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1、abcABC第二章第二章 投影基础投影基础基本要求基本要求第一节第一节 投影基本知识投影基本知识第二节第二节 点与直线的投影点与直线的投影第三节第三节 空间平面的投影空间平面的投影第四节第四节 线面的相对位置线面的相对位置第五节第五节 投影变换投影变换基基 本本 要要 求求1 1、熟练掌握点和直线的、熟练掌握点和直线的投影特性及作图投影特性及作图；2 2、掌握平面的投影特性与面上线的作图；、掌握平面的投影特性与面上线的作图；3 3、掌握直角三角形法、掌握直角三角形法求直线的实长及倾角求直线的实长及倾角；4 4、掌握、掌握两直线的相对位置两直线的相对位置及其投影特性；及其投影特性；5 5、掌握、
2、掌握直线与平面的相对位置直线与平面的相对位置特性及作图；特性及作图；6 6、了解、了解投影变换投影变换的规律与基本作图。的规律与基本作图。第一节第一节 投影基本知识投影基本知识 在现代工程建设中所使用的图样都是采用投影的方法绘制出来的。这种绘制方法叫作投影法。就是使物体在平面上产生图像的一种方法。一、中心投影法一、中心投影法形体形体投射线投射线中心投影法的中心投影法的特点：特点：投影的大小随投影的大小随着物体与投影面着物体与投影面距离的变化而变距离的变化而变化。化。ABCS 投射中心投射中心投影面投影面 中心中心 投影投影abc中心投影法的中心投影法的特点：特点：投影的大小随投影的大小随着物体
3、与投影面着物体与投影面距离的变化而变距离的变化而变化。投影不反映化。投影不反映物体的实际大小。物体的实际大小。一般用在摄影、一般用在摄影、效果图、建筑透效果图、建筑透视中的辅助图样。视中的辅助图样。工程上的透视投影图工程上的透视投影图 一、中心投影法一、中心投影法 二、平行投影法二、平行投影法形体形体ABC投影面投影面 斜投影斜投影abc平行投影法的平行投影法的投影特点：投影特点：物体在投影体系物体在投影体系中平行移动时，其中平行移动时，其投影的形状和大小投影的形状和大小都不变。都不变。二、平行投影法二、平行投影法形体形体ABC投影面投影面 正投影正投影abc平行投影法的平行投影法的投影特点：
4、投影特点：物体在投影体系物体在投影体系中平行移动时，其中平行移动时，其投影的形状和大小投影的形状和大小都不变。都不变。工程图样工程图样都是采用正都是采用正投影绘制出投影绘制出来的。来的。二、平行投影法二、平行投影法轴测投影图轴测投影图多面投影图多面投影图 三、建立多面投影体系三、建立多面投影体系SA1aA2A3 仅有点的一个投影不能唯仅有点的一个投影不能唯一确定其空间点的位置一确定其空间点的位置VVV 三、建立多面投影体系三、建立多面投影体系 仅有一个投影不能确仅有一个投影不能确切地表达物体的形状。切地表达物体的形状。W 三、建立多面投影体系三、建立多面投影体系 为确切表达点的位置和物体的形状
5、，必须建立由多个投影面构成的为确切表达点的位置和物体的形状，必须建立由多个投影面构成的投影体系。投影体系。VOxOxVyz 四、直线和平面的投影特点四、直线和平面的投影特点 在正投影法中，直线和平面的三个在正投影法中，直线和平面的三个重要特点：重要特点：物体上凡是与投影面平行的直线和平面，其投影反映实长或实形。物体上凡是与投影面平行的直线和平面，其投影反映实长或实形。物体上凡是与投影面相垂直的直线和平面，其投影都具有积聚性。物体上凡是与投影面相垂直的直线和平面，其投影都具有积聚性。物体上凡是与投影面倾斜的直线和平面，其投影成缩小的类似形。物体上凡是与投影面倾斜的直线和平面，其投影成缩小的类似形
6、。BACDEabcdeDABCEa(b）cdeBACDEabcde第二节第二节 点与直线的投影点与直线的投影V 一、点的投影一、点的投影两面投影两面投影VOAxaaax点的正投影实际就点的正投影实际就是：通过空间点的投是：通过空间点的投影面垂直线与投影面影面垂直线与投影面的交点。的交点。1 1）点的投影）点的投影2 2）投影面展开）投影面展开1 1、点的两面投影、点的两面投影OxVaaxHaOxVaaxHaH 一、点的投影一、点的投影点在两面投影体系中的点在两面投影体系中的投影规律：投影规律：（1 1）空间点的两面投影连线必定垂直于其间的投影轴；）空间点的两面投影连线必定垂直于其间的投影轴；（
