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1、 1 复变函数论试题库 梅一A111 复变函数考试试题一 1、1|00)(zznzzdz_.n为自然数 2.zz22cossin _.3.函数zsin的周期为_.4.设11)(2zzf，则)(zf的孤立奇点有_.0nnnz的收敛半径为_.6.假设函数 f(z)在整个平面上处处解析，则称它是_.nnzlim，则nzzznn.lim21_.8.)0,(Renzzes_，其中 n 为自然数.9.zzsin的孤立奇点为_.0z是)(zf的极点，则_)(lim0zfzz.题40 分：1.设)2)(1(1)(zzzf，求)(zf在 1|0:zzD内的罗朗展式.2.cos11|zdzz 3.设Cdzzf17
2、3)(2，其中 3|:|zzC，试求).1(if 4.求复数11zzw的实部与虚部.四.证明题.(20 分)1.函数)(zf在区域D内解析.证明：如果|)(|zf在D内为常数，那么它在D内 2 为常数.2.试证:()(1)f zzz在割去线段0Re1z的z平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re1z上岸取正值的那支在1z 的值.复变函数考试试题二 二.填空题.(20 分)1.设iz，则_,arg_,|zzz Ciyxzyxixyxzf),sin(1()2()(222，则)(lim1zfiz_.3.1|00)(zznzzdz_.n为自然数 4.幂级数0nnnz的收敛半径为_.5.假设 z
3、0是 f(z)的 m 阶零点且 m0，则 z0是)(zf的_零点.6.函数 ez的周期为_.7.方程083235zzz在单位圆内的零点个数为_.8.设211)(zzf，则)(zf的孤立奇点有_.9.函数|)(zzf的不解析点之集为_.10._)1,1(Res4zz.三.计算题.(40 分)1.求函数)2sin(3z的幂级数展开式.2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点iz 处的值.3.计算积分：iizzId|，积分路径为1单位圆1|z的右半圆.4.求 dzzzz22)2(sin.四.证明题.(20 分)1.设
4、函数 f(z)在区域 D 内解析，试证：f(z)在 D 内为常数的充要条件是)(zf在 D 内解析.实部与虚部四证明题分在区域内解析证明如果函数在内为常数那么它在内为常数试证在割去线段的平面内能分出两个敛半径为假设是的阶零点且则是的零点函数的周期为方程在单位圆内的零点个数为设则的孤立奇点有函数的不解析点实值的处的值一个解析分支并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点计算积分积分路径为单位圆的右半圆求四证明题分 3 2.试用儒歇定理证明代数基本定理.复变函数考试试题三 二.填空题.(20分)1.设11)(2zzf，则f(z)的定义域为_.2.函数ez的周期为_.3.假设nnninnz)11(12，则n
5、znlim_.4.zz22cossin_.5.1|00)(zznzzdz_.n为自然数 6.幂级数 0nnnx的收敛半径为_.7.设11)(2zzf，则f(z)的孤立奇点有_.8.设1ze，则_z.9.假设0z是)(zf的极点，则_)(lim0zfzz.10._)0,(Resnzze.三.计算题.(40分)1.将函数12()zf zz e在圆环域0z 内展为 Laurent 级数.2.试求幂级数nnnznn!的收敛半径.3.算以下积分：Czzzze)9(d22，其中C是1|z.4.求0282269zzzz在|z|1 内根的个数.四.证明题.(20分)1.函数)(zf在区域D内解析.证明：如果|
6、)(|zf在D内为常数，那么它在D内为常数.实部与虚部四证明题分在区域内解析证明如果函数在内为常数那么它在内为常数试证在割去线段的平面内能分出两个敛半径为假设是的阶零点且则是的零点函数的周期为方程在单位圆内的零点个数为设则的孤立奇点有函数的不解析点实值的处的值一个解析分支并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点计算积分积分路径为单位圆的右半圆求四证明题分 4 2.设)(zf是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当Rz|时 nzMzf|)(|，证明)(zf是一个至多n次的多项式或一常数。复变函数考试试题四 二.填空题.(20 分)1.设iz11，则_Im_,Rezz.2.假设
7、nnzlim，则nzzznn.lim21_.3.函数 ez的周期为_.4.函数211)(zzf的幂级数展开式为_ 5.假设函数 f(z)在复平面上处处解析，则称它是_.6.假设函数f(z)在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_.7.设1|:|zC，则_)1(Cdzz.8.zzsin的孤立奇点为_.9.假设0z是)(zf的极点，则_)(lim0zfzz.10.)0,(Resnzze_.三.计算题.(40 分)1.解方程013z.2.设1)(2zezfz，求).),(Rezfs 3.)(9(2|2zdzizzz.实部与虚部四证明题分在区域内解析证明如果函数在内为常数那么它在内为
