍 和 以 巡 冲，25：Blf=AI-AHf=Off-Oft,，25-49J=16J-9a2
20、,.一=，56:.B居 也,.除 2腓 双 L 故 答 案 为：4 2 2【点 睛】本 题 属 于 圆 的 综 合 题，考 查 了 垂 径 定 理，等 腰 三 角 形 的 性 质，勾 股 定 理 解 直 角 三 角 形，平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理 等 知 识，解 题 的 关 键 是 学 会 添 加 常 用 辅 助 线，构 造 平 行 线 解 决 问 题，学 会 利 用 参 数 构 建 方 程 解 决 问 题，属 于 中 考 常 考 题 型.题 型 二：圆 中 的 分 类 讨 论 问 题（三 角 形 的 存 在 性）1.（2015 上 海 中 考 真 题）（本 题 满 分 14分
21、，第（1）小 题 满 分 4分，第（2）小 题 满 分 5分，第（3）小 题 满 分 5分）已 知：如 图，A 8 是 半 圆。的 直 径，弦 C D/A B,动 点 P、Q分 别 在 线 段 O C、C O 上，且 Q Q=OP,A P 的 延 长 线 与 射 线。相 交 于 点 E、与 弦 8 相 4交 于 点 F（点 产 与 点 C、。不 重 合），A B=20,cosZAOC=-.设 O P=x,A C P E 的 A P=O Q.（2）求 y 关 于 x 的 函 数 关 系 式，并 写 出 它 的 定 义 域;（3）当 A O P E 是 直 角 三 角 形 时，求 线 段 O P
22、的 长.【答 案】（1）证 明 见 解 析；（2）y=3X-6 0 X+300（50 X 1Q）.（3）O P=8x 13【分 析】（1）证 明 线 段 相 等 的 方 法 之 一 是 证 明 三 角 形 全 等，通 过 分 析 己 知 条 件，OP=D Q,联 结 0。后 还 有。4=D O.再 结 合 要 证 明 的 结 论 AP=O Q,则 可 肯 定 需 证 明 二 角 形 全 等，寻 找 已 知 对 应 边 的 夹 角，即 NPQA=N Q。即 可；（2）根 据 A P F C s A R 4 O,将 面 积 转 化 为 相 似 三 角 形 对 应 边 之 比 的 平 方 来 求；（
23、3）分 成 三 4种 情 况 讨 论，充 分 利 用 己 知 条 件 cosNAOC=g、以 及（1）（2）中 已 证 的 结 论，注 意 要 对 不 符 合（2）中 定 义 域 的 答 案 舍 去.【详 解】（1）联 结：OC=OD,N 0 8=N 0 D C，V C D II AB,：.ZOCDZCOA,：.POA=Z Q D O.O P=D Q在 A4QP 和 AO。中，ZPQA=NQOO,A A W 0 A O O Q,O A=D O：.AP=OQ.(2)作 P”_LQ4,交 OA 于“，4*/cos NAOC=,4 4 3 1A O H=-0 P=-x,PH=-x,：.SA A O
24、P=-A 0 P H=3X.5 5 5 OP 2/CD/AB，APFCPAO,C P2 10-x2OP x.3X2-6 0 X+300 y=-x,当 F 与 点。重 合 时,4CD=2OCcosZ(?CD=2xl0 x-=16,5x10-x50TI坐，解 得 x=3X2-6 0 X+300 Z50 小 一；一 丁、(3)当 NOPE=90 时，ZOPA=904，OP=OA cosZAOC=l()x-=8；OC 1()1()25C。=-=当 N 尸 O E=90 时，cos Z g C O cosZ A O C 4 2525 25 7O P=D Q=C D-C Q=C D=6-=-,：O P 1
25、(),137-,-O P=-(舍 去)；2 当 N PEO=90 时，,:C D U A B,：.Z A O Q=Z D Q O,：AAO P g A O O Q,Z D Q O=Z A P O,：.Z A O Q=Z A P O,Z A E O=Z A O P 9 0,此 时 弦 C O 不 存 在，故 这 种 情 况 不 符 合 题 意，舍 去;综 上，线 段 O P 的 长 为 8.【模 拟 题 训 练】1.12021静 安 二 模 25（本 题 满 分 14分，其 中 第（1）小 题 5分，第（2）小 题 5分，第（3）小 题 4分）如 图，已 知 半 圆 加 勺 直 径 7 1 8%
