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1、第23讲 正余弦定理的实际应用 一知识精讲知识点一：实际测量中的有关名词与术语1解三角形应用题：基本思路实际问题数学问题数学问题的解实际问题的解，解三角形应用题的关键是将实际问题转化为 解三角形问题 来解决其基本解题思路是：分析此题属于哪种类型的问题（如：测量距离 、高度 、 角度 等）；依据题意 画出示意图 ，把已知量和未知量在示意图中标出 （目的是发现已知量和未知量之间的关系）；确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意 近似计算 的要求2实际应用问题中的有关名称、术语名称意义图示名称意义图示铅垂平面与地面垂直的平面仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角坡
2、角坡面与水平面的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角坡比坡面的垂直高度与水平宽度之比方向角正北或正南方向与目标方向线所成的锐角视角观察物体时，从物体两端引出的光线在人眼光心处形成的角方位角从正北方向顺时针转到目标方向线的最小正角二经典例题题型一：测量距离问题测量距离的基本类型及方案类型两点间不可通或不可视两点间可视但有一点不可达两点都不可达图形方法先测，再用 余弦定理 求先测，再用 正弦定理 求测得，在中用 正弦定理 求在中用 正弦定理 求在中用 正弦定理 求结论【例1】如图，经过村庄有两条夹角为的公路，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂，分别在两条公路边上建两个仓
3、库，（异于村庄），要求（单位） （1）设，试写出关于的表达式； （2）如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远） 【变式1】如图，都在同一个与水平面垂直的平面内，为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面处测得点和点的仰角分别为，于水面处测得点和点的仰角均为，试探究图中间距离与另外哪两点间距离相等，并求间的距离=【变式2】在海岸处发现北偏东方向，距处的处有一艘走私船，在处北偏西方向，距处的处的缉私船奉命以的速度追截走私船，此时走私船正以的速度从处沿北偏东方向逃窜，则缉私船怎样才能最快追上走私船？并求出所需要的时间题型二：测量高度问题【例2】如图，在某点处测得建筑物的顶端的
4、仰角为，沿方向前进，到点处测得顶端的仰角为，再继续前进至点，测得顶端的仰角为，求的大小和建筑物的高【变式1】有一广告气球，直径为，放在公司大楼的上空，当行人仰望气球中心的仰角为时，测得气球的视角，若很小时可取（弧度），则估算该气球中心离地高度为（ ）A B C D【变式2】是海平面上的两个点，相距，在点测得山顶的仰角为，又在点测得其中是点到水平面的垂足，求山高 题型三：测量角度问题【例3】某货船在索马里海域航行中遭到海盗袭击，发出呼叫信号，我海军护航舰在处获悉后，立即测出该货船在方位角为，距离为海里的处，并测得货船正沿方位角为的方向，以海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以海里/小时的速
5、度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间题型四：三角形面积问题【例4】半圆的直径为，为直径延长线上的一点，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形问：点在什么位置时，四边形面积最大？ 【变式】如图，有一扇形，圆心角等于，半径为，在弧上有一动点，过引平行于的直线和交于点C，设求面积的最大值及此时的值课后作业一基础过关1某人向正东方向行走后向右转，然后朝新方向走，结果他离出发点恰好，那么的值为_2如图所示，两点在一条河的两岸，测量者在的同侧，且点不可到达，要测出的距离，其方法是在所在的岸边选定一点，可以测出的距离，再借助仪器，测出在中，运用正弦定理就可以求出若测出则两点间的距离为_3如图所示，
6、在山底测得山顶仰角为，沿倾斜角为的斜坡走至点，又测得山顶仰角，则山高为_米 4要测量电视塔的高度，在点测得塔顶的仰角是，在D点测得塔顶的仰角是，并测得水平面上的，求电视塔的高度 5如图，在斜度一定的山坡上的一点测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进后到达点处，又从点测得斜度为，设建筑物的高为则此山对于地平面的斜度角的余弦值为 二延伸拓展6如图所示，已知树顶离地面米，树上另一点离地面米，某人在离地面米的处看此树，则该人离此树_米时，看的视角最大7如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里问：乙船每小时航行多少海里？ 6学科网（北京）股份有限公司