8、常数试证在割去线段的平面内能分出两个敛半径为假设是的阶零点且则是的零点函数的周期为方程在单位圆内的零点个数为设则的孤立奇点有函数的不解析点实值的处的值一个解析分支并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点计算积分积分路径为单位圆的右半圆求四证明题分 5 4.函数()f z zez111有哪些奇点？各属何类型假设是极点，指明它的阶数.四.证明题.(20 分)1.证明：假设函数)(zf在上半平面解析，则函数)(zf在下半平面解析.2.证明0364 zz方程在2|1z内仅有 3 个根.复变函数考试试题五 二.填空题.20 分 1.设iz31，则_,arg_,|zzz.2.当_z时，ze为实数.3.设1ze，
9、则_z.4.ze的周期为_.5.设1|:|zC，则_)1(Cdzz.6._)0,1(Reszez.7.假设函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是 D 内的_。8.函数211)(zzf的幂级数展开式为_.9.zzsin的孤立奇点为_.10.设 C 是以为 a 心，r 为半径的圆周，则_)(1Cndzaz.n为自然数 三.计算题.(40 分)实部与虚部四证明题分在区域内解析证明如果函数在内为常数那么它在内为常数试证在割去线段的平面内能分出两个敛半径为假设是的阶零点且则是的零点函数的周期为方程在单位圆内的零点个数为设则的孤立奇点有函数的不解析点实值的处的值一个解析分支并求它
10、在上半虚轴左沿的点及右沿的点计算积分积分路径为单位圆的右半圆求四证明题分 6 1.求复数11zz的实部与虚部.2.计算积分：zzILdRe，在这里 L 表示连接原点到1 i的直线段.3.求积分：I 202cos21aad，其中 0a1.4.应用儒歇定理求方程)(zz，在|z|1 内根的个数，在这里)(z在1|z上解析，并且1|)(|z.四.证明题.(20 分)1.证明函数2|)(zzf除去在0z外，处处不可微.2.设)(zf是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n，以及两个数 R 及 M，使得当Rz|时 nzMzf|)(|，证明:)(zf是一个至多 n 次的多项式或一常数.复变函数考试试题六
11、1.一、填空题20 分 1.假设21(1)1nnnzinn，则limnz _.2.设21()1f zz，则()f z的定义域为_.3.函数sin z的周期为_.4.22sincoszz_.5.幂级数0nnnz的收敛半径为_.6.假设0z是()f z的m阶零点且1m，则0z是()fz的_零点.实部与虚部四证明题分在区域内解析证明如果函数在内为常数那么它在内为常数试证在割去线段的平面内能分出两个敛半径为假设是的阶零点且则是的零点函数的周期为方程在单位圆内的零点个数为设则的孤立奇点有函数的不解析点实值的处的值一个解析分支并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点计算积分积分路径为单位圆的右半圆求四证明题分
12、7 7.假设函数()f z在整个复平面处处解析，则称它是_.8.函数()f zz的不解析点之集为_.9.方程532380zzz 在单位圆内的零点个数为_.10.公式cossinixexix称为_.二、计算题30 分 1、2lim6nni.2、设2371()Cf zdz，其中:3Czz，试求(1)fi.3、设2()1zef zz，求Re(),)s f z i.4、求函数36sin zz在0z 内的罗朗展式.5、求复数11zwz的实部与虚部.6、求3ie的值.三、证明题20 分 1、方程7639610zzz 在单位圆内的根的个数为 6.2、假设函数()(,)(,)f zu x yiv x y在区域
13、D内解析，(,)v x y等于常数，则()f z在D恒等于常数.3、假设0z是()f z的m阶零点，则0z是1()f z的m阶极点.计算以下积分 分(1)22sin()2zzdzz；(2)2242(3)zzdzzz 计算积分2053cosd 分 实部与虚部四证明题分在区域内解析证明如果函数在内为常数那么它在内为常数试证在割去线段的平面内能分出两个敛半径为假设是的阶零点且则是的零点函数的周期为方程在单位圆内的零点个数为设则的孤立奇点有函数的不解析点实值的处的值一个解析分支并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点计算积分积分路径为单位圆的右半圆求四证明题分 8 求以下幂级数的收敛半径 分(1)1(1)n
14、nniz；(2)21(!)nnnnzn 设3232()()f zmynx yi xlxy为复平面上的解析函数，试确定l，m，n的值 分 三、证明题 设函数()f z在区域D内解析，()f z在区域D内也解析，证明()f z必为常数 分 试证明0azazb 的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数 分 试卷一至十四参考答案 复变函数考试试题一参考答案 二填空题 1.2101inn；2.1；3.2k，()kz；4.zi；5.1 6.整函数；7.；8.1(1)!n；9.0；10.三计算题.1.解 因为01,z 所以01z 111()(1)(2)12(1)2f zzzzz001()22nnnnzz.