7、2 2）点到投影面的距离等于另一投影到投影轴的距离；）点到投影面的距离等于另一投影到投影轴的距离；VOAxaaax 一、点的投影一、点的投影三面投影三面投影WOxVyzaaAaax1 1）点的投影）点的投影 2 2）投影面展开）投影面展开2 2、点的三面投影、点的三面投影xHOWaazayayzyHyWaaxVaxHOWaayayzyHyWaaxVaaz 二、点的投影二、点的投影WOxVzaaAaaxyyxzxyz点在三面投影体系中的点在三面投影体系中的投影规律：投影规律：（1 1）点的投影连线垂直于相应的投影轴；即：）点的投影连线垂直于相应的投影轴；即：a a X轴；轴；a a Z轴轴（2
8、2）点到投影面的距离等于另一投影到相应投影轴的距离；即：）点到投影面的距离等于另一投影到相应投影轴的距离；即：Aa =aay=a az=xA Aa=a az=aax=yA Aa=a a y=a ax=zA azayOWazyHyWxHaVa点在三面投影体系中的点在三面投影体系中的投影规律：投影规律：（1 1）点的投影连线垂直于相应的投影轴；即：）点的投影连线垂直于相应的投影轴；即：a a X轴；轴；a a Z轴轴 （2 2）点到投影面的距离等于另一投影到相应投影轴的距离；即：）点到投影面的距离等于另一投影到相应投影轴的距离；即：Aa =aay=a az=xA Aa=a az=aax=yA Aa
9、=a a y=a ax=zA 二、点的投影二、点的投影例题1 如图所示，如图所示，已知已知A点的两个点的两个 投影投影 a 和和a，求作求作axHOWaayayzyHyWaaxVaaz 一、点的投影一、点的投影坐标与投影坐标与投影点在三面投影体系中的点在三面投影体系中的投影规律：投影规律：（1 1）点的投影连线垂直于相应的投影轴；即：）点的投影连线垂直于相应的投影轴；即：a a X轴；轴；a a Z轴轴（2 2）点到投影面的距离等于另一投影到相应投影轴的距离；即：）点到投影面的距离等于另一投影到相应投影轴的距离；即：Aa =aay=a az=xA Aa=a az=aax=yA Aa=a a y
10、=a ax=zA WOxVzaaAaaxyazayyxzxyz3 3、点的坐标与投影、点的坐标与投影HOWzyHyWVaa10203051525mm1020515mmx1020515mm10203051525mmbbb1020515mm1020515mma作图：先画出x、y、z三根相互垂直的坐标轴及45度线；由A点坐标x=20作出V、H投影连线垂直于x轴；由y=15作yh和yw轴的垂直连线；由z=10作V、W投影连线垂直于z轴，投影连线的交点就为A点的投影a、a、a；同理，可以求出B点的三面投影b、b、b 一、点的投影一、点的投影例题2 已知已知A（20,15,10）与与B（10,10,5）的
11、坐标值，试求出点）的坐标值，试求出点A和和B的的三面投影三面投影a、a 、a及及b、b 、bxHOWzyHyWVb 一、点的投影一、点的投影OxWVzbBybcddBbcdbbcccDDdd？CCccd投影面及投影轴上点的投影面及投影轴上点的投影特点：投影特点：（1 1）投影面上点的该面投影为其本身，另两个投影必定在相应的投影轴上。）投影面上点的该面投影为其本身，另两个投影必定在相应的投影轴上。（2 2）投影轴上点的两面投影为其本身，另一个投影必在该投影轴的原点上。）投影轴上点的两面投影为其本身，另一个投影必在该投影轴的原点上。OWxVzy左左右右左左右右上上下下上上下下后后前前后后前前 一、
12、点的投影一、点的投影相对位置相对位置4 4、两点的相对位置、两点的相对位置两点中x 值大的点 在左两点中y 值大的点 在前 两点中z 值大的点 在上yWyH后后前前z后后前前上上下下xO左左右右 一、点的投影一、点的投影zbbbaaaOxyHyw 重影点：重影点：空间的两点在某一投影面上的投影重合为一点，则称空间的两点在某一投影面上的投影重合为一点，则称这两点为该投影面上的重影点。这两点为该投影面上的重影点。重影点可见性的判断：重影点可见性的判断：坐标值大的可见，坐标值小的不可见。坐标值大的可见，坐标值小的不可见。WOxVBbbbAaaazycc cC（）cc(c)空间直线的投影可认为：空间直
13、线的投影可认为：过直线上各点的投影线所构成的投射面与投影面的交线。因此直线过直线上各点的投影线所构成的投射面与投影面的交线。因此直线的投影一般仍为直线，可由直线上两端点同面投影的连线来确定。的投影一般仍为直线，可由直线上两端点同面投影的连线来确定。二、直线的投影二、直线的投影 二、直线的投影二、直线的投影 1 1、直线的投影特性、直线的投影特性 1 1）投投影面的平行线影面的平行线 只平行于只平行于一个一个一个一个投影面，倾斜于其他两个投影面的直线投影面，倾斜于其他两个投影面的直线。(1)水平线水平线 (2)正平线正平线 (3)侧平线侧平线 2 2）投投影面的垂直线影面的垂直线 垂直于垂直于一
