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1、第六讲数字滤波器设计浙江大学光电信息工程学系胡慧珠l 预备知识l IIR滤波器设计l 双线性变换l 低通IIR滤波器设计l 高通、带通、带阻IIR数字滤波器设计l IIR滤波器的谱变换l FIR滤波器设计l 基于加窗傅立叶级数的FIR滤波器设计l 数字滤波器的计算机辅助设计l 用Matlab进行数字滤波器设计主要内容l 确定传输函数G(z)的过程称为数字滤波器设计.l 在大多数应用中，关键的问题是用一个可实现的传输函数去逼近给定的滤波器幅度响应指标，而滤波器的相位响应可以通过级联全通滤波器来校正。l 一种广泛应用的IIR滤波器设计方法是将一个模拟的原型传输函数转换为一个数字的传输函数。l FI
2、R滤波器的设计则是基于对指定幅度响应的直接逼近。l 在设计数字传输函数G(z)之前，有两个关键的问题需要考虑：l 分析使用数字滤波器的整个系统的需求，确定合理的滤波器频率响应指标。l 确定所设计的滤波器是FIR还是IIR数字滤波器。7.1 预备知识11+p1-psp s低通数字滤波器的典型幅度指标7.1.1 数字滤波器指标数字滤波器指标通带0 p阻带s p:通带截止频率s:阻带截止频率p:通带峰值波纹s:阻带峰值波纹p:峰值通带波纹s:最小阻带衰减11/A p s归一化的数字低通滤波器幅度响应指标最大通带衰减:设FT 为采样频率（Hz），Fp 和 Fs 分别为通带和阻带截止频率（Hz），则归一
3、化截止角频率为：两个参数：过渡比或选择性参数分辨参数幅度平方函数与模拟传输函数之间的关系：l FIR 滤波器可以设计为线性相位，并且总是稳定的。l 在多数情况下，FIR滤波器的阶数 NFIR 显著大于具有等效幅度响应的IIR滤波器阶数NIIR。NFIR/NIIR 通常为10的量级或更高.l IIR 滤波器通常计算更简便。l 在很多应用中，并不要求滤波器具有严格的线性相位，在这些情况下，通常会因计算简便而选择IIR滤波器。7.1.2 滤波器类型的选择l IIR滤波器设计:l 在设计IIR滤波器时，通常将数字滤波器的设计指标转化成模拟低通原型滤波器的设计指标，从而确定满足这些指标的模拟低通滤波器的
4、传输函数Ha(s)，然后再将它变换成所需要的数字滤波器传输函数G(z)l 将模拟原型传输函数Ha(s)变换成所需的数字IIR传输函数G(z)的基本思路就是要把s域映射到z域，从而使数字滤波器能保持模拟滤波器的基本频率响应特性，因此，这种映射函数必须满足以下要求：l s平面的虚轴（j）必须映射到z平面的单位圆上。l 稳定的模拟传输函数能变换为稳定的数字传输函数。7.1.3 数字滤波器设计的基本方法l FIR 滤波器设计:l FIR滤波器的设计是基于对指定幅度响应的直接逼近，通常还需加上线性相位的条件限制l 一个N+1阶的FIR滤波器可以通过利用脉冲响应序列或频率响应的 N+1 个采样点来实现l
5、两种直接的FIR滤波器设计方法是加窗傅立叶级数法和频率采样法l 一些研究者提出了一些先进的方法估计给定性能指标的数字滤波器的阶数对通带宽度适中的FIR滤波器对通带宽度较窄的FIR滤波器对通带宽度较宽的FIR滤波器这样设计出来的FIR滤波器的频率响应特性可能满足也可能不满足给定的指标，如果不满足指标，建议逐渐增加滤波器阶数直到满足指标为止。7.1.4 滤波器阶数估计IIR滤波器的系统函数的设计就是确定各系数ak,bk或零极点ck，dk和A，以使滤波器满足给定的性能要求。通常有以下两种方法：1）利用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器先设计一个合适的模拟滤波器；然后变换成满足预定指标的数字滤波器。这种
6、方法很方便，因为模拟的网络综合理论已经发展得很成熟，模拟滤波器具有很多简单而又现成的设计公式，并且设计参数已经表格化了，另外，还有一些典型的滤波器类型可供使用，设计起来既方便又准确。2）计算机辅助设计最优化设计法7.2 IIR滤波器设计由模拟滤波器设计数字滤波器步骤：1、数字滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器指标；2、模拟低通滤波器设计；（设计出符合要求的模拟滤波器的系统函数Ha(s)，可以选择多种类型的滤波器）3、映射实现：从模拟低通滤波器再转换成数字滤波器G(z)；（利用一定的映射方法，把模拟滤波器系统函数数字化，如双线性变换法和脉冲响应不变法）IIR滤波器设计的脉冲响应不变法脉冲响应不
