《2023年海南省高考数学压轴题总复习（附答案解析）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年海南省高考数学压轴题总复习（附答案解析）.pdf（105页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023年海南省高考数学压轴题总复习I.已知椭圆c：y2X2+记=1（a b 0）的长轴长为4,尸是椭圆上异于顶点的一个动点,。为坐标原点，/为椭圆C的上顶点，。为 刃 的中点，且宜线以 与直线。的斜率之积恒为-4.（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为左且过椭圆C的上焦点厂的直线/与椭圆C相交于M,N 两点，当点N 到y轴的距离之和最大时;求直线/的方程.第1页 共105页2.已知函数/(x)=1 x+R”x.（I ）求/（X）在（1,/（D）处的切线方程（用含Q的式子表不）（I I ）讨论/（X）的单调性；（I I I）若/G）存在两个极值点X I，X 2,证明：八 ）二人 脸V a -2.
2、%一%2第2页 共105页3.已知函数/(%)=-l n x(m,n G /?).(I )若函数/(x)在(1,/(D)处的切线与直线工-歹=0平行，求实数的值;(I I )若=1时，函数/(X)恰有两个零点X I，X2(0 X l 2.第3页 共105页4.已知函数(x)=ax+lnx+.(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)对任意的x 0,不等式/(x)W/恒成立，求实数。的取值范围.第4页 共105页5.在平面直角坐标系中，A,8分别为椭圆：万+y 2=i的上、下顶点，若动直线/过点尸(0,b)且与椭圆r相交于C、。两个不同点(直线/与y轴不重合，且 C、。两点在y轴右侧，C在。的上方)
3、，直线/O 与 8c 相交于点。.(1)设 的两焦点为尸1、尸 2,求/尸”尸 2的值；(2)若 6=3,且P O=*P C,求点。的横坐标；(3)是否存在这样的点P,使得点0的纵坐标恒为?若存在，求出点尸的坐标，若不存在，请说明理由.第5页 共105页7 F c.6.已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为（0,1）,离心率e=等，过椭圆的右焦点尸的直线/与坐标轴不垂直，且交椭圆于4 B两点（1 ）求椭圆的标准方程；1（II）当直线/的斜率为5时，求弦长|48|的值.（III）设M （机，0）是线段OF（O为坐标原点）上一个动点，且（而+病）1 m，求机的取值范围.第6页 共105页7.已 知 项
4、 数 为(znCN*,m 2 2)的数列“”满足如下条件：(T)an G N*(n 1,2,w)；aia2-a,n.若数列 为 满足b；=(ai+azqMam)e N*,其中=1,2,m,则称 篇 为 a”的“心灵契合数列”.(1)数 列 1,5,9,11,15是否存在 心灵契合数列”，若存在，写出其“心灵契合数列“；若不存在，请说明理由；(2)若 为 即 的“心灵契合数列”,判断数列也”的单调性,并予以证明；(3)己知数列 斯 存 在“心灵契合数列”如，且G=1,劭,=1025,求机的最大值.第7页 共105页8.设数列4：a ,“2,，(23)的各项均为正整数，且ai W az W W a
5、”.若对任意在 3,4,”,存在正整数3 /(1 W i W/V k)使 得 四=。汁华 则称数列/具有性质7.(I )判断数列4：1,2,4,7与数列血：1,2,3,6是否具有性质丁；(只需写出结论)(I I )若数列4具有性质T,且m =l,图=2,。=20 0,求的最小值；(III)若集合 5=1,2,3,，2 0 1 9,2 0 2 0=SU S2 U S3 U S4 U S5 U S6，且 S C5 =0(任意3/6 1,2,6,i壬/).求证：存在$,使得从S中可以选取若干元素(可重复选取)组成一个具有性质7的数列.第8页 共105页9.已知函数/(x)=g(x)=2l n x+2
6、a(a R).(1)求/(x)的单调区间；(2)证明：存在(0,1),使得方程/(x)=g (x)在(1,+8)上有唯一解.第9页 共105页1 0.已知函数/(x)=x2-2bx-Inx.(I )讨论/(x)的单调性；(H)设 6 2 0,若/(元)在xo处有极值，求证：f (xo)方 0）的长轴长是焦距的2倍，且过点（一1,（1）求椭圆C的方程；（2）设 尸（x,y）为椭圆C上的动点，F 为椭圆C的右焦点，/、8分别为椭圆C的左、右顶点，点尸 满足P P =（4-x,0）.证明：为 定 值；|P F|设。是直线/：x=4 上的动点，直线A Q、BQ分别另交椭圆C于 A f、N两点，求|四用