14、个一个一个一个投影面，平行于其他两个投影面的直线。投影面，平行于其他两个投影面的直线。(1)铅垂线铅垂线 (2)正垂线正垂线 (3)侧垂线侧垂线 3 3）一般位置直线一般位置直线 即不平行也不垂直于投影面的直线。即不平行也不垂直于投影面的直线。1)1)水平线：水平线：只平行于水平投影面，倾斜于其他两个投影面的直线只平行于水平投影面，倾斜于其他两个投影面的直线 投影特性：投影特性：1 1a a b b OX OX;a a b b OYOYW W 2 2 abab=ABAB，反映反映、角的真实大小角的真实大小 xa b ab baOzyHyW 二、直线的投影二、直线的投影投影特性投影特性 2)2)
15、正平线：正平线：只平行于正立投影面，倾斜于其他两个投影面的直线只平行于正立投影面，倾斜于其他两个投影面的直线投影特性：投影特性：1ab OX;a b OZ2a b=AB，反映反映、角的真实大小角的真实大小xa b ab baO z yHyW 二、直线的投影二、直线的投影 3)3)侧平线：侧平线：只平行于侧立投影面，倾斜于其他两个投影面的直线只平行于侧立投影面，倾斜于其他两个投影面的直线投影特性：投影特性：1 1 a a b b OZOZ;ab ab OYOYH H 2 2 a a b b =ABAB，反映反映 、角的真实大小角的真实大小 yW xa b ab baO zyH 二、直线的投影二、
16、直线的投影 x(a)b ab baO zyHyW 1)1)正垂线：正垂线：垂直于正立投影面，平行于其他两个投影面的直线垂直于正立投影面，平行于其他两个投影面的直线 投影特性：投影特性：1 1a a b b 积聚积聚 成一点成一点 2 2abab OXOX ;a a b b O OZ Z 3 3abab=a a b b =ABAB 二、直线的投影二、直线的投影 xab ab(b)aO zyHyW投影特性：投影特性：1 1a ba b 积聚积聚 成一点成一点 2 2a a b bOXOX ;a a b b OYOYW W 3 3a a b b =a a b b =ABAB 2)2)铅垂线：铅垂线：
17、垂直于水平投影面，平行于其他两个投影面的直线垂直于水平投影面，平行于其他两个投影面的直线 二、直线的投影二、直线的投影 xab a(b)baO z yHyW投影特性：投影特性：1a b 积聚积聚成一点成一点2 ab OYH;a b OZ3ab=a b =AB 3)3)侧垂线：侧垂线：垂直于侧立投影面，平行于其他两个投影面的直线垂直于侧立投影面，平行于其他两个投影面的直线 二、直线的投影二、直线的投影AB 投影特性：投影特性：1a b、a b、a b 均小于实长均小于实长2a b、a b、a b 均倾斜于投影轴均倾斜于投影轴3不反映不反映 、实角实角一般位置直线：一般位置直线：与任何基本投影面都
18、不平行也不垂直与任何基本投影面都不平行也不垂直babaab xzabaO yHyWabb 二、直线的投影二、直线的投影 投影面垂直线投影面垂直线:1.在所垂直的投影面上的投影具有积聚性，投影成一点；2另两个投影与相应投影轴垂直，且反映直线真实长度。一般位置直线：一般位置直线：1.一般位置直线的三面投影既不反映实长也没积聚性；2直线的三面投影与三个坐标轴都倾斜，且长度变短；3.投影与投影轴之间不反映直线与投影面的真实夹角。投影面平行线：投影面平行线：1在所平行的投影面上的投影反映直线的真实长度；2另外两个投影与相应投影轴平行，且长度变短；3.反映实长的投影，呈现对两投影面的真实倾角。二、直线的投
19、影二、直线的投影投影规律投影规律zzz正平线正平线侧垂线侧垂线侧平线侧平线铅垂线铅垂线铅垂线铅垂线侧平线侧平线一般位置直线一般位置直线xxxx 二、直线的投影二、直线的投影空间位置空间位置baabAB1.1.点分线段成定比点分线段成定比eeExOababee直线上点的直线上点的投影特性：投影特性：1 1）直线上点的投影必然在该直线段的同面投影上；）直线上点的投影必然在该直线段的同面投影上；2 2）点分线段之比等于点的投影分线段同面投影之比。）点分线段之比等于点的投影分线段同面投影之比。二、直线的投影二、直线的投影直线上的点直线上的点 作图过程：作图过程：例题例题44 如图所示，试在线段如图所示