7、变法是设计IIR滤波器最简单的一种近似方法。基本思路：将连续时间滤波器的单位脉冲响应均匀采样，作为离散时间滤波器的单位脉冲响应。即：hn=Tdhc(nTd)(7.4)注意，此处的Td是转换离散时间滤波器的采样周期，不必等于信号的采样周期T，尽管经常会取相同的值。证明：离散时间滤波器频响与连续时间滤波器频响之间的关系为：由于Hc(j)=0,|/Td，则有：脉冲响应不变法的系统函数转变不失一般性地，假定连续时间滤波器的系统函数为：所对应的时域脉冲响应是：对Tdhc(t)采样得到的离散时间滤波器的脉冲响应是：离散时间滤波器的系统函数为：脉冲响应不变法的几个要点 由脉冲响应不变法的全过程，可以看出除了
8、比例系数Td，其与z变换过程相同，所以这种方法有叫做常规z变换法 对比Hc(s)和H(z)可以知道，连续时间滤波器的极点按照 的关系映射成z平面的极点，但零点一般需要重新计算 脉冲响应不变法，需要满足采样定理来避免混叠。解决的办法是提高技术指标。因此脉冲响应不变法经常适用于带限的窄带滤波器，如低通或带通滤波器，而不常用于通带向高频带延伸太宽的高通和带阻滤波器。脉冲响应不变法举例利用脉冲响应不变法，设计一个Butteworth离散时间低通滤波器。技术指标：3dB带宽的截止频率c=0.2 30dB阻带边界频率s=0.5 采样周期Td=10s 第一步：将给定指标按照=/Td转换为相应的连续时间低通指
9、标；得到：第二步：根据连续时间低通指标设计归一化连续时间低通滤波器；得到：例(续)取N=4。四阶归一化Butterworth低通滤波器传递函数为：第三步：利用频率转换求得满足给定指标的实际连续时间低通滤波器；即：第四步：利用脉冲响应不变法求得满足给定技术指标的离散时间滤波器传输函数。得：l 将模拟原型传输函数Ha(s)变换成所需的数字IIR传输函数G(z)的基本思路就是要把s域映射到z域，从而使数字滤波器能保持模拟滤波器的基本频率响应特性，因此，这种映射函数必须满足以下要求：l s平面的虚轴（j）必须映射到z平面的单位圆上。l 稳定的模拟传输函数能变换为稳定的数字传输函数。l 有很多种变换方法
10、可以将一个模拟传输函数Ha(s)变换成一个数字传输函数G(z)，从而使z域的数字传输函数保留s域的模拟传输函数的基本性质。l 在这些变换中，更多地使用双线性变换法来设计基于模拟原型滤波器变换的IIR数字滤波器。7.2.1 IIR滤波器设计的双线性变换法 双线性变换法(Bilinear transformation)：是从频域出发，使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换法。双线性变换定义：l以上变换是一个一一映射，它将s平面上的一点映射为z平面上的一点，或将z平面上的一点映射为s平面上的一点。数字传输函数G(z)和原型模拟传输函数 Ha(s)之间的关系为:l双线性变换是通过应
11、用梯形数值积分方法来从Ha(s)的微分方程得到G(z)的差分方程的一种变换。参数T表示数值积分的步长 双线性变换的推导（梯形积分）l 双线性变换主要用在:l 用反双线性变换来将数字滤波器的性能指标转换为模拟原型滤波器的性能指标l 用双线性变换来从模拟传输函数得到所希望的数字滤波器的传输函数G(z)l 参数T对 G(z)的表达式没有影响,可以选择T=2来简化设计的过程0j Im(z)Re(z)-110s域到z域的映射关系：令：双线性变换扭曲了数字频率和模拟频率的关系。1.临界频率预畸变 2.模拟原型滤波器Ha(s)3.Ha(s)G(z)数字滤波器设计思路：l稳定性不变，但形状发生变化l映射高度非
12、线性，由此引起的频率轴失真称为频率畸变例:模拟滤波器传输函数为-3dB频率为2000弧度/秒(318.31Hz)，求对应的数字滤波器传输函数，采样率为1500Hz频率响应之间的差异见上图，数字滤波器的滚降比模拟滤波器要陡，且带宽也不同，这种误差是由于双线性变换的畸变造成的。畸变误差可以通过对-3dB频率的预畸变来克服。l二阶模拟带阻滤波器（陷波器）的传输函数为7.2.2 IIR低阶滤波器的设计令l陷波频率0 和-3dB陷波带宽 Bw 与常数 和 相关/则l设计一个低通IIR数字滤波器G(z)，性能指标如下:7.3 低通IIR滤波器设计l 将数字截止频率预畸变为模拟截止频率k：过渡比k1：分辨率