7、+|询的最小值.第1 2页 共105页1 3.正整数数列“”的前N项和为S”前项积7,e N*(/=!,2,H),贝|J称数列*为“Z 数列”.(I)判断下列数列是否是Z 数列，并说明理由；2,2,4,8；8,24,40,56.(H)若数列 斯 是 Z 数列，且 公=2.求 S3和乃;(I ll)是否存在等差数列是Z 数列？请阐述理由.第1 3页 共105页1 4.函数f(x)满足：对任意a,P G R,都有/(耶)=a/-(p)+0/(a),且(2)=2,数列 斯 满足 a*=/(2 )(nN+).Q”(1)证明数列 关 为等差数列，并求数列“的通项公式；(2)记数列仍“前项和为S”且 加=
8、迎 地，问是否存在正整数机，使 得(5+1)(S”-4)+1 9 篇0 成立，若存在，求 m的最小值；若不存在，请说明理由.第1 4页 共105页11 5.已知函数/(x)=-x+a l n x.(I)求/(x)在(1,/(I)处的切线方程(用含。的式子表示)(II)讨论/(x)的单调性;(III)若 x)存 在 两 个 极 值 点.证 明：然詈勺一 2.第1 5页 共105页1 6.已知函数f (x)=lnx-ax(a E R)的最大值为-1(I)求函数/(x)的解析式;(II)若方程/(X)=2-x/有两个实根 XI，X2，且 求证：Xl+X2 1 .第1 6页 共105页2 2X y1
9、7.已知椭圆E：熊 +3=l(a b 0)的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆E的长轴为直径的圆与直线x+y-2=0 相切.(I)求椭圆 的标准方程；()A,B,C 为椭圆E 上不同的三点，。为坐标原点，若&+办+辰=3,试问:N8C的面积是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由.第1 7页 共105页X y V 21 8.已知椭圆C：-7 +7 7 =1 Ca b 0）的离心率为二长轴长为4&.（I ）求椭圆C的标准方程；（I I ）设点尸是椭圆C上的任意一点，若点尸到点（2,0）的距离与点P到定直线（r0）的距离之比为定值入，求人与f的值；（I I I）若直线/：y kx+m
10、*#0）与椭圆C交于不同的两点，N,且线段M N的垂直平分线过定点（1,0）,求实数4的取值范围.第1 8页 共105页19.设S”为首项不为零等差数列 a”的前项和，已知a4a5=3。9,5 5=2 0.(1)求数列 a“的通项公式；设7，为数列 人 的前项和求 公 的 最 大 值 第1 9页 共105页2 0.设数列 斯,b n 已知 ai=4,6 1=6,a +i=，b”+i=0n(CN*),(1)求数列 瓦-a 的通项公式;(2)设S”为数列 加 的前项和，对任意 N*,若夕(S“-4)G l,3恒成立，求实数p的取值范围.第2 0页 共105页2 1.己知函数/(x)=2l n(x+
11、1)+s i nx+l.(1)求曲线y=/(x)在 点(0,/(0)处的切线方程;(2)证明：x +l n x；(3)证明：/(x)W(x+1)2 叫第 2 1 页 共 105页1 32 2.已知函数/(x)=+ax(aR),g(x)=ex+x.(1)当a=-4时;求函数/(x)的极值；(2)定义：对于函数/(x),若存在xo,使/(xo)=xo成立，则称xo为函数的不动点,如果函数尸(x)=/(x)-g(x)存在不动点，求实数a的取值范围.第2 2页 共105页/y22 3.已知椭圆/+记=1(a6 0)的右焦点到右准线的距离为1,过椭圆的右焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得线段长为夜.(1)
12、求椭圆的标准方程；(2)若。为坐标原点，直线/与椭圆交于P,。两点，且直线/与。0：/+/=|相切，证明：O P _ LO。.第2 3页 共1 0 5页X y o2 4.已知椭圆C：葭+6=1（。方0）的左、右焦点分别为F l，F2,M（l,分为椭圆上一点，且|X|+|加 2 尸 4.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点/作互相垂直的两条直线分别交椭圆C 于另一点4 B,求证：直线N 8过定点，并求出定点的坐标.第2 4页 共105页25.斯 是等比数列，公比大于。，其 前 项 和 为&（叫 N*）,瓦 是等差数列.已知田=1,。3=。2+2,44=6 3+6 5，45 =04+2 6 6.(I