26、,点 P在 线 段 的 上，半 圆 尸 与 半 圆/目 切 于 点 4 点 C在 半 圆 R上，COA.AB,/亦 延 长 线 与 半 圆 价 目 交 于 点，如 与 比 相 交 于 点 反（1）求 证：ADAP-ODAC（2）设 半 圆 P 的 半 径 为 x,线 段 切 的 长 为 y,求 y 与 x 之 间 的 函 数 解 析 式，并 写 出 定 义 域;（3）当 点 在 半 圆 户 上 时，求 半 圆。的 半 径.【答 案】2 5.解：（1）联 结 0 G 在 半 圆 尸 与 半 圆 舛,；PC=PA,O D=O A,：.NPCA=NA=ND.：.PC/0D.（2分）（1分）,4 J
27、仞 A。寿 一 而 一 而（1分）：.AIAP-OIAC.（1分）（2）在 右 8舛，OP OA-AP-AB-AP=2-x,2OC-CP-OP-=X2-（2-x）2=4x-4.（1分）在 股 的 舛，AO SIA O2+OC2=V22+4x-4=2y x.（1分）CD PC:PC OD,：.=,.（1分）AC AO:工=正,.y=（4-2x）石.（分）2-x x x定 义 域 为 1 X 2.（1分）（3）：CO LAB,AO-BO-2,：.BO AOl4x,：PC/OD,：.=,OP BP=也，cg=2（2-.（1分）2-x 4-x 4-x过 点 祚 矶 龙，垂 足 为.A CH=（2-V）
28、,2 4-xBH=BC C H=2（2-X）正=3-巫.（分）4-x 4-x cosB=.:BH*CFOB、BP,BP CB.（6 T）五.2=2（4 r）,.（1分）6x-x2=16-8x+x2,x2-7x+8=0 7 土.2其 中 产 2 不 符 合 题 意，所 以 半 圆 成 半 径 为 户 上 姮.（1分）2 22.12021虹 口 二 模 25（本 题 满 分 14分，第（1）小 题 4分，第（2）小 题 5分，第（3）小 题 5分）3在 应/式 中，/吐 90,tanA=-,AC=5,点 力 偲 射 线 上 一 点，以.作 为 半 径 的。，姣 4直 线 06T点.（1）如 图 9
29、,当 心 1CH寸，求 功 的 长；（2）当 点 在 线 段 勺 延 长 线 上 时，设 区 佐 x,四 边 形 以 的 面 积 为 八 求 y关 于 x的 函 数 解 析 式，并 写 出 它 的 定 义 域；（3）如 果 直 线 如 与 射 线 比 相 交 于 点 反 且 宓 9与 先 相 似，求 线 段 切 的 长.在 色 力 比 中，易 得 A8=4Ccos4=4.，：M（=AC,N4叱 9 0 沪 24户 8.在 AYZ4硒,备 用 图|=.（1 分）4 4x4-16A/7=AW cosA=（4+x）-=-.4r-9.CH=AH-AC=-5.。1 cc 1 8X 18 3x+12 12
30、X2+21X-108.S/c）M=i CD-M H-.C H 2 2 5 5 251 3r又 S&CBM=5 BM-CB=W.y-3x+-1-2X-2-+-2-1-X-1-0-8,即 nn y-.2.4.x.2.+.1.1.7.x.-.2.1.6.（i分）（1分）（1分）o定 义 域 为 x2.（1分）4（3）当 点 跖 445的 延 长 线 上 时（如 图 9）,E C g 酸 相 似，/EDO/EMC,：.4EDC=NECM.（1分），NCDH3cM.而 由，哈，物 可 得，AMCD=ACDM,:.NBCM=NMCD.可 证 得 侬：浏/,/.CB=CH.（1分）默-9-_ 2J 5解 得