13、巴特沃兹逼近的阶数估计：频率解归一化：l三阶归一化低通Butterworth传输函数:l 第一种方法分为以下几个步骤：7.4 高通、带通和带阻IIR数字滤波器设计Step 1：用式 预畸变所求数字滤波器GD(z)的数字频率指标，从而得到一个等价的模拟滤波器HD(s)的频率指标。Step 2：选取一种合适的频率变换，将HD(s)的频率指标转换成原型低通滤波器HLP(s)的频率指标。（附录B）Step3:设计模拟低通滤波器HLP(s).（附录A）Step4:用步骤2中频率变换的逆变换将传输函数HLP(s)转换为HD(s)。（附录B）Step5:对传输函数HD(s)进行双线性变换，从而得到所求的数字
14、IIR传输函数GD(z)l 第二种方法分为以下几个步骤：步骤1：用式 预畸变所求数字滤波器GD(z)的数字频率指标，从而得到一个等价的模拟滤波器HD(s)的频率指标。步骤2：选取一种合适的频率变换，将HD(s)的频率指标转换成原型低通滤波器HLP(s)的频率指标。步骤3：设计模拟低通滤波器HLP(s)。步骤4：对传输函数HLP(s)进行双线性变换，将其转换为IIR数字滤波器的传输函数GLP(z)。步骤5：选取一种合适的谱变换将GLP(z)转换成所求的数字传输函数GD(z)。GD(z)的数字频率指标与HD(s)相同类型的模拟滤波器频率指标原型低通滤波器HLP(s)的频率指标Designing o
15、f HLP(s)HD(s)GD(z)GLP(z)GD(z)l 谱变换可以用来将给定的低通数字IIR传输函数GL(z)转换成另一个低通、高通、带通或带阻滤波器的数字传输函数GD(z).7.5 IIR滤波器的谱变换l 为了把一个有理的GL(z)变换成一个有理的，必须为 的一个有理函数 l 另外，为了保证 的稳定性，应该将z平面单位圆的内部映射到平面的单位圆的内部.l 为了保证将低通幅度响应映射成四种基本类型的幅度响应之一，z平面单位圆上的点必须映射成 平面单位圆上的点.为稳定的全通函数实数或是以复共轭对的形式出现，并且 以保持传输函数的稳定 l 要把一个截止频率为c的原型低通滤波器GL(z)变换成
16、另一个截止频率为 的低通滤波器，我们会用到变换 为实数=-0.6=0=+0.67.5.1 低通滤波器到低通滤波器的变换利用低通滤波器到低通滤波器的变换同样可以：l把截止频率为c的高通滤波器变换成截止频率为 的另一个高通滤波器l把中心频率为0的带通滤波器变换成另一个中心频率为 的带通滤波器l把中心频率为0的带阻滤波器变换成另一个中心频率为 的带阻滤波器 谱 变 换 表 滤波器类型 变换 设计参数低通滤波器高通滤波器带通滤波器带阻滤波器7.5.2 其他谱变换l 当低通原型滤波器的带宽与变换后带通滤波器带宽相同，即 将这个限制条件加到表9.1中的频谱变换，可以得到修正的频谱变换为l 一种直观的设计方
17、法是基于对指定频率响应的傅立叶级数进行截短来设计加窗傅立叶级数法l N 点离散傅立叶变换由其频率响应的N个等间隔的不同频率样本组成，因此该数字滤波器的冲激响应序列可以利用它的频率样本上的离散傅立叶逆变换来计算频率抽样法l基于计算机的辅助设计方法7.6 FIR滤波器设计lKaiser方程lBellanger方程lHermann方程lp、s 较小时，三个方程都比较准确lp、s 较大时，Hermann方程更准确FIR阶数的估计 表示要求的频率响应函数 恰好是相应的冲激响应样本l 给定一个频率响应指标Hd(ej),可以利用上式计算 hd(n),从而确定传输函数Hd(z)。l 然而在大多数实际应用中，要
18、求的频率响应是分段的常数，并且各个频带之间有陡峭的过渡带，在这种情况下，相应的冲激响应序列是无限长并且非因果的。l 我们的目标是找一个长度为2M+1的有限冲激响应序列 htn，它的离散时间傅立叶变换 Ht(ej)在某种程度上逼近所求的Hd(ej)。7.7.1 FIR滤波器的最小积分平方误差设计7.7 加窗傅立叶级数法设计FIR滤波器l 一种常用的逼近准则是最小积分平方误差Parsevals 关系l 当-M n M 时，htn=hdn，则积分平方误差最小，或者换句话来说，在均方误差准则下，理想无限长冲激响应的最佳和最简单的有限长逼近是通过截短来得到的l 冲激响应为hn的因果FIR可以通过将 ht