13、)求 “和 加 的通项公式;(II)设 5=(an+D Q+i+l)数列 Cn 的前项 和 为Tn，求Tn的值.(III)设dn=b n，.其中 kN*,求di(nN*).bnClog2bn+l),n=2k 1-1第25页 共1 0 5页2 6.已知函数/(x)的定义域为。，若存在实常数入及a(aW O),对任意在。，当x+托。且x-aE D时，都有/(x+a)+/(x-a)=A/(x)成立，则称函数/(x)具有性质M (人,a),集 合 =(入，a)叫做函数/(X)的性质集.(1)判断函数/(x)=/是否具有性质(入，a),并说明理由；(2)若函数g(x)=s i n2 r+s i nx具有
14、性质M (入，a),求g(x)的A/性质集；(3)已知函数尸(x)不存在零点，且当xw R时具有性质M(t+4 1)(其中40,rH I),若a=h()(6 N*),求证：数列%为等比数列的充要条件是&=t或上=Q 1 01 t第2 6页 共105页2 7.已知函数/(x)=a/+c os x-3的图象在点(0,/(0)处的切线与直线x+=0垂直.(1)判断/(X)的零点的个数，并说明理由；(2)证明：/(x)/对 x (0,+8)恒成立.第2 7页 共105页2 8.已知函数/(x)=(x-a-1)-+(x0).(1)讨论/(x)的单调性；(2)当aW2时，若/(x)无最小值，求实数a的取值
15、范围.第2 8页 共105页/y229.已知椭圆C：葭+金=1 (心 6 0)的左焦点F(-0),椭圆的两顶点分别为Z(-a,0),B(a,0),M 为椭圆上除4 8之外的任意一点，直线用4 的斜率之积为一宗(I)求椭圆C 的标准方程；(I I )若 P 为椭圆C 短轴的上顶点，斜率为k的直线/不经过P点且与椭圆C 交于E,F两点，设直线尸E,P尸的 斜 率 分 别 为 上，且左1+依=-1,试问直线/是否过定点，若是，求出这定点；若不存在，请说明理由.第2 9页 共105页3 0.己知椭圆C：务哙=l（a b 0）的离心率为:，过焦点且垂直于长轴的弦长为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点
16、（1,0）的直线/交确圆C 于 4,8 两点，在 x 轴上是否存在定点P,使得日1 而为定值？若存在，求出点p 的坐标和届丽 的值：若不存在，请说明理由.第3 0页 共105页3 1.已知各项均为正数的数列“的前”项和为S”，且45.=必+2册.(I )求数列 利 的前项和为(II)求证：中何+“+后+第3 1页 共105页3 2.已知等差数列 “和等比数列 瓦 的各项均为整数，它们的前项和分别为S”Tn,且b=2a=2,6 2s3=5 4,。2+乃=11.（1）求数列 即,出 的通项公式；（2）求 跖?=。1 加+。2b2+0 3 6 3+瓦 I；（3）是否存在正整数加，使得 笔 铲 恰好是
17、数列 斯 或也”中的项？若存在，求出所有满足条件的机的值；若不存在，说明理由.第 3 2 页 共 1 0 5 页3 3.已知函数/(X)=历 -x+Q有两个不同零点XI，X 2(X1X2).(1)求。的取值范围；11(2)证明：当0用工工时，X2X2 b 0),它的上，下顶点分别为4,B,左，右焦点分别为F i，Fi,若四边形/1 8丘2为正方形，且面积为2.(I )求椭圆E的标准方程；(I I)设存在斜率不为零且平行的两条直线/I,/2,它们与椭圆E分别交于点C,D,M,N,且四边形C D M N是菱形，求出该菱形周长的最大值.第3 5页 共105页3 6.已知椭圆C：2+2 =1 （a 6
18、 0）的离心率为万，且经过点（三，2）（I ）求椭圆C的标准方程；（I I ）若直线/与椭圆C交于V、N两点，8为椭圆C的上顶点，那么椭圆C的右焦点尸是否可以成为 8 M N的垂心？若可以，求出直线/的方程；若不可以，请说明理由.（注:垂心是三角形三条高线的交点）第3 6页 共105页3 7.已知人是非零实数，数列。”的前项和为S”满足S”=l+入 斯+i，且 6=-2.(1)求。|、。3,并 判 断 4 2,。3 能否依次成等差数列，并说明理由；(2)写出数列 斯 的通项公式，并求出数列 斯 是等比数列时入的值；(3)是否存在入，使得对于任意的C N*,都 有 为 常 数)恒 成 立？若存在