20、，试在线段ABAB上取一点上取一点D D，使，使ADDB=3:2 ADDB=3:2。a b abxd B0D0d 过投影a任作一斜线度量五等分，按比例aD0:D0B0=3:2,确定D0、B0点。过点B0作连线B0 b，再过点D0 作线D0 d B0 b，由交点d对应作出d。二、直线的投影二、直线的投影作图过程：作图过程：例题例题55 如图，已知直线如图，已知直线AB上点上点E正面投影正面投影e，求作水平投影，求作水平投影e。b abxe 过投影过投影a a任作一斜线任作一斜线并量取并量取V V面投影面投影ab=abab=ab0 0，ae=aeae=ae0 0。连接连接bbbb0 0并作并作ee
21、ee0 0bbbb0 0就可求出就可求出e eb0e0ea O 二、直线的投影二、直线的投影ABAB|zA-zB|ab|zA-zB|xaaObbABabab利用利用H H面投影作为直角边、面投影作为直角边、ABAB两点两点Z Z向坐标差作为另一直角边，可以求向坐标差作为另一直角边，可以求出直线的实长及对出直线的实长及对H H面的倾角面的倾角 三、一般直线的三、一般直线的实长与倾角实长与倾角AB|yA-yB|ababABxaaObb|yA-yB|利用利用V V面投影作为直角边、面投影作为直角边、ABAB两点两点Y Y向坐标差作为另一直角边，可向坐标差作为另一直角边，可以求出直线的实长及对以求出直
22、线的实长及对V V面的倾角面的倾角 同理，要求出直线的实长及对同理，要求出直线的实长及对W W面的倾角面的倾角 ，就要利用，就要利用W W面投影作为面投影作为直角边、直角边、ABAB两点两点X X向坐标差作为另一直角边。向坐标差作为另一直角边。三、一般直线的三、一般直线的实长与倾角实长与倾角直角三角形法直角三角形法 1 1、作图特点作图特点：1 1）用线段的一个投影作一直角边，另一直角边为直线两端点对）用线段的一个投影作一直角边，另一直角边为直线两端点对 该投影面的坐标差；该投影面的坐标差；2 2）其三角形的斜边为直线的实长，斜边与投影边的夹角为对该）其三角形的斜边为直线的实长，斜边与投影边的
23、夹角为对该 投影面的真实倾角投影面的真实倾角 2 2、四个要素：四个要素：实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角，已知四要素中实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角，已知四要素中 任意两个就可求出另外两个。任意两个就可求出另外两个。3 3、解题时、解题时注意：注意：直角三角形画在任何位置都不影响解题结果，但用哪个要素作直角三角形画在任何位置都不影响解题结果，但用哪个要素作 为为直角边直角边不能搞错不能搞错。三、一般直线的三、一般直线的实长与倾角实长与倾角 例题例题33 如图所示，已知如图所示，已知ABAB的投影的投影abab及及bb，且且AB=AB=33mm33mm，求作正面投影，求作正面
24、投影abab。xOabbea0fABaba作图过程：作图过程：以水平投影的以水平投影的y y坐标差作为一条直角坐标差作为一条直角边，作另一直角边；边，作另一直角边；以以b b为圆心作斜为圆心作斜边，半径为边，半径为33mm33mm作弧，作弧，可截得正面投影长；可截得正面投影长；以投影以投影b b 为圆心，为圆心，以以eaea0 0长为半径作弧，长为半径作弧，得到得到aa，连接，连接abab及及完成正面投影完成正面投影 三、一般直线的三、一般直线的实长与倾角实长与倾角abxa补充题补充题 如图所示，已知如图所示，已知abab、a a 且知且知 =30=30 试试求直线求直线ABAB的正面的正面
25、投影投影a a b b。60 bOab30 三、一般直线的三、一般直线的实长与倾角实长与倾角第三节第三节 空间平面的投影空间平面的投影 空间平面可以由不同的构成元素的投影来表示，如下表示法：空间平面可以由不同的构成元素的投影来表示，如下表示法：baacbcbaacbcaabcbcbbaaccabcabcdd一、平面的投影特性二、平面上的点和线 1 1、投投影面的垂直面影面的垂直面 只垂直于只垂直于一个一个一个一个投影面，倾斜于其他两个投影面的平面。投影面，倾斜于其他两个投影面的平面。1 1）正垂面正垂面 2 2）铅垂面铅垂面 3 3）侧垂面侧垂面 2 2、投投影面的平行面影面的平行面 平行于平