15、2.解 因为 22212Re()limlim1cossinzzzzs f zzz,22212Re()limlim1cossinzzzzs f zzz.所以22212(Re()Re()0coszzzdzis f zs f zz.3.解 令2()371,则它在z平面解析,由柯西公式有在3z 内,()()2()cf zdzizz.实部与虚部四证明题分在区域内解析证明如果函数在内为常数那么它在内为常数试证在割去线段的平面内能分出两个敛半径为假设是的阶零点且则是的零点函数的周期为方程在单位圆内的零点个数为设则的孤立奇点有函数的不解析点实值的处的值一个解析分支并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点计算积分积分
16、路径为单位圆的右半圆求四证明题分 9 所以1(1)2()2(136)2(6 13)zifiiziii.4.解 令zabi,则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)zabiabwzzababab .故 2212(1)Re()11(1)zazab,2212Im()1(1)zbzab.四.证明题.1.证明 设在D内()f zC.令2222(),()f zuivf zuvc 则.两边分别对,x y求偏导数,得 0(1)0(2)xxyyuuvvuuvv 因为函数在D内解析,所以,xyyxuv uv.代入(2)则上述方程组变为 00 xxxxuuvvvuuv.消去xu得,22()
17、0 xuvv.1)假设220uv,则()0f z 为常数.2)假设0 xv,由方程(1)(2)及.CR方程有0,xu 0yu,0yv.所以12,uc vc.(12,c c为常数).所以12()f zcic 为常数.2.证明()(1)f zzz的支点为0,1z.于是割去线段0Re1z的z平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周,故能分出两个单值解析分支.由于当z从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z 时,只有z的幅角增加.所以()(1)f zzz的幅角共增加2.由已知所取分支在支割线上岸取正值,于是可认为该分支在上岸之幅角为 0,因而此分支在1z 的幅角为2,故2(1)22ifei.复变函数
18、考试试题二参考答案 实部与虚部四证明题分在区域内解析证明如果函数在内为常数那么它在内为常数试证在割去线段的平面内能分出两个敛半径为假设是的阶零点且则是的零点函数的周期为方程在单位圆内的零点个数为设则的孤立奇点有函数的不解析点实值的处的值一个解析分支并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点计算积分积分路径为单位圆的右半圆求四证明题分 10 二.填空题 1.1，2，i；2.3(1sin 2)i；3.2101inn；4.1；5.1m.6.2k i，()kz.7.0；8.i；9.R；10.0.三.计算题 1.解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!nnnnnnnzzznn
19、.2.解 令izre.则22(),(0,1)kif zzrek.又因为在正实轴去正实值，所以0k.所以4()if ie.3.单位圆的右半圆周为ize,22 .所以22222iiiizdzdeei.4.解 dzzzz22)2(sin2)(sin2zzi2cos2zzi=0.四.证明题.1.证明(必要性)令12()f zcic,则12()f zcic.(12,c c为实常数).令12(,),(,)u x yc v x yc.则0 xyyxuvuv.即,u v满足.CR,且,xyyxu v uv连续,故()f z在D内解析.(充分性)令()f zuiv,则()f zuiv,因为()f z与()f z
20、在D内解析,所以,xyyxuvuv,且(),()xyyyxxuvvuvv .比较等式两边得 0 xyyxuvuv.从而在D内,u v均为常数,故()f z在D内为常数.2.即要证“任一 n 次方程 101100(0)nnnna za zazaa 有且只有 n个根”.证明 令1011()0nnnnf za za zaza,取10max,1naaRa,当z在:CzR上时,有 111110()()nnnnnnza RaRaaaRa R .()f z.实部与虚部四证明题分在区域内解析证明如果函数在内为常数那么它在内为常数试证在割去线段的平面内能分出两个敛半径为假设是的阶零点且则是的零点函数的周期为方程
21、在单位圆内的零点个数为设则的孤立奇点有函数的不解析点实值的处的值一个解析分支并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点计算积分积分路径为单位圆的右半圆求四证明题分 11 由儒歇定理知在圆 zR 内,方程10110nnnna za zaza 与 00na z 有相 同个数的根.而 00na z 在 zR 内有一个 n 重根 0z.因此n次方程在zR 内有n 个根.复变函数考试试题三参考答案 二.填空题.1.,z zizC 且;2.2()k ikz;3.1 ei;4.1;5.2101inn;6.1;7.i;8.(21)zki;9.;10.1(1)!n.三.计算题.1.解 12222011(1)2!nznz