19、，则求人的取值范围，并对每个人的值写出相应的的最小值加(入)；若不存在，请说明理由.第3 7页 共105页3 8.某种汽车购买时费用为1 6.9 万元，每年应交付保险费、汽油费共0.9 万元，汽车的维修保养费为：第一年0.2 万元，第二年0.4 万元，第三年0.6 万元，依等差数列逐年递增.（1）求该车使用了 3年的总费用（包括购车费用）为多少万元？（2）设该车使用年的总费用（包括购车费用）为/（），试写出/（）的表达式；（3）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）.第3 8页 共105页3 9.若方程/(x)=苫有实数根xo,则称xo为函数/(x)的一个不动点.已知函
20、数/(X)=小+(a+1)x-alnx(e为自然对数的底数)aER.(1)当 时 是 否 存 在 不 动 点？并证明你的结论；(2)若a=-e,求证/(x)有唯一不动点.第3 9页 共105页4 0.已知函数/(x)(I )求/(x)的单调区间：(I I)过点P(1,0)存在几条直线与曲线y=/(x)相切，并说明理由;(I I I)若/(x)G-1)对任意x CR恒成立，求实数的取值范围.第4 0页 共105页%2/y24 1.在平面直角坐标系x Q y 中，已知椭圆。：+)=1 C2：+=1 设直线/与椭圆。切于点M,交椭圆C2于点/，B,设直线/1平行于/,且与椭圆C2切于点N.(1)求证
21、：直 线 恒 过 原 点。；(2)若点”为线段O N上一点，求四边形。/N 8 的面积.第4 1页 共105页4 2.已知/8 C的三边长B C、AC,48成等差数列，且 8、C 的坐标分别为力(-3,0)、C(3,0).(1)求顶点8的轨迹 的方程；(2)求曲线E的内接矩形的面积的最大值.第4 2页 共105页4 3.已知首项相等的两个数列 斯,垢(与H 0,n 6 N*)满足anbnu -an+y bn+2bn+bn0.(I )求证：数列 普 是等差数列；Jn(I I)若与=2 f 求 斯 的前项和S ；(I I I)在(H)的条件下，数列 S”是否存在不同三项构成等比数列？如果存在，请你
22、求出所有符合题意的项；若不存在，请说明理由.第 4 3 页 共 105页4 4.已知等比数列 a 前项和为SJ,T=m=2,数列 6 的各项为正，且满足S3+3 a3bn+2-b/=至 塔 a1=aib.（1）求数列 和 瓦 的通项公式；1 1 1 6 V3 1（2）若 5=硒（2+诟短前）求证：WFW5+C2+C3+Cn0 时，f(x)g (x)恒成立，求。的最大值.第 4 5 页 共 105页4 6.已知函数/(x)=a l n x(a W O)与y =/好的图象在它们的交点p(5,t)处具有相同的切线.(1)求/(x)的解析式；(2)若函数g(x)=(x-1)2+m f(x)有两个极值点
23、x i，X 2，且x i b 0)过 点(1,万)，离心率为万，A,8分别是椭圆 C 的左，右顶点，过右焦点尸且斜率为A (A 0)的直线/与椭圆相交于，N两点.(7)求椭圆C 的标准方程；(2)记 8 F N 的面积分别为S i，S 2，若 自，求女的值；(3)记直线/M、8N的斜率分别为k”ki,求1 的值.第4 7页 共105页4 8.已知椭圆C：+2=1(6 0)经过点(一 1,空)，且短轴长为2.(I )求椭圆C 的标准方程；(I I )若直线/与椭圆C 交于尸，0 两点，且 0 P，。，求 AO P 0 面积的取值范围.第4 8页 共105页4 9.我市某校800名高三学生在刚刚结
24、束的一次数学模拟考试中，成绩全部在100分 到150分之间，抽取其中一个容量为50的样本，将成绩按如下方式分成五组：第一组 100,110),第二组 110,1 2 0),第五组 140,150,得到频率分布直方图.(1)若成绩在130分及以上视为优秀，根据样本数据估计该校在这次考试中成绩优秀的人数；(2)若样本第一组只有一个女生，其他都是男生，第五组只有一个男生，其他都是女生现从第一、五组中各抽2个同学组成一个实验组，设其中男生的个数为已 求孑 的分布列及期望.第4 9页 共105页5 0.设抛物线C：/=2 p x(p 0)的焦点为尸，点。(p,0),过尸的直线交C于N 两点.当 直 线