26、行于一个一个一个一个投影面，垂直于其他两个投影面的平面。投影面，垂直于其他两个投影面的平面。1 1）正平面）正平面 2 2）水平面水平面 3 3）侧平面侧平面 3 3、一般位置平面一般位置平面 即不垂直也不平行于投影面的平面。即不垂直也不平行于投影面的平面。一、平面的投影特性一、平面的投影特性Pppp 1 1）正垂面：）正垂面：只垂直于只垂直于V面，倾斜于面，倾斜于H面和面和W面的面的平面pppxOyWyHz 投影特性：投影特性：(1)V面投影积聚为一条线面投影积聚为一条线p(2)p与与x、z轴的夹角轴的夹角反映反映、角的真实大小角的真实大小(3)p、p 为平面为平面P的类似形的类似形 一、平
27、面的投影特性一、平面的投影特性垂直面垂直面Pppp 2 2）铅垂面：）铅垂面：只垂直于只垂直于H面，倾斜于面，倾斜于V面和面和W面的平面面的平面投影特性投影特性：(1)H面投影积聚为一条线面投影积聚为一条线p(2)p与与x、y轴的夹角轴的夹角反映反映、角的真实大小角的真实大小(3)p、p 为平面为平面P的类似形的类似形p ppxOzyHyW 一、平面的投影特性一、平面的投影特性Pppp 3 3）侧垂面：）侧垂面：只垂直于只垂直于W面，倾斜于面，倾斜于H面和面和V面的平面面的平面投影特性投影特性：(1)W面投影积聚为一条线面投影积聚为一条线 p(2)p 与与x、y轴的夹角轴的夹角反映反映、角的真
28、实大小角的真实大小(3)p、p为平面为平面P的类似形的类似形pppOxzyHyW 一、平面的投影特性一、平面的投影特性 1 1）正平面：）正平面：只平行于只平行于V面，垂直于面，垂直于H面和面和W面的平面面的平面Pppp投影特性：投影特性：(1)V面投影面投影p反映反映P的的实形实形(2)H、W面投影面投影积聚成直线积聚成直线(3)pOx；pOzpppxOyHyWz 一、平面的投影特性一、平面的投影特性平行面平行面 2 2）水平面：）水平面：只平行于只平行于H面，垂直于面，垂直于V面和面和W面的平面面的平面PppppppxOyHyWz投影特性：投影特性：(1)H面投影面投影p反映反映P的的实形
29、实形(2)V、W面投影面投影积聚成直线积聚成直线(3)pOx；pOy 一、平面的投影特性一、平面的投影特性 3 3）侧平面：）侧平面：只平行于只平行于W W面，垂直于面，垂直于H H面和面和V V面的平面面的平面p投影特性：投影特性：(1)W面投影面投影p反映反映P的的实形实形(2)V、H面投影面投影积聚成直线积聚成直线(3)pOz；pOypppxOyHyWzpp 一、平面的投影特性一、平面的投影特性ABCabcabccab一般位置平面一般位置平面既没有垂直面的投影性质，也不具有平行面的投影性质既没有垂直面的投影性质，也不具有平行面的投影性质投影特性：投影特性：(1)一般平面的三面投影既不反映
30、实形也没有积聚性。一般平面的三面投影既不反映实形也没有积聚性。(2)其三面投影均为空间平面的类似形，且面积缩小。其三面投影均为空间平面的类似形，且面积缩小。aabbccbacxOyWyHz 一、平面的投影特性一、平面的投影特性 一般面一般面正平面正平面铅垂面铅垂面侧平面侧平面正平面正平面正垂面正垂面侧平面侧平面侧垂面侧垂面一般位置平面一般位置平面 一、平面的投影特性一、平面的投影特性空间平面空间平面zzz正平线正平线侧垂线侧垂线侧平线侧平线铅垂线铅垂线铅垂线铅垂线侧平线侧平线一般位置直线一般位置直线xxxx 回顾回顾：直线的投影特性直线的投影特性 点和直线在平面上的点和直线在平面上的几何条件：
31、几何条件：1 1）若点在平面上若点在平面上，则该点一定在平面内的一条直线上。，则该点一定在平面内的一条直线上。2 2）直线在平面上直线在平面上，则该直线必然通过平面上的两点，或经过平面上，则该直线必然通过平面上的两点，或经过平面上 一点并平行于平面内的另一直线。一点并平行于平面内的另一直线。二、平面上的点和线二、平面上的点和线ABCabcabccabKEekkeke点在平面上的点在平面上的几何条件：几何条件：二、平面上的点和线二、平面上的点和线取点取点ABCabcabccab直线在平面上的直线在平面上的几何条件：几何条件：KkkkEeee 二、平面上的点和线二、平面上的点和线 要在要在平面上取
