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1、 第二章第二章 概率概率6 6 正态分布正态分布正态分布在统计学中是很重要的分布。正态分布在统计学中是很重要的分布。前面我们讨论了前面我们讨论了离散型随机变量离散型随机变量，它们的取值是可以一，它们的取值是可以一一列举的一列举的.人们感兴趣的是其分布列；但在实际应用中，人们感兴趣的是其分布列；但在实际应用中，还有许多随机变量不可以一一列举而是取某一区间中的还有许多随机变量不可以一一列举而是取某一区间中的一切值（一切值（连续型随机变量连续型随机变量），通常我们感兴趣的是它落），通常我们感兴趣的是它落在某个区间的概率。在某个区间的概率。离散型随机变量离散型随机变量的概率分布规律用的概率分布规律用分
2、布列分布列描述，而描述，而连续型随连续型随机变量的概率分布规律用机变量的概率分布规律用密度密度函数（曲线）函数（曲线）描述。描述。某种产品的寿命（使用时间）是一个随机变某种产品的寿命（使用时间）是一个随机变量量X X，它可以取大于等于，它可以取大于等于0 0的所有数值的所有数值.怎样怎样描述这样的随机变量的分布情况呢？描述这样的随机变量的分布情况呢？设设x x表示产品的寿命（单位：表示产品的寿命（单位：h h），如果），如果我们对该产品有如下的了解：我们对该产品有如下的了解：寿命小于寿命小于500 h500 h的概率为的概率为0.710.71，寿命在寿命在500500800 h800 h之间的
3、概率为之间的概率为0.220.22，寿命在寿命在800 800 1000 h1000 h之间的概率为之间的概率为0.070.07，这样我们可以画出大致的图像（见教材）这样我们可以画出大致的图像（见教材）图像比较简单，图像比较简单，例如它没有告诉我们寿命在例如它没有告诉我们寿命在200 200 400 h400 h之之间的概率间的概率.如果我们想了解更多，图中的区间会分的更如果我们想了解更多，图中的区间会分的更细，为了完全了解产品的寿命的分布情况，细，为了完全了解产品的寿命的分布情况，需要需要将区间无限细分将区间无限细分，最总我们会得到一条，最总我们会得到一条曲线，这条曲线称为曲线，这条曲线称为
4、随机变量随机变量X X的分布密度的分布密度曲线曲线，这条曲线对应的函数称为，这条曲线对应的函数称为X X的分布密的分布密度函数度函数,记为记为f(x)f(x).有了有了X X 的分布密度曲线，则的分布密度曲线，则X X取值于取值于任何范任何范围的概率围的概率都可以通过该曲线下相应部分的都可以通过该曲线下相应部分的面面积积而算出而算出.正态分布密度曲线正态分布密度曲线（简称正态曲线正态曲线）0YX“钟形”曲线正态分步的分布密度函数解析式为：称称X 的分布为的分布为正态分布正态分布.正态分布由参数正态分布由参数m m、s s2 2唯一确定唯一确定,m m、s s2 2分别表示正态分布的分别表示正态
5、分布的均值均值与与方方差差.不同的不同的 m m、s s2 2对应着不同的正态密度曲线。对应着不同的正态密度曲线。一一.正态分布定义正态分布定义xy0 如果随机变量X服从正态分布，则记作：XN(,s2)。（EX=DX=s2）函数函数 的图像称为正态分布密度的图像称为正态分布密度曲线，简称曲线，简称正态曲线。正态曲线。二、正态曲线的性质二、正态曲线的性质（1）函数图像关于直线x=对称.（2）函数在x=时，取得最大值（3）具有具有两头低、中间高、左右对称两头低、中间高、左右对称的基本特征的基本特征（3 3）0.512一定一定O正态曲线的性质正态曲线的性质越大，曲线越越大，曲线越“矮胖矮胖”，表示总