25、垂 直 于x轴时，M F=3.(1)求C的方程；(2)设直线与C的另一个交点分别为/,B,记直线M N,43的倾斜角分别为a,p.当a-。取得最大值时，求 直 线 的 方 程.第5 0页 共1 0 5页2023年海南省高考数学压轴题总复习参考答案与试题解析y2/已知椭圆C：靛+记=1的长轴长为4,P是椭圆上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，/为 椭 圆 C的上顶点，。为孙的中点，且直线以与直线。的斜率之积恒为-4.(1)求椭圆C的方程;(2)若斜率为且过椭圆C的上焦点厂的直线/与椭圆C相交于，N两点，当点,N到y 轴的距离之和最大时，求直线/的方程.解：(1)由题意可知2 a=4,所以。=2,
26、所以/(0,2),设 尸(xo 则)，(xo y o W O),由。为以的中点，可得。(,-),所以直线P A的斜率kPA=用，直线O D的斜率kOD=，x0XQ因为直线P A与直线O D的斜率之积恒为-4,LIO-2 yo+2所以-=-4,xo x0即。=-4,而尸在椭圆上，所以与 +4 b 4所以余=4,解得接=1,所以椭圆的方程为讶y2(2)由(1)可得F(0,V 3),所以直线/的方程为：y=kx+V3,设 A/C xi,y ）,N（X2,J 2）,y kx +y/3联立直线与椭圆的方程：”2 ,，整理可得：（4+F）工 2+2 百 米-1=0,4-+%2=14则4=（2 V3 i）2
27、+4 （4+后）=1 6 乒+1 6 0,x +x 2=x x i=4+M 4+k，易知点M,N到y轴的距离之和为|xi-X2|=7（xi +x2）2-4%I%2L -2-7 3 k i （不 BI 1+H J （1+/C2）2+6（1+/C2）+9第5 1页 共1 0 5页=4 1(1+/)+&0),/3=壬 笋。），当 x=l 时，/(I)=0,/(1)=-2+Q,设切线方程为y=(-2+a)x+b1 代 入(1,0),得 b2-a.：.f (x)在(1,/(I)处的切线方程为了=(-2+a)x+2-a.（II）函数的定义域为（0,+8）,函数的导数，（x）=-“誓T设 g(x)=-x2+
28、ar-1,注意到 g(0)=-1,当 aWO时，g（x）0 时，判别式=J-4,1 当 0P、n.A /、八 4 1 3 a-/。2-4 _ a+Va2 42 时，令，(x)0,得：-2-；令/(x)0,得：0 c x Va V 2 时M x）在区间（a-y/a2-4 a+Ja2-4）单调递增，在（0,空JQ2-4)(Q+JQ2-42或 x 2222+8）单调递减;综上所述，综上当aW 2时:/（x）在（0,+8）上是减函数,第5 2页 共1 0 5页当 a 2 时，在(0,。一，二4)，(+；+8)上是减函数,在 区 间(a y/a 4 a+ya -4)上是增函数.22(III)(2)由(1
29、)知 Q 2,0 X I 1则f(xi)-f(X2)=2 1 呐 勺 一/%),、%i%2 工 厂 工2则问题转为证明处1二2 V I即可，Xl-X2即证明 l n x -l n x 2x -X2f则 l n x -In-x ,%1 X1BP l n x -l n x xi-,X1即证L在(o,1)上恒成立，X1设(x)=2l n x-x r,(0 xl),其中(1)=0,X1求-p导曰/得日 ii/(x)=12 一1 一 以1 =x2 厘2%+一l=一(%堂 1)22_ h(1),即 2/x-x+0,故 2l n x x-则-a-2 成乂.X1-X23.已知函数一仇(m,n G/?).(I
30、)若函数/(x)在(1,/(I)处的切线与直线x-y=0平行，求实数的值;(I I )若=1时，函数/(X)恰有两个零点XI，X2 (0 Xl2.解：(I )因为八x)=/T，且切线与直线x-y=0平行，可得/(1)=n -1=1,所以 =2 ；第5 3页 共1 0 5页1(I l )证明：当”=1 时，/(x)/1m-In x 1=0 由题意知 :,m-l n x2=0 x2 得：l n x2 In Xi =2 1,亚 一 1呜 三 令 =等，则1 2 =a 1，且，1,X1又因为xi+x2=xi+f xi=(l+f)xi,由知：In t =所 以 打=导(1)，要证 XI+X22,只需证(
31、1 +1)直正2,t2-l即证一-2l n t,1即 t 1 -2l n t 0,令h(t)=t-1-2/nt(tl),则八篁)=二?2o,所以6 (f)在(1,+8)上单调递增且 (1)=0,所以当t&(1,+8)时，h(力0,即 XI+X22.4.已知函数(x)=a x+l n x+.(1)讨论函数/(X)的单调性；(2)对任意的x 0,不等式/(x)W，恒成立，求实数。的取值范围.解：(1)定义域为(0,+8),r(x)=a +*=l,若a 2 0,则/(x)0,/(x)在(0,+8)递增，若a 0,则/(x)=9就,f(x)在(0,-1)递增，在(一看+)递减,综上知“2 0,/(x)