32、点平面上取点，先要在平面上取，先要在平面上取线线，然后在该直线上取，然后在该直线上取点点；反之，；反之，要在平面上取线，先要在平面上取点，然后通过该点在平面上作直线。要在平面上取线，先要在平面上取点，然后通过该点在平面上作直线。例题例题 1 1 例题例题 2 2 二、二、平面上的点和线平面上的点和线 二、平面上取点和直线二、平面上取点和直线举例举例 例题例题1 1 如图所示，试作出如图所示，试作出ABCABC平面内点平面内点E E的水平投影的水平投影e e；并由；并由F F 的的 两面投影两面投影f f、ff，判断点，判断点F F是否在是否在ABCABC平面内。平面内。abcacbffee11
33、22 二、平面上取点和直线二、平面上取点和直线举例举例 例题例题2 2 如图所示，已知五边形如图所示，已知五边形ABCDEABCDE平面的部分投影，试完成平面的部分投影，试完成 平面的水平投影。平面的水平投影。abcededcab1122xOP 平面上不同位置的直线，它对投影面的倾角各不相同。其中：一种平面上不同位置的直线，它对投影面的倾角各不相同。其中：一种对投影面倾角为零的为投影面的对投影面倾角为零的为投影面的平行线平行线；另一种对投影面倾角为最大；另一种对投影面倾角为最大的为投影面的的为投影面的最大斜度线最大斜度线。1.1.平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线effeabcacbxO
34、P 二、平面上的点和线二、平面上的点和线特殊直线特殊直线eabab1020515mm1020515mmcdfcdxO 例题例题3 3 试在四边形试在四边形ABCD平面内取一点平面内取一点K，使，使K点距离点距离H面面10mm、距距V面为面为15mm，作出，作出K点的两面点的两面投影。投影。efkk 二、平面上的点和线二、平面上的点和线特殊直线特殊直线第四节第四节 线面的相对位置线面的相对位置ABCDabc(f)d(e)EFABCDabc(f)d(e)EFKkABCDabc(f)d(e)EFKk 线面的相对位置是指直线与直线、直线与平面、平面与平面间的相线面的相对位置是指直线与直线、直线与平面、
35、平面与平面间的相对位置，即：对位置，即：平行、相交、垂直平行、相交、垂直等问题，以及它们之间产生的交点、等问题，以及它们之间产生的交点、交线、距离、角度等关系。交线、距离、角度等关系。ABCDabc(f)d(e)EFABCDabc(f)d(e)EFKkABCDabc(f)d(e)EFKk 直线与平面的相对位置是指直线与平面平行、相交、垂直等问题，直线与平面的相对位置是指直线与平面平行、相交、垂直等问题，以及它们之间产生的交点、距离、角度等关系。以及它们之间产生的交点、距离、角度等关系。二、直线与平面的二、直线与平面的相对位置相对位置FGDf(e)ABabg(d)Em(n)MNxOccabbae
36、mnnme 若直线与平面平行，该直线必平行于平面上的一条直线；当平面若直线与平面平行，该直线必平行于平面上的一条直线；当平面垂直于投影面时，则该直线的投影必然与平面具有积聚性的投影平行。垂直于投影面时，则该直线的投影必然与平面具有积聚性的投影平行。xOfgdf(e)abbag(d)em(n)mn 1 1、直线与平面、直线与平面平行平行BKAABGDabd(e)g(f)EFKk 空间直线与平面相交产生空间直线与平面相交产生交点交点，交点即是线面的，交点即是线面的共有点共有点。xOgdeg(f)d(e)fababkk 2 2、直线与平面、直线与平面相交相交 若空间直线或平面其中之一与投影面若空间直
37、线或平面其中之一与投影面垂直垂直时，那么可利用时，那么可利用积聚性积聚性的的投影直接作图。投影直接作图。ABCPEFK 求一般位置线、面求一般位置线、面 交点的交点的方法步骤：方法步骤：1 1）过直线作一辅助平面）过直线作一辅助平面 垂直于投影面。垂直于投影面。2 2）作出辅助平面与已知）作出辅助平面与已知 平面间的交线。平面间的交线。3 3）求直线与两平面交线）求直线与两平面交线 的投影共有点。的投影共有点。4 4）利用重影点来判断）利用重影点来判断 可见性。可见性。若空间直线和平面都处于一般位置时，可利用若空间直线和平面都处于一般位置时，可利用辅助平面辅助平面法法求出交点。求出交点。xOc
38、efaabcfeb2PH1213(4)55()k34k直线与平面直线与平面相交相交 如果空间直线与平面垂直，则该直线垂直于平面上的所有直线。如果空间直线与平面垂直，则该直线垂直于平面上的所有直线。反之，直线垂直平面上的任意两相交直线，则直线垂直于该平面。反之，直线垂直平面上的任意两相交直线，则直线垂直于该平面。LKP 3 3、直线与平面、直线与平面垂直垂直 1 1）如果空间直线与投影面垂直面垂直，则该直线与平面在该投影）如果空间直线与投影面垂直面垂直，则该直线与平面在该投影面上的投影必然垂直。面上的投影必然垂直。FGDf(e)ABabg(d)Exgfedababf(e)g(d)直线与平面直线与
