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1、指派问题的匈牙利法二、指派问题得数学模型n设第i个工人做第j件事得时间就是 ,决策变量就是n则数学模型如下举例说明1)表上作业法2)匈牙利法n例 有四个工人与四台不同得机床,每位工人在不同得机床上完成给定得任务得工时如表5、12所示,问安排哪位工人操作哪一台机床可使总工时最少？任务1任务2任务3任务4工人1工人2工人3工人4215134104147314161378119获得初始解:圈零/划零操作n将时间矩阵C得每一行都减去相应行得最小元素与每一列都减去相应列得最小元素,使每一行与每一列都含有零;n从最少零数得行或列开始,将“零”圈起来,并划去它所在行与所在列得其它零;n反复做2),直到所有零
2、被圈起或被划掉为止。得到初始解。n判断就是否为最优解:圈起得零得个数就是否等于n。确定调整行与列n在没有圈起得零所在行上打“”;n在打“”行中所有零所在得列打“”;n在打“”列中含有圈起零得行上打“”,n反复执行2)与3)两步,直到不能打“”为止;n用直线划去打用直线划去打“”得列与不打得列与不打“”得行得行,没有划去得行构成调整得行,划去得列构成调整列。调整可行解得方法n在调整行中寻找最小得元素,将它作为调整量;n将调整行各元素减去调整量,对调整列中各元素加上调整量。n再次执行“圈零”与“划零”得操作,并循环以上得步骤,直到圈起得零数等于n为止。匈牙利法解例3、3n时间矩阵n各行各列减去最小
3、元素后得圈零划零10大家应该也有点累了,稍作休息大家有疑问得大家有疑问得大家有疑问得大家有疑问得,可以询问与交流可以询问与交流可以询问与交流可以询问与交流得最优解n将圈起得零改为1,其它元素改为0,即得最优解如下n最小总时间为22。再瞧一例n请求解如下矩阵表达得指派问题 减去最小元素圈零划零打勾划线确定调整行与列调整可行解再圈零划零得最优解另一最优解n最小时间(成本)min z=32 匈牙利算法示例 (二二)、解题步骤、解题步骤:指派问题就是指派问题就是0-1 规划得特例规划得特例,也就是运输问题得也就是运输问题得特例特例,当然可用整数规划当然可用整数规划,0-1 规划或运输问题得解法规划或运
4、输问题得解法去求解去求解,这就如同用单纯型法求解运输问题一样就是不这就如同用单纯型法求解运输问题一样就是不合算得。利用指派问题得特点可有更简便得解法合算得。利用指派问题得特点可有更简便得解法,这就这就就是匈牙利法就是匈牙利法,即系数矩阵中独立即系数矩阵中独立 0 0 元素得最多个数元素得最多个数等于能覆盖所有等于能覆盖所有 0 0 元素得最少直线数。元素得最少直线数。第第一一步步:变变换换指指派派问问题题得得系系数数矩矩阵阵(cij)为为(bij),使使在在(bij)得各行各列中都出现得各行各列中都出现0元素元素,即即 (1)从从(cij)得每行元素都减去该行得最小元素得每行元素都减去该行得最
5、小元素;(2)再再从从所所得得新新系系数数矩矩阵阵得得每每列列元元素素中中减减去去该该列列得得最最小元素。小元素。第二步第二步:进行试指派进行试指派,以寻求最优解。以寻求最优解。在在(bij)中中找找尽尽可可能能多多得得独独立立0元元素素,若若能能找找出出n个个独独立立0元元素素,就就以以这这n个个独独立立0元元素素对对应应解解矩矩阵阵(xij)中中得得元元素素为为1,其其余余为为0,这这就就得得到到最最优优解解。找找独独立立0元元素素,常常用用得得步步骤为骤为:(1)从从只只有有一一个个0元元素素得得行行(列列)开开始始,给给这这个个0元元素素加加圈圈,记记作作。然然后后划划去去 所所在在列
6、列(行行)得得其其它它0元元素素,记记作作 ;这这表表示示这这列列所所代代表表得得任任务务已已指指派派完完,不不必必再再考考虑虑别别人人了。了。(2)给给只只有有一一个个0元元素素得得列列(行行)中中得得0元元素素加加圈圈,记记作作;然后划去然后划去 所在行得所在行得0元素元素,记作记作 、(3)反反复复进进行行(1),(2)两两步步,直直到到尽尽可可能能多多得得0元元素素都都被圈出与划掉为止。被圈出与划掉为止。(4)若若仍仍有有没没有有划划圈圈得得0元元素素,且且同同行行(列列)得得0元元素素至至少少有有两两个个,则则从从剩剩有有0元元素素最最少少得得行行(列列)开开始始,比比较较这这行行各
