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1、烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人一、问题 美国某州的各用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加仑计的用水率以及每天所用的总水量，但许多社区并没有测量流入或流出当地水塔的水量的设备，他们只能代之以每小时测量水塔中的水位，其精度在0.5%以内。更为重要的是，无论什么时候，只要水塔中的水位下降到某一最底水位L时，水泵就启动向水塔重新充水直至到某一最高水位H，但也无法得到水泵的供水量的
2、测量数据。因此，在水泵正在工作时，人们不容易建立水塔中的水位与水泵工作时的用水量之间的关系，水泵每天向水塔充水一次或两次，每次约两小时，试估计在任何时刻，甚至包括水泵正在工作的时间内，水从水塔流出的流量f(t)，并估计一天的总用水量。实例（实例（AMCM-91A题）题）估计水塔的水流量估计水塔的水流量烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人时间时间 水位水位 时间时间 水位水位 时间时间 水位水位（秒）（秒）（0.01英尺）英尺）（秒）（秒）（0.01英尺）英尺）（秒）（秒）（0.01英尺）英尺）0 3137
3、 35932 水泵工作水泵工作 68535 28423316 3110 39332 水泵工作水泵工作 71854 27676635 3054 39435 3550 75021 269710619 2994 43318 3445 79154 水泵工作水泵工作13937 2947 46636 3350 82649 水泵工作水泵工作17921 2892 49953 3260 85968 347521240 2850 53936 3167 89953 339725223 2797 57254 3087 93270 334028543 2752 60574 301232284 2697 64554 29
4、27表表1、某小镇某天的水塔水位、某小镇某天的水塔水位烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人表1给出了某个真实小镇的真实数据,水塔是一个圆形柱体，高40英尺，直径57英尺，通常水塔的水位降至约27英尺时水泵开始向水塔充水，而当通常水塔的水位升至约35.5英尺时水泵停止向水塔充水。烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人二、基本假设二、基本假设1、影响水从水塔流出的流率的唯一因素是公众对水的传统要求。2、水塔中水的水位不影响
5、水流量的大小。（因为物理学的定律指 出：水塔的最大水流量与水位高度的平方根成正比，由表中数据有说明最高水位和最底水位的两个流量几乎相等）3、水泵工作的起止时间由水塔的水位决定，水泵工作性能效率总是一定的，没有工作时需维修、使用次数多影响使用效率问题，水泵充水量远大于水塔水流量。一、问题的重述（略）一、问题的重述（略）对离散数据的处理，可以用数据逼近的方法来解决，本问题要想到用数值逼近来建模，数值逼近的方法有很多，如Lagrange插值、分段插值、样条插值、曲线拟合等.本问题分三步：1、先决定所给数据点处的水流量。（数据转换即可）2、找一个水从水塔流出的水流量光滑逼近函数3、处理水泵工作时的充水
6、水流量及一天该镇的总用水量下面介绍样条插值理论4、表中的时间数据准确在一秒以内。5、水塔水流量与水泵状态独立，不因水泵工作而增加或减少水流量的大小。6、水塔水流量曲线可以用一条光滑的曲线来逼近。烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人样条插值样条插值分段插值存在着一个缺点,就是会导致插值函数在子区间的端点(衔接处)不光滑,即导数不连续,对于一些实际问题,不但要求一阶导数连续,而且要求二阶导数连续。为了满足这些要求,人们引入了样条插值样条插值的概念。所谓“样条”(SPLINE)是工程绘图中的一种工具,它是有弹性
7、的细长木条,绘图时,用细木条连接相近的几个结点,然后再进行拼接,连接全部结点,使之成为一条光滑曲线,且在结点处具有连续的曲率。样条函数就是对这样的曲线进行数学模拟得到的。它除了要求给出各个结点处的函数值外,只需提供两个边界点处导数信息,便可满足对光滑性的不同要求。烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人1、样条函数的定义、样条函数的定义 设f(x)是区间a,b上的一个连续可微函数,在区间a,b上给定一组基点:a=x0 x1x2xn=b设函数s(x)满足条件 (1)s(x)在每个子区间xi,xi+1(i=0,1