32、在(0,+8)递增，)a 0,h,x)=x ex 4-0.所以y=/?(x)在(0,+8)单调递增，而 A (1)=0,所以 xE (0,1)时，h(x)0,即 g，(x)0,即 g (%)0,y=g(x)单调递增.所以在x=l 处y=g (x)取得最小值g (1)=e -所以1,即 实 数 的 取 值 范 围 是 1.5.在平面直角坐标系中，/、8分别为椭圆r：万+y2 =i的上、下顶点，若动直线/过点尸(0,b)(6 1),且与椭圆相交于C、。两个不同点(直线/与y 轴不重合，且 C、。两点在y 轴右侧，C 在。的上方)，直线Z O 与 8c相交于点Q.(1)设 厂的两焦点为尸1、尸 2,
33、求N FM 尸 2 的值；t a t(2)若 6=3,且PD =/C,求点。的横坐标；(3)是否存在这样的点尸，使得点。的纵坐标恒为彳 若存在，求出点尸的坐标，若不存在，请说明理由.解：(1)由椭圆的方程知，F i (-1,0),92(1,0),A(0,1),则/。4 尸 2=4 5 ,(2)若 6=3,设 C、。的两点坐标为 C (x i，y i),D(X 2,”)，PTD =3 P-C*,3 3 3 3二(2,7 2 -3)=2(xv 7 1-3).即 2=2%1，7 2 =2yi T第 5 5 页 共 105页x2而 C（x i，y i）,D（工2,y i）均在万+y?=i 俨 F +2
34、yl2=2代入电内=2,解得月=4：.y2=-1,分别代入解得，%1 =1 2=g，直 线 的 方 程 为y=2 x-1,直线力。的方程为=7+1,联 立 忧W E，解得x j2点的横坐标为不（3）假设存在这样的点P,设直线/的方程为y=A x+b （左 1）,点 C,。的坐标为 C （xi,川），D（X 2.7 2）.C v-kx +b联立匕一 C?C，得（2标+1）+4妨x+2/2 -2=0,由=1 6后庐-8（2+1）（f t2-1）+2 yz=2 0,得k2 写i,（,4kbX1 +x2=一 2 k2+i I_A2由 1 2 b2_ 2，可得 kX l%2 =f-（X i +犯），lX
35、 1 X 2 =2 f c l直线BC的方程为y =4口x-1,直线X。的方程为y =f x +1,X1x2（y i+l iy =x1而 x y i kx X2b x ,X2y =kx X2b x i，联 立 l,因此，存在点尸（0,3）,使得点0的纵坐标恒为16.已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为（0,1）,离心率e =竽，过椭圆的右焦点尸的直线/与坐标轴不垂直，且交椭圆于4 8两点（I）求椭圆的标准方程；1（II）当直线/的斜率为5时，求弦长|4?|的值.（III）设M（w,0）是 线 段（O为坐标原点）上一个动点，且（而+诂）16，求机的取值范围.解：（I ）由题意可得6=1,e=（=等
36、，2=W,第5 6页 共105页解得：a2=5,x2所以椭圆的标准方程为：+6=1;(II)由(I )可得：右焦点尸(2,0),由题意设直线/的方程：y=(x -2),即x=2 尸*2,设/C x i,y i),B(X 2，”)，(x =2y +2 n 1联立直线与椭圆的方程：x2 2 J 整理可得：9y?+8y-1=0,y +y 2=q y y=q H+y =i 9 9所以弦长|/8|=71+2 2 +y 2)2 -4 y ly 2 =府 J 4+为=当，1 0 V 5即弦长必用的值不 一；(III)由(I )的右焦点尸(2,0),由题意可得0 加 y y i=5 2*x i+x 2=r(刈
37、+”)+4=5 2-x i -m=5 -)T M A +M B=(x i -y)+(%2 -m,”)=(x i+%2 -2 m,y i 抄2)，AB =(X 2 x i，及-/)，因为(M A +M B)_ L A 8,所 以(X I+X2-2?)(X 2 -x i)+(y i-2)(y 2 y i)=0,整理可得：(玄 j-2 机)”一e=0,，W 0,所以可得P=3 5 0,解得：m l，所以可得：0 7 2)的数列 斯 满足如下条件：0n W N*(=1,2,加);a a i -am.若数列 为 满足b”=笔 言 网 汇 色 e N*,其中=1,2,，m,则称 为 为 即 的“心灵契合数
