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1、第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体学习目标1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.3.了解简单组合体的概念及结构特征.知识点一圆柱的结构特征圆柱图形及表示定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱图中圆柱表示为圆柱OO相关概念：圆柱的轴：旋转轴圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边思考圆柱的轴截面有_个，它们_(填“全等”或“相似”)，圆柱的母线有_条，它们与圆柱的高_.答案无穷多全等无穷多相等知识点二圆锥的结构特征圆锥图形及表
2、示定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体图中圆锥表示为圆锥SO相关概念：圆锥的轴：旋转轴圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置 ，不垂直于轴的边思考圆锥的轴截面有多少个？母线有多少条？圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线吗？答案圆锥的轴截面有无穷多个，母线有无穷多条，圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线.知识点三圆台的结构特征圆台图形及表示定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台图中圆台表示为圆台OO相关概念：圆台的轴：旋转轴圆台的底面：垂直于轴的边
3、旋转一周所形成的圆面圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边知识点四球的结构特征球图形及表示定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球图中的球表示为球O相关概念：球心：半圆的圆心半径：连接球心和球面上任意一点的线段直径：连接球面上两点并经过球心的线段知识点五简单组合体的结构特征1.概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.2.基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.1.直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.()2.圆锥截去一个小
4、圆锥后剩余部分是圆台.()3.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱.()4.半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.()一、旋转体的结构特征例1下列说法正确的是_.(填序号)以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥；用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.答案解析以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；它们的底面为圆面；正确.反思感悟(1)判断简单旋转体结构特征的方法明确由哪个平面图形旋转而成.明确旋转轴是哪条直线.(2)简单旋转体的轴截面
5、及其应用简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.跟踪训练1下列说法，正确的是()圆柱的母线与它的轴可以不平行；圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.A. B. C. D.答案D解析由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知正确，错误.二、简单组合体的结构特征例2(1)请描述如图所示的几何体是如何形成的.解是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；是由一个
6、长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体.(2)如图所示，已知梯形ABCD中，ADBC，且ADBC.当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转形成的面围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征.解如下图所示，旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体.反思感悟(1)解决简单组合体的结构特征相关问题，首先要熟练掌握各类几何体的特征，其次要有一定的空间想象能力.(2)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的.跟踪训练2(1)如图所示的简单组合体的组成是
7、()A.棱柱、棱台 B.棱柱、棱锥C.棱锥、棱台 D.棱柱、棱柱答案B(2)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括()A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆柱、一个圆锥C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥答案D解析图是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图，包括一个圆柱、两个圆锥.三、旋转体的有关计算例3一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4 cm2和25 cm2，求：(1)圆台的高；(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.解(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示).由已知可得O1A2 c
8、m，OB5 cm.又由题意知腰长AB12 cm，所以高AM3(cm).(2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由SAO1SBO，可得，解得l20.即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.反思感悟用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程(组)而得解.跟踪训练3如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为116，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台OO的母线长.解设圆台的母线长
9、为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为116，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm.过轴SO作截面，如图所示.则SOASOA，SA3 cm.所以.所以.解得l9，即圆台的母线长为9 cm.1.下列说法中正确的是()A.将正方形旋转不可能形成圆柱B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线答案C解析将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况下结论不一定正确，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母
10、线，所以D错误.2.(多选)下列命题中正确的是()A.过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径B.母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等C.圆台中所有平行于底面的截面都是圆面D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形答案ACD3.下列几何体是台体的是()答案D解析台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行.C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确.4.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是()A.圆柱 B.圆台 C.球体 D.棱台答案D解析圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圆柱)或等腰梯形(圆台)，
11、不可能截出三角形.只有棱台可以截出三角形.5.两相邻边长分别为3 cm和4 cm的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱的底面积为_ cm2.答案16或9解析当以3 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为4 cm，底面积为16 cm2；当以4 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为3 cm，底面积为9 cm2.1.知识清单：(1)圆柱、圆锥、圆台的结构特征.(2)球的结构特征.(3)简单组合体的结构特征.2.方法归纳：分类讨论.3.常见误区：同一平面图形以不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的.1.下列几何体中不是旋转体的是()答案D2.如图所示的简单组合体的结
12、构特征是()A.由两个四棱锥组合成的B.由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的C.由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的D.由一个四棱锥和一个四棱台组合成的答案A3.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A.一个球体B.一个球体中间挖去一个圆柱C.一个圆柱D.一个球体中间挖去一个长方体答案B解析圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱. 故选B.4.若圆柱的母线长为10，则其高等于()A.5 B.10 C.20 D.不确定答案B解析圆柱的母线长与高相等，则其高等于10.5.如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的()答案D解析图中所给的几何体是由上部的圆锥和
13、下部的圆台组合而成的，故所求平面图形的上部是直角三角形，下部为直角梯形构成.6.观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是_.(填序号)答案解析可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，可看作由两个四棱柱组合而成.7.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为_.(用Q表示)答案解析设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r.4r2Q，解得r，此圆柱的底面半径为.8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的高为_.答案解析由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，因为4l2，所以母线长为l2，又半圆的弧长为2，圆锥的底面的周长为2r2，所以底面圆
14、半径为r1，所以该圆锥的高为h .9.一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积.解如图轴截面SAB，圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线，则ASO30.在RtSOA中，AOSOtan 30(cm).SA(cm).所以SASBSO2AO(cm2).所以圆锥的母线长为 cm，圆锥的轴截面的面积为 cm2.10.如图所示，有一个底面半径为1，高为2的圆柱体，在A点处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？解把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形矩形，如图所示，连接AB，则AB即为蚂蚁爬行的最短距离.AA
15、为底面圆的周长，AA212.又ABAB2，AB2，即蚂蚁爬行的最短距离为2.11.上、下底面面积分别为36和49，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为()A.4 B.3C.2 D.2答案D解析圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2h2(Rr)2，由题意知l5，R7，r6，求得h2，即两底面之间的距离为2.12.已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面积为36 cm2，则球心与截面圆圆心的距离是_cm.答案8解析如图，设截面圆的半径为r，球心与截面圆圆心之间的距离为d，球半径为R.由示意图易构造出一个直角三角形，解该直角三角形即可.由题意知，R10 cm，由r23
16、6，得r6，所以d8(cm).13.边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为_.答案解析如图，矩形E1F1GH是圆柱沿着其母线EF剪开半个侧面展开而得到的， 由题意可知GH5，GF1，GE1.所以从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是.14.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而成的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是_.(填序号)答案解析由于截面平行于圆锥的轴或过圆锥的轴，故只能是.15.已知球的两个平行截面的面积分别为5和8，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是(
17、)A.4 B.3 C.2 D.0.5答案B解析如图所示，两个平行截面的面积分别为5和8，两个截面圆的半径分别为r1，r22.球心到两个截面的距离d1，d2，d1d21，R29，R3.16.圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm，母线长AB20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：(1)绳子的最短长度；(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.解(1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短长度为侧面展开图中AM的长度，设OBl，则l25，(l20)210，解得，l20 cm.OA40 cm，OM30 cm.AM50 cm.即绳子最短长度为50 cm.(2)作OQAM于点Q，交弧BB于点P，则PQ为所求的最短距离.OAOMAMOQ，OQ24 cm.故PQOQOP24204(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.