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1、期末检测试卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1.若|z1|z1|，则复数z对应的点在()A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.第二象限答案B解析|z1|z1|，点Z到(1,0)和(1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(1,0)为端点的线段的中垂线上.2.某学校有高中学生1 000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320,300,380.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为()A.68 B.38 C.32 D.30答案D解析
2、根据题意得，用分层随机抽样在各层中的抽样比为，则高二年级抽取的人数是30030(人).3.在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心.若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为()A. B. C.3 D.4答案A解析圆锥的侧面展开图是半径为，弧长为2的扇形，其面积Slr(21)，所以圆锥的侧面展开图面积为.4.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为()A. B.4 C.2 D.答案D解析正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，正四棱柱体对角线的长为2.又正四棱柱的顶点在同一球面上，正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径
3、，得球的半径R1，根据球的体积公式，得此球的体积VR3，故选D.5.如图，在ABC中，P是BN的中点，若m，则实数m的值是()A. B.1C. D.答案C解析P，N分别是BN，AC的中点，().又m，m.6.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为S，且a1,4Sb2c21，则ABC外接圆的面积为()A.4 B.2 C. D.答案D解析由余弦定理得，b2c2a22bccos A，a1，所以b2c212bccos A，又Sbcsin A,4Sb2c21，所以有4bcsin A2bccos A，即sin Acos A，又0A，所以A，由正弦定理得，2R(R为ABC外接圆的
4、半径)，得R，所以ABC外接圆的面积为.7.某高校在2019年新增设的“人工智能”专业，共招收了两个班，其中甲班30人，乙班40人，在2019届高考中，甲班学生的平均分为665分，方差为131，乙班学生平均分为658分，方差为208.则该专业所有学生在2019年高考中的平均分和方差分别为()A.661.5,169.5 B.661,187C.661,175 D.660,180答案B解析依题意665，s131，658，s208，则661，s2131(665661)2208(658661)2187.8.袋子中有四个小球，分别写有“和、平、世、界”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“和”“平”两个
5、字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“和、平、世、界”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下24个随机数组：232321230023123021132220011203331100231130133231031320122103233221020132由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为()A. B. C. D.答案A解析由题意可知，满足条件的随机数组中，前两次抽取的数中必须包含0或1，且0与1不能同时出现，出现0就不能出现1，反之亦然，第三次必须出现前面两个数字中没
6、有出现的1或0，可得符合条件的数组只有3组：021,130,031，故所求概率为P.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：9189909294879396918589 93889893则下列关于这组数据的说法中正确的是()A.60%分位数为92.5B.60%分位数为92C.90%分位数为95D.90%分位数为96答案AD解析将这组数据按从小到大排列得858788898990919192939393949698则1560%9,1590%13.5，所以60%分位数为92.5,90%分位
7、数为96.10.对于两个平面，和两条直线m，n，下列命题中假命题是()A.若m，mn，则nB.若m，则mC.若m，n，则mnD.若m，n，则mn答案ABC解析A中n可能在内，A是假命题；B中m也可能在内，B是假命题；m与n可能平行，C是假命题；m，则m或m，若m，则由n得nm，若m，则内有直线cm，而易知cn，从而mn，D是真命题.11.下面四个命题中的真命题为()A.若复数z满足R，则zRB.若复数z满足z2R，则zRC.若复数z1，z2满足z1z2R，则z12D.若复数zR，则R答案AD解析若复数z满足R，则zR，A为真命题；复数zi满足z21R，而zR，故B为假命题；若复数z1i，z22
8、i满足z1z2R，但z12，故C为假命题；若复数zR，则zR，故D为真命题.12.为比较甲，乙两地某月14时的气温，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据制成统计表如下，编号温度()地区12345甲2629283131乙2830312932从表中能得到的结论有()A.甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温B.甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温C.甲地该月14时气温的标准差小于乙地该月14时气温的标准差D.甲地该月14时气温的标准差大于乙地该月14时气温的标准差答案AD解析甲地该月5天14时的平均气温为(2628293131)29，乙地该月5天14时的平
9、均气温为(2829303132)30，故可得甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；甲地该月5天14时温度的方差为s(2629)2(2829)2(2929)2(3129)2(3129)23.6；乙地该月5天14时温度的方差为s(2830)2(2930)2(3030)2(3130)2(3230)22，故可得甲地该月14时气温的方差大于乙地该月14时气温的方差，所以甲地该月14时气温的标准差大于乙地该月14时气温的标准差.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知向量a(x,2)，b(2,1)，c(3，x)，若ab，则|bc|_.答案5解析因为ab，所以x220，解
