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1、2016 年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题 1（5 分）已知集合 A=1，2，3，4，B=y|y=3x 2，xA，则 AB=（）A1 B 4 C 1，3 D1，4 2（5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 z=2x+5y 的最小值为（）A4 B6 C10 D17 3（5 分）在ABC中，若 AB=，BC=3，C=120，则 AC=（）A1 B2 C3 D4 4（5 分）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（）A2 B4 C6 D8 5（5 分）设an是首项为正数的等比数列，公比为 q，则“q0”是“对任意的正整数 n，a2n1+a2n0”的（）A充要条件 B充
2、分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 6（5 分）已知双曲线=1（b0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A，B，C，D四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为（）A=1 B=1 C=1 D=1 7（5 分）已知ABC是边长为 1 的等边三角形，点 D、E分别是边 AB、BC的中点，连接 DE并延长到点 F，使得 DE=2EF，则 的值为（）A B C D 8（5 分）已知函数 f（x）=（a0，且 a1）在 R上单调递减，且关于 x 的方程|f（x）|=2 x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（）A（0
3、，B，C，D，）二、填空题 9（5 分）已知 a，bR，i 是虚数单位，若（1+i）（1bi）=a，则的值为 10（5 分）（x2）8的展开式中 x7的系数为 （用数字作答）11（5 分）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为 m3 12（5 分）如图，AB是圆的直径，弦 CD与 AB相交于点 E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段 CE的长为 13（5 分）已知 f（x）是定义在 R上的偶函数，且在区间（，0）上单调递增，若实数 a 满足 f（2|a 1|）f（），则 a 的取值范围是 14（5 分）设抛物线（t 为参数，p0）的焦点为
4、F，准线为 l，过抛物线上一点 A作 l 的垂线，垂足为 B，设 C（p，0），AF与 BC相交于点 E若|CF|=2|AF|，且ACE的面积为 3，则 p 的值为 三、计算题 15（13 分）已知函数 f（x）=4tanxsin（x）cos（x）（1）求 f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论 f（x）在区间，上的单调性 16（13 分）某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1，2，3 的人数分别为 2，4，4现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会（I）设 A为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A发生的概率；（II）设
5、X为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X的分布列和数学期望 17（13 分）如图，正方形 ABCD 的中心为 O，四边形 OBEF为矩形，平面 OBEF 平面 ABCD，点 G为 AB的中点，AB=BE=2 （1）求证：EG 平面 ADF；（2）求二面角 OEFC的正弦值；（3）设 H为线段 AF上的点，且 AH=HF，求直线 BH和平面 CEF所成角的正弦值 18（13 分）已知an是各项均为正数的等差数列，公差为 d，对任意的 nN+，bn是 an和 an+1的等比中项（1）设 cn=bn+12bn2，nN+，求证：数列cn是等差数列；（2）设 a1=d，Tn=（1）
6、kbk2，nN*，求证：19（14 分）设椭圆+=1（a）的右焦点为 F，右顶点为 A已知+=，其中O为原点，e 为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l 与椭圆交于点B（B不在 x 轴上），垂直于l 的直线与l交于点M，与 y 轴于点 H，若 BFHF，且MOA MAO，求直线 l 的斜率的取值范围 20（14 分）设函数 f（x）=（x1）3axb，xR，其中 a，bR（1）求 f（x）的单调区间；（2）若 f（x）存在极值点 x0，且 f（x1）=f（x0），其中 x1x0，求证：x1+2x0=3；（3）设 a0，函数 g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间0，2
7、上的最大值不小于 2016 年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题 1（5 分）已知集合 A=1，2，3，4，B=y|y=3x 2，xA，则 AB=（）A1 B 4 C 1，3 D1，4【分析】把 A中元素代入 y=3x2 中计算求出 y 的值，确定出 B，找出 A与 B的交集即可【解答】解：把 x=1，2，3，4 分别代入 y=3x2 得：y=1，4，7，10，即 B=1，4，7，10，A=1，2，3，4，AB=1，4，故选：D【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2（5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 z=2x+5y 的最小值为
8、（）A4 B6 C10 D17【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出直线 l0：2x+5y=0，平移直线 l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y 取得最小值 6【解答】解：作出不等式组表示的可行域，如右图中三角形的区域，作出直线 l0：2x+5y=0，图中的虚线，平移直线 l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y 取得最小值 6 故选：B 【点评】本题考查简单线性规划的应用，涉及二元一次不等式组表示的平面区域，关键是准确作出不等式组表示的平面区域 3（5 分）在ABC中，若 AB=，BC=3，C=120，则AC=（）A1 B2 C3 D4【分析】直接利用余弦定理求解即可【解答】解：