38、列”.(1)数 列 1,5,9,1 1,1 5 是否存在“心灵契合数列”，若存在，写出其“心灵契合数列”；若不存在，请说明理由；(2)若 a 为 呢 的“心灵契合数列”，判断数列 5 的单调性，并予以证明；第5 7页 共1 0 5页（3）已知数列“”存 在“心灵契合数列”协 ,且 凶=1,而=3 2 5,求 机的最大值.解：（1）数 列 1,5,9,11,15不存在“心灵契合数列”，：1+5+9+11+15=41.4=整=10,i,41-5 门八 4 1-9。.41-11 15八产勿=百 丁=9,63=可 牙=8,64=丁 丁 =*-数 列 1,5,9,11,15不存在“心灵契合数列”.（2）
39、数列 加 为单调递减数列.“+1-d=咋竽，机-1,6 N*.又 m bz.bm.A bi-bj&C,hi-bj=-GN*,/.Z）i-hm=1 2：=N*，:bn-1 -bn=an-an-J m-1 m-1 m-1 m-1-1.又 dm a（am-Q I-1）+（am-1 -Clm-2y+.+（。2 一）+1 2 （加-1）+（？-1 ）+.+（7 7?-1 ）=（加-1 ）2.0 口 1024*:.（？-1）2 4 1 0 2 4,即机 5 0,3 2 6 25,1 6 12.5,8 。4 6.25,4 3.1 2 5:数列各项均为正整数，二。3=4,.数列前三项为1,2,4.:数 列/具
40、 有 性 质T,0 4 只可能为4,5,6,8 之一，而又；8 4。4 6.25,工。4=8,同理，有 0 5 1 6,7 6 3 2,“7=6 4,然=1 28,此时数列为 1,2,4,8,1 6,3 2,6 4,1 28,20 0.但 数 列 中 存 在j 9,使得20 0=。汁药，,该数列不具有性质T,二 1 0.当=1 0 时，取 力：1,2,4,8,1 6,3 2,3 6,6 4,1 0 0,20 0 (构造数列不唯一)，A：1,2,4,8,1 6,3 2,3 6,6 4,1 0 0,20 0,经验证，此数列具有性质7,的最小值为1 0.(I I I)假设结论不成立，即对任意S (i
41、=l,2,，6)都有：若正整数 a,b e Si，ab -a时，b -a,a,b是一个具有性质T的数列；当 a =6 ”时，a,a,b是一个具有性质T的函数.(/)由题意可知，这 6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于3 3 7 个，不妨设此集合为5 1,从 5 1 中 取 出 3 3 7 个数，记 为a ,。2，。3 3 7 且 a i a 2 4 3 3 7，令集合 M=3 3 7 -阂i=l，2,，3 3 6 U S.由假设,对任意 i=l,2,3 3 6,a33 7 -a i i S,(n)在 S 2,S 3,54.S 5，S 6 中至少有一个集合包含N 中的至少68 个元素，不妨设
42、这个集合为Si,从 S 2r I N i 中 取 出 6 8 个数，记 为b ,b i,加8，且b b i-s,令集合 M=b 6 8-师=1，2,67 QS.由假设昧-b i CSi,对任意 k=l,2,6 8,存在 5A-G1,2,3 3 6)使得 bk=a337-aSk，二对任意 i =1,2,6 7,%s -灰=(。3 3 7 -a s 6 8)一(由3 7 一 a%)=a s：一。$6 8，由假设 a s t 0 S 6 8 至 S i，/.Z 6 8-b i Si,Z 6 8-b i Si U&第 5 9 页 共 1 0 5 页N2GS3US4US5US6.(位)在 S3,S4,S
43、5,S 6 中至少有一个集合包含N 1 中的至少1 7 个元素，不妨设这个集合为S 3,从 S3AN2中 取 出 1 7 个数，记为 c,C2，C17，且 CC29C7f令集合 3=。17-琲=1,2,16CS,由假设Ci7-Cigs3,对任意 仁 1,2,1 7,存在1,2,，67使得*=/8-%，工对任意 i=1/2,，16,C17 G=(坛8 瓦17)一(匕 68 瓦)=%一 仇17，同样，由假设可得瓦j 一%7 C Si U$2，二。”-CiW Sl US2US3，/.7V3CS4US5US6.(K)同样，在 S5,5 6 中至少有一个集合包含N 4 中的至少3 个元素，不妨设这个集合
44、为S5，从 S5GN4中取出3 个数，记 为 ei，C2,63，且 eie2V63，同理可得 M=e3-ei,e3-e2S6.(修)由假设可得e i-e =(劣-。1)-(C3-C2)g 6,同上可知，e2-ei0SiUS2US3US4US5，而又,；e2-eiWS,.,02-C1ES6，矛盾.假设不成立，原命题得证.9.已知函数/(x)=行 为，g(x)=2lnx+2a(aR).(1)求/G)的单调区间：(2)证明：存在花(0,1),使得方程/(x)=g(x)在(1,+8)上有唯一解.解：(1)由/(x)=崇，得八x)=(第 L 廿-a).4*y=x2+2ax-a,则由=4/+4 a W 0
