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1、章末检测试卷三(第八章)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分. 在每小题给出的四个选项中，第110题只有一项符合题目要求；第1113题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)1.棱锥的侧面和底面可以都是()A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形答案A解析三棱锥的侧面和底面均可以为三角形.2.下面多面体中有12条棱的是()A.四棱柱 B.四棱锥 C.五棱锥 D.五棱柱答案A解析n棱柱共有3n条棱，n棱锥共有2n条棱，四棱柱共有12条棱；四棱锥共有8条棱；五棱锥共有10条棱；五棱柱共有15条棱.3.将几何的
2、研究范围由平面拓展到空间后，很多平面几何的结论推广到空间中不一定成立.在空间中，下列说法仍然正确的是()A.有两组对边相等的四边形是平行四边形B.四边相等的四边形是菱形C.垂直于同一条直线的两条直线平行D.平行于同一条直线的两条直线平行答案D4.如图，RtOAB是一平面图的直观图，斜边OB2，则这个平面图形的面积是()A.B.1C. D.2答案D解析RtOAB是一平面图形的直观图，斜边OB2，直角三角形的直角边长是，直角三角形的面积是1，原平面图形的面积是122.5.如图所示，平面l，A，B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必通过()A.点AB.点BC.点C但不
3、过点MD.点C和点M答案D6.将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为()A.6 cm B.6 cmC.2 cm D.3 cm答案B解析设圆锥中水的底面半径为r cm，由题意知r2r226，得r2，水面的高度是26(cm).7.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为A1B1的中点，ABBC2BB12，AC2，则异面直线BD与AC所成的角为()A.30 B.45 C.60 D.90答案C解析如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则ACA1C1DE，则BDE即为异面直线BD与AC所成的角.由条件可
4、知BDDEEB，所以BDE60.8.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A.A1EDC1 B.A1EBDC.A1EBC1 D.A1EAC答案C解析如图，由题设知，A1B1平面BCC1B1，从而A1B1BC1，又B1CBC1，且A1B1B1CB1，A1B1，B1C平面A1B1CD，所以BC1平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1EBC1.9.如图所示，空间四边形PABC的各边都相等，D，E，F，G分别是AB，BC，CA，AP的中点，下列四个结论中正确的个数为()DF平面PBC；AB平面PDC；平面PEF平面ABC；平面PAE平面PBC.A.3 B.2 C.1
5、 D.0答案A解析BCDF，DF平面PBC，BC平面PBC，DF平面PBC，故正确；PDAB，CDAB，PDCDD，PD，DC平面PCD，AB平面PDC，故正确；PEBC，AEBC，PEAEE，PE，AE平面PAE，BC平面PAE，BC平面PBC，平面PAE平面PBC，故正确.只有错误.10.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估
6、算出堆放的米约有()A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛答案B解析米堆的体积即为四分之一的圆锥的体积，设圆锥底面半径为r，则2r8，得r，所以米堆的体积为r25(立方尺)，1.6222(斛).11.下面关于四棱柱的命题中，为真命题的是()A.若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱B.若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱C.若四个侧面全等，则该四棱柱为直四棱柱D.若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱答案BCD12.已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，成立的是()A.ABm B.ACm C.AB
7、 D.AC答案ABC解析m，m，l，ml.ABl，ABm.故A一定正确.ACl，ml，ACm.故B一定正确.A，ABl，l，B.AB，l，AB.故C也正确.ACl，当点C在平面内时，AC成立，当点C不在平面内时，AC不成立.故D不一定成立.13.如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中正确的是()A.AECEB.BEDEC.DE平面CEBD.平面ADE平面BCE答案ABD解析由AB是底面圆的直径，则AEB90，即AEEB.四边形ABCD是圆柱的轴截面，AD底面AEB，BC底面AEB.BEAD，又ADAEA，AD，AE平面ADE，BE平面ADE，DE平面A
8、DE，BEDE.同理可得AECE.又BE平面BCE，平面BCE平面ADE.可得A，B，D正确.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)14.若一个圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r1，r2，且满足2lr1r2，其侧面积为8，则l_.答案2解析S圆台侧(r1r2)l2l28，所以l2.15.已知平面，和直线m，给出条件：m；m；m；.当满足条件_时，有m.答案16.空间四边形ABCD中，平面ABD平面BCD，BAD90，BCD90，且ABAD，则AC与平面BCD所成的角是_.答案45解析如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO.因为ABAD，所以AOBD，又平面ABD平面BCD，