9、在ABC中，若 AB=，BC=3，C=120，AB2=BC2+AC22ACBCcosC，可得：13=9+AC2+3AC，解得 AC=1或 AC=4（舍去）故选：A【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力 4（5 分）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（）A2 B4 C6 D8【分析】根据程序进行顺次模拟计算即可【解答】解：第一次判断后：不满足条件，S=24=8，n=2，i 4，第二次判断不满足条件 n3：第三次判断满足条件：S6，此时计算 S=86=2，n=3，第四次判断 n3 不满足条件，第五次判断 S6 不满足条件，S=4n=4，第六次判断满足条件 n3
10、，故输出 S=4，故选：B【点评】本题主要考查程序框图的识别和运行，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键 5（5 分）设an是首项为正数的等比数列，公比为 q，则“q0”是“对任意的正整数 n，a2n1+a2n0”的（）A充要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可【解答】解：an是首项为正数的等比数列，公比为 q，若“q0”是“对任意的正整数 n，a2n1+a2n0”不一定成立，例如：当首项为 2，q=时，各项为 2，1，此时 2+（1）=10，+（）=0；而“对任意的正整数 n，a2n1+a2n0”，前提是“q0”，
11、则“q0”是“对任意的正整数 n，a2n1+a2n0”的必要而不充分条件，故选：C【点评】此题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，熟练掌握各自的定义是解本题的关键 6（5 分）已知双曲线=1（b0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A，B，C，D四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为（）A=1 B=1 C=1 D=1【分析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为 x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为 y=x，利用四边形 ABCD 的面积为 2b，求出 A的坐标，代入圆的方程，即可得出结论【解答】解：以原点为圆心，双曲
12、线的实半轴长为半径长的圆的方程为 x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为 y=x，设 A（x，x），则四边形 ABCD 的面积为 2b，2xbx=2b，x=1 将 A（1，）代入 x2+y2=4，可得 1+=4，b2=12，双曲线的方程为=1，故选：D【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 7（5 分）已知ABC是边长为 1 的等边三角形，点 D、E分别是边 AB、BC的中点，连接 DE并延长到点 F，使得 DE=2EF，则 的值为（）A B C D【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案【解答】解：如图，D、E分别是边 AB、BC的
13、中点，且 DE=2EF，=故选：C【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题 8（5 分）已知函数 f（x）=（a0，且 a1）在 R上单调递减，且关于 x 的方程|f（x）|=2 x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（）A（0，B，C，D，）【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a 的大致范围，再根据 f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出 a的范围【解答】解：y=loga（x+1）+1 在0，+）递减，则 0a1，函数 f（x）在 R上单调递减，则：；解得，；由图象可知，在0，+）上，|f（x）|=2
14、 x 有且仅有一个解，故在（，0）上，|f（x）|=2 x 同样有且仅有一个解，当 3a2 即 a时，联立|x2+（4a3）x+3a|=2 x，则=（4a2）24（3a2）=0，解得 a=或 1（舍去），当 13a2 时，由图象可知，符合条件，综上：a 的取值范围为，故选：C 【点评】本题考查了方程的解个数问题，以及参数的取值范围，考查了学生的分析问题，解决问题的能力，以及数形结合的思想，属于中档题 二、填空题 9（5 分）已知 a，bR，i 是虚数单位，若（1+i）（1bi）=a，则的值为 2 【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于 a，b 的方程，解得 a，b 的值，进而可得答案【解答】
15、解：（1+i）（1bi）=1+b+（1b）i=a，a，bR，解得：，=2，故答案为：2【点评】本题考查的知识点是复数的乘法运算，复数相等的充要条件，难度不大，属于基础题 10（5 分）（x2）8的展开式中 x7的系数为 56（用数字作答）【分析】利用通项公式即可得出【解答】解：Tr+1=x163r，令 163r=7，解得 r=3（x2）8的展开式中 x7的系数为=56 故答案为：56【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 11（5 分）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为 2 m3 【分析】由已知中的三视图