8、,2,n-1)上是次数不超过m的多项式;(2)s(x)在区间a,b上有m-1阶连续导数;则称s(x)是定义在a,b上的m m次样条函数次样条函数。x0，x1，x2,称为样条结点样条结点,其中x1,xn-1称为内结点,x0,xn 称为边界结点。当m=3时,便成为最常用的三次样条函数。烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 设y=f(x)在点 x0，x1，x2,xn的值为y0，y1，y2,yn，若函数S(x)满足下列条件 S(xi)=f(xi)=yi,i=0,1,2,n (1.1)则称S(x)为函数f(x)的三
9、次样条插值函数三次样条插值函数,简称三次样条三次样条。2、三次样条插值函数三次样条插值函数烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 构造三次样条插值函数的方法有很多，这里介绍一个常用的方法：三弯矩插值法三弯矩插值法 记Mi=S(xi),f(xi)=fi=yi,考虑它在任一区间xi,xi+1上的形式.根据三次样条的定义可知,S(x)的二阶导数的二阶导数S(x)在每一个子在每一个子区间区间xi,xi+1(i=0,1,2,n-1)上都是线性函数上都是线性函数.于是在xi,xi+1 上S(x)=Si(x)的二阶导数表
10、示成 (1.2)其中 hi=xi+1xi .对S(x)连续积分两次,并利用插值条件S(xi)=yi ,得到 三次样条函数的构造三次样条函数的构造 x x i,x i+1 S”(x)M i ,M i+1 因此，只要能求出所有的因此，只要能求出所有的M i，就能求出样条插值函数，就能求出样条插值函数S(x).下面考虑下面考虑Mi的求法的求法则由连续性 S S(x(xi-i-)=S)=S(x(xi+i+),(i=1,2,n-1)得 i iM Mi-1i-1+2M+2Mi i+i iM Mi+1i+1=d=di i 其中 上面的方程组有n-1个方程，但有n+1个变量M Mi i，故需故需两个方程才能求
11、唯一解，为此引入下列边界条件两个方程才能求唯一解，为此引入下列边界条件下面介绍几种常用的边界条件 第一型边界条件：（可以用数值微分获得端点导数值）已知f(x)在两端点的导数f(a)和f(b)，要求 S(a)=f(a),S(b)=f(b)第二型边界条件：已知f(x)在两端点的二阶导数f(a)和f(b)，要求 S(a)=M0=f(a),S(b)=Mn=f(b)特别当 S(a)=S(b)=0时，S(x)称为自然三次样条自然三次样条 第三型边界条件：已知f(x)是以b-a为周期的周期函数，要求S(x)满 足周期条件 S(a)=S(b),S(a+)=S(b-),S(a+)=S(b-)三三次次样样条条插插
12、值值问问题题加加上上第第i i型型边边界界条条件件称称为为第第i i型型插插值值问问题题（i i，）可可以以证证明明第第i i型型插插值值问问题题的的解解是是存存在在且且唯一的。他们对应如下的三对角方程组：唯一的。他们对应如下的三对角方程组：2 0 0 M0 d0 1 1 2 1 M1 d1 .=.(*).n-1 n-1 2 n-1 Mn-1 dn-1 n n 2 Mn dn 对于第一型插值问题，取对于第一型插值问题，取 0 0=1=1，n n=1,=1,对于第二型插值问题，取对于第二型插值问题，取0 0=0=0，n n=0=0 对于第三型插值问题，利用周期性，可导出对于第三型插值问题，利用周
13、期性，可导出其中 烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人以上各组条件与方程组以上各组条件与方程组(*)联立，可以解出未知参数联立，可以解出未知参数M M0 0，M M1 1 ,M,Mn n，然后代入然后代入S(x)S(x)表达式，即可求得样条函数表达式，即可求得样条函数 。上面构造方法中上面构造方法中MiMi相应于力学中细梁在相应于力学中细梁在x xi i处截面的弯矩，每处截面的弯矩，每一个方程中又至多出现相邻的三个一个方程中又至多出现相邻的三个M Mi i，通常称为三弯矩法。通常称为三弯矩法。总结以上论述
14、，可得求三次样条的步骤为：总结以上论述，可得求三次样条的步骤为：（1 1）确定边界条件，判定是第几型插值问题；）确定边界条件，判定是第几型插值问题；（2 2）根据所确定的条件计算各值，形成方程组）根据所确定的条件计算各值，形成方程组(*)；（3 3）解三对角方程组）解三对角方程组(*)，求得，求得M0，M1，M2,Mn；（4 4）将求得的将求得的Mi值代回值代回S(x)的表达式中，的表达式中，从而可求得函数从而可求得函数y=f(x)在任一点的近似值在任一点的近似值S(x)。烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该