39、平面垂直垂直LKPABabMmKkPHPxOppmmabbadccdkk 2)2)如果空间直线与一般位置平面垂直，则由直角投影定理可知该如果空间直线与一般位置平面垂直，则由直角投影定理可知该直线的水平投影直线的水平投影一定一定垂直于垂直于该该平面内水平线的水平投影平面内水平线的水平投影；直线的正直线的正面投影面投影必必垂直于垂直于属于该属于该平面内正平线的正面投影平面内正平线的正面投影。直线与平面直线与平面垂直垂直badaOdcbeff(e)例题例题5 5 求作直线求作直线EFEF与与ABCDABCD平面交点平面交点K K的两面投影，并判断可见性。的两面投影，并判断可见性。cxk11k 举例举
40、例PQEFDABCxOccabbaegffegllFGDf(e)ABabg(d)ECc 若空间两平面互相平行，则一平面内相交两直线必然与另一平面若空间两平面互相平行，则一平面内相交两直线必然与另一平面内的内的相交两直线对应平行相交两直线对应平行；当两平面相互平行且又同时垂直于投影；当两平面相互平行且又同时垂直于投影面时，则两平面的面时，则两平面的积聚性投影一定平行积聚性投影一定平行。1.1.平面与平面平行平面与平面平行xOfgdf(e)abg(d)eabcc 三三、平面与平面的、平面与平面的相对位置相对位置 2.2.两平面相交两平面相交 空间平面和平面相交产生交线，交线即相交两平面的空间平面和
41、平面相交产生交线，交线即相交两平面的共有线共有线共有线共有线。若空间。若空间两平面之一与投影面垂直时，那么可利用积聚性作出交线的投影；可见两平面之一与投影面垂直时，那么可利用积聚性作出交线的投影；可见性由积聚性投影来判断。性由积聚性投影来判断。xOcaabcbpp1212fAPBC12 二、线面的二、线面的相对位置相对位置 2.2.两平面垂直两平面垂直 如果空间两平面相互垂直，过其中一平面上的任意点向第二个平如果空间两平面相互垂直，过其中一平面上的任意点向第二个平面作的垂线，必定在第一个平面内；若空间直线与平面垂直，则包面作的垂线，必定在第一个平面内；若空间直线与平面垂直，则包含直线作的所有平
42、面都垂直于该平面。含直线作的所有平面都垂直于该平面。DA 二、线面的二、线面的相对位置相对位置 2.2.两平面垂直两平面垂直 若两个投影面垂直面相互垂直，则两平面在所垂直的投影面上的若两个投影面垂直面相互垂直，则两平面在所垂直的投影面上的积聚性投影成直角。两个一般位置平面相互垂直，其中一个平面必积聚性投影成直角。两个一般位置平面相互垂直，其中一个平面必然经过另一平面的垂线。然经过另一平面的垂线。baceda(b)d(c)exO 二、线面的二、线面的相对位置相对位置 例题例题6 6 如图所示，试过空间点如图所示，试过空间点A A作三角形平面，使作三角形平面，使ABCABC平面既平行平面既平行 于
43、于MN MN 又垂直于又垂直于 DEFGDEFG平面平面nmdmOaf(g)nxaefge(d)bcbc 三、线面综合问题分析三、线面综合问题分析XX1V1c1b1a1ABCacbcbaHV一、投影变换的概念二、点的换面规律三、换面法的基本作图第五节第五节 投影变换投影变换四、换面法的应用aabb 两点之间距离aabbcc三角形实形aabbccdd 直线与平面的交点aabbaabbccabcdabdcaabbccddabcdabcd 两平面夹角 一、投影变换的概念一、投影变换的概念 投影变换的基本方法有投影变换的基本方法有以下两种：以下两种：1 1空间几何要素的位置保持不动，用新的投影面来代替
44、空间几何要素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使空间几何要素对新投影面的相对位置变成有旧的投影面，使空间几何要素对新投影面的相对位置变成有利于解题的特殊位置，然后找出其在新投影面上的投影。这利于解题的特殊位置，然后找出其在新投影面上的投影。这种方法称为种方法称为换面法换面法。2 2投影面保持不动，使空间几何要素绕某一轴线旋转到投影面保持不动，使空间几何要素绕某一轴线旋转到平行或垂直于投影面的特殊位置，然后找出其旋转后的新投平行或垂直于投影面的特殊位置，然后找出其旋转后的新投影。这种方法称为影。这种方法称为旋转法旋转法。一、投影变换的概念一、投影变换的概念这里仅讲换面法这里仅讲换面法