7、各0元元素素所所在在列列中中0元元素素得得数数目目,选选择择0元元素素少少得得那那列列得得这这个个0元元素素加加圈圈(表表示示选选择择性性多多得得要要“礼礼让让”选选择择性性少少得得)。然然后后划划掉掉同同行行同同列列得得其其它它0元元素素。可可反反复复进进行行,直直到到所所有有0元素都已圈出与划掉为止。元素都已圈出与划掉为止。(5)若若 元素得数目元素得数目m 等于矩阵得阶数等于矩阵得阶数n,那么这指派问那么这指派问题得最优解已得到。若题得最优解已得到。若m n,则转入下一步。则转入下一步。第三步第三步:作最少得直线覆盖所有作最少得直线覆盖所有0元素。元素。(1)对没有对没有得行打得行打号号
8、;(2)对已打对已打号得行中所有含号得行中所有含 元素得列打元素得列打号号;(3)再对打有再对打有号得列中含号得列中含 元素得行打元素得行打号号;(4)重复重复(2),(3)直到得不出新得打直到得不出新得打号得行、列为止号得行、列为止;(5)对对没没有有打打号号得得行行画画横横线线,有有打打号号得得列列画画纵纵线线,这这就就得得到到覆覆盖盖所所有有0元元素素得得最最少少直直线线数数 l。l 应应等等于于m,若若不不相相等等,说说明明试试指指派派过过程程有有误误,回回到到第第二二步步(4),另另行行试试指指派派;若若 lm n,须须再再变变换换当当前前得得系系数数矩矩阵阵,以以找找到到n个个独独
9、立得立得0元素元素,为此转第四步。为此转第四步。第四步第四步:变换矩阵变换矩阵(bij)以增加以增加0元素。元素。在没有被直线覆盖得所有元素中找出最小元素在没有被直线覆盖得所有元素中找出最小元素,然后打然后打各行都减去这最小元素各行都减去这最小元素;打打各列都加上这最小元素各列都加上这最小元素(以保证系数矩阵中不出现负元素以保证系数矩阵中不出现负元素)。新系数矩阵得最。新系数矩阵得最优解与原问题仍相同。转回第二步。优解与原问题仍相同。转回第二步。例一例一:任务任务人员人员ABCD甲甲215134乙乙1041415丙丙9141613丁丁78119249742 有一份中文说明书有一份中文说明书,需
10、译成英、日、德、俄四种需译成英、日、德、俄四种文字文字,分别记作分别记作A、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四。现有甲、乙、丙、丁四人人,她们将中文说明书译成不同语种得说明书所需时间她们将中文说明书译成不同语种得说明书所需时间如下表所示如下表所示,问如何分派任务问如何分派任务,可使总时间最少？可使总时间最少？任务任务人员人员ABCD甲甲67112乙乙4598丙丙31104丁丁5982例二、例二、求解过程如下求解过程如下:第一步第一步,变换系数矩阵变换系数矩阵:5第二步第二步,试指派试指派:找到找到 3 3 个独立零元素个独立零元素 但但 m m=3 3 n=4 第三步第三步,作最少得直线覆盖所有
11、作最少得直线覆盖所有0 0元素元素:独立零元素得个数独立零元素得个数m等于最少直线数等于最少直线数l,即即lm=3n=4;第四步第四步,变换矩阵变换矩阵(bij)以增加以增加0 0元素元素:没有被直线覆盖没有被直线覆盖得所有元素中得最小元素为得所有元素中得最小元素为1,1,然后打然后打各行都减去各行都减去1;1;打打各列都加上各列都加上1,1,得如下矩阵得如下矩阵,并转第二步进行试指派并转第二步进行试指派:000 0 00得到得到4 4个独个独立零元素立零元素,所以最优解所以最优解矩阵为矩阵为:15 练习练习:115764戊戊69637丁丁86458丙丙9117129乙乙118957甲甲EDCBA费费 工作工作 用用人员人员-1-2 l=m=4 n=5 l=m=4 n=5 此问题有多个最优解此问题有多个最优解28