15、病人估计水塔的水流量三、符号约定及说明三、符号约定及说明h：水塔中水位的高度，是时间的函数，单位为英尺V：水塔中水的体积，是时间的函数，单位为加仑t：时间，单位为小时f：水塔水流量，是时间的函数，单位为加仑小时p：水泵工作时充水的水流量，是时间的函数，单位为加仑小时烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人四、问题分析与建模四、问题分析与建模采用三次样条插值来做曲线逼近，为形象化，将表中数据描点画图时间时间水位水位1、补充充水的开始和截止数据、补充充水的开始和截止数据由假设知水塔的水位降至约27英尺时水泵开始向
16、水塔充水，水塔的水位升至约35.5英尺时水泵停止向水塔充水，水泵每天向水塔充水一次或两次，每次约两小时由表1，有第一次充水期的一些数据为32284（秒）（秒）26.97 27 （英尺）（英尺）35932 水泵工作水泵工作39332 水泵工作水泵工作39435（秒）（秒）35.5（英尺）（英尺）由由 39435-32284=7048 1.958（小时）满足（小时）满足每次约两小时的条件可可推断在32284（秒）（秒）为充水的开始时间为充水的开始时间,在39435（秒）（秒）为充水的截为充水的截止时间止时间.烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很
17、有限，请同学们想一想如何来治疗该病人75021（秒）（秒）26.97 27 （英尺）（英尺）推断在75021(秒秒)为充水的开始时间为充水的开始时间79154 水泵工作水泵工作82649 水泵工作水泵工作（补充数据（补充数据35.5英尺）英尺）85968（秒）（秒）34.75（英尺）（与（英尺）（与35.5英尺相差太多）英尺相差太多）但但 85968-75021=3.041（小时）（小时）而而 82649-75021=7628 2.11889（小时）满足（小时）满足每次约两小时的条件推断在82649（秒）（秒）为充水的截止时间为充水的截止时间,获得一个额外数据获得一个额外数据.第二次充水期的一
18、些数据为烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人时间时间 水体积水体积 时间时间 水体积水体积 时间时间 水体积水体积（小时）（小时）（加仑）（加仑）（小时）（小时）（加仑）（加仑）（小时）（小时）（加仑）（加仑）0 606125 9.9811 水泵工作水泵工作 19.0375 5425540.9211 593716 10.9256 水泵工作水泵工作 19.9594 5282361.8431 583026 10.9542 677715 20.8392 5148722.9497 571571 12.0328 6
19、57670 22.0150 水泵工作水泵工作3.8714 562599 12.9544 639534 22.9581 6777154.9781 552099 13.8758 622352 23.8800 6633975.9000 544081 14.9822 604598 24.9869 6485067.0064 533963 15.9039 589325 25.9083 6376257.9286 525372 16.8261 5750088.9678 514872 17.9317 5587812、数据转换、数据转换 表2(V=r2 h)烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但
20、对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人用数学软件绘图如下烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人3、由数据（ti,Vi)产生水流量f(t)的方法有：1.由对水体积的微商数据点直接获得水流量f(t)的近似函数值2.先获得水体积V(t)的近似函数，再对其求导我们利用第一种方法，为获得水体积的微商数据点，选用数值微分公式烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人用程序计算出流量函数点集f(tk),(给