6、体的分布，表示总体的分布越分散越分散；越小，曲线越越小，曲线越“瘦高瘦高”，表示总体的分布，表示总体的分布越集中越集中.正态曲线下的正态曲线下的面积面积规律（重要）规律（重要）1、X轴与正态曲线所夹面积恒等于轴与正态曲线所夹面积恒等于1 概率2、对称区域面积相等、对称区域面积相等S(-x1,-x2)-x1 -x2 x2 x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)X=特别地有（熟记）我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有4.6，在 以外取值的概率只有0.3。由于这些概率值很小（一般不超过5 ），通常称这些情况发生为小概率事件。例例1.1.某设备正常运行时，产品的质量服从某设备正常运行时，
7、产品的质量服从正态分布，其参数为：正态分布，其参数为：为了检查为了检查设备运行是否正常，质量检验员需要随机地设备运行是否正常，质量检验员需要随机地抽取产品，测量其质量抽取产品，测量其质量.当检验员随机地抽当检验员随机地抽取一个产品，测得其质量为取一个产品，测得其质量为504 g504 g，他立即，他立即要求停止生产，检查设备要求停止生产，检查设备.他的决定是否有他的决定是否有道理呢？道理呢？=500 g,s 2=1解 如果设备正常运行，产品质量服从正态分布.根据题意和正态分布的性质可知，产品质量在500-3=497 g和500+3=503 g之间的概率为0.997，而质量超过这个范围的概率只有
8、0.003，这是一个几乎不可能出现的事件.但是检查员抽出了504 g的产品，说明设备的运行极可能不正常，所以检验员的决定是有道理的.例例2：在某次数学考试中，考生的成绩在某次数学考试中，考生的成绩 X 服服从一个正态分布，即从一个正态分布，即X N(90,100).（1）试求考试成绩）试求考试成绩X 位于区间位于区间(70,110)上上的概率是多少？的概率是多少？（2）若这次考试共有）若这次考试共有2000名考生，试估计名考生，试估计考试成绩在考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少间的考生大约有多少人？人？练习练习2.2.设两个正态分布设两个正态分布N(N(1 1,)(,)(1 10)0
9、)和和N(N(2 2,),)(2 20)0)的密度函数图象如的密度函数图象如 图所示图所示,则有则有 ()()A.A.1 1 2 2,1 1 2 2 B.B.1 1 2 2C.C.1 1 2 2,1 1 2 2,1 1 2 2解析解析 由正态分布由正态分布N(N(,2 2)性质知性质知,x=,x=为正态密为正态密度函数图象的对称轴度函数图象的对称轴,故故1 1 2 2.又又越小，图象越高瘦越小，图象越高瘦,故故1 1 2 2.A2、已知、已知XN(0,1)，则，则X在区间在区间 内取值的概率内取值的概率A、0.9544 B、0.0456 C、0.9772 D、0.02283、设离散型随机变量、
10、设离散型随机变量XN(0,1),则则 =,=.D0.50.9544、若已知正态总体落在区间、若已知正态总体落在区间 的概率为的概率为0.5，则，则相应的正态曲线在相应的正态曲线在x=时达到最高点。时达到最高点。0.35、已知正态总体的数据落在（、已知正态总体的数据落在（-3,-1）里的概率和落）里的概率和落在（在（3,5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学）里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望是期望是 。1归纳小结 3 正态曲线的性质正态曲线的性质（1）曲线关于直线）曲线关于直线x=对称对称.（2）曲线在）曲线在x=时位于最高点时位于最高点.(3)当当一定时，曲线的形状由一定时，曲线的形状由确定确定.越大，曲线越越大，曲线越“矮胖矮胖”，表示总体的分布越分散；，表示总体的分布越分散；越小，曲线越越小，曲线越“瘦高瘦高”，表示总体的分布越集中，表示总体的分布越集中.1 正态分布函数解析式：正态分布函数解析式：2 正态曲线正态曲线