45、 XV/H 体系变为V1/H 体系X1V1c1b1a1A 新投影面必须满足下列新投影面必须满足下列两条原则：两条原则：新投影面必须对空间几何元素处于有利于解题的特殊位置。新投影面必须对空间几何元素处于有利于解题的特殊位置。必须垂直于原有的一个投影面使之构成新的两面投影体系。必须垂直于原有的一个投影面使之构成新的两面投影体系。BCacbcbaHV 二、点的换面规律二、点的换面规律X1V1a1aaAVHX 二、点的换面规律二、点的换面规律aa1、点的一次换面、点的一次换面 V1a1X1X1 V1a1AVHXa1X1HV1ax1VHXaaax点的换面规律：换面规律：点的新投影与不变投影的连线垂直于新
46、的投影轴；新投影到新投影轴的距离等于被更换的投影到旧轴的距离。二、点的换面规律二、点的换面规律换换V面面1、点的一次换面、点的一次换面H1X1aaa1HVH1X1Va1VHXaaAX 二、点的换面规律二、点的换面规律换换H面面2、点的两次换面、点的两次换面2X2a2AXaaa1HVV1X1a2X2H2V1V/HV1/HV1/H2VHXHV1X1aaa1 二、点的换面规律二、点的换面规律 换换面面法法中中的的四四个个基基本本作作图图问问题题，主主要要是是解解决决将将直直线线及及平平面面变变换换成成对对投影面处于特殊位置的问题。在变换过程中必须遵循点的变换规律。投影面处于特殊位置的问题。在变换过程
47、中必须遵循点的变换规律。三、三、换面法的基本作图 三三、换面法的基本作图V1X1 a1 b1 A B a b b aa1b1 X1V1HVHXabab作图特点：作图特点：新的投影轴必须平行于直线的一个投影，且可求出直线的实长和倾新的投影轴必须平行于直线的一个投影，且可求出直线的实长和倾角角 求直线对某投影面的倾角，新投影轴必须平行于该投影面直线的投影求直线对某投影面的倾角，新投影轴必须平行于该投影面直线的投影VH1 1、一般位置直线变换成平行线、一般位置直线变换成平行线 将一般位置直线变换成投影面平行线，并求出将一般位置直线变换成投影面平行线，并求出 角？角？X1H1Va1b1ababVHX
48、三、换面法的基本作图VHXX1H1 a1b1X1H1VbbVHXaa 作图特点：作图特点：新投影轴必须与反映直线实长的投影垂直。新投影轴必须与反映直线实长的投影垂直。a1 b1 三、换面法的基本作图 2 2、将平行线变换成垂直线、将平行线变换成垂直线V1X1 a1 b1 a b abXVH2X2a2 b2必须经过两次变换必须经过两次变换 若将一般位置的直线若将一般位置的直线变换成投影面垂直线变换成投影面垂直线 三、换面法的基本作图X2H2V1a2 b2X1HV1a1 b1 ababVHX两次变换的作图两次变换的作图 三、换面法的基本作图cH1 dc1a1b1 d1 a babcACDdVHXB
49、acXVHbbac dX1H1V d b1 a1c1d1作图特点作图特点:取投影面的平行线，使新投影轴垂直于直线实长的投影。取投影面的平行线，使新投影轴垂直于直线实长的投影。若求平面对此投影面的倾角，必须取该投影面的平行线。若求平面对此投影面的倾角，必须取该投影面的平行线。三、换面法的基本作图 3 3、将一般位置平面变换成垂直面、将一般位置平面变换成垂直面a作图特点：作图特点：新的投影轴必须和平面有积聚性的投影相平行。新的投影轴必须和平面有积聚性的投影相平行。V1X1c1b1a1X1V1c1a1b1XHVbbaccABC 三、换面法的基本作图 4 4、将垂直面变换成、将垂直面变换成 投影面的平
50、行面投影面的平行面X1V1c1a1b1XHVabbaccABCa1c1b1X1Xabcabc 变换的作图过程变换的作图过程 三、换面法的基本作图必须经过两次变换必须经过两次变换 db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2 V2H1实形abcabc d 三、换面法的基本作图如何将一般位置平面如何将一般位置平面变换成投影面平行面变换成投影面平行面应应用用换换面面法法解解题题时时，首首先先分分析析空空间间几几何何元元素素间间的的相相互互关关系系及及位位置置，使使几几何何元元素素处处于于何何种种位位置置时时，才才有有利利于于解解题题，然然后后确确定定换换面面的的具具体体步步骤骤，应应用用上上面