19、n延时M个样本后得到:7.7.2 理想滤波器的冲激响应l 理想L带数字滤波器HML(z)的零相位频率响应:1234A1A2A3A4A5理想Hilbert变换器，也称为90度相移器理想的离散时间差分器，用于在离散时间域上对连续时间信号的抽样值进行差分运算l 对于给定的理想滤波器的冲激响应系数进行简单截短，得到的因果FIR滤波器的幅度响应呈现振动的现象，通常称为Gibbs现象l 随着滤波器长度的增加，通带和阻带的波纹数增加，而波纹的宽度相应减小，但是在截止频率两边出现的最大波纹的高度仍然保持不变，它与滤波器的长度无关，并且近似等于理想滤波器通带和阻带幅度差的11%l 在其他类型的理想滤波器冲激响应
20、的截短频率响应中，同样可以观察到类似的现象l 产生Gibbs现象的原因可以解释为：截短运算可以认为是将无限长冲激响应系数与一个有限长的窗序列 wn相乘的结果7.7.3 Gibbs现象Normalized frequency/Normalized frequency/滤波器长度21滤波器长度61Normalized frequency/wn,N=21矩形窗-0.4 0.4*Normalized frequency/Normalized frequency/N=21-0.4 0.4*N=61Normalized frequency/Normalized frequency/Normalized f
21、requency/矩形窗的频率响应：l 主瓣宽度定义为中心频率点=0 两侧的两个最近的零值点之间的距离：4/(2M+1)，它决定了主瓣的性质。频率响应中的其他波纹成为旁瓣l 随着M的增大，主瓣和旁瓣的宽度都随之减小。但是主瓣和旁瓣下的面积都保持不变。这表明随着M的增加，波纹的振幅没有减小l 当M增加到某一程度，主瓣非常窄，Ht(ej)将会很接近 Hd(ej)，但这会增加运算的复杂度l 矩形窗在-M n M 以外的范围有陡峭的下降沿，它是加窗理想滤波器冲激响应序列出现Gibbs现象的原因l Gibbs现象可以通过采用两边都逐渐平滑减少到零的窗函数，或从通带到阻带有平滑的过渡带的方法来减少。使用渐
22、变的窗函数可以使旁瓣的高度减小，但使主瓣的宽度相应地增加，结果在不连续点间出现了更宽的过渡带矩形窗的频率响应的最小零值点：Hann:7.7.4 固定窗函数Hamming:Blackman:Rectangular:l 一个窗函数的性能主要取决于它的两个参数，即主瓣宽度和相对旁瓣级。l 相对旁瓣级是最大旁瓣与主瓣以dB为单位的幅度差值。l 最大通带偏移和最小阻带值之间的距离近似等于窗的主瓣宽度，过渡带宽小于主瓣宽度。l 为了保证从通带快速过渡到阻带，窗函数应该有一个非常小的主瓣宽度，另一方面，为了减小通带和阻带波纹，旁瓣下的面积也要求非常小。遗憾的是，这两个要求是相互矛盾的。l矩形窗、Hann窗、
23、Hamming窗的波纹与滤波器长度和截止频率无关，为一常数。l过渡带宽近似为：c为一常数Rectangular WindowHamming Windowht(n)Ht(ejw)Hanning Window Blackman Windowht(n)Ht(ejw)Type of windowsMain lobe widthRelative sidelobe levelMinimum stopband attenuationTransition bandwidthRectangular 4/(2M+1)13.3dB 20.9dB 0.92/MHann 8/(2M+1)31.5dB 43.9dB 3.
24、11/MHamming 8/(2M+1)42.7dB 54.5dB 3.32/MBlackman 12/(2M+1)58.1dB 75.3dB 5.56/M固定窗函数的特性l固定窗函数设计的滤波器的波纹是固定的l一些可变窗函数提供了额外的参数以控制波纹多尔夫-切比雪夫窗凯泽窗使用最广泛Tk(x)为k阶切比雪夫多项式I(x)为修正0阶贝塞尔函数7.7.5 可调窗函数另一种消除Gibbs现象的方法是修正数字滤波器的频率响应的指标，从而使该滤波器在通带和阻带之间出现一个过渡带，使各频带之间平滑过渡0-ps-p-s7.7.6 具有平滑过渡带的FIR滤波器的冲激响应l hn的N点DFT可由其DTFT进行等间隔的N点抽样得到l数字滤波器的冲激响应序列hn可以利用它的频率样本上的IDFT来计算频率抽样法7.8 频率抽样法l 由于用来使计算机设计的滤波器与要求的频率响应之间的误差最小化的迭代最优化技术的提出，出现了很多基于该最优化技术的滤波器设计方法需设计的滤波器传输函数期望的频率响应某种准则下的逼近7.9 数字滤波器的计算机辅助设计l在商业上有很多可供选择的软件包，它们使得数字滤波器的计算机设计相当简单FDA ToolsMatlab