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1、专题10 等差数列第一部分 真题部分一、选择题1（2021北京高考真题）和是两个等差数列，其中为常值，则（ ）ABCD【答案】B【解析】由已知条件可得，则，因此，.故选：B.2（2021北京高考真题）数列是递增的整数数列，且，则的最大值为（ ）A9B10C11D12【答案】C【解析】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，则，所以n的最大值为11.故选：C.3（2020浙江高考真题）已知等差数列an的前n项和Sn，公差d0，记b1=S2，bn+1=S2n+2S2n，下列等式不可能成立的是（ ）A2a4=a2+a6B2b4=b2+b6C
2、D【答案】D【解析】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，A正确；对于B，由题意可知，根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；对于C，当时，C正确；对于D，当时，即；当时，即，所以，D不正确故选：D.4（2019全国高考真题（理）记为等差数列的前n项和已知，则ABCD【答案】A【解析】由题知，解得，故选A二、填空题5（2021江苏高考真题）已知等比数列的公比为，且，成等差数列，则的值是_.【答案】4【解析】因为为等比数列，且公比为，所以，且，.因为，成等差数列，所以，有，解得.故答案为：.6（2020海南高考真题）将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列a
3、n，则an的前n项和为_【答案】【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为：.7（2020全国高考真题（文）记为等差数列的前n项和若，则_【答案】【解析】是等差数列，且，设等差数列的公差根据等差数列通项公式：可得即：整理可得：解得：根据等差数列前项和公式：可得：.故答案为：.8（2019江苏高考真题）已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_.【答案】16.【解析】由题意可得：，解得：，则.9（2019全国高考真题（理）记Sn为等差数列an的前n
4、项和，则_.【答案】4.【解析】因，所以，即，所以三、解答题10（2021天津高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64是公比大于0的等比数列，（I）求和的通项公式；（II）记，（i）证明是等比数列；（ii）证明【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【解析】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64所以，所以，所以；设等比数列的公比为，所以，解得（负值舍去），所以；（II）（i）由题意，所以，所以，且，所以数列是等比数列；（ii）由题意知，所以，所以，设，则，两式相减得，所以，所以.11（2021全国高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若（1
5、）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值【答案】(1)；(2)7.【解析】(1)由等差数列的性质可得：，则：，设等差数列的公差为，从而有：，从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：.(2)由数列的通项公式可得：，则：，则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为.12（2021全国高考真题）已知数列满足，（1）记，写出，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题设可得又， 故，即，即所以为等差数列，故.（2）设的前项和为，则，因为，所以.13（2021全国高考真题（理）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面中选取两
6、个作为条件，证明另外一个成立数列是等差数列：数列是等差数列；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分【答案】答案见解析【解析】选作条件证明：设，则，当时，；当时，；因为也是等差数列，所以，解得；所以，所以.选作条件证明：因为，是等差数列，所以公差，所以，即，因为，所以是等差数列.选作条件证明：设，则，当时，；当时，；因为，所以，解得或；当时，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；当时，不合题意，舍去.综上可知为等差数列.14（2021全国高考真题（理）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（
7、1）由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以数列是以为首项，以为公差等差数列;（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,当n=1时，,当n2时,显然对于n=1不成立,.15（2019江苏高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”.（1）已知等比数列an满足：，求证:数列an为“M数列”；（2）已知数列bn满足:，其中Sn为数列bn的前n项和求数列bn的通项公式；设m为正整数，若存在“M数列”cn，对任意正整数k，当km时，都有成立，求m的最大值【答案】（1）见解析；（2）bn=n；5.【解析】（1）设等比数列an的公
8、比为q，所以a10，q0.由，得，解得因此数列为“M数列”.（2）因为，所以由得，则.由，得，当时，由，得，整理得所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列bn的通项公式为bn=n.由知，bk=k，.因为数列cn为“M数列”，设公比为q，所以c1=1，q0.因为ckbkck+1，所以，其中k=1，2，3，m.当k=1时，有q1；当k=2，3，m时，有设f（x）=，则令，得x=e.列表如下：xe(e，+)+0f（x）极大值因为，所以取，当k=1，2，3，4，5时，即，经检验知也成立因此所求m的最大值不小于5若m6，分别取k=3，6，得3q3，且q56，从而q15243，且q15216，
9、所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为516（2019北京高考真题（文）设an是等差数列，a1=10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列（）求an的通项公式；（）记an的前n项和为Sn，求Sn的最小值【答案】（）；（）.【解析】（）设等差数列的公差为，因为成等比数列，所以，即，解得，所以.（）由（）知,所以；当或者时，取到最小值.第二部分 模拟训练1若数列为等差数列，且，则（ ）ABCD【答案】C【解析】故选：C2记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】解：由已知可得，由，所以数列为等差数
10、列，首项为8，公差为-2，所以，当n=4或5时， 取得最大值为20，因为有且只有两个正整数n满足，所以满足条件的和，因为，所以实数k的取值范围是故选：C3已知为等差数列的前项和，则下列数值中最大的是（ ）ABCD【答案】D【解析】设等差数列的公差为，解得，可得是单调递增数列，所以在，中，最大的为故选：D.4在正项等比数列中.满足=.则（ ）A4B3C5D8【答案】A【解析】由题意得公比，首项，由，可得，解得,故选：A.5已知数列的前n项和为，且，若，则数列的前n项和_.【答案】【解析】，当时，当时，满足，当为偶数时，当为奇数时，.故答案为：6数列的前项和为，数列满足，则数列的前10项和为_【答
11、案】65【解析】由知：，则，得，而，故数列的前10项和为，故答案为：65.7设公差不为的等差数列的前项和为.若数列满足：存在三个不同的正整数，使得成等比数列，也成等比数列，则的最小值为_.【答案】【解析】设，由题意成等比数列，所以，也成等比数列，所以，所以，所以，所以，设，由勾形函数性质知在上递减，在上递增，又，所以的最小值为45即的最小值为45故答案为：458已知定义在上的函数满足.设在上的最大值记作，为数列的前项和，则的最大值为_.【答案】【解析】由题意，函数，当时，此时，此时函数在上的最大值为，所以，当时，此时，此时，所以，此时函数在上的最大值为，所以， 当时，此时函数的最大值为，所以，
12、当时，当时，所以的最大值为.故答案为：.9设等差数列的前n项和为，首项，且.数列的前n项和为，且满足.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1），；（2）.【解析】解：（1）设数列的公差为d，且，又，则，所以，则；由可得，两式相减得，又，所以，故是首项为1，公比为3的等比数列，所以.（2）设，记的前n项和为.则，两式相减得：，所以.10已知数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）设等差数列的前项和为，且，令，求数列的前项和【答案】（1）；（2） 【解析】（1）当时，；当时，由，得，得，也符合，因此，数列的通项公式为；（2）由题意，设等差数列的公差为，则，解得，；由（1）知，故11已知数列满足恒成立.（1）若且，当成等差数列时，求的值；（2）若且，当、时，求以及的通项公式；（3）若，设是的前项之和，求的最大值.【答案】（1） ；（2），；（3）【解析】（1）若且，所以，即，当成等差数列时，所以，解得： ；（2），令可得，即，令可得，即所以，因为，所以，解得，由可得，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以， ，以上式子累乘得：，所以，（3）由可得，所以，因为，所以，即，所以， 因为，所以，所以，因为，所以即，因为，所以，因为，所以，所以，可得，所以，令，设，对称轴为，是开口向上的抛物线，在单调递增，所以时取得最大值，故最大值为，所以最大值为.