21、出计算的数据表和散点图)。（略）用样条插值或数据拟合的数学软件，可以得到水流量f(t)的近似函数，这里也记为f(t),这里，样条函数所需的边界条件可以由数值微分公式得出。于是我们得到了水流量的估计函数模型。注：使用样条插值时，得出的水流量f(t)不必给出具体的函数关系式，画出它的图形即可。使用拟合时，得出的水流量f(t)有具体的函数关系式，此时要选好拟合函数类本题可选为8次多项式。烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人4、水泵充水期间的水流量处理、水泵充水期间的水流量处理水泵充水期间的水流量用平均水流量代替
22、：第一次充水期间充满水的水量烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人同理可以得出第二次充水期间的平均水流量 p2=91910 加仑/小时于是有充水期间的平均水流量：于是有充水期间的平均水流量：p=(p1+p2)/2=94743 加仑/小时烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人五、一天的总用水量一天的总用水量为确定模型的准确性，做如下检验：烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮
23、肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人检验2：利用给定的数据检验（对非充水期间的用水量用已知数据尽量算出，其余部分用数值积分计算）取0，24区间，有：第一次充水前用水量为：v1=606125-514872=91253(加仑）第一次充水后，第二次充水前用水量为：v2=677715-514872=162843(加仑）烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人得一天总用水量为：v1+v2+v3+30981+31905+1829=333129（加仑）与相比，只相差0.02%。检验说明拟合函数f(t)相当精确.烧伤病人
24、的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人六、六、误差分析误差分析估计所得模型算出一天总用水量的误差.水位观测值的误差在0.5%以内,由圆柱体积公式可以知道,对应水体积的误差也在0.5%以内,由转换水体积的数值,有水体积误差约在25743389加仑之间,这与一天的用水量相比是微不足道的.为分析一天总用水量的误差,由于直接从构造公式中计算误差不方便,下面采用直接由所得水体积数表来分析误差.记Vp1,Vp2为两次充水期间的用水量,Vt 表示t时刻的水体积,则一天用水总量可以如下计算:V=V0-V8.9678+Vp1+V10
25、.9542-V20.8392+Vp2+V22.9581-V23.88+V23.88,24 (*)烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人(*)式中V0、V8.9678、V10.9542、V20.8392、V22.9581、V23.88 的误差为0.5%,我们只需估计Vp1、Vp2、V23.88,24的误差。由于直接用样条函数来估计Vp1、Vp2、V23.88,24的误差不方便，我们利用样条函数的误差总是相近的特点，采用从实际中分析误差的界限。做法为：随机取出测量水位的时间区间用水量的误差，以其平均值作为Vp1
26、、Vp2、V23.88,24的误差。V23.88,24是时间区间23.88,24的用水量.这里取0.9211,1.8431,3.8714,4.9781,7.9286,8.9678,10.9542,12.0328,15.9039,16.8261,19.0375,19.9594,由表2，分别得用水量为10690，10500，10500，20045，14317，14318加仑；而用样条模型算出的用水量分别为9574，10391，9663，21622，14470，14397加仑对应误差分别约为11.7%,1.0%,8.7%,7.3%,1.1%,0.5%其平均值约为5.1%，由此可以算得一天总用水量的标
27、准偏差：烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人由当V=V0、V8.9678、V10.9542、V20.8392、V22.9581、V23.88 的 时Sv=0.5%V及,当V=Vp1、Vp2、V23.88,24时Sv=5.1%V可以算出一天总用水量的误差为 Sv=7846（加仑）大约为一天用水量的2.4%(=Sv/V)烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人七、模型的优缺点七、模型的优缺点优点：1.模型可以用于有一个标准水箱的小镇使用2.模型用到的知识简单易懂,模型容易完成3.模型不仅提供了水流量及一天用水量的较为准确的估计,还可以估计任何时刻的水流量,包括水泵工作时的水流量.缺点:无法准确估计结果的误差