16、可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，进而可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面是底为 2，高为 1 的平行四边形，故底面面积 S=21=2m2，棱锥的高 h=3m，故体积 V=2m3，故答案为：2【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键 12（5 分）如图，AB是圆的直径，弦 CD与 AB相交于点 E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段 CE的长为 【分析】由 BD=ED，可得BDE为等腰三角形，过 D作 DH AB于 H，由相交弦定理求得 DH，在 RtDHE 中求出 DE
17、，再由相交弦定理求得 CE 【解答】解：如图，过 D作 DH AB于 H，BE=2AE=2，BD=ED，BH=HE=1，则 AH=2，BH=1，DH2=AHBH=2，则DH=，在 RtDHE 中，则，由相交弦定理可得：CEDE=AEEB，故答案为：【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查相交弦定理的应用，是中档题 13（5 分）已知 f（x）是定义在 R上的偶函数，且在区间（，0）上单调递增，若实数 a 满足 f（2|a 1|）f（），则 a 的取值范围是（，）【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化进行求解即可【解答】解：f（x）是定义在 R上的偶函数，且在区间（，0）上单调
18、递增，f（x）在区间0，+）上单调递减，则 f（2|a 1|）f（），等价为 f（2|a 1|）f（），即2|a 1|，则|a 1|，即a，故答案为：（，）【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键 14（5 分）设抛物线（t 为参数，p0）的焦点为 F，准线为 l，过抛物线上一点 A作 l 的垂线，垂足为 B，设 C（p，0），AF与 BC相交于点 E若|CF|=2|AF|，且ACE的面积为 3，则 p 的值为 【分析】化简参数方程为普通方程，求出 F与 l 的方程，然后求解 A的坐标，利用三角形的面积列出方程，求解即可【解答】解：抛物
19、线（t 为参数，p0）的普通方程为：y2=2px 焦点为F（，0），如图：过抛物线上一点 A作 l 的垂线，垂足为 B，设 C（p，0），AF与 BC相交于点 E|CF|=2|AF|，|CF|=3p，|AB|=|AF|=p，A（p，），ACE的面积为 3，可得=SACE 即：=3，解得 p=故答案为：【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的参数方程的应用，考查分析问题解决问题的能力 三、计算题 15（13 分）已知函数 f（x）=4tanxsin（x）cos（x）（1）求 f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论 f（x）在区间，上的单调性【分析】（1）利用三角函数的诱导公式以及两角和
20、差的余弦公式，结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可（2）利用三角函数的单调性进行求解即可【解答】解：（1）f（x）=4tanxsin（x）cos（x）xk+，即函数的定义域为x|x k+，kZ，则 f（x）=4tanxcosx（cosx+sinx）=4sinx（cosx+sinx）=2sinxcosx+2sin2x=sin2x+（1cos2x）=sin2x cos2x=2sin（2x），则函数的周期 T=；（2）由 2k2x2k+，kZ，得 kxk+，kZ，即函数的增区间为k，k+，kZ，当 k=0 时，增区间为，kZ，x，此时 x，由 2k+2x2k+，kZ，得 k+xk+，kZ，即函数
21、的减区间为k+，k+，kZ，当 k=1 时，减区间为，kZ，x，此时 x，即在区间，上，函数的减区间为，增区间为，【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的诱导公式，两角和差的余弦公式以及辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键 16（13 分）某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1，2，3 的人数分别为 2，4，4现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会（I）设 A为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A发生的概率；（II）设 X为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X的分布列和数学期望【分
22、析】（I）由相互独立事件的概率计算公式求出事件 A发生的概率；（）根据题意知随机变量 X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值【解答】解：（I）由已知得：，所以，事件 A发生的概率为；（5 分）（）随机变量 X的所有可能取值为 0，1，2；（6 分）计算，（7 分），（8 分）；（9 分）所以，随机变量 X的分布列为 X 0 1 2 P 随机变量 X的数学期望为（12 分）【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是基础题 17（13 分）如图，正方形 ABCD 的中心为 O，四边形 OBEF为矩形，平面 OBEF 平面 ABCD，点 G为 AB的中点
23、，AB=BE=2 （1）求证：EG 平面 ADF；（2）求二面角 OEFC的正弦值；（3）设 H为线段 AF上的点，且 AH=HF，求直线 BH和平面 CEF所成角的正弦值 【分析】（1）取 AD的中点 I，连接 FI，证明四边形 EFIG是平行四边形，可得EG FI，利用线面平行的判定定理证明：EG 平面 ADF；（2）建立如图所示的坐标系 Oxyz，求出平面 OEF的法向量，平面 OEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角 OEFC的正弦值；（3）求出=（，），利用向量的夹角公式求出直线 BH和平面 CEF所成角的正弦值【解答】（1）证明：取 AD的中点 I，连接 FI，矩形 OBE