31、=6，即 B M=6.（1分）当 点.麻 线 段 力 肚 时（如 下 图），同 可 得 二/水 力，C*CH,MFMH.（1分），AH=5-3=2,A M=4-x.Ai-f 4?4在 此/1例 中，cosZMA/7=-,BP-=-=-A M 5 4-x 5解 得 x=.（1分）2综 上 所 述，线 段 卸 做 长 为 6或 3.23.12021长 宁 二 模】已 知 半 圆 曲 勺 直 径 力 后 4,点 C、在 半 圆。上 ACOB-ADBO,弦 劭 与 半 径 06相 交 于 点,CHLAB,垂 足 为 点/,（1）如 图 1,当 点 是 A C 的 中 点 时，求 鹿 勺 度 数；（2）
32、如 图 2,设 法 X,三=力 求 y关 于 x函 数 解 析 式，并 写 出 定 义 域；（3）联 结 如、OF,如 果 仇 心 是 等 腰 三 角 形，求 线 段 如 长.【答 案】（1）NC施=36.（2）y=-/（0 c x 2）.（3）%的 值 为 翌 二 1或.【分 析】（1）连 接 6 G 想 办 法 证 明 NO华/吩 2NCZ历，可 得 结 论.（2）如 图 2中，过 点 因 乍&L 终 于/首 先 证 明 由 跖 再 利 用 平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理 解 决 问 题 即 可.（3）分 两 种 情 形：如 图 3-1中，当 小 尸 为 寸，证 明 砂 尸 设
33、 砂 厂 3 63 吩 x,则 EC-EF-2-x,游 2尸 2,盼 3尸 2,证 明 加 七 应 已 利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 求 解.如 图 3-2中，当 吩 时，证 明 施 7Z是 等 腰 直 角 三 角 形 即 可 求 解.【详 解】解：（1）如 图 1中，连 接 加：=C D，：/ABD=/DBC,：4 C 0 F/A B D,：40B O 2/C 0B,设/C O F x,:oB-oa：./0 C F 4 0 B C-2 x,：/C0m/0CA/O B g W,武 2户 2户 180,尸 36,/3 2 伊 36；D(2)如 图 2中，过 点 因 乍 了!于/O H
34、B图 2:CHLOB,：.ZCHO=ZCf/&=90Q,.,NCZ野 N 俏 90,NAB比/H F F 9 0：.4 O/H F B,Y 4H眸/CFE,O 4 C F E,:.EC=EF、：EJ1CF,:C r JF，1.妗 一/1 氏 2,Olkx,2C H V 22 x2=4 x2：E J/on,.EC CJOCCH.CJ CH C E-OC.2CJ 2CH=,CE OC.CF 274-x2-=-,CE 2*y=A/4-X2(0 x 2)；(3)如 图 3-1中，当&上 加 时,图 3-1:FD-FO,OD-OB,：4 D-4 F 0 D-4 B,：4 E 0斤 4 B,4 A/D 0
35、 用/F/E O B,:A F D g X E O B QASA),:.FAFO EW EB,、设 FD=FO=EO=EB=x,贝 U 除 小 2一 筋 B 盼 3 2,.:丛 BODABEO,.BD OB 一,OB BE.3x-2 2.-=一,2 x解 得=上 口 叵 或 上 2叵(舍 弃)，3 3经 检 验 x=l 1 姮 是 原 方 程 的 解，3.O F2-O H2=BF2-B H2,：.OF2-OH-=BF2-(2-OH)2,.（1普）2=（214）2-4+4 0/7，:，O H如 图 3-2中，当 给 以 时,丁 OOOD,:.DF-0C,.：EOEF,:D即 0E,/庆 N 阳,
36、/0IA0B,：4C0土 4 B,：.Z/）=Z&=ZEOB=ZDOB=450,TCH工 0B,戈 旗 等 腰 直 角 三 角 形，5 0 H=0 C=y/2,2综 上 所 述，。部 J值 为 普 二 1 或 血.【点 睛】本 题 属 于 圆 综 合 题，考 查 了 圆 周 角 定 理，等 腰 三 角 形 的 判 定 和 性 质，相 似 三 角 形 的 判 定 和 性 质，全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质 等 知 识，解 题 的 关 键 是 正 确 寻 找 全 等 三 角 形 或 相 似 三 角 形 解 决 问 题，需 要 利 用 参 数 解 决 问 题，属 于 中 考 压 轴 题.