22、z ezzzn .2.解 11!(1)11limlimlim()lim(1)(1)!nnnnnnnnnncnnnecnnnn.所以收敛半径为e.3.解 令 22()(9)zef zzz,则 2001Re()99zzzes f zz.故原式022Re()9ziis f z.4.解 令 962()22f zzzz,()8zz.则在:C 1z 上()()f zz与均解析,且()6()8f zz,故由儒歇定理有 (,)(,)1N fCN fC.即在 1z 内,方程只有一个根.四.证明题.1.证明 证明 设在D内()f zC.令2222(),()f zuivf zuvc 则.两边分别对,x y求偏导数,
23、得 0(1)0(2)xxyyuuvvuuvv 因为函数在D内解析,所以,xyyxuv uv.代入(2)则上述方程组变为 00 xxxxuuvvvuuv.消去xu得,22()0 xuvv.1)220uv,则()0f z 为常数.2)假设0 xv,由方程(1)(2)及.CR方程有0,xu 0yu,0yv.实部与虚部四证明题分在区域内解析证明如果函数在内为常数那么它在内为常数试证在割去线段的平面内能分出两个敛半径为假设是的阶零点且则是的零点函数的周期为方程在单位圆内的零点个数为设则的孤立奇点有函数的不解析点实值的处的值一个解析分支并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点计算积分积分路径为单位圆的右半圆求四
24、证明题分 12 所以12,uc vc.(12,c c为常数).所以12()f zcic 为常数.2.证明 取 rR,则对一切正整数 kn 时,()1!()!(0)2nkkkzrkf zk Mrfdzzr.于是由r的任意性知对一切kn均有()(0)0kf.故0()nnnkf zc z,即()f z是一个至多n次多项式或常数.复变函数考试试题四参考答案.二.填空题.1.12,12;2.;3.2()k ikz;4.20(1)(1)nnnzz;5.整函数;6.亚纯函数;7.0;8.0z;9.;10.1(1)!n.三.计算题.1.iiziziizkkikzz232135sin35cos1sincos23
25、213sin3cos2,1,032sin32cos1:3213解 2.解 11Re()12zzzees f zz,111Re()12zzzees f zz.故原式1112(Re()Re()()zzis f zs f zi ee.3.解 原式22Re()295zizizis f ziz.4.解 zez111=)1(1zzezez，令0)1(zez，得ikzz2,0，,2,1k 而 zzzzzzzzzzeeezeezze11lim)1(1lim)111(lim000 21lim0zzzzzzeeee 0z为可去奇点 当ikz2时，01),0(zezk 实部与虚部四证明题分在区域内解析证明如果函数在
26、内为常数那么它在内为常数试证在割去线段的平面内能分出两个敛半径为假设是的阶零点且则是的零点函数的周期为方程在单位圆内的零点个数为设则的孤立奇点有函数的不解析点实值的处的值一个解析分支并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点计算积分积分路径为单位圆的右半圆求四证明题分 13 而0212)1(ikzzeeikzzezzz ikz2为一阶极点.四.证明题.1.证明 设()()F zf z,在下半平面内任取一点0z,z是下半平面内异于0z的点,考虑 000000000()()()()()()limlimlimzzzzzzF zF zf zf zf zf zzzzzzz.而0z,z在上半平面内,已知()f z
27、在上半平面解析,因此00()()F zfz,从而()()F zf z在下半平面内解析.2.证明 令()63f zz ,4()zz,则()f z与()z在全平面解析,且在1:2Cz 上,()15()16f zz,故在2z 内11(,)(,)4N fCNC.在2:1Cz 上,()3()1f zz,故在1z 内22(,)(,)1N fCN f C.所以f在12z 内仅有三个零点,即原方程在12z 内仅有三个根.实部与虚部四证明题分在区域内解析证明如果函数在内为常数那么它在内为常数试证在割去线段的平面内能分出两个敛半径为假设是的阶零点且则是的零点函数的周期为方程在单位圆内的零点个数为设则的孤立奇点有函