45、,得-IWaWO,/G)2 0 在(-8,-q)U(-a,+8)上恒成立，当 a 0 时，由 /+2QR-a 0,得久 一Q+7心+a或 V a Va2 4-a,由 /+2QX-4V 0,得-Q Va2 4-a x -a+Va2 4-a,当-IWaWO时，/(x)的单调递增区间为(-8,-a),(-Q,+8)；当 a 0 时，/(x)的单调递增区间为(-8,-a-y/a2-4-a),(-a+Va2+a,4-00),单调递减区间为(一 a-/a?+-a),(-a,-a+Va2+a).第 6 0 页 共 105页(2)令九(%)=f(%)-g(%)=石 万 一 22nx-2a(x l),贝 I 当
46、 花(0,1)时，Zi(x)=(x+a)zx令 h(x)=0,则 x=1+V lT a,.当 IV xV l+JT T H 时，h(x)0,:.h(x)在(1,1+A/1+a)上单调递减,在(1+71 +a,+8)上单调递增,.,./i(x)min=/i(l+V T T a),又 h(1)=1-2 a,当 0 aV 时，h(x)0,即(e2)0.又(x)在(1+a,+8)上单调递增，h(x)mn=/i(l+V1+a)0,.由零点存在性定理知，h(x)在(1+VTTH,+8)上存在唯-的零点，.,.当a Z 4 时，方程A (%)=0 在(1,4-00)上有唯一解，即 存 在(0,1),方程/(
47、x)=g(x)在(1,+8)上有唯一解.1 0.已知函数/(x)=x2-2bx-Inx.(I)讨论/(x)的单调性：(H)设 b 2 0,若/(x)在 xo处有极值，求证：/(x o)0,得 x -2-；由/(x)Jb2+2,+8)上单调递增.2(I I)证明：由(I)得，函数/(x)在 x=1+乎隹处取得极小值,所以当xo=处 孚 五 时，极小值为/(xo),因为，(x o)=2xl-2bx0-l ux0所以 2bxo=2xo-1,因为 xoO,所以2x1 2 0,可得xoN孝,第6 1页 共105页所以/(xo)=XQ 2bxo+lnxo=XQ (2%o 1)-lnxo=XQ-lnxo+l
48、,令函数 g(x)=-x2-lnx+1,xE-,+8),则 g，(x)=-2 x-0,所以函数g(x)在 今，+8)上单调递减，所以 g(x)Wg(f)=4因此/(xo)中，动直线Z 3 交抛物线：/=4 x 于/,8 两点.(1)若/工。8=90,证 明 直 线 过 定 点，并求出该定点；(2)点 为 4 9 的中点，过 点 作 与 y 轴垂直的直线交抛物线：/=4 丫于。点；点N 为 Z C 的中点，过点N 作与y 轴垂直的直线交抛物线I、：/=4 x 于点尸.设/8 C 的面积Si,的面积为S2.(I)若 过 定 点(2,1),求使51取最小值时，直 线 的 方 程;(U)求答的值.解：
49、(1)证明：由题意可设直线的方程为代入抛物线的方程/=4 x,可得产-4ty-4?=0,=16於+16加 0,即金+加 0,设 力(xi,yi),B(X2，歹 2)，贝！11+72=4/,歹 1 =-4由NZO3=90,所以。4 O B=0,即不工2+以，2=0,又工1=抓,X2=4);22 所以772p22到1”=0,w 16,故 W=-1 6,所 以-4m=-1 6,即加=4,因此直线A B 的方程为工=沙+4,该直线恒过定点(4,0)；(2)(z)因为4 8 过 定 点(2,1),所 以 由(1)可得2=/+?，即 7=2-/,=16尸+16加=16(及 一+2)0 恒成立，歹I+”=4
50、3 yyi=4w=4/-8,由题意可得M(空，中)，C(吗空中)，z z 16 L所以第6 2页 共1 0 5页所以 S=CM *y -y i =&y i -户产，因为历-y i =J(y i +为A 4 y l y 2 J l 6t 2 -4(4 t -8)=4A/t2 t +2 2 /7,此时 t=时，等号成立.所以S=*w|32白（2 夕）3=0 Z,7V7 1 2当 S i 取得最小值一 时，=5，m=亍直线A B的方程为x=3+即 2 x -y -3=0；1 1 1（n）由题意可得S i=WM历-I，$2=引W V 尹1由（2）（i）可得|C M =跖 清（此处W-”|可以理解为4