37、34.12021杨 浦 二 模】如 图，已 知 碇 亦 边 力 W L 一 点，第=15,cotN胡。=7,点 理 射 线 力 吐 一 点，联 结 网，。侬 过 点 力 且 与 明 i切 于 点 与 边 力 甥 交 于 另 一 点(1)当 圆 心。在 射 线 44上 时，求。幽 半 径；(2)当 圆 心 砥 直 线”砸 距 离 为:时 求 线 段 解 勺 长;（3）试 讨 论 以 线 段 做 长 为 半 径 的。尸 与。曲 位 置 关 系，并 写 出 相 应 的 线 段 加 取 值 范 内 切 时，AP=2.当。与。4 H交 时，12J18【分 析】（1）解 直 角 三 角 形 求 出 处 即
38、 可.（2）分 两 种 情 形：如 图，当 点 称 射 线 4蹄 J上 方 时，当 点。在 射 线/加 勺 下 方 时，分 别 利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 求 解 即 可.（3）求 出 两 圆 内 切 时 加 的 值，条 件。0与 力 丽 切 于 时/时，力 由 值，即 可 判 断.详 解 解：（1）如 图，:.PQ1AP,AP 3VcotZM4=一,4.,.可 以 假 设 用=3,闻=4%则 附=5仁 15,.4=3,.必=9,PQ=2,9布 半 径 为 一.2（2）如 图，当 点 麻 射 线 力 的 上 方 时，过 点 碓。吐 力 好 用，过 点。乍 M 4 9 TcQ,河 是
39、。施 勺 切 线，PHO=40PQ=/PKQ=9G,：.20Pm/QPK=9V,/Q P K+/P Q K S,:丛 PH(AXQKP,_P_H_ _ _O_HQKPK设 为=2/，则/=/7/=勿，PK=9-2m,3/.rn_ _ 412-9-2/7?3解 得，/=或-3,23经 检 救，x=一 是 分 式 方 程 的 解，且 符 合 题 意.2：.AP=3.如 图，当 点。在 射 线 4砸 下 方 时，同 法 可 得 后 9+3如 2综 上 所 述，满 足 条 件 的 加 的 值 为 3或 上 史 叵 2（3）如 图，当。吗。讷 切 时,：OHLAP,：.AH=PH,：.AP=2PH,QK
40、=2PH,：.PA=QK=2,如 图，当。与 水 相 切 于 点 力 时,I N0PQ=9Q,OQ=OQ,OA=-OP,.Rt 的 四 Rt 0。（儿），：.AQ=PQ,：OA=OP,.他 速 直 平 分 线 段/R：.AP2A/18,观 察 图 像 可 知：当。与 0 陋 含 时，0 心 12.当。与 0 陋 切 时，AP=12.当。与。加 交 时，1 2 1 8.【点 睛】本 题 相 似 三 角 形、全 等 三 角 形 的 判 定、圆 与 圆 的 位 置 关 系.分 类 讨 论 思 想 是 难 点.灵 活 进 行 角 的 转 换 证 明 相 似 是 重 点.5.12021嘉 定 二 模 2
41、5】已 知：。徽 半 径 长 是 5,是。碑 直 径，）是。的 弦.分 别 过 点 4晌 直 线。祚 垂 线，垂 足 分 别 为 区 F.（1）如 图 1,当 点 4、身 立 于 直 线 以 洞 侧，求 证：CF=DE；（2）如 图 2,当 点 4、洌 立 于 直 线 以 两 侧，NBAE=30,旦 AE=2BF,求 弦 位 的 长；（3）设 弦 制 的 长 为 1,线 段 友 的 长 为 如 线 段 分 的 长 为，探 究/与 小 之 间 的 数 量 关 系，并 用 含 勿、的 代 数 式 表 示/.案】（1）证 明 见 解 析 部 分;(3)/=J100-(/+)2 或 Z=-100-(m