28、数的不解析点实值的处的值一个解析分支并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点计算积分积分路径为单位圆的右半圆求四证明题分 14 复变函数考试试题五参考答案 一.判断题.1 6 10.二.填空题.1.2,3,13i;2.2(,)ak ikz a为任意实数;3.(21)ki,()kz;4.2,()k i kz;5.0;6.0;7.亚纯函数;8.20(1)(1)nnnzz;9.0;10.2101inn.三.计算题.1.解 令zabi,则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)zabiabwzzababab .故 2212(1)Re()11(1)zazab,2212Im()1(1)z
29、bzab.2.解 连接原点及1 i的直线段的参数方程为(1)01zi tt ,故11001ReRe(1)(1)(1)2cizdzi ti dtitdt.3.令ize,则dzdiz.当0a 时 212()(1)1 2 cos1()zaazaaa zzaz,故11()(1)zdzIizaaz,且在圆1z 内1()()(1)f zzaaz只以za为一级极点,在1z 上无奇点,故211Re(),(01)11z az as f zaaza,由残数定理有 2122Re(),(01)1z aIis f zaia.4.解 令(),f zz 则(),()f zz在1z 内解析,且在:C1z 上,()1()zf
30、z,所以在1z 内,(,)(,)1N fCN f C,即原方程在 1z 内只有一个根.四.证明题.1.证明 因为22(,),(,)0u x yxyv x y,故2,2,0 xyxyux uy vv.这四个偏导数在z平面上处处连续,但只在0z 处满足.CR条件,故()f z只在除了0z 外处处不可微.2.证明 取 rR,则对一切正整数 kn 时,()1!()!(0)2nkkkzrkf zk Mrfdzzr.于是由r的任意性知对一切kn均有()(0)0kf.实部与虚部四证明题分在区域内解析证明如果函数在内为常数那么它在内为常数试证在割去线段的平面内能分出两个敛半径为假设是的阶零点且则是的零点函数的
31、周期为方程在单位圆内的零点个数为设则的孤立奇点有函数的不解析点实值的处的值一个解析分支并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点计算积分积分路径为单位圆的右半圆求四证明题分 15 故0()nnnkf zc z,即()f z是一个至多n次多项式或常数.复变函数考试试题六参考答案 二、填空题：1.1 ei 2.1z 3.2 4.1 5.1 6.1m阶 7.整函数 8.9.0 10.欧拉公式 三、计算题：1.解：因为21151,69366i 故2lim()06nni.2.解：123,i 1()()2Cff zdiz 2371.Cdz 因此 2()2(371)fi 故2()2(371)f zizz 1(1)2
32、(67)2(136)2(6 13)ifiiziii.3.解：211()12zzeezzizi Re(),).2ies f z i 4.解：32130(1)()sin,(21)!nnnzzn 36360sin(1).(21)!nnnzzzn 5解：设zxiy,则222211(1)211(1)zxiyxyyiwzziyxy .22222212Re,Im.(1)(1)xyywwxyxy 实部与虚部四证明题分在区域内解析证明如果函数在内为常数那么它在内为常数试证在割去线段的平面内能分出两个敛半径为假设是的阶零点且则是的零点函数的周期为方程在单位圆内的零点个数为设则的孤立奇点有函数的不解析点实值的处的值
33、一个解析分支并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点计算积分积分路径为单位圆的右半圆求四证明题分 16 6解：31cos()sin()(13).332ieii 四、1.证明：设673()9,()61,f zzzzz 则在1z 上，()9,()1 6 18,f zz 即有()()f zz.根据儒歇定理，()f z与()()f zz在单位圆内有相同个数的零点，而()f z的零点个数为 6，故7639610zzz 在单位圆内的根的个数为 6.2.证明：设(,)v x yabi，则0 xyvv,由于()f zuiv 在内D解析，因此(,)x yD有 0 xyuv,0yxuv .于是(,)u x ycdi 故
34、()()()f zacbd i ，即()f z在内D恒为常数.3.证明：由于0z是()f z的m阶零点，从而可设 0()()()mf zzzg z，其中()g z在0z的某邻域内解析且0()0g z，于是 0111()()()mf zzzg z 由0()0g z可知存在0z的某邻域1D，在1D内恒有()0g z，因此1()g z在内1D解析，故0z为1()f z的m阶极点.实部与虚部四证明题分在区域内解析证明如果函数在内为常数那么它在内为常数试证在割去线段的平面内能分出两个敛半径为假设是的阶零点且则是的零点函数的周期为方程在单位圆内的零点个数为设则的孤立奇点有函数的不解析点实值的处的值一个解析分支并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点计算积分积分路径为单位圆的右半圆求四证明题分