9、平面ABD平面BCDBD，AO平面ABD，所以AO平面BCD.因此，ACO即为AC与平面BCD所成的角.由于BAD90BCD，所以AOOCBD，又AOOC，所以ACO45.17.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是，那么这个三棱柱的侧面积为_，体积是_.答案48 48解析设球的半径为r，则r3，得r2，柱体的高为2r4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为4，所以正三棱柱的侧面积S侧34448，体积V(4)2448.三、解答题(本大题共6小题，共82分)18.(12分)如图所示是一个圆台形的纸篓(有底无盖)，它的母线长为50
10、 cm，两底面直径分别为40 cm和30 cm.求纸篓(外侧部分)的表面积.解根据题意可知，纸篓底面圆的半径r15 cm，上口的半径r20 cm，母线长l50 cm，则纸篓的表面积S(r2rlrl)(15215502050)1 975(cm2).19.(12分)在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且.求证：直线EH，BD，FG相交于一点.证明如图所示，连接EF，GH.H，G分别是AD，CD的中点，GHAC，且GHAC.，EFAC，且EFAC.GHEF，且GHEF.EH与FG相交，设交点为P.PEH，EH平面ABD，P平面ABD.同理P平面BCD
11、.又平面ABD平面BCDBD，PBD.直线EH，BD，FG相交于一点.20.(14分)如图所示，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，点E，F分别是AB，BD的中点.求证：(1)直线EF平面ACD；(2)平面EFC平面BCD.证明(1)E，F分别是AB，BD的中点，EF是ABD的中位线，EFAD.EF平面ACD，AD平面ACD，直线EF平面ACD.(2)ADBD，EFAD，EFBD.CBCD，F是BD的中点，CFBD.又EFCFF，EF，CF平面EFC，BD平面EFC.BD平面BCD，平面EFC平面BCD.21.(14分)如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD1
12、，BC3，CD4，PD2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.(1)解由已知ADBC，故DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.AD平面PDC，PD平面PDC，ADPD.在RtPDA中，由已知，得AP，故cosDAP.异面直线AP与BC所成角的余弦值为.(2)证明AD平面PDC，直线PD平面PDC，ADPD.又BCAD，PDBC，又PDPB，BCPBB，BC，PB平面PBC，PD平面PBC.(3)解过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.PD平面PBC
13、，故PF为DF在平面PBC上的射影，DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于ADBC，DFAB，可得BFAD1.由已知，得CFBCBF2.又ADDC，故BCDC.在RtDCF中，可得DF2.在RtDPF中，可得sinDFP.直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.22.(15分)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，N是PB的中点，E为AD的中点，过A，D，N的平面交PC于点M.求证：(1)EN平面PDC；(2)BC平面PEB；(3)平面PBC平面ADMN.证明(1)四边形ABCD为菱形，ADBC，又BC平面PBC，A
14、D平面PBC，AD平面PBC.平面ADMN平面PBCMN，AD平面ADMN，ADMN.MNBC.又N为PB的中点，M为PC的中点，MNBC.E为AD的中点，DEADBCMN，DEMN且DEMN，四边形DENM为平行四边形，ENDM.又EN平面PDC，DM平面PDC，EN平面PDC.(2)四边形ABCD是边长为2的菱形，且BAD60，E为AD中点，BEAD.又PEAD，PEBEE，PE，BE平面PBE，AD平面PEB.ADBC，BC平面PEB.(3)由(2)知ADPB.又PAADAB，且N为PB的中点，ANPB.ADANA，AD，AN平面ADMN，PB平面ADMN.又PB平面PBC，平面PBC平
15、面ADMN.23.(15分)如图所示，在长方形ABCD中，AB2，AD1，E为CD的中点，以AE为折痕，把DAE折起到DAE的位置，且平面DAE平面ABCE.(1)求证：ADBE；(2)求四棱锥DABCE的体积；(3)在棱ED上是否存在一点P，使得DB平面PAC，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.(1)证明根据题意可知，在长方形ABCD中，DAE和CBE为等腰直角三角形，DEACEB45，AEB90，即BEAE.平面DAE平面ABCE，且平面DAE平面ABCEAE，BE平面ABCE，BE平面DAE，AD平面DAE，ADBE.(2)解取AE的中点F，连接DF，则DFAE，且DF.平面DAE平面ABCE，且平面DAE平面ABCEAE，DF平面DAE，DF平面ABCE，VDABCES四边形ABCEDF(12)1.(3)解如图所示，连接AC交BE于Q，假设在DE上存在点P，使得DB平面PAC，连接PQ.DB平面DBE，平面DBE平面PACPQ，DBPQ，在EBD中，.CEQABQ，即EPED，在棱ED上存在一点P，且EPED，使得DB平面PAC.