42、-H)2-【分 析】（1）如 图 1中，连 接 阳，过 点 例 乍 明 1_/于 应 证 明 止 战 HD-HC,即 可 解 决 问 题.（2）连 接 阳，过 点 外 O/LLC吁 H,谈 A皎 C吁 工 利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 求 出 OJ,0H,再 利 用 勾 股 定 理，可 得 结 论.（3）分 两 种 情 形：如 图 1,当 点 儿 就 立 于 直 线 切 司 侧 时，如 图 2中，如 图 2,当 点 4 面 立 于 直 线 以 讷 侧 时，利 用 勾 股 定 理 分 别 求 解 即 可.：.BF/OH/AE,?OA=OB,:OHA.CD,C旧 DH,：.C用 D E,
43、(2)连 接 山，过 点 祚。从 LC奸 儿 设 A咬 C叶 J.图 2:/B F户/A E呼,AELCD,：4 B J用 4 AJE,:Z F J S X AEJ,.BJ _BF*A/A E 2?BJ=-AB=,3 3八 1()53 3：OH/AE,，乙 JOH=4BAE=30,.叱。/cos30=鼠 虫=地,3 2 6(3)如 图 1,当 点 4 啦 于 直 线 必 同 侧 时,：0H=(BF+AE)=(帕 加，2 2在 RtZO处 中，切=组+刎，.52=-(研 加 2+-/,4 4(Z77+-77)+=100,l=J 100-(m+/I)?，如 图 2中，当 点 4、啦 于 直 线 切
44、 两 侧 时，OH=nrn,在 Rt 烟 中，00/f+D/f,541(nm)+4Z.(mn)2+A100,/=J00-(_一)2,综 上 所 述，1=J100-(/+“)2 或/=lOO-(m-n)2.【点 睛】本 题 属 于 圆 综 合 题，考 查 了 垂 径 定 理，平 行 线 等 分 线 段 定 理，勾 股 定 理，梯 形 的 中 位 线 定 理 等 知 识，解 题 的 关 键 是 熟 练 掌 握 基 本 知 识 并 能 够 灵 活 应 用.6.12021奉 贤 二 模】如 图，已 知 扇 形 力 幽 勺 半 径 的=4,/必=90,点 C、分 别 在 半 径 的、0B上(点 坏 与
45、点/重 合)，联 结 圈.点/是 弧 4?上 一 点，PC=PD.3(1)当 cot/ODC=-，以 以 为 半 径 的 圆 与 圆 碑 目 切 时，求 山 的 长；4(2)当 点 与 点 重 合，点 为 弧 48的 中 点 时，求/欧 的 度 数；【分 析】(1)由 题 意/C=90,cotZ6C=|.可 以 假 设 切=34，0C=4k,则 必=5A,证 明/G=%=4A=2,推 出 衣=工，可 得 结 论.2(2)如 图 2中，连 接 打 过 点 琳 密 1_处 于 反 PFLOm-F.利 用 全 等 三 角 形 的 性 质 证 明 夕 必 是 等 腰 直 角 三 角 形，可 得 结 论