10、得x4，则 bc(2,1)(3,4)(5,5)，所以|bc|5.14.已知三棱锥PABC，若PA平面ABC，PAABACBC，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为_.答案解析过B作BDAC，且BDAC，连接AD，则四边形ADBC为菱形，如图所示，PBD(或其补角)即为异面直线PB与AC所成角.设PAABACBCa.ADa，BDa，PA平面ABC，PBPDa，cosPBD.异面直线PB与AC所成角的余弦值为.15.甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4，0.5,0.8，若只有1人击中，则飞机被击落的概率为0.2，若2人击中，则飞机被击落的概率为0.6，若3人击中，则飞机一定被击落
11、，则飞机被击落的概率为_.答案0.492解析设甲、乙、丙三人击中飞机为事件A，B，C，依题意，A，B，C相互独立，故所求事件概率为PP(A)P(B)P(C)0.2P(AB)P(BC)P(AC)0.6P(ABC) (0.40.50.20.60.50.20.60.50.8)0.2(0.40.50.20.60.50.80.40.50.8)0.60.40.50.80.492.16.在ABC中，ABC90，AB4，BC3，点D在线段AC上，若BDC45，则BD_；cosABD_.(本题第一空2分，第二空3分)答案解析在ABD中，由正弦定理得，而AB4，ADB135，AC5，sinBAC，cosBAC，所
12、以BD.cosABDcos(BDCBAC)coscosBACsinsinBAC.四、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)已知向量a(1，)，b(2,0).(1)求ab的坐标以及ab与a之间的夹角；(2)当t1,1时，求|atb|的取值范围.解(1)ab(1，)(2,0)(3，)，所以ab的坐标为(3，).设ab与a之间的夹角为，则cos ，而0，故.(2)因为atb(1，)t(2,0)(12t，)，所以|atb|，在上递减，在上递增，所以t时，|atb|取最小值为，t1时，|atb|取最大值为2，故|atb|的取值范围为，2.18.(12分)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别
13、为a，b，c，已知bcos Ccsin B.(1)求角C的大小；(2)若c2，ABC的面积为6，求ABC的周长.解(1)由正弦定理，得sin Bcos Csin Bsin C，在ABC中，因为sin B0，所以cos Csin C，故tan C，又因为0C，所以C.(2)由已知，得absin C6.又C，所以ab24.由已知及余弦定理，得a2b22abcos C28，所以a2b252，从而(ab)2100.即ab10，又c2，所以ABC的周长为102.19.(12分)某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数.；(i是虚数单位).(1)从三个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据三
14、个式子的结构特征及(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论.解(1)i，i，i.(2)根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果，可以得到：i(a，bR且a，b不同时为零)，下面进行证明：要证明i，只需证abii(bai)，只需证abiabi，因为上式成立，所以i成立.(或直接利用复数的乘除运算得出结果)20.(12分)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，BC平面PAD，ABC90，PAPBAB，求证：(1)AD平面PBC；(2)平面PBC平面PAD.证明(1)BC平面PAD，而BC平面ABCD，平面ABCD平面PADAD，BCAD.AD平面PBC，B
15、C平面PBC，AD平面PBC.(2)PAPBAB，满足PA2PB2AB2，PAPB.由ABC90知BCAB.又平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，BC平面ABCD，BC平面PAB.又PA平面PAB，BCPA.又PBBCB，PB平面PBC，BC平面PBC，PA平面PBC.又PA平面PAD，平面PBC平面PAD.21.(12分)全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号.为普及相关知识，争创全国文明城市，某市组织了文明城市知识竞赛，现随机抽取了甲、乙两个单位各5名职工的成绩(
16、单位：分)如下表：甲单位8788919193乙单位8589919293(1)根据上表中的数据，分别求出甲、乙两个单位5名职工的成绩的平均数和方差，并比较哪个单位的职工对文明城市知识掌握得更好；(2)用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2人，求抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率.解(1)90，90，s(8790)2(8890)2(9190)2(9190)2(9390)2，s(8590)2(8990)2(9190)2(9290)2(9390)28，显然，ss，可知，甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位的职工比乙单位的职工对文明城市知识掌握得更好.(2)从乙单位5名职工中随机抽取2名，他们
17、的成绩组成的所有基本事件(用数对表示)为(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,91)，(89,92)，(89,93)，(91,92)，(91,93)，(92,93)，共10个.记“抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4”为事件A，则事件A包含的基本事件为(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,93)，共5个.由古典概型计算公式可知P(A).22.(12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次.根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别ABCDE人数5010015015050(1)为
18、了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层随机抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表.组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率.解(1)由题设知，分层随机抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别ABCDE人数5010015015050抽取人数36993(2)记从A组抽到的3位评委分别为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6位评委分别为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手，从a1，a2，a3和b1，b2，b3，b4，b5，b6中各抽取1人的所有结果如图：由树形图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P.