24、F，EFOB，EF=OB，G，I 是中点，GIBD，GI=BD O是正方形 ABCD 的中心，OB=BD EFGI，EF=GI，四边形 EFIG是平行四边形，EG FI，EG 平面 ADF，FI平面 ADF，EG 平面 ADF；（2）解：建立如图所示的坐标系 Oxyz，则 B（0，0），C（，0，0），E（0，2），F（0，0，2），设平面 CEF的法向量为=（x，y，z），则，取=（，0，1）OC 平面 OEF，平面 OEF的法向量为=（1，0，0），|cos ，|=二面角 OEFC的正弦值为=；（3）解：AH=HF，=（，0，）设 H（a，b，c），则=（a+，b，c）=（，0，）a=，b
25、=0，c=，=（，），直线 BH和平面 CEF所成角的正弦值=|cos，|=【点评】本题考查证明线面平行的判定定理，考查二面角 OEFC的正弦值，直线 BH和平面 CEF所成角的正弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 18（13 分）已知an是各项均为正数的等差数列，公差为 d，对任意的 nN+，bn是 an和 an+1的等比中项（1）设 cn=bn+12bn2，nN+，求证：数列cn是等差数列；（2）设 a1=d，Tn=（1）kbk2，nN*，求证：【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质，建立方程关系，根据条件求出数列cn的通项公式，结合等差数列的定义进行证明即可（2）求出 Tn
26、=（1）kbk2的表达式，利用裂项法进行求解，结合放缩法进行不等式的证明即可【解答】证明：（1）an是各项均为正数的等差数列，公差为 d，对任意的 nN+，bn是 an和 an+1的等比中项 cn=bb=an+1an+2anan+1=2dan+1，cn+1cn=2d（an+2an+1）=2d2为定值；数列cn是等差数列；（2）Tn=（1）kbk2=（b12+b22）+（b32+b42）+（b2n12+b2n2）=2d（a2+a4+a2n）=2d=2d2n（n+1），=（1+）=（1）即不等式成立【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列与不等式的综合，根据等比数列和等差数列的性质分别求出对应的
27、通项公式以及利用裂项法进行求解是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度 19（14 分）设椭圆+=1（a）的右焦点为 F，右顶点为 A已知+=，其中O为原点，e 为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l 与椭圆交于点B（B不在 x 轴上），垂直于l 的直线与l交于点M，与 y 轴于点 H，若 BFHF，且MOA MAO，求直线 l 的斜率的取值范围【分析】（1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入+=，转化为关于 a 的方程，解方程求得 a 值，则椭圆方程可求；（2）由已知设直线 l 的方程为 y=k（x2），（k0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于 x 的一元
28、二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出 MH 所在直线方程，求出 H的坐标，由 BFHF，得，整理得到 M的坐标与 k 的关系，由MOA MAO，得到 x01，转化为关于 k 的不等式求得 k 的范围【解答】解：（1）由+=，得，即，aa2（a23）=3a（a23），解得 a=2 椭圆方程为；（2）由已知设直线 l 的方程为 y=k（x2），（k0），设 B（x1，y1），M（x0，k（x02），MOA MAO，x01，再设 H（0，yH），联立，得（3+4k2）x216k2x+16k212=0=（16k2）24（3+4k2）（16k212）=1440 由根与系数的关系得，MH 所在
29、直线方程为，令 x=0，得，BFHF，即 1x1+y1yH=，整理得：，即 8k23 或 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题 20（14 分）设函数 f（x）=（x1）3axb，xR，其中 a，bR（1）求 f（x）的单调区间；（2）若 f（x）存在极值点 x0，且 f（x1）=f（x0），其中 x1x0，求证：x1+2x0=3；（3）设 a0，函数 g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间0，2 上的最大值不小于【分析】（1）求出 f（x）的导数，讨论 a0 时，f（x）0，f（x）在
30、 R上递增；当 a0 时，由导数大于 0，可得增区间；导数小于 0，可得减区间；（2）f（x0）=0，可得 3（x01）2=a，分别计算 f（x0），f（32x0），化简整理即可得证；（3）要证 g（x）在区间0，2 上的最大值不小于，即证在0，2 上存在 x1，x2，使得 f（x1）f（x2）讨论当 a3 时，当 0a3 时，运用单调性和极值，化简整理即可得证【解答】解：（1）函数 f（x）=（x1）3axb 的导数为 f（x）=3（x1）2a，当 a0 时，f（x）0，f（x）在 R上递增；当 a0 时，当 x1+或 x1时，f（x）0，当 1x1+，f（x）0，可得 f（x）的增区间为（
31、，1），（1+，+），减区间为（1，1+）；（2）证明：f（x0）=0，可得 3（x01）2=a，由 f（x0）=（x01）33x0（x01）2b=（x01）2（2x01）b，f（32x0）=（22x0）33（32x0）（x01）2b=（x01）2（88x09+6x0）b=（x01）2（2x01）b，即为 f（32x0）=f（x0）=f（x1），即有 32x0=x1，即为 x1+2x0=3；（3）证明：要证 g（x）在区间0，2 上的最大值不小于，只需证在0，2 上存在 x1，x2，使得 f（x1）f（x2）当 a3 时，f（x）在0，2 递减，f（2）=12ab，f（0）=1b，f（0）f（2）=2a24，递减，成立；当 0a3 时，f（1）=（）3a（1）b=a+ab=ab，f（1+）=（）3a（1+）b=aab=ab，f（2）=12ab，f（0）=1b，f（2）f（0）=22a，若 0a时，f（2）f（0）=22a成立；若 a时，f（1）f（1+）=成立 综上可得，g（x）在区间0，2 上的最大值不小于【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和最值，考查不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法和转化思想，考查分析法的证明，以及化简整理的运算能力，属于难题