46、.(3)分 两 种 情 形：如 图 3-1 中，当 以 时，如 图 3-2 中，当 尸 勿 如 寸,【详 解】解：(1)如 图 1中，分 别 求 解 即 可.图 10 D 3cot N ODC-=一 OC 4 设 勿=3 h 0 C=4 k,则 勿=5 h,/以 初 为 半 径 的 圆 与 圆 冰 目 切,:.CD=DB=3k,：.0B=0A=8k,：.AC=OC=4k=2f：.CD=-.(2)如 图 2中，连 接。用 过 点 内 乍 分 工 小 于 反 PFIO吁 F.2图 2:./A 0 P=/P 0 B,:PE10A,PF10B,:.PE=PF,:/PEC=/PFB=9G0,PD=PC,
47、:.R tX P E SR M P F B QHD,:/EPC=/FPB,?Z PEO=Z EOF=Z OFP=9 0,，N7方=90,:/EPF=/CPB=9G,：.ZPCB=ZPBC=45,/0P=OB,如=45。,：.AO BP=ZO PB=ol.5,；.N6W=67.5-45=22.5,：.ZO C D=90-22.5=67.5.(3)如 图 3-1中，当。也 时，OC/PD,图 3-1:./p p g/A o g g y,：CEVPD,:./C E D=9 N,四 边 形 况 勖 矩 形，：.0C=D E=2,CE=OD,设 P C=PD=x,EC=OD=y,则 J x2+y2=16
48、3 y2+(一)2解 得 小=2布-2,x z=-2 瓜-2（不 合 题 意，舍 去），:.P A 2 娓-2,0 AoeD如 图 3-2中，当/r 应 时,：PC 0D,图 3-2：.AC 0D=A 0C E=A C E D=,四 边 形 纥 叨 是 矩 形，：.0C=DE=2,CE=OD,：0P=,0C=2,PC=y0P2-0 C2=/42-22=273,:.PD=PC=2&,PE=P D r-D E1=7（273）2-22=2 夜，:.EC=01）=2 6 2及，:箸=3+折 s综 上 所 述，产 的 值 为#-1或 3+卡.、XOCD【点 睛】本 题 属 于 圆 综 合 题，考 查 了
49、 两 圆 的 位 置 关 系，解 直 角 三 角 形，等 腰 三 角 形 的 性 质，梯 形 的 性 质 等 知 识，解 题 的 关 键 是 学 会 添 加 常 用 辅 助 线，构 造 特 殊 四 边 形 解 决 问 题，属 于 中 考 压 轴 题.7.12021青 浦 二 模】已 知：在 半 径 为 2的 扇 形 4如 中，NA0B=m(0/W180),点 提 右 上 的 一 个 动 点，直 线 4占 直 线 的 相 交 于 点。(1)如 图 1,当 0 加 90,版 是 等 腰 三 角 形 时，求 N 加 大 小(用 含 粕 代 数 式 表 示)；(2)如 图 2,当 加 90点 庭 标
50、的 中 点 时，联 结 力 8,求 SABD的 值;SAABC(3)将 标 沿 所 在 的 直 线 折 叠，当 折 叠 后 的 圆 弧 与 a 所 在 的 直 线 相 切 于 点；且 比=1时，求 线 段 题 的 长.析】(1)珠/用 线 上，所 以/眦 为 锐 角，N 侬 为 钝 角，则 仅 是 等 腰 三 角 形，仅 有 8。=6 这 一 种 情 况，扇 形 46中，OA=OC=OB,BC=BD,由 边 相 等 得 对 应 角 相 等，三 角 形 内 角 和 为 180,可 得/Q 且 二；2(2)过 加 乍 M L 业 的 延 长 线 于 M,连 接 OC,C为 中 点，可 知 4、=及